Анализ динамической точности станочных приспособлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА МАШИН

УДК 621.01.001

В. В. Микитянский, Л. М. Микитянская Астраханский государственный технический университет

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СТАНОЧНЫХ ПРИСПОСОБЛЕНИЙ

Введение

Одной из важных проблем при проектировании точных приспособлений является проблема расчета динамической точности, т. е. величин, характеризующих погрешности установки, вызванные динамическими явлениями как в системе, так и в конструкции самого приспособления, которые имеют столь многообразные конструктивные формы, что среди них с небольшим приближением можно выделить большой класс линейных систем, поддающихся простому расчету.

Известно, что свойства линейной системы полностью характеризуются импульсной переходной функцией к(т) или передаточной функцией Ф(р), которые связаны между собой преобразованием Лапласа [1]:

ф( р) = | к (ф - р^т. (1)

0

В связи с этим функции к(т) и Ф (р) можно рассматривать как динамические характеристики приспособлений. Однако величина динамической погрешности существенно зависит от входного сигнала (х), и в зависимости от свойств последнего используются различные подходы к ее определению.

Расчет динамической погрешности при детерминированных воздействиях

На практике среди комплекса возмущающих параметров могут быть такие, которые достаточно точно описываются некоторыми детерминированными функциями времени и характеризуют наиболее типичные или наиболее неблагоприятные условия работы приспособлений. Детерминированными воздействиями могут быть переходные процессы при резании, известные условия самовозбуждения станков, регенерация колебаний по следу и т. д., которые в настоящее время достаточно подробно исследованы и для которых получены вполне определенные зависимости.

Динамическая точность в данном случае будет характеризоваться способностью приспособлений передавать известный входной сигнал на выход с динамической погрешностью

Един = х({) - y(t),

где х(t) - входная величина; у(^ - выходная величина; един - динамическая погрешность.

При этом предполагается передача «один к одному», т. е. при передаточной функции равной единице.

При произвольном операторе Н(р) динамическая погрешность

Един = Н(Р) • Х^) - ) .

Выходной сигнал у(^ выражается через сигнал и импульсную переходную функцию устройства с помощью интеграла свертки

¥

у^) = | х^ - т) • к(т)йт .

0

Тогда выражение для динамической погрешности запишется в виде

е дин = х(t) - | х(t -т) • к (т)йт. (2)

0

Определение динамической погрешности сводится к вычислению интеграла свертки.

В том случае, если входная величина х(0 является многочленом степени г, она вычисляется сравнительно легко. Разложим величину х^ - т), стоящую под знаком интеграла, в ряд Тейлора:

/ ч /ч -/ч &&(t) 2 , ,ч г • хг (0 -тг

х • (t — т) — х(t) — х(0 •тч-• т +... + (—1) •---------------------. (3)

2! г!

Отметим, что разложение в ряд Тейлора содержит конечное число членов, поскольку, по предположению, х(0 - полином степени г, и все производные порядка выше, чем г, обращаются в нуль. Подставляя разложение (3) в формулу (2) и учитывая, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, а также вынося функции от параметра t за знаки интеграла, имеем

¥ ¥

един — х^) - х^) | к (т)Эт + Х^) | тк (т)Эт -

0 0

,г+1 ¥

|т2к(т)Эт +... + -(—)— |тгк(т)Эт .

2! 0 г! 0

Если ввести обозначения

Со = 1 -1 к (т)Эт;

0

С = | тк (т)Эт;

сг = (-1) г+' ] тгк (т)Эт,

то выражение для динамическом погрешности запишется в виде

един = Сох({) + С1Х({) + ••• + СГх{Г) (0 .

г!

Величины с0, сь с2, ..., су называются коэффициентами ошибок и вычисляются через передаточную функцию системы данного приспособления Ф(р). В самом деле, полагая в выражении (1) р = 0, имеем

¥

Ф(0) = |к(т)Л . Следовательно, с0 = 1 - Ф(0).

