CC BY
88
«Системы автоматизированного проектирования»
Математическая макромодель вибрации этажерочной конструкции РЭС
Кожевников А.М., Солякин К. А.
Кафедра ИТАС МИЭМ
Для автоматизированного проектирования вибронадежных конструкций блоков РЭС необходимы критерии оптимальности и методы по поиску оптимальных средств (из заданного набора) и их параметров для доведения механических режимов печатных узлов (ПУ) и элементов несущей конструкции до допустимого уровня. Методы должны оптимально решать следующие функциональные задачи: определение габаритов печатных плат; определение расположения мест крепления ПУ; рекомендовать места размещения электрорадиоизделий (ЭРИ) и ребер жесткости на печатной плате; определять параметры минивиброизоляторов для печатных узлов; определять параметры элементов несущей конструкции; вырабатывать требования к системе виброудароизоляции РЭС в целом в случае неудовлетворительных динамических механических характеристик конструкции.
В данной работе рассматривается разработанный метод оптимального расположения мест крепления конструкций печатных узлов этажерочных конструкций (ЭК) РЭС, которые являются наиболее распространенным типом конструкций, используемым в бортовых РЭС, подверженных интенсивным внешним виброударным механическим воздействиям. Конструкции этажерочного типа, представляют собой несколько печатных узлов, соединенных между собой металлическими стойками. Данный метод улучшения динамических характеристик конструкций является мало затратным, т.к. не требует больших изменений в конструкции.
Для построения модели динамики этажерочной конструкции использован метод конечных элементов (МКЭ), который является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Типы конечных элементов, используемых при расчете ЭК: стержневой, треугольный и прямоугольный.
Результатом применения МКЭ будет система уравнений колебаний конструкции РЭС [1]:
{ |R| - w2|M| + Jq|C| } |б| = |F|,
где: |R| - глобальная матрица жесткости; |M| - глобальная матрица масс; |5| -вектор перемещений; |F| - вектор внешних воздействий; ю - круговая частота вибрации; j - мнимая единица, j = -1; |С| - глобальная матрица демпфирования.
Решение этой системы уравнений даст значения перемещений в узлах модели, что позволяет определить реакцию конструкции РЭС на внешние воздействия: перегрузки на ЭРИ и механические напряжения в элементах конструкции.
От источника механического воздействия к печатному узлу воздействия проходят через элементы конструкции ЭК, которые обладают собственными динамическими характеристиками, вследствие чего спектр воздействия в местах крепления ПУ существенно
отличается от спектра источника. В связи с этим для расчета реакции ПУ в реальных условиях эксплуатации необходимо знать параметры вибрации в местах его крепления.
Основной характеристикой вибрационных свойств конструкции является ее амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), отражающая зависимость коэффициента динамичности от частоты вибрации, пример которой приведен на рисунке 1.
Рис. 1. Пример АЧХ печатного узла.
Для конструкций ПУ коэффициентом динамичности Кё является коэффициент отношения амплитуды ускорения (Ат) в точке конструкции к амплитуде ускорения в местах крепления ПУ (Акр): Кё = Лт/Лкр .
По АЧХ точки конструкции ПУ можно определить резонансные частоты ^ь^,...,^ и коэффициенты динамичности, т.е. условия работы элементов, установленных в данной точке в части механических воздействий при гармоническом воздействии.
На величину коэффициента динамичности в резонансной зоне оказывает влияние диссипативное рассеивание энергии в плате, элементах, узлах крепления и за счет аэродинамического сопротивления воздуха. При увеличении рассеивания энергии коэффициенты динамичности уменьшаются, что повышает надежность работы элементов.
Резонансные частоты конструкции определяются жесткостью конструкции и массовой нагрузкой. В свою очередь жесткость конструкции ПУ при прочих равных условиях зависит от количества и расположения узлов его крепления к несущей конструкции. Поэтому изменение расположения узлов крепления ПУ позволяет изменять его АЧХ. При изменении АЧХ за счет изменения расположения узлов крепления можно добиться уменьшения перегрузок на ЭРИ, если сместить резонансные частоты ПУ в частотную область, в которой внешнее воздействие меньше по сравнению с исходной областью.
Для ПУ наиболее опасными являются механические воздействия, поперечные к плоскости платы, т.к. в поперечном направлении возникают собственные частоты колебаний, попадающие в частотный диапазон внешних вибрационных воздействий. Это приводит к резонансным явлениям в ПУ и, следовательно, к увеличению амплитуды колебаний ПУ в десятки раз по сравнению с воздействующей амплитудой.
При механическом воздействии в поперечном к плоскости платы направлении через стойки вибрация передается от места воздействия до плат практически без изменений вследствие большой жесткости стоек при растяжении-сжатии. Это
позволяет рассматривать ЭК при воздействии в поперечном направлении как группу независимых друг от друга конструкций, которые подвержены одинаковому воздействию.
