CC BY
56
УДК 621.81.002.73
В. В. Микитянский, Л. М. Микитянская
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СТАНОЧНЫХ ПРИСПОСОБЛЕНИЙ ПО ТОЧНОСТНЫМ КРИТЕРИЯМ
Одним из основных элементов технологической системы является станочное приспособление (СП), которое оказывает значительное влияние на качество и производительность обработки деталей, режимы резания, затраты вспомогательного времени, жесткость и виброустойчивость всей технологической системы. Особая роль приспособлений заключена в их влиянии на точность обработки.
В зависимости от назначения приспособления, условий его работы и характера выполняемой технологической операции оценку его точности можно проводить по различным критериям, которые следует классифицировать как статические и динамические показатели точности. Метод оптимизации будет зависеть от критериев, положенных в основу оценки точности приспособления.
К статическим показателям точности относят весь комплекс погрешностей, влияющих на положение установленной для обработки заготовки, возникающих в момент установки и ее закрепления до начала процесса резания. Статические показатели точности определяются выбранной схемой СП, способом базирования, методом приложения и величиной сил зажима, жесткостью конструкций и контактной жесткостью стыков отдельных элементов, точностью изготовления основных функциональных деталей, точностью их сборки и установки СП на станке по отношению к режущему инструменту, наконец, износом установленных элементов [1-4].
В связи с тем, что большинство перечисленных показателей статической точности носит вероятностный характер, оценку точности по ним можно вести по математическому ожиданию либо по дисперсии статической погрешности.
К динамическим относят погрешности, возникающие в СП непосредственно в период выполнения процесса резания. Поэтому динамические показатели точности определяются динамическими параметрами конструкций и внешними воздействиями, такими как характер и величина сил резания, колебания технологической системы и др. Следовательно, динамическую точность СП можно характеризовать длительностью переходных процессов при возникновении колебаний в моменты врезания и выхода режущего инструмента, а также при прерывистом резании. Известно, что длительность переходных процессов полностью определяется жесткостью и демпфирующими способностями конструкций. Динамическую точность можно также характеризовать устойчивостью рассматриваемой конструкции СП, а также амплитудной фазой частотной характеристики передаточной функции.
При использовании САПР и ЭВМ появляется возможность анализа точности предлагаемой схемы СП и ее оптимизации по любому из критериев точности.
Рассматривая любое типичное СП для установки и закрепления заготовок, можно выделить систему внутренних (дг) и внешних (Д) параметров, определяющих в совокупности положение заготовки в пространстве.
Точность получаемого параметра обработки (размер, отклонения формы, относительные расположения поверхностей) устанавливают суммированием погрешностей, определяемым их природой.
На основе анализа структурной схемы СП и воздействия факторов исследуемый параметр точности установки обрабатываемой детали (у) представляет собой функцию нескольких переменных, зависящих от воздействия внутренних параметров (х, д2, ■■■ Цт) и внешних (Дь Д2, ... Дк). К внутренним параметрам мы относим геометрическое соотношение структурной схемы: контактную жесткость в стыках, точность изготовления функциональных элементов, зазоры, силы трения в подвижных соединениях и др.; к внешним - силы закрепления, силы резания, температурные деформации, моменты и силы инерции, вибрации и т. п.
Анализ воздействия всех факторов на параметр (у) и статистическая обработка позволили получить уравнение для определения суммарной погрешности (Ду) в виде [3]:
где х - заданный точностный параметр обработки; /0 (х) - идеальная характеристика приспо-
собления;
( ду}
дд,
частная производная для номинального значения определяющих параметров
1 У 0
конструкций СП; ■ = Ддг- - Ддг-0 - отклонение параметров конструкций приспособлений (дг)
при воздействии внешних факторов (^).
При этом были сделаны следующие допущения: система признана линейной, что для СП вполне корректно; отклонения параметров малы и взаимно независимы; произведениями погрешностей в силу их малости пренебрегаем, функцию у = f (х) в окрестности номинальных значений параметров раскладываем в ряд Тейлора и ограничиваемся учетом только погрешностей первой степени.
