CC BY
34
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 621.888.4.001.2
В. И. Волчихин, А. Н. Литвинов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ КОНТАКТНЫХ СИСТЕМ ПРИБОРОВ
Аннотация. Разработана математическая модель для расчета собственных частот и предельных виброперегрузок для плоских контактных пластин переменного сечения, имеющих произвольно расположенную упругую промежуточную опору. Рассмотрены пластины, находящиеся в замкнутом состоянии. Установлено наличие оптимальных параметров, позволяющих существенно повысить виброустойчивость контактных систем. Показана удовлетворительная согласованность результатов теоретических расчетов с экспериментальными исследованиями.
Ключевые слова: контактная пластина, упругая опора, собственная частота, предельная виброперегрузка, виброустойчивость.
Abstract. The authors has developed a mathematical model for calculation of eigen-frequencies and limiting vibroaccelerations of variable cross-section flat contact plates with arbitrarily located elastic intermediate support. The article considers theplates in the closed condition. The researcher has established the existence of optimum parameters allowing to raise vibrostability of contact systems essentially. The article also shows acceptable compliance of theoretical calculations results and experimental research.
Key words: contact plate, elastic support, eigenfrequency, limiting vibroacceleration, vibrostability.
Введение
Распространенными элементами аппаратуры связи, радиоэлектроники и автоматики являются различные реле, включатели и другие электромеханические устройства, одними из основных рабочих элементов которых являются плоские контактные пластины. В процессе эксплуатации аппаратура подвергается воздействию вибрации, которая непосредственно влияет на ее работоспособность, вызывая самопроизвольное размыкание контактов, их дребезг, дополнительный износ контактов и т.п. Эти нарушения наиболее резко проявляются при вибрации аппаратуры на частотах, совпадающих с собственными частотами изгибных колебаний контактных пластин, или близких к ним. Анализ работы указанных электромеханических устройств показывает, что их виброустойчивость существенно зависит от виброустойчивости контактных пластин.
Одним из путей повышения виброустойчивости контактных систем и аппаратуры в целом является устранение резонансных явлений контактных пластин путем повышения их собственных частот изгибных колебаний и вывода их из диапазона частот внешних возмущений. Расчет собственных ча-
стот колебаний различных контактных пластин, находящихся в разомкнутом состоянии, производится в соответствии с методиками, изложенными в [1] и обобщенными в удобной для инженерных расчетов форме. Однако диапазон частот внешних эксплуатационных воздействий часто оказывается достаточно широким, что в значительной степени затрудняет, а в ряде случаев не позволяет проектировать безрезонансные контактные системы. В связи с этим весьма важна разработка методов исследования виброустойчивости контактных пластин, позволяющих определять предельные вибрационные перегрузки, при которых обеспечивается нормальная работа контактных пластин. Разработка методов расчета виброустойчивости позволит на стадии проектирования выбирать оптимальные конструктивные параметры контактных пластин, сократить сроки и объем экспериментальных работ при отработке конструкций.
1. Обобщенная модель контактной пластины
Рассмотрим плоскую контактную пластину, имеющую в самом общем случае переменное поперечное сечение. Пластина жестко закреплена в корпусе прибора, имеет промежуточную упругую опору с коэффициентом жесткости с и находится в замкнутом состоянии (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная схема контактной пластины: I - длина пластины;
11,12 - координаты расположения упругой опоры и массы контакта соответственно
Взаимное расположение упругой опоры и массы контакта произвольное, т.е. возможны варианты /2 > /1 и /2 < /1.
В замкнутом состоянии контактная пластина прижата к жесткому упору начальным контактным усилием Ро, величина которого обычно задается в конструкторской документации, обеспечивается конструкцией контактного узла и служит для обеспечения надежного электрического контакта.
При воздействии вибрации происходят колебания корпуса, в котором закреплена пластина, а величина контактного усилия будет изменяться и при определенном значении вибрационной перегрузки может обратиться в нуль. При дальнейшем увеличении перегрузки происходит размыкание замкнутых контактов.
