CC BY
51
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015 г. Выпуск 2 (37). С. 27-32
УДК
532.529:541.182
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛАВАЮЩИХ ОРГАНИЗМОВ
С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-41-00077
1. Введение
Моделирование плавания организмов в жидкости является актуальной задачей, как для биомеханики, так и различных приложений, с точки зрения конструирования современных технических устройств, использующих в своей работе принципы плавания организмов. Это касается моделирования плавания, как макро, так и микроорганизмов. Причем последнее представляет интерес также и с точки зрения управления внешними полями движением в жидкости деформируемых агрегатов мелких частиц. Примерными задачами практических приложений такого моделирования являются: создание новых типов гидродинамических движителей и гидродинамических насосов, использующих в своей конструкции принципы плавания организмов; создание жидких дисперсных систем, течением которых можно управлять за счет приведения их в движение в результате деформации формы каким-либо внешним воздействием содержащихся в них агрегатов мелких частиц; создание микро-аппаратов, использующих принципы движения микроорганизмов, для обследования сосудов и органов человека.
Моделирование плавания микроорганизмов в жидкости представляет интерес так же для биологии, бактериологии, медицины. Известно достаточно много микроорганизмов, обитающих как в природной среде, так и в пищеварительных, кровеносных, половых каналах человека и животных. Поэтому моделирование их движения позволяет разрабатывать методы воздействия, предотвращающие или затрудняющие их проникновение в организм человека или какую-либо его область.
Имеющиеся в литературе модели плавания макро и микроорганизмов рассматривают деформацию тел, имитирующих реальные движения того или иного организма, с целью получить в результате перемещение тела в заданном направлении. Сложность рассматриваемой задачи заключается в том, что жидкость - организм образуют систему, в которой за счет действия внутренних сил и моментов организма формируется такое течение жидкости, которое приводит сам организм в поступательное движение относительно жидкости. Причем, как во всякой системе, суммы внутренних сил и их моментов должны равняться нулю. Имеющиеся в литературе модели фактически не дают ответа на вопрос, каким же образом деформациями сформировать течение в жидкости вне организма, чтобы возникла движущаяся сила. Например, известная модель волнообразной деформации тела, имитирующей движение жгутиковых и рыб, в главном приближении дает нулевую силу, действующую в направлении предполагаемого движения организмов [1]. Кроме того, при моделировании необходимо учитывать гидродинамическое взаимодействие частей организма при его движении, что само по себе представляет сложную задачу. Опубликованные в последние годы работы по моделированию плавания организмов [2-5] связаны, главным образом, с практической реализацией движения на основе аналогового принципа и дают качественную картину. Количественная оценка динамики модели микроорганизма дается без учета главных факторов, влияющих на его динамику, в первую очередь это гидродинамическое взаимодействие частей модели.
Авторы предлагают подход к моделированию плавания организмов, учитывающий гидродинамическое взаимодействие его частей. Он заключается в определении течения, формирование которого приводит реальный организм в движение, и моделирование таких относительных перемещений его составных частей, которые и создают это необходимое течение. При этом учитывается гидродинамическое взаимодействие всех частей модели. Ниже приводится
27
С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач
модельные примеры такого подхода на основе полученных ранее результатов по моделированию динамики разного рода агрегатов с учетом гидродинамического взаимодействия.
2. Модель
Как показывает анализ движения плавающих организмов [2-5], в большинстве случаев это происходит в результате создания в окружающей жидкости вихревого течения (рис. 1). Такого рода течения образуется при плавании различных организмов и создается движениями каких-либо частей этого организма.
В качестве модельного примера рассматривается модель плавающего агрегата, состоящего из сферических частиц, соединенных между собой стержнями. Часть частиц моделируют тело организма и на них наложены связи, препятствующие их вращению, а некоторые частицы моделируют двигательный аппарат организма и они могут свободно вращаться вокруг любой оси, проходящей через их центр. К таким частицам приложены моменты, сумма которых равна нулю, что моделирует свойство внутренних моментов системы. Под действием внутренних моментов частицы, моделирующих двигательный аппарат организма, вращаются с угловыми скоростями, что создает вихревое течение в окружающей жидкости, заставляющее всю систему частиц поступательно перемещается в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой находятся векторы внутренних моментов. Меняя направление приложенных моментов, можно изменять вихревое течение жидкости вокруг системы частиц и тем самым направление перемещения всей системы. При этом учитывается гидродинамическое взаимодействие всех частиц системы с использованием результатов работ [6-8].
Рисунок 1
Ниже представлены результаты по моделированию динамики плавания различных агрегатов в вязкой жидкости за счет действия внутренних моментов структуры.
3. Результаты численного моделирования
1. Первый модельный пример. Рассмотрим структуру из пяти сферических частиц, соединенных между собой стержнями (рис. 2). Три частицы A, B и C моделируют тело, а частицы D и E - двигательный аппарат организма. Система частиц помещена в вязкую жидкость. К частицам D и E приложены равнее по величине и противоположные по направлению моменты Md и Me, под действием которых частицы D и E вращаются с угловыми скоростями (направление вращения указано стрелками внутри частиц) и создают вихревое течение в окружающей жидкости аналогичное течению на рис. 1. Динамика агрегата рассматривается в приближение малых чисел Рейнольдса. Расчеты показывают, что в результате созданного вихревого течения вся система перемещается в направлении, указанном стрелками на рисунке. Меняя направление приложенных моментов, можно изменять направление перемещения всей системы. При
28
Моделирование динамики плавающих организмов
расчетах учитывается гидродинамическое взаимодействие всех частиц системы [6-8]. При моделировании динамики агрегата задавались единичные значения радиусов частиц, их плотности и вязкости жидкости. Величина моментов считалась равной 10. Переход к реальным размерам системы и характеристикам жидкости осуществляется согласно работе [8].