о

Дифференцируя далее выражение (1) по р и полагая р = 0, получаем

аФ( р)

с =-

р=0

Последующее дифференцирование выражения (1) позволяет получать все коэффициенты ошибок. Общая формула для коэффициента ошибок будет иметь вид

_ й (0[1 -Ф(р)]

р=0

0

0

Расчет динамической погрешности при воздействиях, ограниченных по модулю

Сведений о возмущениях, действующих на приспособления, очень мало. В связи с этим приходится основываться на единственном предположении относительно возмущающих воздействий, которое заключается в том, что эти воздействия ограничены по модулю.

Ограниченные по модулю воздействия могут быть разделены на опасные и неопасные. К опасным относятся воздействия, вызывающие рост ошибок на выходе приспособления. При этом, естественно, возникает задача определить наиболее опасное воздействие, вызывающее наибольшее отклонение на выходе, и величину этого отклонения.

Математически задача ставится следующим образом. Пусть 11^) | < Ь. Требуется найти такое г(/), при котором величина у(0, определяемая интегралом свертки

у(Г) = ¡?( -т)к(т)Л (4)

0

будет максимальной. Это максимально возможное отклонение будет достигаться при таком возмущающем сигнале z(t), при котором величина 2(t -т) будет равна Ь.

Таким образом,

t

УтхС) = Ь/Iк(Щ .

0

Кривая зависимости утах(0 носит название кривой накопления Булгакова. Эта кривая может быть легко построена, если известна кривая переходного процесса и^); поскольку к(т) = du(т)/^т, то отсюда сразу следует способ построения кривой накопления. На участке 0 - т кривая накопления совпадает с кривой переходного процесса (рис. 1), где АВ' - зеркальное отображение АВ кривой переходного процесса; В’С’ - кривая, полученная путем параллельного переноса участка ВС, и т. д.

Рис. 1. Кривая накопления отклонений (кривая Булгакова)

Построенная кривая характеризует рост максимально возможного накопленного отклонения в зависимости от времени. Отсюда следует, что чем больше колебательность процесса, тем больше тенденция приспособления к накоплению погрешностей.

Расчет динамических погрешностей при случайных воздействиях

В практике эксплуатации приспособлений наиболее частым является случай, когда возмущения, действующие на приспособления, таковы, что по характеру протекания процесса невозможно предсказать их значения в последующие промежутки времени, т. е. возмущения являются случайными.

В таком случае динамическая погрешность системы в каждый момент времени будет случайной величиной. В качестве показателя динамической точности при этом используется среднее значение некоторой функции Q\x(t), у(0], которая носит название функции потерь.

Наиболее распространенная - квадратичная функция потерь. Другими словами, динамическая точность характеризуется величиной средней квадратической ошибки.

Исследования динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, сложились как отдельное направление под названием статистической динамики. Не излагая здесь теорию, покажем лишь простейший случай определения средней квадратической ошибки на выходе приспособления, когда возмущения являются случайными эргодиче-скими процессами.

Пусть на приспособление поступает сигнал, постоянно действующий при резании (сила резания), который назовем полезным сигналом т(0, и возмущающие помехи (вибрации, колебания от переходного процесса и т. д.), которые обозначим п(1). Тогда динамическая погрешность приспособлений запишется в виде

¥ ¥

един = - 0) • к(0^0 - /п^ - 0) • /(0^0,

о о

где /(0) - импульсная переходная функция по отношению к помехе.

Вводя обозначения ке(0) = к(0) - 5(0), где 5(0) - дельта-функция, выражение для динамической погрешности запишем как

¥¥ едан ^) = -/ ш^ - 0) • ке (0^0 - /п^ - 0) • /(0)d0 . (5)

о о

Корреляционная функция погрешности определяется согласно формуле Яе (0 = М\едИН ^) е^ + т)].