Условие сохранение контакта имеет вид
р = Ро-|я + е| > о, (і)
где Р - контактное усилие при воздействии внешней вибрации; Я - инерционная сила массы контакта М; £) - упругая динамическая реакция пластины
в точке контактирования. Начальное контактное усилие Ро обеспечивается конструктивно и считается известным.
Для удобства исследований введены безразмерные параметры: Р = /і/ / и ц = /2// - координаты, определяющие расположение упругой опоры и массы контакта; х = х* // - безразмерная продольная координата.
Корпус, в котором закреплена пластина, подвергается возмущающей вибрации с амплитудой действующего ускорения а0. В этом случае амплитуда инерционной силы массы контакта равна Я = Мао .
Амплитуда динамической реакции Q равна поперечной силе в месте расположения контакта
Q=4 -
/3 -х
и (X) -2^2х>
-X
, (2)
х=|1
где ф(х) - форма колебаний контактной пластины; J(х) = Jо ■ J(х) - момент инерции поперечного сечения пластины; J0 - момент инерции поперечного сечения пластины при х = о; J (х) - безразмерная функция, характеризующая закон изменения момента инерции по длине пластины; Е - модуль упругости материала пластины.
Собственная частота рассматриваемой контактной системы определяется как
2
ЕГ" (3)
“ 7
ГО 7 =^Г
12 V т0
где а7 - частотный коэффициент; т0 = р^о - распределенная масса пластины; р - плотность материала пластины; - площадь поперечного сечения
при х = 0; 7 = 1, 2, ... - номер собственной частоты. Площадь поперечного сечения определяется как ^(х) = ^0 • ^(х), где ^(х) - безразмерная функция,
характеризующая изменение площади по длине пластины.
Если для рассматриваемой контактной пластины определен частотный коэффициент аь основная собственная частота вычисляется по формуле
(3), а собственная форма колебаний, соответствующая этой частоте, может быть представлена с точностью до некоторой постоянной С в виде
Ф( х) = С • у( х, а). (4)
При установившихся вынужденных колебаниях контактной пластины с частотой ю = выполняется условие баланса энергий:
и = ДЭ, (5)
где и - энергия, подводимая к контактной пластине и равная работе внешних
сил за период колебаний Т = 2я/о>1 ; ДЭ - энергия, рассеиваемая за тот же
период колебаний.
Работа внешних сил равна
1 Т
и = IIIр(х)д¥(х’ *) с1хЖ, (6)
где p(x) = m(x)ao sin - интенсивность инерционных сил, действующих на
контактную пластину, m(x) = moF(x).
При резонансе перемещения точек контактной пластины сдвинуты по фазе относительно внешних сил на п/2 [2]
Y(x, t) = ф(x)cos ю^ . (7)
1
С учетом (7) получим U = nmolaoCJFy(x)dx .
o
Рассеиваемая энергия равна
ДЭ = уЭ, (8)
где у - коэффициент поглощения, характеризующий относительное рассеяние энергии за полный период колебаний контактной пластины;
, 1 _
Э = -m0to2c2 JF(x) [y(x)]2 dx. (9)
2o
Вычисляя рассеиваемую за полный цикл колебаний энергию ДЭ и используя условие (5), получим выражение для искомой постоянной:
1
J F (x) y( x)dx
С = . (Ю)
^ 1 I ^(х)[у(х)]2 Ж:
0
Амплитуда динамической реакции в соответствии с (2) в самом общем случае определяется выражением
Q=J 4
l3 dx
J (x) ^
dx
. (11)
x=|l
Предельной виброперегрузкой К0 будем считать минимальную перегрузку, при которой нарушается условие виброустойчивости (1). Тогда предельная виброперегрузка определяется как К0 = g, где а0 - минимальное значение внешнего вибрационного ускорения, вызывающее нарушение условия (1); g - ускорение свободного падения.
