CC BY
10УДК 51-74
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТРЕХ УПРУГИХ СООСНЫХ ОБОЛОЧЕК, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ НА КОНЦАХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ДВУМЯ ПУЛЬСИРУЮЩИМИ СЛОЯМИ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩИХСЯ МЕЖДУ НИМИ ПРИ ПУЛЬСАЦИИ
ДАВЛЕНИЯ
1 2 Елистратова О.В. , Кондратов Д.В.
поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Саратов, Россия
Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Саратов, Россия
MODELING OF DYNAMICS OF THREE SIMPLY SUPPORTED ELASTIC COAXIAL SHELLS, INTERACTING WITH TWO PULSING
LAYERS OF LIQUID, BEING BETWEEN THEM AT PRESSURE
PULSATION
Elistratova O.V.1, Kondratov D.V.2 Volga Management Institute named after P.A. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential
Academyof National Economy and Public Administration, Saratov, Russia Volga Management Institute named after P.A. Stolypin - a branch of Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education Russian Presidential
Academy of National Economy and Public Administration, Saratov, Russia
В статье рассмотрено математическое моделирование гидроупругости тройной соосной упругой трубы взаимодействующей с двумя пульсирующими слоями вязкой несжимаемой жидкости.
Ключевые слова: математическое моделирование, соосные оболочки, гидроупругость.
This article discusses the mathematical modelling of hydroelasticity triple coaxial elastic tubes interacting with two pulsating layers of a viscous incompressible fluid.
Keywords: mathematical modeling, coaxial shell, hydroelasticity.
Перспективным направлением в мировой промышленности для повышения эксплуатационных свойств различных конструкций является применение элементов в виде тонкостенных оболочек взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью [1]. Использование таких конструкций позволяет обеспечить необходимую прочность при уменьшении веса и габаритов деталей, снижение и выравнивание динамических воздействий и уровня вибраций, уменьшение трения и изнашивания, охлаждения. В связи с этим наибольший теоретический и практический интерес представляет изучение сложных механических систем, которые представлены тремя оболочками
цилиндрической формы, заключенных одна в другую, с находящийся между ними жидкостью. Ранее были проведены исследования динамики поведении двух упругих соосных оболочек, причем оболочки могли быть как геометрически регулярные, так и геометрически нерегулярные [2-7]. Вместе с тем процесс создания математической модели, позволяющей исследовать динамические процессы в указанной системе с учетом воздействияперепада давления является достаточно сложным, что в конечном итоге и определилоактуальность проведения данного исследования.
Рассмотрим общую механическую модель, исследуемой системы (рис. 1).
Представленная выше система состоит из внешней оболочки 1, средней оболочки 2 и внутренней оболочки 3 и которые являются упругими цилиндрическими оболочками, свободно опертыми на концах.
Внутренний радиус внешней оболочки обозначим R1, а внешний радиус внутренней оболочки - R3, а внешний и внутренний радиус средней оболочки соответственно R21 и R22 Вязкая несжимаемая жидкость 1 и 2 полностью заполняет зазор между стенками трех оболочек.
Будем предполагать, что радиальный зазор цилиндрической щели в цилиндре 1 - д1 и в цилиндре 2 - д2.
Перемещение внутренней и средней оболочки относительно внешней на торцах отсутствует. Также перемещение внутренней и средней оболочки относительно друг друга отсутствует. Механическая система считается термостабилизированной.
При исследовании динамики указанной механической системы для слоя жидкости 1, окружающего внешнюю и среднюю оболочку и для слоя жидкости 2, окружающего среднюю и внутреннюю оболочку, принята модель вязкой несжимаемой жидкости.
Жидкость, используемая в реальных механических системах может считаться ньютоновской.
Течение жидкостей между оболочками описывается уравнениями Навье-Стокса, которые в осесимметричном случае имеют вид [3-9]:
в
Рис. 1.
дУ
И) к
Г)
л дУ
+ V
дt дг
И)
к
Ц)дУк =_ др
( )
+ У
(О
у
ду
рО дк
■ + у
д2
г дг ^ .2 „2
дг
ду
дг
+
дУУ] л + —^ = 0 . ду
Здесь к = г или у; х = 1 при к = г, х = 0 при к = у; УгУу - компоненты
вектора скоростей жидкости; Р - плотность жидкости; V(и) - кинематический коэффициент вязкости; у - координата вдоль оси симметрии Оу ; г - расстояние от оси Оу ; t - время; И = 1 - слой жидкости между оболочкой 1 и оболочкой 2;
1 = 2 - слой жидкости между оболочкой 2 и оболочкой 3.
Граничные условия представляют собой условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:
у(и) = ди^ /дt, У( 0у = 0 при г = я21 + + и^;
г
У( и) = диЗр /дг, У*у = 0 при г--
Р
у
( 0 ( 0 + 7/о ( о
чу= рчу при у = I/ 2, рчу
я
21
( )
21
р ( И) при у = -1/ 2,
(2)
,(0
где и^ - прогиб внешней оболочки; и|г) - продольное перемещение оболочек.
