Моделирование динамики частиц в вязкой жидкости с учетом различных механизмов взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

_2013 г. Выпуск 2 (29). С. 46-50_

УДК 532.529:541.182

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач Введение

Вопросы, связанные с моделированием динамики большого числа частиц в вязкой жидкости приобретают в последние годы все больший интерес. Актуальность рассматриваемой проблемы связана практикой создания новых дисперсных материалов на основе вязкой жидкости таких, например, как коллоидные кристаллы, составные эмульсии и наножидкости. В таких системах частицы обладают наперед заданными свойствами и образуют определенную микроструктуру, что придает дисперсной системе уникальные свойства. Моделирование поведения таких сред для разного рода внешних воздействий требует учета этих свойств.

Как известно, в системах жидкость-частицы существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в суспензии. Изменение положения и скорости одной частицы изменяет давление и скорость окружающей ее жидкости и, следовательно, положение и скорость других частиц. Наличие двух механизмов взаимодействия придает дисперсной системе уникальные механические свойства и позволяет управлять ими в результате внешних воздействий. Примером таких дисперсных систем являются известные уже много лет магнитные жидкости.

В настоящей работе изучается динамика частиц в вязкой жидкости с учетом сил, связанными как с первым, так и со вторым механизмами взаимодействия.

При учете гидродинамического взаимодействия частиц в жидкости возможны различные постановки задачи. Это связано с возможными упрощениями уравнений гидродинамики (уравнений Навье - Стокса), которые нелинейные по части переменных. В литературе достаточно много работ, посвященных задаче о взаимодействии частиц в течениях вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. Уравнения движения жидкости при этом существенно упрощаются и становятся линейными (уравнения Стокса). Это означает, что движение происходит настолько медленно, что нестационарными членами уравнений можно пренебречь по сравнению с членами, учитывающими вязкость жидкости. Однако в природных явлениях и технологических процессах, в которых участвует многофазная среда, очень часто происходит быстрое изменение внешних воздействий. Например, при распространении волны в среде изменение параметров течения связано с частотой волны. При достаточно больших частотах нестационарные слагаемые в уравнениях движения жидкости становятся сравнимыми по порядку величины с вязкими членами. Для больших частот эти слагаемые становятся основными в уравнениях движения жидкости. При этом число Рейнольдса не обязательно мало. Нелинейными слагаемыми в уравнениях движения жидкости в этом случае можно пренебречь и задача становится линейной нестационарной.

Ниже дается постановка задачи и ее решение для определения динамики частиц в быс-тропеременном потоке вязкой жидкости при наличии сил между частицами, связанных как с первым, так и со вторым механизмами взаимодействия.

Постановка задачи

Рассмотрим динамику двух твердых сферических частиц А и В радиусов а и Ь, соответственно, которые помещены в неограниченную несжимаемую жидкость с вязкостью г/и

С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач. Моделирование динамики частиц в вязкой жидкости...

плотностью р. Положение произвольной точки среды относительно центров частиц А и В будем обозначать векторами XА и ХВ соответственно. Для введенных векторов имеем соотношение ХВ = ХА - г , где вектор г соединяет центры сфер А и В . Динамика частиц определяется уравнениями движения

dVA - -

т = Е + Е т -— = Е + Е

А 1 1А 2А' В 1 1В ^ 1 2В'

dt dt

d й а = - d й В = т

А , ^ 1 А' В т ^ 1 В

dt dt

(1)

Здесь векторами VA, Vе обозначены абсолютные линейные скорости сфер А и В, приобретаемые ими в результате взаимодействия с потоком и между собой, ¥1А, Е2А, Е1В, Е2В -

силы, действующие на частицы и обусловленные механизмами взаимодействия частиц, МА,

МВ - моменты сил, действующие на частицы со стороны жидкости, тА, тВ - массы, 1А,

1В - моменты инерции, йА, йВ - угловые скорости частиц А и В, соответственно.

Будем предполагать, что силы, обусловленные первым механизмом взаимодействия, представляю тся в виде

Еа = - 4 = - V W(r)

Здесь W(r) - энергия взаимодействия частиц. Выражения для сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости Е2А, Е2В получены в работе [1]. Для их определения решалась следующая гидродинамическая задача.