При вибрации с перегрузками К > К0 происходит размыкание ранее замкнутых контактов и их дребезг. Для определения предельной виброперегрузки рассмотрим установившиеся вынужденные колебания контактной пластины с угловой частотой ю, совпадающей с основной (первой) собственной частотой ю1 изгибных колебаний контактной пластины. В этом случае имеет место резонанс контактной пластины, а значение предельной перегрузки оказывается минимальным из всех возможных.
В соответствии с условием (1) выражение для предельной виброперегрузки имеет вид
Р0
К =-
G
2п n + — Ф
¥
(12)
где n = M/mol - относительная масса контакта; G = molg - вес контактной пластины постоянной ширины, равной ширине у защемленного края; Ф - безразмерная функция, которая в общем случае имеет вид
Ф=
а
4 dx
J (x) ‘LM-
J F (x) y( x)dx 0_________________
1
JF(x) [y(x)]2 dx
(1З)
0
Функция Ф зависит от частотного коэффициента а, соответствующего расчетной схеме конкретной контактной пластины и определяющего форму колебаний у(х), т.е. существенно зависит от основных параметров контактной пластины.
Формула (12) получена для общего случая плоской контактной пластины, которая имеет переменное поперечное сечение, в (12) входит параметр у, характеризующий относительное рассеяние энергии в контактной пластине. При наличии специальных демпфирующих устройств (например, вибродемпфирующих покрытий) необходимо учитывать рассеяние энергии как в демпфирующих устройствах, так и в самом материале контактной пластины. Коэффициент поглощения у в этом случае определяется как
¥ = ¥o +¥м,
(14)
где у0 - коэффициент поглощения, обеспечиваемый демпфирующими устройствами; = 28 - коэффициент поглощения для материала контакт-
ной пластины; 5 - логарифмический декремент колебаний [3].
Анализ формулы (12) показывает, что величина предельной виброперегрузки пропорциональна начальному контактному усилию Л0, обратно пропорциональна весу контактной пластины и массе контакта. При увеличении демпфирования величина предельной перегрузки возрастает, что способствует повышению виброустойчивости контактной пластины.
2. Контактные пластины постоянного сечения
Рассмотрим контактную пластину постоянного поперечного сечения при J(х) = Р(х) = 1. В этом случае можно построить точное решение. Колебательный процесс рассматриваем до момента отрыва контакта от опоры, т.е. при Р > 0. Необходимо рассмотреть два варианта взаимного расположения упругой опоры и массы контакта.
2.1. Контакт расположен справа от упругой опоры (ц > в)
Форма собственных колебаний определяется выражениями
ф( х) =
Ф1 (х) = Си (ах) + С^У (ах) при 0 < х < Р;
с
Ф2 (х) = Ф1 (х)-----3 ф(Р)У [а(х - Р)] при Р < х < ц;
(15)
а
Фз( х) = Ф2( х) +
Р13 а3 ЕМ
У [а(1 -ц)] при ц < х < 1.
Здесь С\, С2 - произвольные постоянные; Р - неизвестная реакция со
стороны неподвижной опоры; с =
13
М
-с - относительная жесткость упругой
опоры; и, V, Т, Б - функции Крылова [4].
Удовлетворяя условиям неразрывности решений Ф1(Р) = Ф2(Р): Ф2(ц) = 0 и граничным условиям на правом конце пластины (х = 1)
йх
х=1
йх
х=1
получим систему четырех однородных алгебраических уравнений относительно С1, С2, ф(в) и Р. Из условия нетривиальности решения получим частотное уравнение относительно коэффициента а:
с (и(аР)|ду (ац) - Д2У [а(ц - Р)]} - У(аР){Ди(ац) -Д3У [а(ц - Р)]^ + а3 [Д2и (ац) - Д3У (ац)] = 0,
(16)
где Д1, Д2, Д3 вычисляются по формулам
Д1 = Т[а(1 -Р)]Б[а(1 -ц)] - Б[а(1 -Р)]Т[а(1 -ц)] ;
Д 2 = Т (а)£ [а(1 -ц)] - Б (а)Т [а(1 -ц)];
Д3 = Б (а)£ [а(1 -ц)] - V (а)Т [а(1 -ц)].
