Взаимодействие частиц как механизм увеличения вязкости суспензии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 г. Выпуск 2 (25). С. 21-24

УДК 532.529:541.182

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ КАК МЕХАНИЗМ УВЕЛИЧЕНИЯ ВЯЗКОСТИ СУСПЕНЗИИ

П. К. Волков, С. И. Мартынов, Л. Ю. Ткач

1. Введение

В суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в суспензии. Взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в суспензии, и сказывается на ее реологических свойствах. Известно [1], что учет гидродинамического взаимодействие двух частиц дает вклад порядка второй степени по объемной концентрации в выражение для эффективной вязкости суспензии. Вопрос о том, как влияют на вязкость суспензии силы, связанные с первым механизмом взаимодействия, не рассматривался.

В настоящей работе изучается влияние на вязкость суспензии сил взаимодействия между частицами, связанных с первым механизмом. Рассмотрен случай, когда сила обусловлена диполь-дипольным взаимодействием частиц во внешнем магнитном поле, что имеет место в магнитных жидкостях. В магнитных жидкостях вязкость суспензии существенно зависит от величины внешнего магнитного поля. Обычно рассматривалось влияние магнитного поля на вращательное движение частиц, что и вызывало увеличение вязкости с точностью до слагаемых первого порядка малости по объемной концентрации частиц.

2. Постановка задачи

Рассматриваются макроскопические реологические свойства суспензии твердых частиц, помещенных в ньютоновскую жидкость вязкости п. Предполагается, что выполнены следующие условия: число Рейнольдса для относительного движения жидкости вблизи одной частицы много меньше единицы; инерционным движением частиц можно пренебречь; между частицами действуют силы гидродинамического взаимодействия и силы взаимодействия, связанные со свойствами самих частиц. Влияние броуновского движения частиц не учитывается.

Для получения выражения для вязкости суспензии с взаимодействующими частицами воспользуемся подходом, когда искомая величина выражается в терминах диссипации энергии. Можно показать [2], что вязкость суспензии п можно представить в следующем виде:

Г Е* Л

1 + — Е

о у

Здесь Ео - диссипация энергии в жидкости в отсутствии частиц, а Е - дополнительная диссипация энергии в результате присутствия сферических частиц в жидкости.

Известно [1], что вязкость суспензии сферических частиц с точностью до членов второго порядка малости по объемной концентрации частиц ф можно представить в виде:

п* = п[1 + Кф + (к + к 2)ф2].

Здесь К - коэффициент, учитывающий гидродинамическое взаимодействие частиц; К2 -коэффициент, учитывающий непосредственное взаимодействие частиц.

Для вычисления коэффициентов К и К2 необходимо определить величины Е и Е0. Выражение для коэффициента К1 получено в работе [1].

Будем рассматривать парные взаимодействия частиц. Выберем частицу с номером к. Движение частицы а происходит в результате действия силы Рка и момента Тка со стороны

^ой частицы. Так как в качестве центра может быть выбрана любая частица, то для N частиц в объеме V можно записать следующие выражения [2]

N N - _

Е = Е - К ) ра + Ф - &ка )ТЫ + (| ° 9ПIЦ ] ,

k=1 а=1 V

иа

Е0 = 2^| ЕяЕяаК .

V

Здесь о^ - тензор напряжения в жидкости, Ба - поверхность частицы, пк - единичный

вектор нормали к поверхности.

Тензор напряжения в жидкости а^ можно подсчитать, используя известное решение

уравнений Стокса [3] об обтекании двух сфер радиуса а.

С точностью до членов порядка 5 можно записать дополнительную диссипацию в жидкости в виде [2]

N Р 2 Т 2 20

Е’ = Г Р(Г, 0(£ [----+ ----3+-3- пЕ,,Е,, №'. (1)

V а=1 — ппа -пца 3

Здесь предполагается, что имеется непрерывное распределение ч астиц в пространстве. Поэтому необходимо найти функцию вероятности Р(г, Х) для вектора г .

Уравнение для функции Р(г, Х) имеет вид

— + КУР = -РУГ, г > 2а, (2)

дХ

Р = 0, г < 2а .

Для определения относительной скорости частиц V необходимо решить гидродинамическую задачу об обтекании двух частиц потоком вязкой жидкости.

3. Метод решения

Рассмотрим две сферические частицы, обозначаемые соответственно буквами А и В, помещенные в вязкую несжимаемую жидкость, скорость которой на бесконечности и есть линейная функция координат:

и = Е& + яг]х}, Е = Е]г, ау. = -Я]г.

Кроме того, частицы взаимодействуют друг с другом посредством какого-либо рода сил. В однородном магнитном поле Н для сил взаимодействия имеет место соотношение РнВ = -Рн А = -Р. В частности, рассмотрим случай, когда частицы обладают дипольными моментами тА и тВ . В этом случае силы и моменты сил соответственно равны [4]

- 3 15

Р = —[(тАГ )тВ + (тВГ )тА + (тАтВ )Г ] Т(тАГ )(тВГ )Г ,

Г г

- 3 1

ТА =— (тВГ )(тА Х Г ) +— (тВ Х тА ) . (3)

Г г

Для определения скоростей движения частиц А и В необходимо решить систему уравнений:

Г Р/ + РнА = 0,

- - (4)

В + рнв = 0.

