CC BY
72
МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 621.9.07:531. 3.001
В. В. Микитянский, Л. М. Микитянская Астраханский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СВЯЗИ ПАРАМЕТРОВ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ С ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
Введение
Динамические характеристики технологической системы во многом определяют точность и качество обработки, производительность станков, стойкость режущего инструмента, условия устойчивого резания.
Станочное приспособление, являясь дополнительным узлом технологической системы и равноправным ее элементом, оказывает воздействие своими параметрами на динамические характеристики всей системы и выходные параметры обработанной заготовки.
Рациональная в динамическом отношении конструкция станочного приспособления может быть разработана с помощью расчета динамических характеристик (динамического расчета) элементов технологической системы и анализа их взаимовлияния. Проектирование любых конструкций, в том числе и приспособлений, сопряжено с известными трудностями и со значительным объемом вычислений, выполняемых при динамических расчетах, поэтому количество рассматриваемых вариантов конструкций весьма ограничено. Более того, при отсутствии удобных методов динамических расчетов невозможно определить, как должна быть изменена конструкция приспособления, чтобы улучшить или хотя бы сохранить динамические характеристики технологической системы. Эти проблемы особенно остро возникают, когда процесс проектирования является машинным процессом проектирования конструкций.
Для выполнения расчетов, позволяющих улучшить динамические характеристики приспособлений, желательно использовать метод расчета, пусть приближенный, но исключающий подбор параметров конструкций путем проб и ошибок, когда многократно повторяются анализ и синтез. Разработка метода анализа чувствительности системы [1-4] к изменению параметров приспособлений дает возможность конструктору целенаправленно вносить изменения в конструкцию, позволяющие в итоге получать оптимальные решения по динамическим параметрам всей технологической системы.
Метод анализа чувствительности основан на использовании производных собственных частот и векторов (перемещений, амплитуд колеба-
ний) по основным параметрам конструкции приспособления (массе и жесткости). Анализ чувствительности собственных частот позволяет отстроить систему от частот возмущения при резании.
Анализ чувствительности динамических характеристик выходной функции, выраженной через совокупность собственных частот системы и производные собственных чисел и собственных векторов, дает возможность оценить степень влияния параметров приспособления на динамическое качество технологической системы. Такой метод позволит конструктору быстро выявить наиболее эффективные пути введения изменений в конструкцию для минимизации амплитуд колебаний выходной функции всей системы.
Математическое обеспечение метода чувствительности
Составление системы уравнений движения принятой расчетной модели и вычисление входящих в нее коэффициентов при искомых обобщенных координатах и их производных проведено в матричной форме, обеспечивающей следующие преимущества:
1. Удобство составления уравнений (при использовании матричной символики составление уравнений колебаний в трехмерном пространстве не отличается от составления уравнении колебаний в одномерном пространстве).
2. Удобство отображения изменений в реальной конструкции станка и приспособления в параметрах расчетной модели.
В предлагаемом решении опущено воздействие диссипативных свойств системы, что позволило существенно упростить расчетную модель и программу ее решения на ЭВМ. Ошибка расчетов не превышает 10 %.
Уравнение движения. Уравнение свободных колебаний рассматриваемой системы имеет вид
где [М] - симметричная диагональная матрица размером п*п, составленная из действительных чисел, соответствующих массам элементов расчетной модели. Элементы диагональной матрицы
[С] - симметричная матрица жесткости, размером п*п, составленная из действительных чисел, соответствующих коэффициентам жесткости К1 элементов модели:
(1)
при у = I,
при у = I;
Кг + Кг +1 при 1 = У (У',...,п + 4
- К при 1 = у -1 (у = 2,..., п),
- К при у = 1 -1 (2,...,п),
0 при всех остальных 1 и у;
г - вектор-столбец обобщенных координат.
В развернутой форме уравнение (1) запишется следующим образом:
т1 0. .. 0
0 т2 . .. 0
0 0. . тп
' •• '
г1
••
г2 +
гп
(К + К 2 )
- К 2 (К 2 + К 3 )
К
= [0].
Определение собственных значений и векторов. Для определения собственных значений и собственных векторов допустим, что решения уравнения (1) имеют вид
{г}={ф}^п ю ( + ф).
(2)
Это решение соответствует чисто гармоническим колебаниям системы. Здесь {Ф} есть вектор амплитудных перемещений; ю - угловая частота; ф - фаза колебаний.