При оптимизации конструкции ПУ, подверженного внешнему вибрационному воздействию, необходимо снизить перегрузки на ЭРИ, что можно сделать изменив его АЧХ в сторону не попадания собственных частот колебаний ПУ в частотные диапазоны с большими значениями параметров воздействующей вибрации. Оптимизация конструкции ПУ путем нахождения оптимального расположения его узлов крепления состоит в переборе вариантов их расположения, расчете АЧХ для каждого варианта и выборе варианта, при котором перегрузки на ЭРИ удовлетворяют требованиям к ним.
Предлагается метод моделирования этажерочных конструкций в частотной области, основанный на построении макромодели этажерочной конструкции, размерность которой равна числу варьируемых параметров и в ней имеется аналитическая зависимость АЧХ от частоты воздействующей вибрации.
Построение модели основано на электромеханической аналогии первого типа, в которой существует следующее соответствие между электрическими и механическими величинами: ток - скорость, индуктивность - масса, емкость -податливость, активное сопротивление - коэффициент трения (вязкость). При переходе к эквивалентной электрической схеме в уравнении колебаний конструкции по методу конечных элементов производим следующие замены: матрицу масс заменяем на матрицу индуктивностей, матрицу демпфирования заменяем на матрицу активных сопротивлений, матрицу жесткостей заменяем на обратную матрицу емкостей.
Для проведения экономичной по затратам времени ЭВМ параметрической и структурной оптимизации частотных характеристик эквивалентных электрических схем, в том числе моделирующих вибрационные и другие процессы в различных объектах на основе электроаналогий, был разработан, излагаемый ниже, метод построения макромоделей в частотной области.
Рассмотрим исходную модель электрической схемы в частотной области,
построенную в расширенном однородном координатном базисе: [<Ср+еоX = У, где С0,0о - (пхп)- исходные вещественные матрицы коэффициентов; У(п) - вектор
и и т/- / \ и и и
возмущающих воздействий; Х0 (п) - искомый исходный вектор напряжений в узлах схемы и токов через индуктивности; п - количество неизвестных; ^ = у с; со -круговая частота; у - мнимая единица.
При анализе чувствительности схем к большим изменениям параметров ЭРИ, от значений которых зависят коэффициенты матриц С0, Оа, параметр может изменяться от нуля до бесконечности, что позволяет варьировать структурой схемы подключая или отключая элементы.
Определим сначала чувствительность выходной характеристики к изменению параметров матриц С0 и Оо. Пусть варьируются т << п параметров (т - равно
количеству возможных мест крепления ПУ, которые в модели моделируются включением емкостей в соответствующие узлы) и они изменяются на величину
1,...,8тп или 8 8 2,...,£ в матрицах С0 и Оо соответственно, а также в
различных возможных вариантах.
Проводимость ветви - у (или ее сопротивление), включенная между i - м и у -м узлами, появляется в матрице C0 и Go в столбцах и строках с номерами i и у, при этом имеет знак плюс в диагональных элементах (', ') и (у, у) и знак минус во внедиагональных элементах (', у) и (у,'). Эту зависимость можно записать, например, для матрицы С0 в форме произведения векторов: у(е{ - еу )(е; - еу)*, где * -индекс транспонирования, ei - единичный вектор, все компоненты которого, кроме ' -го, равны нулю, а ' - й равен единице, еу - единичный вектор, все компоненты которого, кроме у - го, равны нулю, а у - й равен единице [2].
Тогда матрица с0 = 2 Ук е - еу )(е 'к еук) .
к
Для четырехполюсников, имеющих два входных узла ' и '2 и два выходных узла у1 и у2 элемент матрицы С0, равный у можно записать в виде:
у(е'1- е 2)(ел - е 2)г.
Для к - го четырехполюсника алгоритм занесения ук в матрицу С0 (или G0)
можно записать в виде УкРкЧк, где Рк = екп -eki2,Чк = еку1 -еу2.
Выходную величину представим в виде элементов вектора Х0, где -диагональная матрица, в диагонали которой находятся единицы в тех строках, номера которых равны номерам узлов выходных характеристик, а остальные элементы
1 * — с»
равны нулю. а - определяет номер элемента вектора Х, являющегося выходной характеристикой Г при измененных параметрах: Г0 = ё*Х0 Г = ё*Х.
Обозначим [С0^ + G0] = А0(^), при этом Ауу = + Gij.Тогда при изменении параметров можно записать [3]:
А0 X + РС8МХ + Р^М1 = 7, (1) _ где Рс =^0^ Рс 2 ,.",> Рст 1 <2с АЧс^ Чс 2 ,..., Чет 1 = LРg1, Р* 2,..., Р*т 1 ^ = [Чg1, Ч* 2,..., Ч *т ], Х -вектор решения при измененных параметрах, 8С,дг - диагональные матрицы (тхт)
изменений параметров.
