Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА

УДК 532.133/.135

Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация. Рассматривается динамика двух дипольных частиц в вязкой жидкости в переменном внешнем магнитном поле. Получено численное решение системы уравнений движения частиц с учетом их магнитного и гидродинамического взаимодействия.

Ключевые слова: вязкая жидкость, сферы, нестационарное магнитное поле, взаимодействие.

Abstract. Dynamics of two magnetic spheres in viscous fluid and non-stationary magnetic field is considered. Hydrodynamic and magnetic interactions of particles are taken into account. The solution of problem was obtained by numerically.

Keywords: viscous flow, spheres, non-stationary magnetic field, interaction.

Введение

Процессы образования структур в жидкости (вихревые структуры, структурирование частиц в потоке) в последние годы представляют все больший интерес. Это связано как с теоретическими вопросами моделирования, так и с различными приложениями. Как известно, в двухфазных средах типа суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства всей системы в целом, что важно для практических приложений.

Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц. Например, в суспензии распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц. Следовательно, движение одной частицы влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в двухфазной среде.

Изучение агрегации частиц в магнитной жидкости в историческом плане является одним из первых исследований такого рода. Однако, несмотря на такую давнюю историю, проблема агрегирования частиц в магнитной жидкости по-прежнему является малоизученным явлением. Это связано как со сложностью самого явления, так и со сложностью строения магнитной жидкости. По крайней мере, имеется два фактора, существенно влияющие на этот процесс: диполь-дипольное и гидродинамическое взаимодействия частиц. В работах [1, 2] предложен метод аналитического решения задачи о гидроди-

намическом взаимодействии частиц в вязкой жидкости. Метод основан на представлении решения уравнений Лапласа и Пуассона в виде рядов по мультиполям с тензорными коэффициентами. Задача решалась в квазистационар-ном приближении при малых числах Рейнольдса. Уравнения движения жидкости при этом существенно упрощаются и становятся линейными (уравнения Стокса). Это означает, что движение происходит настолько медленно, что нестационарными членами уравнений можно пренебречь по сравнению с членами, учитывающими вязкость жидкости. Однако в магнитных жидкостях в быстропеременных магнитных полях возможно и быстрое изменение течения жидкости. Поэтому при определенных условиях нестационарные слагаемые в уравнениях движения жидкости становятся сравнимыми по порядку величины с вязкими членами. К изучению агрегации частиц в переменном магнитном поле этот случай имеет непосредственное отношение.

В силу сказанного выше представляет интерес рассмотрение задачи о взаимодействии двух магнитных частиц в нестационарном внешнем магнитном поле и исследование влияния как магнитного, так и гидродинамического взаимодействий на динамику самих частиц в результате взаимодействия в жидкости возможности образования устойчивой структуры из частиц.

1 Постановка задачи

Пусть две сферические частицы A и B одинакового радиуса a находятся в жидкости с вязкостью ^ постоянной магнитной проницаемостью ^ . Считается, что частицы обладают постоянными магнитными моментами mA и тв . Положение произвольной точки среды относительно центров частиц A и B будем обозначать векторами XA и Xв . Для введенных векторов

имеем соотношение Xв = Xд ~ г , где г соединяет центры сфер A и B .

Энергия взаимодействия частиц, обладающих такими моментами, известна, и из нее определяются силы и моменты, действующие на частицы. Сила, действующая на каждую частицу, равна [3]

- - 3 15

¥А = ~¥Б = “Г[(тдг)тв + (твГ)тд + (тАтв )Г] ——(тдг)(твГ)г . г г

Аналогично, моменты равны

- 3 1

НА =~т(твг)(тд хг) + -г(тв хтд); г г

- 3 1

нв =^(тдг)(тв хг) + -т(тд хтв) . г г

На систему действует внешнее однородное переменное магнитное поле

— — — 2

Н : Н(^) = Ноехр(-/ю^). Здесь / - мнимая единица, / =-1. Считается, что это среднее поле и рассматриваемые две частицы не искажают его. Распределение скорости V и давления р в жидкости описывается уравнениями (рассматривается случай малых чисел Рейнольдса, когда конвективным слагае-

мым в уравнении Навье - Стокса можно пренебречь, а нестационарный член в уравнении остается):

д¥ - -

р = -Ур + цАУ, &уV = 0. (1)

дt

Скорость жидкости V представим в виде V = и + и, где и - возмущение скорости.

На поверхности частиц А и В должны выполняться следующие граничные условия (/ = 1, 2, 3):

А _ п , т-Л „А і ' і и І

и і — VІ _ и І + ГІк%і

иі — У* _иі + ГВкхВ,

хА

хВ

— а,

— а. (2)

Далеко от частиц имеет место затухание возмущений:

и ^ 0, р ^ Ро Щ ^те. (3)

А ~"В

Здесь векторами V , V обозначены абсолютные линейные скорости сфер А и В, приобретаемые ими в результате взаимодействия с потоком и между собой; Гд, Гд - тензоры угловых скоростей сфер; ро - невозмущенное давление в жидкости, удовлетворяющее соотношению

э и „

— _^Ро.