Характеристическое уравнение: [1-Е - А] = 0, где [1-Е - А] - квадратная матрица п-го порядка;
{1} = {ю2} - собственные значения;
[А] - динамическая матрица, определяемая соотношением [А] = [М‘1][С[;
[Е] - единичная матрица п-го порядка.
Для существования нетривиальных решений характеристического уравнения необходимо, чтобы det (1-Е - А) = 0.
В общем случае при наличии п степеней свободы существует п собственных значений, каждому из которых соответствует собственная угловая частота ю, системы ю, = (1)0,5.
Каждому собственному значению 1, соответствует собственный вектор {Ф,}, т. е. определенная форма колебаний.
Общее решение уравнения (1) в том случае, когда все собственные значения различны, имеет вид
где Вк - постоянные, определяемые из начальных условий.
Обратная матрица, как известно, определяется по формуле
[м _1 ]= М
М -1 /с^ М .
В данном случае присоединенная матрица [Мпр] равна алгебраическому дополнению: [Мпр] = [Му].
Определение чувствительности собственных частот системы к параметрам жесткости. Уравнение (1) можем записать следующим образом:
[С - ъ-мкф,-} = о.
(3)
г
г
2
г
0
0
к = 1
Обозначим:
(4)
(5)
(6)
[фТ][Д]{Ф,}+{ФТ} {Ф,}+{Ф1}[4][фу-]
о . (7)
В соответствии с (3) первый член уравнения (7) равен нулю, а так как матрица [Д] симметрична, то третий член также равен нулю. Следовательно, можем записать:
где [С,] и [М,] - матрицы, элементы которых образованы путем дифференцирования по 5;- элементов матриц [С] и [М];
[^] у - матрица-столбец, составленная из производных собственных чисел по параметру 5,-
Теперь уравнение (8) имеет вид
Собственные векторы считаются ортогональными по отношению к [М], т. е.
Уравнение (12) - скорость изменения собственного значения. Так как ю, = (^,)0’5, то из (12)
Дифференцируя (4) по 5;, получим
(10)
{1г} = {Ч' }= {Ф ' }[СМ ]{Ф'}' (12)
д ю 1
Эб"
= { ю і,, }=т-^ }[с,
2 - ю
ю 2 М
].
(13)
Уравнение (13) есть выражение для скорости изменения собственных значений в зависимости от параметра системы 5,. Производные собственных чисел и векторов для матриц общего вида были исследованы в [2-4], получены выражения для их определения.
Положим, что параметр 5,- = М, т. е. }-й элемент матрицы масс. Определим чувствительность собственных значений к изменению отдельных масс системы. Производные от матрицы жесткостей по М} будут равны нулю, так как элементы матрицы жесткостей не содержат элементов масс:
[с,, ]=
[М ,у ] =
М,, ]=
ЭС,
Э Му
э м
= 0 при всех і и у, = 1 пр и і = у ,
= 0 при і Ф у,
(14)
так как матрица масс [М] ние (13) примет вид
диагональная матрица. С учетом (14) уравне-
1
{ф[ }[- ю2 М ,у ]{Ф , } =
ю
2
ф
(15)
Умножение транспонированного вектора ю, - собственной частоты {Ф”} на собственный вектор той же частоты {Ф,} и на матрицу частных производных [дМ/дМу], содержащую только один элемент в гнезде (і = у), равный единице, дает {Фу2}. Формула (15) позволяет определить скорость изменения собственных частот в зависимости от масс системы через собственную частоту ю, и элемент собственного вектора {Фу,}.
Теперь положим, что 5 = Ку - коэффициент жесткости. В этом случае все элементы матрицы [М„] = 0 при всех і и у, и формула (13) примет вид
1
2 - ю
■К }[С 1 у {ф і}
Производная матрицы [С] по элементам К/. в гнездах (у, у - 1); (у- 1, у)
дС/дК = -1;
(16)
дС/дК = 0 во всех остальных гнездах;
2
дС/дКу = 1 для элементов, расположенных в гнездах (/, у); (/ - 1, у - 1).
При учете этих соотношений уравнение (16) запишется:
{^} = 2^{ф'}[с • /]{ф ■ }=2^(Ф (/-1- - фу ). (18)
Формула (18) позволяет рассчитывать скорость изменения собственных векторов в зависимости от жесткости отдельных элементов систем по известным собственным значениям и элементам собственных векторов этой же собственной частоты.
