Моделирование динамического размещения рисковых активов в стохастической инвестиционной среде с учетом инфляции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

уровень МСУ, закрепить необходимые источники финансирования, обеспечить их передачу для исполнения переданных полномочий органами МСУ.

Реформировать налоговую систему РФ. Однако прежде чем это делать с точки зрения разграничения налогов между различными уровнями необходимо определить принципы такого разграничения. В основу такого разграничения может быть положена социальная роль каждого налога для данной территории, а также его функциональное назначение.

Государство должно не только гарантировать права на бумаге и определять обязанности муниципалитетов на практике, но и само четко выполнять взятые на себя обязательства в данной сфере, а также контролировать их выполнение элементами государственного аппарата.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Костенев А. Первые в республике // Муниципальная власть. 2000. №5-6. С.57-58.

2. Макаров В., Глазырин М Новая экономическая самоорганизация муниципальных образований // Экономист. №4. 2003. С.53-54.

3. Игудин А. Проблемы укрепления доходной базы местных бюджетов // Финансы. 2000. №12.

4. Пронина Л. О налоговых доходах местных бюджетов во второй части Налогового кодекса РФ // Финансы. 2000. №9.

5. Швецов А. Потребности муниципальных образований в финансовых средствах и бюджетно-налоговые возможности, их удовлетворение // Российский экономический журнал. 2001. №7.

6. Пансков В. Муниципальные бюджеты в системе межбюджетных отношений РЭЖ: 1998.№11-12.

И. Г. Наталуха

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗМЕЩЕНИЯ РИСКОВЫХ АКТИВОВ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ

Современные финансовые рынки характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1-3]. В таких условиях классические модели и методы финансовой математики [4,5] часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций практиков теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона [6] и Кеннера-Мэнкью-Вейла [7].

Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам практиков, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Мэнкью-Вейла).

В работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых активов (акций и облигаций), которая разрешает

одновременно оба указанных парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков.

Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию, максимизирующую ожидаемую полезность своего капитала Ж на горизонте Т :

J = тах Е[и(ЖТ)] (1)

Функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприятием риска

и (ж )= ж 1-7 -1

1-7

и 'Ж )Жо ]ф

где 7 =--------—------— - коэффициент относительного неприятия риска.

и (Ж0 )

Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению

^ = (г + X № + 7 Ж> (2)

где - краткосрочная номинальная процентная ставка, Х{ - ожидаемая

избыточная доходность по акциям, 75 - волатильность цен активов, Ж1 -

винеровский случайный процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна - Уленбека

ёхг =а(х - х{ ^ -7^Ж1(, (3)

где X - долгосрочная рисковая премия, X - параметр релаксации Х{ к

установивишемуся значению, 7 х - волатильность избыточной доходности.

Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орнштейна - Уленбека

^ = к (в - г ^ - 7гдЖ21, (4)

где в - среднее значение процентной ставки на большом временном интервале, к - скорость релаксации, 7 г - волатильность процентной ставки; винеровские

процессы Ж1 и Ж2 коррелированы с коэффициентом Р12 .

Динамика цены облигации В{ описывается уравнением

= (Г + К № + 7ВЖ . (5)

Вг

Инфляция моделируется следующим образом. Номинальная цена реального потребительского товара в экономике в момент ? составляет Реальная цена

любого актива в экономике поэтому определяется дефляцией индекса цен ¥.

Реальная цена акций, например, равна /у( . Динамика номинальной цены

потребительского товара описывается системой

У

Уг

■■ кгйг + ст^Щг:

(6)

йкг = [5(к -кг № + 7КdW4t, (7)

где К1 - ожидаемая ставка инфляции, К описывает долгосрочную среднюю скорость инфляции, Ь - скорость релаксации К{ к своему среднему значению, 7к - волатильность инфляционной процентной ставки, 7у - волатильность

индекса цен. Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированы с доходностью акций и процентными ставками. Например,

ковариация между доходностью акций и уровнем цен равна 75у = Р13О7у ,

ковариация между доходностью акций и скоростью инфляции равна

75К = р14757к и т д.

В предположении, что неявная функция полезности J дважды непрерывно дифференцируема, запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности (1), подобно тому, как это было сделано

в [8]:

вир {р-^м, +а{х -х)1х + к(в - гуг + /3(к -Кук +

w= ^ э’Н'в ) 2

1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ?

+ 27Ж ^ + 27хJxx + 27г^ + 27^КК + 7мх^мх +7Ш-Ж^ +

где

ту

г + У

х

1В

V в У

К+Оу- У

(9)

О ^

^ у \Ову/

оУ — у'£ У + ОІ - 2У

О

О

■ У

Вг

О

О

ОУХ = У

О

О

Ву

-о

У

О

о

К

Вк

О

ук ■■

причем неявная

гу ^ УК

функция полезности J(у, Г,К, г) должна удовлетворять граничному условию

при г — Т : J (у , Г ,К, Т )— и (Ж" ). Вектор портфельных весов

/

У — (уз , Ув ) (штрих означает транспонирование) представляет собой доли капитала, инвестированного в акции и номинальные облигации соответственно.