д t

Линейные и угловые скорости сфер есть неизвестные функции, зависящие от векторов и, г и параметров а / г , ^ / рю . Для их определения не-

обходимо составить уравнения движения частиц:

а dVA = р | а ^В = Р I

ёА-;- = РА + РА, ё^~7~ = РВ + РВ , ш ш

!аЩг = ЙА + Ма , = ^в + Мв , (4)

ш ш

где РА, РВ - силы; Ма , Мв - моменты сил, действующие на частицы со

стороны жидкости; ёА, ёВ - массы; 1а , 1в - моменты инерции; йа , йв -

угловые скорости частиц А и В соответственно. Причем связь между угловой скоростью частицы й и тензором Гд имеет следующий вид: й/ = в/МГ^,

где в/^ - тензор Леви - Чивита.

Так как магнитные моменты вморожены в частицы, то их изменение со временем описывается уравнениями

МтА - - ШтВ - -

—— = йа х/па, —— = йВ Хтв . ш М

Таким образом, для определения движения частиц необходимо решить гидродинамическую задачу. В силу линейности уравнений (1) и граничных условий (2), (3) решение задачи можно представить в виде суммы решений двух задач. Первая задача заключается в нахождении решения уравнений (1) со следующими граничными условиями:

и, = Vf - и,-, і і і'

-в

= а .

На бесконечности по-прежнему должны выполняться условия (3). Вторая задача заключается в нахождении решения уравнений (1) с граничными условиями для компонент скорости (/ = 1, 2, 3):

1 Л -Л ^В в '

иІ 1 ікхі , х -к 1 = і и сз II х

= а.

На бесконечности также должны выполняться условия (3).

2 Метод решения первой задачи

Из первого уравнения системы (1) следует, что скорость и должна

(5)

иметь вид [4]

и = гоНО;//(/А - и)|.

Следуя работе [4], получаем уравнение для функции / :

Л 2 г 1® * г ^ Л

А2/ + —А/ = 0, ,

V р

где А - оператор Лапласа.

Вводя обозначение А/ = ф, получим уравнение

л 1® п

Дф + —ф = 0 .

V

Решение этого уравнения для одиночной частицы имеет вид [4]

ф = ££о ехр(гкх);

Ь = -, к=111, 5 = ^. х 5 V ю

Необходимо учесть, что все частные производные от этого решения тоже есть решение. В общем случае уравнение для функции / записывается в виде

А/ = БЦо ехр(ікх) + Н81 Ь8 + ікЦ)— І ехр(ікх) + Н

Ь + ікЬ!! — + х

+ ікЬ^-^ + ікЬо

Ьщх - х^

2Т xqxs

- к 2 Ьо

ехр(ікх) + ...

(6)

Здесь введены следующие обозначения: Ня, Н^ - неизвестные тензорные коэффициенты; , Ь3д - мультиполя, вычисляемые по правилу

((

ь

'sqr...t

чЭ xq

((

ч д хг

Ч ч

1

//

Общее решение уравнения (6) записывается в виде

1 1 ( х / = —2ехр(ікх)-2— I Ь + ікЦ)— Iехр(ікх) -...-ВЬд -С3Ь3 -...

к2 к Ч х

Все это проделано для одной частицы. Если имеем две частицы, то регА ХВ $

шение должно содержать мультиполя двух типов ЬА, ЬА , , 1?^ . Поэтому

решение уравнения (6) для двух частиц имеет вид

/ = —Б (Ь ехр(ікхА) + Ьд ехр(ікхВ)— —— ъ2 \ I Ъ2

-——

( хА Л

Ь ++ікЬ()^^А

ехр(ікхА) -

(

В

ехр(ікх )

-... - В( 4 + Ьв) - с, Ь - ьв)-.

В силу линейности уравнений и граничных условий решение должно быть линейным по вектору УЛ - и, а это уже учтено в виде решения (5), поэтому тензорные коэффициенты S, В, Ня, Н?д, Ся,... зависят только от вектора г . Эти тензорные коэффициенты можно записать в виде

Ня = гяН, Ся = гяС, Няд = гягдЕ + ^ядЕЛ.

Здесь Н, Е, ЕЛ, С, ... - неизвестные скалярные коэффициенты, которые находятся из граничных условий. Знаки мультиполей в решении выбираются исходя из того, что скорость жидкости и должна быть четной функцией координат (это следует из граничных условий). Скорость и давление в жидкости находятся по формулам

и =

(Ь - и)У — + (УА - и)А/, р = циУ (™/ + А/| + Ро.