Подставляя в эту формулу значение един(0 из выражения (5) и взяв преобразование Фурье от его обеих частей, получим выражение для спектральной плотности погрешности

. .2 | |2 se (ю) = |фе (/ю)| • sm (ю) + |ф(7Ю)| • sm (ю) + Фе (/ю) • smn (ю) Ф(/ю) +

+ Фе(/ю) • Smn • ф(/ю),

где Фе (/ю) = 1 -Ф(/ю) - передаточная функция по погрешности; ф(/ю)-передаточная функция по возмущению.

Поскольку

1 +¥

2 1 *

С = Я (0) = — ] ^ (ю)йю, 2-

-¥

выражение для дисперсии погрешности имеет вид

С = 2~ I (Фе (/ю)|2 • (ю) + |ф(/ю)|2 • Sn (ю) +

— -¥

+ Фе (/ю) • 5шпФ(/ю) + Фе (/ю) • 8шп (ю) • ф(/ю))^ю.

Если предположить, что полезный сигнал и помеха не коррелирова-ны, то выражение для дисперсии погрешности будет иметь вид

с2 = — | (1 - Ф(/ю)|2 • (ю) + |Ф(/ю)|2 • ъп (ю)) йю. (6)

2— -¥

Из этого выражения следует очень важное заключение: для уменьшения погрешностей от полезной составляющей (5ш) необходимо передаточную функцию приспособлений приближать к единице, а для уменьшения погрешности, вызванной помехой (5п), передаточную функцию в полосе частот, где действует помеха, необходимо приближать к нулю. Требования к динамическому качеству приспособления, т. е. к его передаточной функции, противоречивы. Отсюда и возникает постановка задачи синтеза оптимальных конструкций, которая будет рассмотрена ниже.

Большой класс приспособлений несет в составе своей конструкции нелинейные узлы или отдельные элементы. Это всевозможные пружины, гидро- и пневмоусилители, упругие лепестки (в цанговых патронах и разжимных оправках), зазоры и муфты, элементы сухого трения, делающие динамическую систему приспособления нелинейной системой, которая описывается нелинейными дифференциальными уравнениями \2, 3].

Известно, что стремление уменьшить динамическую погрешность, т. е. увеличить точность и быстродействие в таких системах, приводит к появлению автоколебаний. В связи с этим задача исследования динамической точности сводится к определению границы автоколебательных режимов. Особенностью приспособлений является сравнительно невысокий порядок дифференциальных уравнений и наличие нескольких нелинейностей, которые необходимо учитывать при анализе динамической точности.

Все системы рассматриваемых приспособлений можно разделить на одно- и двухкаскадные динамические системы, которые допускают точные методы исследования. Для них оказывается возможным определить не только границы автоколебаний, но и отыскать условия устойчивости.

И все же методы анализа нелинейных систем остаются еще достаточно сложными и носят в основном чисто теоретический характер, в практике проектирования приспособлений использовать их не представляется возможным.

Расчет динамической погрешности, вызванной изменением параметров приспособлений

При эксплуатации приспособлений в производственных условиях имеет место изменение параметров, существенно влияющих на динамические характеристики приспособлений и их точность. Изменяться могут такие параметры состояния элементов приспособлений и состояния их поверхностей, как температура, условия трения (наличие стружки, абразивной пыли, смазочно-охлаждающей жидкости и др.), параметры контактной жесткости вследствие износа элементов, параметры упругости и демпфирующих свойств поверхностей сопряжения. Как реакцию на указанные изменения можно рассматривать изменения динамических и точностных характеристик приспособления.

Расчеты дополнительных погрешностей, вызванных случайными изменениями параметров во времени, могут быть выполнены с помощью методов теории чувствительности, в котором функция чувствительности характеризует влияние отклонения параметров системы на изменение выходной величины.