Распределение скорости V и давления р в жидкости описывается уравнениями, когда конвективным слагаемым в уравнении Навье-Стокса можно пренебречь, а нестационарный член в уравнении остается

р— = ^р + divV = 0 (2)

д t

Скорость жидкости V представим в виде V = и + и, где и^) = ио ехр(—'0 t), 1 - мнимая

единица (i2 =-1), и - возмущение скорости.

На поверхности частиц А и В должны выполняться следующие граничные условия ( = 1, 2, 3):

= VA -из +г%*А, \хА и] = V— -и] +г —ХВ, |хВ

= а,

(3)

= а,

Далеко от частиц имеет место затухание возмущений

и ^ 0, р ^ р0, |х| ^го (4)

Здесь ГАк, Г —к - тензоры угловых скоростей сфер, причем связь между угловой скоростью частицы й и тензором Г^ имеет следующий вид й . = е.к1Гк1, где е}.ы - тензор Леви -Чивита, р0 - невозмущенное давление в жидкости, удовлетворяющее соотношению

д и V

р ~дГ

Влияние внутренних сил взаимодействия явным образом сказывается только на динамике частиц - система уравнений (1). В уравнения движения жидкости (2) эти силы явным об-

разом не входят. Тем не менее, силы взаимодействия неявным образом меняют и движение самой жидкости. Происходит это следующим образом.

Система уравнений (2)-(4) позволяет определить распределение скорости и давления в жидкости, и, следовательно, вычислить силы, действующие на частицы со стороны жидкости. Полученные в работе [1] выражения для гидродинамических сил Г2А, Г2в зависят от

многих параметров, в том числе и от положения частиц относительно друг друга - вектора г . Таким образом, в системе имеется сложный механизм взаимодействия частиц и жидкости: движение жидкости искажается частицами, которые в свою очередь двигаются под действием сил взаимодействия между собой и жидкостью, меняя свое положение и тем самым вновь искажая распределение скорости и давления в жидкости. В приведенной постановке задачи нестационарность движения жидкости и частиц имеет существенное значение и приводит, как показывает численное моделирование [2], к качественно отличающимся результатам динамики частиц по сравнению со стационарным случаем движения.

Цель настоящего исследования - изучить влияние сил взаимодействия, связанных с первым механизмом, на динамику частиц. Будем предполагать, что энергия взаимодействия '(г) соответствует потенциальной энергии деформации пружины

В частности, такое взаимодействие может соответствовать случаю, когда частицы реально соединены пружиной, которая не оказывает гидродинамическое сопротивление течению жидкости.

Ниже представлены результаты моделирования динамики для частиц произвольных радиусов при различных начальных условиях и при различных значениях параметров.

Система уравнений (1) решалась численным способом при различных значениях параметров и различных начальных условиях задачи. Ниже представлены результаты численного решения системы (1) при следующих значениях параметров: а = 0,001 см, Ь = х а, Р = 0,889 г/см3, п = 0,01 г/(см сек), 1А = 3,85-10-15 г/см12, тА = 9,63-10-9 г, ю = 10000 сек-1, 10 = 7а, к = 100 г/сек2 и при начальном условии г0 = 5 а .

На рисунках 1-4 приведены графики в соответствующих безразмерных значениях координат частиц.

Г (г)=2(г - О

2

Результаты численного моделирования

Рисунок 1. Траектория движения частицы А при х = 0,5

С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач. Моделирование динамики частиц в вязкой жидкости.

Как видно из рисунков, траектории движения частиц существенно зависят от их относительных размеров, что было отмечено еще в работе [2]. Более интересно влияние добавочной силы взаимодействия, связанной с потенциалом '(г). На рисунке 5 и рисунке 6 представлены результаты моделирования для случая, когда имеется только гидродинамическое взаимодействие частиц.

Уь

Уь

Заключение

Приведенные результаты моделирования показывают, что наличие силы, определяемой первым механизмом взаимодействия, даже небольшой по величине, существенно изменяет динамику системы. Так как в реальных системах всегда имеется отличие в размерах частиц и, следовательно, сил взаимодействия, полученный результат свидетельствует об уникальности дисперсных систем. В связи с этим вопрос о возможности использовании осредненных уравнений движения такой системы для нестационарных течений остается открытым.

Литература

1. Коновалова, Н. И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости [Текст] / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Нелинейная динамика. - 2008. - Т. 4, № 2. - С. 467-481.

2. Коновалова, Н. И. Моделирование динамики частиц в быстропеременном потоке вязкой жидкости [Текст] / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, № 12. - С. 1-134.