Скорость изменения собственных векторов при изменении параметра системы. Любой вектор, имеющий п составляющих, может быть представлен в виде их линейной комбинации. Представим вектор производной по параметру 5, в виде суммы:
(19)
к = 1
[ф ^ у ]= {ф к } .
к=1
Выражение для
а/к =к Ь / -ю2м, / ]{Фг }/(юг2 - ) (20)
при к Ф 7 получается из уравнения (19) при помощи соответствующих преобразований.
При к = 7 выражение для а7ук имеет вид
-{ф 7 }М, ] ]{ф,}
2
аук =-------------------------------. (21)
Таким образом, уравнения (19-21) дают общее выражение для изменения собственных векторов и требуют для вычисления производных полного решения задачи о собственных значениях и векторах.
Положим 5у = М], тогда уравнение (20) с учетом того, что 5/ = М/ и что [М] - диагональная матрица, примет вид (7 Ф к)
- Ю 2 ф к ф
, ]к /,
а , =-------------------—
] Ю2 - Ю2 ^ (22)
а при 7 ф к аук = - ф2/2. (23)
Формулы для определения производных от собственных векторов по параметру масс имеют вид:
Эф,
М
У - Ю 2 ф / ф/ {ф }
Ю 2 - Ю 2 I к-1 при к ф 7;
к = 1 Ю 7 - Ю к
ЭФ
2
{Ф,}
при k = i,
(24)
где {Ф^}, {Ф7} - векторы, соответствующие ^й и 7-й собственным частотам; Ф^, Ф, - элементы собственных векторов ^й и 7-й собственных частот соответственно; ш7, юk - 7-я и k-я собственные частоты.
Если 5,- = К, то формулы (20) и (21) запишутся: при k Ф 7
j =krHc, j ]{Фі }/(®2 - ®2);
(25)
при к = 7 аф = 0,
что при учете матрицы [дС/дК] выражения (17) дает следующее выражение для а^:
(ф( ф-1)к -Ф фк )(ф( ф-1)7 -Ф 7 )
при 7 Ф к;
а.., =-
ijk
ю.
■Ю,,
aijk = 0 при i = k.
(26)
Подстановка (26) в уравнение (19) дает выражения для расчета производных собственных векторов по коэффициенту жесткости:
ЭФ,-
ЭК,
= [ф,,j ]=£(ф(-'> Ф2)(<J Ф) {Fk}
при к Ф i;
[ФЬ;] = 0 при к = i. (27)
Коэффициент динамической податливости р. В соответствии с принятой расчетной моделью технологическая система представляется в виде линейной системы c n степенями свободы, находящейся под действием гармонической силы Р sin ю7, приложенной в направлении перемещения zi. Перемещение в точке приложения возмущающей силы определяется равенством
n n
zj=X qф,=p sin ю ю X
ф2
f M, (юг - ю2) -
где ? (7) (ф = 1,..., п) - физические координаты;
Ц7 (7) (7 = 1,... ,п) - главные координаты;
Фф - амплитуда перемещения ? при 7-й собственной форме;
М7 - обобщенная масса системы при 7-й форме собственных колеба-
нии.
Для ф = 1 абсолютное смещение в точке 1, в которой приложена возмущающая сила,
,=1
2\ = Ч\ Ф11 + 42 Ф12 + Чъ Ф13 + ■■■ + Чн Ф1п.
В случае диагональной матрицы масс [М] формула для подсчета обобщенной массы имеет вид
Отношение перемещения Zj к действующей силе, т. е. часть выражения (28), заключенную в скобках, называют коэффициентом динамической податливости.
Из уравнения (28) следует, что при неизменной возмущающей силе амплитуда колебаний выходной координаты (заготовки) зависит от р. Формула (30) определяет р через элементы собственных векторов, обобщенные массы, собственные частоты и частоту возмущения.
Скорость изменения коэффициента динамической податливости. Производная от р по конструктивному параметру 5;- показывает, к изменению какого из элементов наиболее чувствителен коэффициент динамической податливости:
Формула (31) позволяет оценить чувствительность коэффициента динамической податливости к изменению масс системы. Входящие в уравнение элементы собственных векторов, производные от собственных частот и векторов, определяются по зависимостям (15), (24).