Предположим, при заданных значениях параметров (номинальных) выходная величина системы равна у0(0. Если один из параметров системы отклоняется от своего номинального значения на величину в, то выходная величина будет функцией р. Обозначив значение выходной величины в виде функции у(^ в), последнюю можно разложить в ряд Тейлора по параметру Р:

У(* ,Р) = У0 (*) + Эу(^ Р)

эр

+ Э у^,р)

р=0

эр

Р2

•^- +.... (7)

2

р=0

Коэффициент при первой степени в носит название функции чувствительности, которую обозначим через s(t):

8 (t) = I

у } й р |р-0

Для определения функции чувствительности системы нет необходимости определять реакцию системы у(^ Р), а затем дифференцировать её по параметру в. Они могут быть определены непосредственно по уравнениям чувствительности.

Для линейных систем достаточно эффективно можно применить преобразования Лапласа.

Пусть Ф(р, Р) - передаточная функция динамической системы приспособления, у которого один из параметров имеет отклонение от номинального значения на величину Р. Тогда преобразование Лапласа выходной величины системы (У запишется следующим образом:

У(р, Р) = Ф(р, Р) • X(р),

где X (p) - преобразование Лапласа входной величины.

Выходная величина системы определяется как

у(и Р)=Х-1|Ф( p, Р) X (p)}.

Дифференцируя последнее равенство по Р и приравнивая Р к нулю, получаем соответствующие значения функции чувствительности:

=1 (ЭФ!^

L I ЭР

Р=0

Э 2Ф( p, Р)

ЭР2

X (p),

X (p).

(8)

Р=0

Для примера определим функцию чувствительности первого порядка для апериодического элемента приспособления (например, стыки в сопряжениях опора-деталь, корпус приспособления-стол станка и др.). Постоянная времени таких сопряжений может существенно отклоняться от своего номинального значения при изменениях условий эксплуатации. Передаточная функция такой системы имеет вид

Ф( P, Р) =

1

(Г + Р) • p +1'

Предположим, что входная величина является единичной ступенчатой функцией, тогда

х( p) = p 1.

При этом выходная величина при номинальном значении постоянной времени определится как

__1_

Уо(t) = 1 -е Г . (9)

Функция чувствительности, согласно выражению (9), определится соответственно

•(у) = L 1 •

Э

1

ЭР (Г + Р) • p +1

• p

-1

Р=о

= 17

1

Г +1)2

t

t

= -•е Г. Г

Соответственно, выходная величина данной динамической системы с погрешностью, вызванной изменением постоянной времени, запишется в виде

1

у(і,р) = Уо (і) + ) = 1 - | 1 + т * р

і

т

Для практического использования подобных расчетов интерес представляет задача определения функции чувствительности систем, заданных не дифференциальными уравнениями, а структурной схемой всей конструкции и передаточной функцией отдельных узлов и элементов.

Рассмотрим динамическую систему приспособления, у которого в качестве зажимного устройства может быть использован широко применяемый пневмогидроусилитель. Предположим далее, что коэффициент усиления может иметь отклонения от номинального значения Ао на величину в, вызывая колебания в системе и погрешности динамического характера.

На рис. 2 изображена структурная схема приспособления, где условным прямоугольником изображена вся система с элементом Ао, который может случайным образом изменяться и вместо функции усиления р(ґ) выдавать новую функцию и(і) = вР(і), в которой в - отклонения от номинального значения.

Для схемы на рис. 2 можно записать два следующих уравнения:

\У (Р,р) = Ф х (р) X (р) + рф х (р)р (р,р); |/ (р, р) = Ф р (р) X (р) + рФ р (р)р (р, р),

(10)

где Р(p, Р) - преобразование усилий зажима под действием случайной погрешности Р; Фхр - передаточные функции, связывающие различные точки системы, имеющие номинальные значения параметров.

Рис. 2. Структурная схема приспособления со случайным изменением параметра Ао

Из уравнения (10) находим

е

у (л Р)=ф х (p) х (p)+РФ х< ^ ^(p).