Выполнив эту предварительную обработку и получив уравнение (1), можно подойти к оптимизации его по критерию минимума математического ожидания погрешности СП. При этом стало возможным либо полностью скомпенсировать, либо свести к минимуму статистическую погрешность СП.
Условие полной компенсации систематических погрешностей можно получить из уравнения (1), если перейти от текущих значений случайных величин к их математическим ожиданиям и приравнять к нулю математическое ожидание общей погрешности СП:
М[є]=М[/(хд^... дт)]-^(х) + Ё
+
Ё М
0 і=1
дд,
М Г ду ^
д, со 0 _
М (Ад,)
+
. ді.
V 3
(2)
Если параметры СП выбрать так, что условие (2) выполняется при всех значениях х и всех значениях Д^.(у = 1... к), то компенсация является полной.
Реализовать условие (2) возможно двумя путями:
1) выбором параметров исходной конструкции, определяющих значения дь д2, ... дт, и коэффициентов влияния отдельных конструктивных элементов, выраженных частными производными (ду/дд, )о и (^дг/)0;
2) введением конструкций дополнительных элементов - компенсаторов, позволяющих производить регулировку точности приспособления.
Во многих практических случаях условие полной компенсации погрешностей СП (2) оказывается нереализованным. В таких случаях возможна минимизация систематических погрешностей путем выбора оптимальных параметров СП и коэффициентов их влияния.
Рассмотрим в качестве примера способ интегральных критериев при минимизации погрешности базирования, математическое ожидание которой
м\ч] =м\/(хдl,д2, ..., дт)]-/о(х). (3)
В общем случае М \еб ] зависит от получаемой величины (х), и поэтому необходимо выбрать некоторый интегральный критерий, позволяющий одним числом оценить систематическую погрешность для размера (х). Таким критерием может служить интеграл квадрата погрешности при получении размера (х) в пределах допуска.
Г" М [Єб К <ъ.
•>хшт
Заменяя М [єб ] по формуле (3), получим
(4)
її = {”“М[/(х, gl, д2, •, дт)]}Л.
•’-Хшп
0
В этом случае задача оптимизации (минимизация систематической погрешности) сводится к определению оптимальных значений параметров (д1, д2, ... дт), при которых интеграл 11 имеет минимум.
Покажем применение метода интегральных оценок на примере делительного приспособления (рис.), предназначенного для фиксации поворотного устройства, в котором расстояние между фиксаторами 5” преобразуется в угловое перемещение а.
Пусть заданной характеристикой этого устройства является линейная зависимость
а0 = а1 + kS.
где k - заданное передаточное отношение.
Фактическая характеристика поворотного устройства отличается от заданной (5):
(5)
а = аг^| ^ + tgal |,
где R - радиус механизма; а1 - начальный угол установки поворотного диска.
Математическое ожидание для характеристики а выразится следующим образом:
М [а] = агС£
(
S
— + ї§аїо
V ^о
/
где R0 и а10 - номинальное значения R и а1
Математическое ожидание систематической погрешности запишем в виде
М [А а] = М [а] - а0 = агС£
(
\
~^ + tgalо
V Rо
— аю — kS .
Интеграл квадрата погрешности в диапазоне 8 от 0 до 8шах составит:
е
шах ї =1
аrctg
8
— + ^аї Rо
— аю — kS
.
Далее определяются оптимальные значения R и а10, отвечающие минимуму 11.
Для интегральной оценки систематической погрешности СП вместо интеграла квадрата погрешности (4) может быть использован интеграл модуля этой погрешности.
ї2 =
Лшах
|хШ“М[єб]А = |М[/(х,дl,д2,... дт)]—/0№х.
2
х
Минимизация систематических погрешностей на основе интегральных критериев в случае сложных конструкций СП требует применения ЭВМ.
При нелинейной зависимости М[Ду] от х и упрощение задания параметров для выполнения условия (2) может быть достигнуто путем линеаризации выражения М [Ду ], поэтому необходимо оценить величину остаточных погрешностей, обусловленных переходом от нелинейной функции М [Ду ] к линейной.