Оставшаяся часть капитала У„

1 - ЄУ — 1

■у„

■у,

где Є

(і;і)

г - ~ - - 5 ’УВ,

инвестируется в банковский счет. Условие первого порядка задачи (9) дает следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:

W ■

W

WJ

X

-1

WW

1В

\ В У

J

WX

WJ

X

-1

WW

SX

Вх

wr

WJ

X

-1

wp

WJ

X

-1

WW

s

SP

Л f J Л 1 + Jw

s

Bn

+

WJ

у WW у

Первый член в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля (близорукий спрос), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью. Следующие четыре члена в (10) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второй член в (10)), номинальных процентных ставок (третий член), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертый член) и краткосрочной инфляции (пятый член).

Оптимальное размещение активов инвестора, характеризующегося

постоянным относительным неприятием риска с коэффициентом g> 1, устанавливается следующим Предложением.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. (i) неявная функция полезности J, решением уравнения (9), имеет вид

a(T -t )+b(T -t )r -c(T -t )n+d (T -t )x+— l (T -t )x

We 2

WW

/

Sr

Br

X

-1

Ssy sBy,

.(10)

являющаяся

J(W, x, r,n, t )=(1 -g)

-1

-1

,(11)

где СХ (с ) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения с условием

а(0) = 0, Ь(т)=1 (1 - е-*),

к

;(т) = — (1 - e W b

-b

1 (T)=—2(l0 (1 e,—')—) 2— -(11 +4-e—)

где

sB

g sWb

s

sB

g-1 Sx

g Ss

a

U =

Zz! s2

^X 5

g

—

1

l

0

2

и

2Ц-(к + Л)(і-е

й0 +

й 2(Ц- її)

Р Л

+

V

к Р

х

х

\2

1 - е 2

ЦТ

+ 4

йо +

й1

Р

ЦТ

'2їо/

1

V ' у \\

Л

1 - е 2

ЦТ

й3 -\лтҐ

+ —е 2

к

к—пт

21

1

1 —ЦТ'

+—е

уу

Р

4ї0

Л у 1

к+\цт 2

Г л \

2їої

(2ї0й4 -й1(Л +11й/1 Р+ Ц

4

Ґ

1 1

- (2їой4 + й1 (Ц +11й/ р- 2 Ц1Т

/у

где

йп

1 Ако

В^В

л/ ^-2^.2 2

7 <° о в о8В

1 -7 0зв0ву -ово

у

7

2 2 2 ° 0В 08В

2

1 - 7 0зВ0Вл - 0В0

й1

В^5Л

22

2

7 о:оВ оів

, _ 1-7 ох

й 2 =ах + —•- о у,

7 оз

1 -70х 05В

7 о В

= 1-у?х а

а4 = °зл

7 ss

и / (к ,Т) = 1 (1 - е-кг\

(н) вектор оптимального размещения рисковых активов в момент ? определяется выражением

1^

™ = ~Е

7

-1

\1В

V в

+

1 - -7

ох

о.

(й (т -і )+ї(т - і ^

+

V

1 - -7

ь(т - і)

В

^0Л

1

V у

+

1 - -7

+

V

Е

-1

V

<т - і) 0

оВл

+

о

\\

У

Оставшаяся часть капитала

°Ву V г У/

(12)

■ г ^ ^ 5 ,ув инвестируется в

банковский счет.

Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым членом в выражении

(12), зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций Х{, и

это вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелирована с ценой акций, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении позиции в случае падения цен акций. Спекулятивная

1

1

2

(близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей. Это ясно видно, если положить волатильности

Ух , Уг, Ур и (Уу равными нулю: тогда набор инвестиционных возможностей

постоянен, и члены в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.

Второй и четвертый члены в выражении (12) оправдывают популярные рекомендации инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в рассматриваемой постановке описывается производной по времени от оптимального размещения в акции в (12). Пусть Т = Т — ? обозначает остающийся временной горизонт для инвестора в момент ^. Дифференцируя выражение для ^ в (12) по временному горизонту Т , получаем

Эт

У

(<!' (т) + к' (т)х) +

УБЯУГ У8ГУГРС (т)

(1— Р?г )

.(13)

V 1 / => V 1 /

Первый член в соотношении (13) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (3). Второй член в (13) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае, если первая производная в (13) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [7].