Минимальный корень этого трансцендентного уравнения определяет частотный коэффициент а: для основной собственной частоты .
Формы колебаний (4), соответствующие основной собственной частоте замкнутой контактной пластины, определяются через гармонические коэффициенты влияния [4]. Окончательно, учитывая (4), получим
У1 (х) = и (ах) + — V(ах),
Д
с Др
У2 (х) = У1 (х)-з—Р V [а( х - Р)],
аД
У3 (х) = У2 (х) + У [а( х - ц)].
Д
(17)
Здесь введены следующие обозначения:
Д = V (ац)Т [ а(1 - ц)] - -—г V (аР) V [ а(ц - Р) ] Т [а(1 - Р) ],
а3
Дс = и (ац)Т [а(1 - ц)] - и (аР^ [а(ц - Р)]Т [а(1 - ц)],
а3
ДР = Т [а(1 - ц)]{V(аР)и(ац) - и(аР^(ац)},
Дц = V(ац)Б(а) - и(ац)Т(а) -
-— V (аР){ V [а(ц - {)] Б (а) - Т [а(1 - Р)] и (ац)} -
а3
-4т и (аР){Т [а(1 -Р)]](ац) - V [а(ц-Р)]Т(а)}. (18)
а
2.2. Контакт расположен слева от упругой опоры (ц < в)
Задача решается аналогично 2.1. Трансцендентное частотное уравнение имеет вид
-(и(«ц){ДУ(аР) -д2v [а(Р - ц)]} - г(ац){Д!и(аР) -
д3v[а(Р - ц)]}\ + а3 Д^и(ац) - д3v(ац)
= 0, (19)
* *
где Д1 вычисляется по формуле Д1 = -Д1, а Д2 и Д3 определяются выражениями для Д2 и Д3 соответственно, если в них параметры ц и в поменять местами.
Формы колебаний имеют вид
*
* Д
У* (х) = и (ах) + —-V (ах),
Д*
д*
у2( х) = У1( х) + -* V [а( х -ц)],
Д
*
У*( х) = У2( х) -т V [а( х -Р)], (20)
а Д
где введены обозначения
Д* = |т [а(1 - ц) ] -— Т [а(1 - Р) ] [а( Р - ц) ] | V (ац),
Д- = и (ац) |т [а(1 -ц)]-- V [а(Р-ц)]Т [а(1 -Р)]
I а
дц= У (ац) ^ (а)-а. У [а(Р-ц)]Г [а(1 -Р)] -
-и(ац) \ Т(а) - —У (аР)Т [а(1 - Р)],
а
дР = V (ац){V [а(Р - ц)] Б (а) - Т [а(1 - ц)]и (аР)} +
+и (ац){Т [а(1 - ц)] V (аР) - V [а(Р - ц)]Т (а)}.
Формы колебаний (20) вычисляются при а = а^ а1 является корнем частотного уравнения (19).
Функция Ф вычисляется по формуле (13) с учетом вида форм колебаний (17) или (20) в зависимости от взаимного расположения упругой опоры и массы контакта. Полученные соотношения позволяют рассматривать частные случаи: промежуточная опора отсутствует (с = 0); промежуточная опора является жесткой (— = тс).
3. Контактные пластины переменного сечения
Расчет предельных вибрационных перегрузок для контактных пластин переменного сечения проводится на основании вариационного метода Ритца
[4], так как получить точное решение невозможно.
Форму собственных колебаний принимаем в виде
N
(21)
к =1
где С1 = 1, Ск - произвольные постоянные. В качестве базисных функций принимаем формы собственных колебаний для контактной пластины постоянного поперечного сечения при заданном расположении упругой опоры и массы контакта. Такой подход позволяет достаточно точно описать формы колебаний контактной пластины переменного сечения и обеспечить высокую точность расчета.