Так как силы взаимодействия равны по величине и противоположны по знаку, то для скоростей частиц выполняется равенство:

иВ = -иА = -и.

Силы Р А = —Рв с учетом гидродинамического взаимодействия имеют вид [3]:

=-—лг]аи'^{ 1 + — е + 9 е2 +19 е3 8 I 2 4 8

А1 е- „т-г1 II , 3 „ , 9 „2 , 59 „3

Р" ± =-бппаи1\ 1 + - е + — е2 + — е 8 1 4 16 64

Здесь - составляющая силы вдоль, а Р1 - перпендикулярно вектору г , который со-

единяет центры сферических частиц, £ = а / г .

Введем обозначения:

ЛГ Л 1 3 9 2 19 3

ф(£) = 1 + £ + £ +----£ ,

2 4 8

/ ч = 1 3 9 2 59 3

х£) = 1 +-£ +----£ +--£ .

4 16 64

Тогда из (4) получим уравнение:

-6жт]а •[иг||ф(£) + и1х(£)~^ + Р = 0.

Введем относительную скорость движения частиц, равную:

V, = иВ - и А . (5)

Сила, действующая на частицы со стороны магнитного поля, может быть представлена также в виде:

Р = ри+Р1.

С учетом соотношения (4) получим:

6пг1аУ}ф( £ ) = -2^,

(6)

6 ж т] aVi 1 х( £ ) = -2 Р1.

Полученное выражение необходимо для определения относительной скорости частиц. Для моментов сил имеем соотношение

т;+тн а=0, ТВ + ТнВ = 0.

Моменты гидродинамических сил имеют следующее выражения (с точностью до £4)

8жта3 ф - ФА ) = Т/, 8жта3 (Ф - ФВ ) = Т^. (7)

Здесь фА, фВ - угловые скорости частиц.

Пусть положение центра сферы В относительно центра сферы А определяется вектором г . Выражение для относительной скорости V сфер получается из (6). С точностью до сла-

4

гаемых порядка получаем:

V = -Р- + (г У)и . (8)

3жта

Выражение (8) позволяет найти решение уравнения (2) для функции распределения Р (г, Х) частиц.

4. Взаимодействие частиц и вязкость суспензии

Будем рассматривать случай, когда внешнее магнитное поле Н достаточно велико и

магнитные моменты частиц ориентированы вдоль поля. В этом случае выражения для сил и

моментов сил (4) записываются в виде

r

(9)

Здесь в- угол между векторами Н и г . Подставляя выражения (9) в (1), получаем

) PdV].

(10)

Используя выражение для относительной скорости сфер (8) и выражение для силы взаимодействия (9), получаем

Решение этого уравнения содержит постоянный множитель, который выбирается таким образом, что

Здесь п0 - концентрация частиц в единице объема. Легко проверить, что УР = 0 моментов т совпадет с направлением приложенного поля. Решение уравнения (11) с граничными условиями (12) имеет вид: Р = п0.

Подставляя это решение в выражение для вязкости (10) и интегрируя, получим эффективную вязкость суспензии при течении растяжения или сжатия со скоростью деформации у в виде:

Из полученного выражения следует, что взаимодействие частиц посредством первого механизма взаимодействия между ними дает вклад в эффективную вязкость суспензии того же порядка, что и гидродинамическое взаимодействие. Это связано с тем, что механизм увеличения вязкости в принципе один и тот же: взаимодействие частиц приводит к изменению относительной скорости частиц и, как следствие этого, к дополнительной диссипации энергии.

Анализ полученного выражения эффективной вязкости суспензии с дипольными частицами позволяет объяснить аномально высокое увеличение вязкости в некоторых образцах магнитной жидкости [5] механизмом взаимодействия частиц.

1. Batchelor, G. K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2. [Text] / G. K. Batchelor, J. T. Green // Journal of Fluid Mechanics. - 1972. - V. 56, pt. 3. - P. 401-427.

2. Happel, J. Low Reynolds number hydrodynamics [Text] / J. Happel, H. Brenner. - Prentice-Hall, 1965 = Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса [Текст] / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М. : Мир, 1976. - 632 с.

3. Мартынов, С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц [Текст] / С. И. Мартынов. Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1998. - №, С. 112-119.

4. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Наука, 1982. - 620 с.

5. Лебедев, А. В. Вязкость концентрированных магнитных жидкостей [Текст] / А. В. Лебедев. 13-я Международная Плесская конференция по нанодисперсным магнитным жидкостям : Сборник научных трудов, 2008. - С. 124-129.

dP 1 dP P ^

-------------------F.------------=---------------VF

(11)

dt 3жщ 1 dxj 3жщ

P(r, t) ^ n0, r .

(12)

1 = r[1 + Кф + Кф + 0,0140б25ф2

].

ЛИТЕРАТУРА