Уравнение динамики оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, запишутся в следующем виде:
2и (') ди (')
д и
1
2
+
3
ду ^0
я(0 ду 21
=$ 14 ДО
Е И
Е h0
р0 h0
я2
д и
1
дг
2
G
И) дЛ)
я(И>
21
1 -
ду
+
4))2
я(И)
21
я
(и) 21
2 д'
4 И)'
иД7
ду
4
'0
Е
2 (И)
-рИ \ И + G и) р0 % .2 + ^
дг
2
И = 1,2,3;
2и« и)
д2и
ду
2
+
V07
(О ду
я
=Еи) 1 -V ДО
Е %
рИ И) р0 %
2
ди
дг
2
G
(3)
г
1
1
1
4) )
ду
22
и
(г)
+
(г) "22
R
+Ш2
R(г) 22
2 д'
4 (г)"
и
ду
4
1 -
2
о
- р(г\(г)
ро по
2 и (г)
д и
д t
2
+ G
(г)
, г = 1,2,3
где верхний индекс 1 относится к внешней оболочке, а индекс 2 - к средней оболочке и индекс 3 - к внутренней оболочке; - модуль Юнга, 40) -
.(г) -
плотность материала,
радиус срединной
коэффициент Пуассона, рО'
поверхности, Н0 - толщина оболочки.
Проекции абсолютного ускорения единицы площади срединной поверхности оболочек, имеют вид:
013) = 43), , (4)
в*> = , й- а!2,), О <3) = ,
G^
1П2 ед, О3 = ^
где , - напряжения на поверхностях оболочек со стороны слоя жидкости.
Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях свободного опирания на торцах [5]:
ди
(г)
1
ду
и|>
О.
д 2и3 I
= 0 При У = ± 2'
(5)
В дальнейшей осуществляется решение поставленной задачи. Сначала решаются задачи гидродинамики в предположении, что упругие перемещения соосных оболочек неизвестны. В результате решения получаются выражения для скоростей жидкости и давления в слое жидкостей в виде интегральных выражений через упругие перемещения оболочек. Найденные выражения позволят найти напряжения в оболочках со стороны жидкости. Уравнения динамики оболочек решаются методом Бубнова-Галеркина, причем упругие перемещения оболочек будем искать в следующем виде: да
I
Щ' =иги
1 т 1
и\> = ' =
3 т 3
k = 1
да
I k = 1
иПо + ип
(г) ] sin ———1 п^ + ( и1г20 + иУ/ (г) ] cos —П^
иг> + ич
и310 +и31
(г)
cos-
2
2— -1
(6)
2
П + ( и|2о + и|2 (г) ] sin —п^
В результате решения найдем выражение для прогибов оболочек и, соответственно, амплитудные частотные и фазовые характеристики прогибов оболочек.
о
Таким образом, исследование математической модели механической системы, состоящей из трех соосных упругих цилиндрических оболочек свободно опертых на концах, взаимодействующих через слои вязкой несжимаемой жидкости при наличии перепада давления, позволит выявить резонансные эффекты в системе «оболочка -жидкость-оболочка-жидкость-оболочка».
Выполнено при поддержке грантов РФФИ № 15-01-01604-а, № 16-01-00175-а и гранта Президента РФ МД-6012.2016.8.
Литература
1. Башта Т.М. Гидропривод и гидропневматика. М : Машиностроение, 1972. 320 с.
2. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации// Труды МАИ. 2014. № 78. С. 4.
3. Kondratov D.V., Kondratova J.N., Mogilevich L.I., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of elastic ribbed shell dynamics interaction with viscous liquid pulsating layer//Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9. № 69-72. С. 3525-3531.
4. Могилевич Л.И., Попова А.А., Попов В.С., Симдянкин А.А. Исследование влияния кавитационного износа гильз двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением камаз-740 на их деформацию в блоке // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2007. № 1 (33). С. 120-126.
5. Кондратова Ю.Н., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Гидроупругость трубопровода кольцевого профиля со свободным опиранием при воздействии вибрации // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4 (62). С. 9-14.
6. Плаксина И.В., Кондратов Д.В., Кузнецова Е.Л. Гидроупругость геометрически нерегулярной оболочки, содержащей слой вязкой жидкости и упругий цилиндр, в условиях гармонического давления// Научные труды SWorld. 2013. Т. 6. № 4. С. 17-20.
7. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Математическое моделирование ламинарного движения жидкости в упругой цилиндрической трубе кольцевого профиля со свободным опиранием по торцам // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т. 1. № 1 (37). С. 33-40
8. Могилевич Л.И., Кондратов Д.В., Елистратова О.В., Плаксина И.В. Динамика взаимодействия трех соосных оболочек, свободно опертых на концах, взаимодействующих с пульсирующими слоями вязкой жидкости// Техническое регулирование в транспортном строительстве. - 2015. - № 5(13); URL: trts.esrae.ru/24-127 (дата обращения: 21.04.2016).