В качестве базисных функций принимаем:
- при ц > в:
¥к (х) =
У1(х, ак) при 0 < х <Р, У2(х, ак) при Р< х <ц, У3(х,ак) при ц<х< 1;
(22)
- при ц < в:
¥к (х) =
Уі(х, ак) при 0 < х <ц, У*(х, ак) при ц< х <Р, У*(х, ак) при Р< х < 1.
(23)
Здесь базисные функции (22) и (23) определяются выражениями (17) и (20) при частотных коэффициентах ак, которые являются корнями частотных уравнений (16) и (19) соответственно.
В соответствии с процедурой метода Ритца коэффициенты в (21) определим как ненулевое решение системы (Ы - 1) линейных алгебраических уравнений вида
где индексы і и к принимают значенияі, к = 1, 2, 3, ..., N.
Частотные коэффициенты а в (24) соответствуют собственным частотам пластины переменного сечения и являются корнями частотного уравнения
После определения постоянных Ск из (24) форма собственных колебаний контактной пластины (4) определяется с точностью до постоянной С, которая определяется из соотношения (10), а функция Ф определяется выражением (13) с учетом (21). Окончательные выражения для функции Ф, определяющей величину предельной виброперегрузки (12), существенно зависят от вида функции J (х), определяющей закон изменения момента инерции поперечного сечения контактной пластины по ее длине.
Интегрирование в выражении (13) производится на трех участках в соответствии с видом базисных функций и вариантом взаимного расположения массы контакта и промежуточной упругой опоры. Количество членов ряда (21) N в полученных соотношениях определяется требуемой точностью расчета.
Так как при вычислении функции Ф используются производные от базисных функций более высокого порядка, чем при вычислении частотных коэффициентов основной собственной частоты, то при сохранении постоянного числа членов ряда N в разложении (21) погрешность вычисления функции Ф будет больше, чем при вычислении частотного коэффициента а. Как показали конкретные расчеты, для достижения одинаковой относительной погрешности при вычислении функции Ф в разложении необходимо удерживать на один-два члена ряда больше, чем при вычислении частотного коэффициента а. Проведенные численные исследования показали, что при удержании в (21) не менее четырех членов ряда погрешность в вычислении функции Ф не превышает 3 %, что вполне допустимо для практических динамических расчетов контактных систем.
На основании разработанных математических моделей были проведены численные исследования виброустойчивости контактных пластин в широком
(24)
к=2
при і = 1, 2, 3, ..., N - 1.
Коэффициенты и)к и Тк определяются выражениями
11
иік = | Л (х)Уі (х)у* (х)ёх + с Vі (Р)¥к (Р), Тік = | Р(х)уі (х)ук (х)dx ,
0 0
а 4Тік - и к = 0.
4. Численные исследования
диапазоне изменения их основных параметров. Ниже представлены некоторые результаты численных исследований.
На рис. 2 представлены зависимости частотного коэффициента а1 для основной собственной частоты пластины в замкнутом состоянии при различных значениях параметров в, — и ц. На рис. 3 представлена зависимость а1 от места расположения замкнутого контакта ц при с = 0, а на рис. 4 аналогичная зависимость для функции Ф, определяющей значение предельной виброперегрузки.
Полученные зависимости являются немонотонными, а значения предельной виброперегрузки существенно зависит от места расположения массы контакта. Максимальное значение предельной виброперегрузки, соответствующее минимуму Ф, достигается при параметрах контактной пластины, обеспечивающих максимальное значение собственной частоты изгибных колебаний. В частности, для рассматриваемой пластины максимальная предельная виброперегрузка обеспечивается при расположении замкнутого контакта в диапазоне 0,7 < ц < 0,8. Очевидно, для рассматриваемой конструкции пластины этот диапазон следует считать оптимальным с точки зрения ее виброустойчивости.