Задача оптимизации параметров приспособлений может быть поставлена и решена для случайных погрешностей, значения которых весьма значительны. Эта задача может быть выполнена по критерию минимума дисперсии случайной погрешности. В качестве критерия погрешности для оценки величины случайной погрешности приспособления принята дисперсия приведенной случайной погрешности выходной величины (у).
Задача может быть сформулирована следующим образом: необходимо так распределить чувствительности элементов, входящих в структурную схему СП (при заданной общей чувствительности), чтобы дисперсия случайной погрешности выходной величины была минимальной.
Предполагается, что известны дисперсии D1, D2, ... Dn приведенных относительных случайных погрешностей элементов СП. Если погрешности элементов взаимно независимы, то дисперсия приведенной случайной погрешности СП выразится следующим образом:
N
D = £ Dl . (6)
i=1
Входящий в уравнение (6) коэффициент влияния /-го элемента щ является функцией чувствительности структурной схемы.
-85 5/
щ 85г' 5 , ()
где 5 - чувствительность конструкций как сумма чувствительностей отдельных элементов 5. Подставляя выражение (6) в (7), получим
D = ]Г (—
61 ^ у
Dг . (8)
Общая чувствительность также является функцией чувствительности всех элементов.
5 = /(51,5?, ... 5N).
Если общая чувствительность СП задана (5), то
Ф = 5-/5,5?, ... 5N) = 0. (9)
Задача минимизации случайных погрешностей СП сводится к определению относительного минимума дисперсий (D) с учетом добавочного условия (9). Эта задача решается методом Лагранжа в следующем порядке.
Составляется новая функция из уравнений (8) и (9):
N ( 5 V
Е = D + XФ = Е(д-• Dг + X5-/(51,5?,... 5N), (10)
где X - неопределенный множитель.
Далее, путем дифференцирования выражения (10) определяются и приравниваются к нулю частные производные:
8Е 8Е 8Е
— = 0; — = 0; — = 0. (11)
д51 852 85ы
Полученные N уравнений (11) вместе с добавочным условием (9) дают систему (Ы + 1) уравнений, из которых исключается параметр X и находятся оптимальные значения чувствительности элементов (узлов) 51опт52опт ... 5Ыопт, отвечающих относительному минимуму дисперсии. Затем определяются минимальные значения D путем подстановки в уравнение (8) оптимальных значений 5гопт.
Выводы
Вся совокупность рассмотренных параметров точности СП позволяет сформулировать основные направления оптимизации их конструкции по различным частным и комплексным критериям.
Предлагаемая теория оптимизации конструкций приспособлений по различным критериям точности в таком виде излагается впервые и требует дальнейшей проработки, однако уже сейчас очевидно, что возможности ее применения с использованием ЭВМ будут увеличиваться с развитием САПР приспособлений.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Микитянский В. В. Точность приспособлений в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1984. - 128 с.
2. Корсаков В. С. Основы конструирования приспособлений: Учеб. для вузов. - М.: Машиностроение, 1983. - 277 с.
3. Ильицкий В. Б., Микитянский В. В., Сердюк Л. М. Станочные приспособления конструкторско-технологического обеспечения эксплуатационных свойств. - М.: Машиностроение, 1989. - 208 с.
4. Микитянский В. В. Погрешность положений заготовок: Учеб. пособие. - М.: Машиностроение, 1987. - 36 с.
Статья поступила в редакцию 11.12.2006
OPTIMISATION OF PARAMETERS OF MACHINE ACCESSORIES BY PRESICION CRITERIA
V. V. Mikityanski, L. M. Mikityanskaya
The specific function of the accessories is to influence working accuracy. According to the type of machine accessories, their working conditions and the mode of technological operation the estimation of accuracy can be made by different criteria, which should be classified as static and dynamic accuracy indices. The method of optimization will depend on the criteria put into the accuracy basis.
Key words: machine accessories, accuracy, precision criteria, influence coefficient, systematic inaccuracy, dynamic error, optimization.