Анализ полученных результатов моделирования динамики подобного рода систем частиц показывает, что при заданных моментах внутренних сил изменением числа частиц, моделирующих тело плавающего организма, размеров и геометрии соединения их между собой, увеличением частиц, имитирующих двигательный аппарат организма, можно увеличивать или уменьшать скорость перемещения всей системы.
2. Второй модельный пример. Рассмотрим структуру из шести сферических частиц, соединенных между собой стержнями (рис. 3).
К частицам D и E, B и A, C и F, попарно приложены моменты Md и Me, Mb и Ma, Mc и Mf, соответственно, равные по величине и противоположные по знаку. В результате действия моментов частицы вращаются, создавая вихревое течение в окружающей жидкости. Течение жидкости создает силу, которая деформирует структуру. На рис. 4 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов: Md = — Me = -1, Mb= — Ma = -5, Mc = — Mf =2.
29
С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач
В последней конфигурации меняем направление внутренних моментов, действующих на частицы B и A, на противоположные и рассчитываем динамику структуры. На рис. 5 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов:
MD = - ME = -1, MB = - MA = 5, MC = - MF =2.
В последней конфигурации меняем значения внутренних моментов, действующих на частицы D и E. На рис. 6 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов: Md = - Me = -1, Mb= - Ma= 5, Me = - Mf =5.
В последней конфигурации меняем значения и направления внутренних моментов, действующих на частицы D и E, и направления моментов, действующих на C и F. На рис. 7 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов:
Md = - Me = 1, Mb= - Ma= 5, Me = - Mf= -2.
В последней конфигурации меняем направление внутренних моментов, действующих на частицы B и A, на противоположные и рассчитываем динамику структуры. На рис. 8 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов:
Md = - Me= 1, Mb= - Ma= -5, Me = - Mf= -2.
30
Моделирование динамики плавающих организмов
В последней конфигурации меняем направление внутренних моментов, действующих на частицы C и F, на противоположные и рассчитываем динамику структуры. На рис. 9 приведены результаты численного моделирования при следующих значениях моментов:
Md = - Me = -1, Mb= - Ma= -5, Me = - Mf= -2
Как видно из результатов моделирования, внутренние моменты приводят во вращение частицы, которые создают такое вихревое течение в окружающей жидкости, что появляется сила, действующая со стороны жидкости на систему и смещающая ее вдоль горизонтальной оси. Динамика рассматриваемой системы схожа с динамикой организмов, перемещающихся за счет волнообразного изгибания своего тела.
Полученные результаты дают основание полагать, что предлагаемый подход может служить моделью для описания динамики плавающих организмов.
Литература
1. Бэтчелор, Дж. Успехи микрогидродинамики [Текст] / Дж. Бэтчелор // Теоретическая и прикладная механика : труды ХГУ Междун. Конгресса IUTAM. - 1979. - С. 136-187.
2. Lighthill, J. On the squirming motion of nearly spherical deformable bodies through liquids at very small Reynolds number // Commun. Pure. Appl. Maths. - 1952. - Vol. 5. - P. 109-118.
3. Lentink D., Muijres, F. T., Donker-Duyvis, F. J. and van Leeuwen J. L. Vortex-wake interactions of a flapping foil that models animal swimming and flight. - 2008. - J. Exp. Biol. - Vol. 211. -P.267-273.
4. Iima, M. A two-dimensional aerodynamic model of freely flying insects // J. Theor. Biol. -2007. - Vol. 247. - P. 657-671.
5. Lentin, D. Exploring the bio fluid dynamics of swimming and flight. PhD thesis, Experimental Zoology Group, Wageningen University. - 2008. - 185 p.
6. Мартынов, С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц [Текст] / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 2. - С. 112-119.
7. Баранов, В. Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости [Текст] / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2004. - № 1. - С. 152-164.
31
С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач
8. Мартынов, С. И. Моделирование динамики агрегатов частиц в вязкой жидкости [Текст] / С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 2. - С. 109-118.
9. Gulyaev, I. P. Hydrodynamic features of the impact of a hollow spherical drop on a flat surface // Technical Physics Letters. - 2009. - Т. 35, № 10. - P. 885-888. -
DOI: 10.1134/S1063785009100034.
10. Konovalova N. I., Martynov S. I. Simulation of paticle dynamics in a rapidly varying viscous flow // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2012. - Т. 52, № 12. - С. 16791690. - DOI: 10.1134/S0965542512120093.
11. Baranov V. E., Martynov S. I. Simulation of paticle dynamics in a vicous fluid near a plane wall // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2010. - Т. 50, № 9. - С. 15881604. - DOI: 10.1134/S0965542510090101.
32