Знак первого члена в (13) зависит от знаков производных по времени

й (т) и Г (т) (1 —1 > 0 , поскольку 7 > 1). При отсутствии

7

неопределенности процентных ставок и инфляции нетрудно показать, что производные й (т) и I (т ) положительны, т.е. первый член положителен для всех значений параметров при положительных значениях переменной избыточной доходности X. В общем случае анализ существенно усложняется в связи с неопределенностью процентных ставок, скорости инфляции и возможности инвестирования в облигации. Однако непосредственное дифференцирование

выражения для I (т) показывает, что производная I (т ) положительна. Поэтому при достаточно большой ожидаемой избыточной доходности весь первый член (13) будет положителен. Это означает, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать больше в акции, чем краткосрочные.

Поскольку производная С (т ) = е ЬТ положительна, знак второго члена в

2

(13) полностью определяется знаком выражения УрУг — 05г0гп . Поэтому инфляционный риск вызывает большее размещение капитала в акции для

/ 2

долгосрочных инвесторов тогда и только тогда, когда У зп > У яУт У г . В

этом случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска (сравнительно с номинальными

облигациями) в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким реальным доходностям в инвестиционный период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации.

Для прогнозирования зависимости оптимального размещения капитала в акции от инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска построенная модель была калибрована к фондовому рынку США, представленному индексом 8&Р 500. Использовались данные по доходности индекса 8&Р 500 в период с марта 1951 по январь 2000 г. [8]. На рис. 1 показаны оптимальные доли капитала, инвестированного в индекс 8&Р 500 в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора и длины инвестиционного горизонта. Нетрудно видеть, что размещение в акции растет с ростом инвестиционного горизонта и с уменьшением коэффициента относительного неприятия риска, что находится в полном соответствии с рекомендациями финансовых аналитиков.

Таким образом, в работе показано, что оптимальное размещение рисковых активов в стохастической инвестиционной среде может быть представлено в виде спекулятивного портфеля, пропорционального рисковой премии, и портфеля хеджирования рисков, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Дана экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования. Показано, что предложенная модель может объяснить известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории рекомендациям профессиональных инвесторов.

1,0

0,6

0,4

SB 0,2

Рис. 1. Оптимальное размещение капитала в акции как функция инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора: 1 - у =8,7; 2 - у =4,2; 3 - у =2,2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Cochrane J.H. Asset pricing. Princeton: Princeton University Press, 2001.

2. Sornette D. Why stock markets crash. Princeton: Princeton University Press, 2002.

3. Наталуха И.Г. Моделирование спекулятивного бума на финансовом рынке с учетом психологии инвесторов // Материалы 6 Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». 2004. Т.2. С. 7-8.

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика.- М.: Дело, 2002.

5. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб.: Питер, 2000.

6. Samuelson P.A. The long-tern case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. 1994. V. 21. P. 15-24.

7. Cаnner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. 1997. V. 87. P. 181-191.

8. Наталуха И.Г. Анализ модели полного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования // Приложение к журналу «Известия вузов Северо-Кавказский регион. Общественные науки». 2002. №1

9. ShillerR.J. Irrational exuberance. Princeton: Princeton University Press, 2000.

А.И. Никитин, Г.И. Ткаченко

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ СТОИМОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ, ТОВАРОВ И УСЛУГ

В настоящее время практика экспертов-аудиторов любой квалификации обусловливает необходимость выработки в максимальной степени объективных оценок систем качества и их элементов [1]. Пока же их оценки осуществляются с различной степенью глубины, точности и достоверности в процессах проведения множества технических совещаний, на которых чаще побеждает не истина, а мнение руководства.

Из трех характеристик труда и его результатов, т.е. количества, качества и затрат - самой сложной с точки зрения количественной оценки является качество.

Известно, что качество продукции является важнейшим показателем, характеризующим не только уровень конкретного изделия, но и степень совершенства (технического, технологического) любого производства, а также уровень конкурентоспособности производимой продукции.

Для проведения анализа стоимости обеспечения и качества назовем свойства любой продукции характеристиками и обозначим через ri (X), тогда обобщенная характеристика может быть представлена в виде

R(X) = [rj(X), r2 (X), .r m (X)], (1)

где - rj(X), r2 (X), ..,r m (X) - i - тые характеристики продукции, товаров или услуг.

Обозначим через X в (1) вектор проектных параметров:

X = ( Х1, Х2, x n), (2)

где - xb x2, .. ,.xn - параметры продукции, товаров или услуг.

В условиях рыночных отношений качество продукции, товаров и услуг определяет их конкурентоспособность и является основным критерием эффективности экономической системы. Структуру основных показателей качества укрупненно можно представить в виде четырех групп (рис.1). В общем случае показатели качества продукции, товаров или услуг (проектирование, изготовление, испытание, эксплуатация) являются этапом жизненного цикла.