После подстановки полученных выражений для скорости в граничные условия находятся скалярные коэффициенты Н, Е, ЕЛ, С, ... с использованием метода разложение по малому параметру а / г .

3 Метод решения второй задачи

Аналогично рассмотренному выше методу решается вторая задача. В этом случае скорость представляется в виде

и = го1;(Л).

Вектор A определяется следующим образом:

A = rot( f й) + rotrot(VфxЙ).

Для функций f, ф получаем уравнения

. _ іЮ 2і іЮ

Af + — f = 0, A 2ф + —Aф = 0.

v

v

Решение полученных уравнений для одиночной частицы имеет такой же вид, как и в первой задаче:

/ = ТЬо ехр(ікх), Дф = КЬо ехр(ікх).

Для случая нескольких частиц процедура нахождения решения такая же, как и для двух частиц в первой задаче (используются мультиполя от нескольких частиц).

Давление в жидкости находится по формуле

По выражениям для скорости и давления в первой и второй задачах в работе [5] вычислены силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости. В силу громоздкости выражений они в данной статье не приводятся. Таким образом, можно получить систему уравнений движения частиц (4) и исследовать их динамику с учетом сил инерции, а также возможность их агрегирования в нестационарном внешнем магнитном поле.

Найти аналитическое решение полученной системы не представляется возможным, поэтому она решалась численно при различных начальных условиях и параметрах жидкости и частиц. Полученные результаты представлены для двух случаев внешнего магнитного поля:

1. Одномерное внешнее магнитное поле. Магнитное поле изменяется вдоль одной оси по закону cosrat и имеет следующие координаты: Hx = Hq cos rat, Hy = 0. Аналогичные результаты получаются и при изменении магнитного поля по закону sin (Ш .

2. Вращающееся внешнее магнитное поле. Магнитное поле меняется в двух направлениях и имеет следующие координаты: Hx = HqCOS rat, Hy = Hq sin rat.

Результаты вычислений приводятся при следующих значениях параметров в системе СГС (сантиметр, грамм, секунда): р = 0,889 г/см3, п = 0,01 г/см-с, a = 0,001 см - сплошная линия, a = 0,002 см - пунктирная линия; a = 0,003 см -штрихпунктирная линия; га = 10000 с-1, H = 100 э. Вычисления показывают, что вращение частиц (рис. 1, 2) не является периодическим, а имеет сложный характер в зависимости от их размеров (с размером частиц связан их дипольный момент). Здесь ф - угол между проекцией вектора дипольного момента частицы на плоскость XY и осью Х; 0 - угол между вектором момента и осью Z.

4 Динамика частиц в переменном магнитном поле

І

Рис. 1 Зависимость угла поворота ф частицы А

21

Во всех рассмотренных случаях частицы в результате взаимодействия удаляются друг от друга (рис. 3), что свидетельствует о том, что частицы не смогут образовать агрегаты. Такое поведение частиц в быстропеременном магнитном поле существенно отличается от результата по взаимодействию магнитных частиц в стационарных или квазистационарных магнитных полях [6], когда внешнее магнитное поле способствует агрегации частиц.

Заключение

Результаты вычислений позволяют предположить, что подбором частоты магнитного поля можно исследовать магнитные жидкости без образования агрегатов в них частицами определенного размера. Чем больше размер частиц, тем меньше частота поля.

В реальной жидкости мы имеем полидисперсные частицы. Поэтому, для того чтобы образование агрегатов было минимизировано внешним магнитным полем, необходимо определять характерный размер частиц в жидкости и уже по ним определять частоту, при которой магнитное поле не способствует их агрегированию.

Список литературы

1. Мартынов, С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 2. - С. 112-119.

2. Мартынов, С. И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2005. - № 4. - С. 3-14.

3. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Наука, 1982. - 620 с.

4. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1986. - 736 с.

5. Коновалова, Н. И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Нелинейная динамика. - 2008. -Т. 4. - № 4. - С. 467-481.

6. Борискина, И. П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле / И. П. Борискина // Вестник МГУ. - 2003. - № 4. - С. 20-23.

Мартынов Сергей Иванович доктор физико-математических наук, профессор, кафедры прикладной математики и информатики в геологии и нефтегазовом деле, Института нефти и газа, Югорский государственный университет

E-mail: martynovsi@mail.ru

Martynov Sergey Ivanovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of applied mathematics and computer science in geology and oil and gas industry, Institute of Oil and Gas,

Yugra State University

Коновалова Наталья Ивановна

преподаватель, кафедра математики и теоретической механики, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)

Konovalova Natalya Ivanovna Lecturer, sub-department of mathematics and theoretical mechanics,

Mordovia State University named after N. P. Ogarev (Saransk)

E-mail: martynovsi@mail.ru

УДК 532.133/.135 Коновалова, Н. И.

Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости / Н. И. Коновалова, С. И. Мартынов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3 (11). - С. 3-11.