Матрицы Рс, Qc, Pg, Qg содержат информацию об адресах и знаках внесения
параметров элементов в матрицу А0, имеют размерность п х т и содержат нули и ± 1.
Обозначим ёс = @СХ, гс , = , г* = .
Уравнение (1) представим в виде системы уравнений:
А0 X+РС1С + = 7,
ёс - 2с = 0,
№ - ^ = 0 (2)
- QtcX + ёс = 0,
- + = 0_ _
Подставив Х = А0-17 - А^[Рсгс - из (1) в систему (2) и исключив из нее
путем подстановки и ёс, получим систему уравнений макромодели:
+ / + 3-^) = г;, (3)
/ = / - г 2 - г 2
Г Г0 ^g/^g■^
где:
рс = &л?рс, / = &Я4Р, = бЯ-1^^, = , г; = 0Я-1г, г; = QgA0-1F, гс = ё'Л-1Рс, ^ = , / = Ы'л-1Т.
В системе уравнений (3) матрицы Ес,/,,/ имеют размерность (тхда), а векторы, У^ , 2с, zg и строки гс, ^ размерность т .
Для того, чтобы в выражении для / сохранить аналитическую зависимость от ^, вычисление Л0-1 производится по известному методу Н.И. Борисова [4], основанному на вычислении собственных значений Я1,...,Яп матрицы Л0 = С01 + G0 и всех ее правых В = [д,...,Вп] и левых ИТ = \и1,...,Ип] собственных векторов, связанных условием нормировки иТ О0В=Е , где Е - (п х п) единичная матрица. В
Т
0
результате матрица Л- = B[Ds + Е]-1 Иt, где Б = diag (-Л-1,...,^-1).
Таким образом, вычислив один раз Л-1 в виде аналитической зависимости от ^, и подставив в систему (3), имеющую размерность (т х т), можно вычислять выходную характеристику / на различных со при больших изменениях т параметров.
Оценка предлагаемого метода произведена из сравнения вычислительных затрат на формирование макромодели (Тмм), вычисления выходной характеристики по исходной системе с симметричной положительно определенной матрицей коэффициентов (Трм ) и полученной макромодели (Трмм.):
Тмм » 4п3 + п2 +— п3 + 8п3 + 1(5п4 + 2п3) + п3 + 12тп + 3п + 2т,
мм ~ у л \ У ?
3 6 4
Т » 7п2 + 4п3,
р. м. 3 >
2
Т т(8т2 + 18т +1) + 2т2 + т.
р.мм. 3
Вычислительные затраты определялись в вещественных мультипликативных операциях. Из анализа приведенных выражений установлено, что при т/п = 0.1 сокращение трудоемкости вычислений по макромодели Трм / Трмм будет не менее
двух порядков, а построение макромодели оправдано, если надо сделать более десяти шагов оптимизации. Так, например, при т = 20, п = 1000, количестве частотных точек -100, количестве циклов оптимизации - 100, время решения при использовании макромоделирования (с учетом трудоемкости построения макромодели) уменьшилось в 42 раза по сравнению с решением при использовании полной модели.
Критерием оптимальности при перестановке мест крепления является минимум максимальной перегрузки на ЭРИ ЭК в заданном частотном диапазоне вибрации.
Алгоритм оптимизации расположения мест крепления ПУ ЭК состоит из следующих этапов:
1. ввод исходных данных с описанием конструкции, начальным и разрешенным расположением мест крепления, параметров внешних вибрационных воздействий;
2. построение макромодели колебаний конструкции в частотной области;
3. организация перестановки мест крепления, вычисление АЧХ по макромодели и критерия оптимальности при каждой перестановке, запоминание уменьшенного критерия оптимальности и соответствующего ему варианта перестановки;
4. вывод результатов.
Список литературы
1. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике: Пер.с англ. - М.: Мир, 1975. - 541с.
2. Влах И., Сингхал К. "Машинные методы анализа и проектирования электронных схем". Пер с англ.-М.: Радио и связь, 1988.-560 с.
3. Кожевников А.М. Методы оптимального проектирования бортовых радиоэлектронных средств на основе моделирования их электрических, тепловых и механических режимов" Методы оптимального проектирования бортовых радиоэлектронных средств на основе моделирования их электрических, тепловых и механических режимов/ Дисс. докт. техн. наук. - М.: МИЭМ, 2005. - 261с.
4. Борисов Н.И. Исследование и разработка методов снижения размерности и трудоемкости задач анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем на основе макромоделирования в САПР / Дисс. докт. техн. наук. - М.: МИЭМ, 1996. - 207с.