1 -РФ р (p)

Дифференцируя последнее выражение по в и приравнивая в к нулю, определяем преобразование Лапласа для функции чувствительности:

* Р)=ЭУ (лР)

Ф х ( P)Ф Р ( P) Х ( P)

ЭР

* 2( P) = Э2М

ЭР2

Р=0 [1 'РФ р (p)]

= 2Фр (p)ф х (p)фРх (P)х(P)

Р=о [1 -РФ хР (P)]3

= ФР (P)Ф х (P)X(P),

Р=о

Р=о

= 2Ф р (p)ф х (p)Ф Рх (p) X (p) X (p).

Преобразование Лапласа выходной величины через функцию чувствительности записывается в виде

2 Р2

У(p,а) = 7о(P) + *(P)Р + * (P)^ +...

Методика теории чувствительности может быть применена для приближенного анализа динамической точности систем при случайно изменяющихся параметрах. Так, для динамических систем с изменяющимися параметрами значение выходной величины у(0 приближенно может быть представлено через функцию чувствительности первого порядка в виде

2

у(() = у0(0 +в'*(^). Если в - случайная величина с дисперсией О р , то

дисперсия составляющей динамической погрешности, вызванной изменением параметра, очевидно, определится по формуле

О? (О =о

(о=о2 [*(^ )]2.

Правда, в данном случае теория чувствительности позволяет получить лишь приближенное решение, когда дисперсия изменяющихся параметров достаточно мала.

Выводы

Из общего теоретического анализа точности приспособлений как автономных узлов технологической системы, следуют выводы:

1. Общие методы расчетов точности приспособлений позволяют оценивать их погрешности независимо от конструктивных решений -только на базе теоретико-вероятностных оценок предельных погрешностей и на теории определения динамического качества.

2. Развитие исследований с целью определения статической погрешности приспособлений представляется в углублении общего метода

расчета уравнения точности по линии его строгой математической обработки с использованием вероятностных оценок для каждой составляющей.

3. Численная оценка динамической точности приспособлений представляет пока трудную задачу, однако показаны пути формализации таких расчетов, основанные на анализе передаточной функции приспособления и свойств возмущающих воздействий.

4. Теоретические расчеты динамических погрешностей выполнены для различных характеристик возмущающих воздействий, а именно: при детерминированных воздействиях, при воздействиях, ограниченных по модулю, при случайных воздействиях, при изменении параметров приспособления.

5. Расчеты динамических погрешностей предлагается выполнять с помощью методов теории чувствительности, в которых функции чувствительности характеризуют влияние отклонения параметров системы на изменение выходной величины (погрешности приспособления).

6. Такой теоретический подход к анализу точности станочных приспособлений реализуется впервые, и его применение на практике требует инженерной проработки, однако предложенная теория точности приспособлений впервые позволяет выйти на строгий формализованный уровень для широкого использования ЭВМ в точных и глубоких расчетах.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Браславский Д. А. и др. Точность измерительных устройств: Справ. - М.: Машиностроение, 1998. - 310 с.

2. Корсаков В. С. Основы конструирования станочных приспособлений. - М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.

3. Микитянский В. В. и др. Станочные приспособления. Конструкторско-технологические свойства. - М.: Машиностроение, 1990.

ANALYSIS OF DYNAMIC PRECISION OF MACHINE PARTS

V. V. Mikityansky, L. M. Mikityanskaya

Theoretical analysis of dynamic precision of machines as single units of any processing system has been considered, so that their errors can be estimated independently - only on the base of theoretical evaluating limiting errors regarding dynamic parameters of the process. There has been developed analysis of dynamic errors under perturbation effect of different type: deterministic, limited in module, random and with changed parameters of machine. The developed mathematical apparatus provides exact formalized level widely usable for computation of dynamic precision of machine parts.