Найдем выражение для производной коэффициента динамической податливости по элементам жесткости:
н
(29)
]=1
(30)
Э в
Э 5 j Э 5 j
Получим выражения для рассматриваемой системы:
Э в
Ф2 ^
л
2 2 ю- ю
Э К . Э К
2 Ыг Ф1г (юг2 - ю2)Эф^ - 2 юг Ыг Ф1г ^ - 2 юг М Ф1г ^
, ь V , I ЭК г г 1 ЭМ 1 г 1 1г ЭК1
_ 5 - ю2)] • (32)
По формуле (32) рассчитывается скорость изменения коэффициента динамической податливости при изменении коэффициентов жесткости системы, производные \dwJdK,] и [ЭФ1г/ЭК1] рассчитываются по уравнениям (18), (27).
Приближенные значения собственных частот, векторов и коэффициентов динамического усиления при варьировании параметров приспособлений. Точные выражения для скоростей изменения собственных значений и собственных векторов могут быть использованы для приближенного анализа динамики технологических систем с новыми конструкциями приспособлений. Старая система имела параметры 8г , собственные частоты юг, собственные векторы Фг и коэффициент податливости р. Новая система (*) с параметрами 5 г, приближенными к г-му собственному значению ю г, может быть определена как
ю * _ ю г + {Л ю г} {а 51} ,
где
1
производные от собственных частот по варьируемому параметру;
{Д5,} = (А51, А52,..., А5г} - матрица приращений каждого из конструктивных параметров.
Полагая, что варьированию подвергаются параметры масс системы, запишем:
* . Г* Тг
■>Л М ,
Если варьируются жесткости, то, аналогично, выражение приближенного значения г-й собственной частоты
*
.Л К ,
Аналогично записывается приближенное значение собственного вектора г-й формы колебаний:
ю _ ю г +{Л ю г } {Л К1 } • (34)
Ф* _ Ф г + {Л ф г }г {а М , },
Ф*_Ф г + {ЛФ г} {а к 1} (35)
Г
}
ю г ,2
и коэффициент динамической податливости:
Входящие в уравнения (33-36) значения производных определяются из выражений, приведенных выше.
Выводы
Реальная технологическая система представляет собой нелинейную с большим числом степеней свободы систему, исследование поведения которой в процессе резания допустимо представлять в виде линейных динамических моделей.
Для анализа и обоснования связи динамических параметров приспособлений с упругой системой фрезерного станка применен метод чувствительности, основанный на расчете скорости изменения характеристик системы по параметрам ее отдельных конструктивных элементов.
Разработанная методика впервые позволяет определить количественно степень участия каждого из узлов технологической системы, в том числе и приспособления, в формировании динамического качества системы, выявить возможность параметрами приспособления влиять на виброустойчивость системы.
Метод дает возможность быстрого, бесповторного динамического анализа всей системы, получения приближенных значений характеристик системы при варьировании конструктивных параметров приспособлений с целью повышения ее виброустойчивости.
Разработанные алгоритмы позволили произвести расчеты на ЭВМ и выполнить анализ большой группы специальных приспособлений. Анализ дал возможность установить обоснованные границы жесткости и масс приспособлений, минимизирующие амплитуды колебаний при торцевом фрезеровании.
Теоретические исследования и проверка на ЭВМ подтвердили влияние динамических параметров фрезерных приспособлений на динамические характеристики технологической системы.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Корсаков В. С. Основы конструирования приспособлений в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1983.
2. Микитянская Л. М., Микитянский В. В. Методика применения анализа размерностей при исследовании динамики приспособлений с помощью ЭВМ // Автоматизация проектирования в машиностроении. - Минск: АН БССР, 1998. - Вып. 3. - С. 15-26.
3. Расчет динамических характеристик упругих систем станков с ЧПУ. - М.: ЭНИМС, 1976.
4. Янг Шауп. Анализ чувствительности динамических характеристик кулачковых механизмов // Конструирование и технология машиностроения. - М.: Мир, 1982. - Т. 104, № 2. - С. 132-138.
Получено 14.02.05
MODELING DYNAMICS OF RELATION BETWEEN APPLIANCE PARAMETERS AND ENGINEERING SYSTEM
V. V. Mikityansky, L. M. Mikityanskaya
In the article there have been considered methods of sensitivity of technological system to dynamic parameters of lathes. There is obtained more specific information about appliance design concerning dynamic behavior of appliance. On numerical example there is shown possibility to control parameters of an appliance in order to increase system’s vibrostability. Has been worked out mathematical justification of creating the model of relation between appliance parameters and output data of dynamic compliance of the whole technological system.