На рис. 5, 6 представлены аналогичные зависимости для трапецеидальной в плане пластины, имеющей постоянную толщину. Коэффициент трапецеидальности определялся как q = 1 - Ь/Ь^ , где Ь0 и Ь - ширина пластины при х = 0 и х = 1 соответственно. Из полученных зависимостей следует, что трапецеидальность также существенно влияет на величину предельной виброперегрузки. При этом увеличение коэффициента трапецеидальности q при прочих равных условиях приводит к возрастанию собственной частоты и увеличению значения предельной виброперегрузки.
Для проверки предложенной математической модели расчета предельной виброперегрузки выполнен расчет виброустойчивости контактной пластины реле. Контактная пластина изготовлена из бериллиевой бронзы с модулем упругости Е = 1,3 • 105 МПа, удельным весом у = 8,3 • 10-5 Н/мм3 и логарифмическим декрементом колебаний 5 = 2,5 • 10-2 [3]. Специальные демпфирующие устройства отсутствуют, т.е. у0 = 0, а ум = 25. Контактная пластина имеет следующие геометрические размеры: Ь = Ь0 = 2 мм; толщина Н = 0,135 мм; I = 10 мм. Контакт массой М = 0,01 г расположен на конце контактной пластины (ц = 1).
Расчет проведен для различных значений контактного усилия Р0. Результаты расчета предельной виброперегрузки и результаты эксперимента приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения предельной виброперегрузки
Начальное контактное усилие Р0, Н Предельная виброперегрузка К0 в единицах %
Расчет Эксперимент
0,05 5,8 6
0,1 11,61 11,8
0,15 17,41 18
Из табл. 1 следует, что результаты расчетного и экспериментального определения предельной виброперегрузки удовлетворительно согласуются.
а) при ц = 1 б) при ц = 0,6
Рис. 2. Зависимость частотного коэффициента а1 от р
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
/
/ 3,927
/ /
У
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ц
Рис. 3. Зависимость частотного коэффициента а1 от ц
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 |і
Рис. 4. Зависимость функции Ф от ц
Рис. 5. Зависимость функции Ф от трапецеидальности контактной пластины
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 6. Зависимость частотного коэффициента а1 от ц и д
Заключение
Разработанная математическая модель позволяет исследовать виброустойчивость плоских контактных пластин переменного сечения, имеющих произвольно расположенные промежуточную упругую опору и массу контакта. Исследовано влияние параметров контактной системы на ее собственные частоты и величину предельных виброперегрузок для контактных пластин, находящихся в замкнутом состоянии. Показано, что существуют оптимальные параметры, позволяющие существенно повысить виброустойчивость контактных систем конструктивными методами. Все результаты исследований представлены в безразмерной форме, что позволяет использовать их в инженерной практике при проектировании виброустойчивых контактных систем.
Список литературы
1. Ананьев, И. В. Динамика конструкций летательных аппаратов / И. В. Ананьев, Н. М. Колбин, Н. П. Серебрянский. - М. : Машиностроение, 1972. - 416 с.
2. Болотин, В. В. К теории вибродемпфирующих полимерных покрытий /
В. В. Болотин, А. Н. Литвинов // Механика полимеров. - 1978. - № 2. - С. 269-276.
3. Писаренко, Г. С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. - Киев : Наукова думка, 1971. - 376 с.
4. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. - М. : Наука, 1965. - 560 с.
Волчихин Владимир Иванович
доктор технических наук, профессор, ректор Пензенского государственного университета
E-mail: cnit@pnzgu.ru
Литвинов Александр Николаевич
кандидат технических наук, профессор, кафедра теоретической и прикладной механики, Пензенский государственный университет
E-mail: pyp@pnzgu.ru
Volchikhin Vladimir Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, rector of Penza State University
Litvinov Alexander Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, sub-department of theoretical and applied mechanics,
Penza State University
УДК 621.888.4.001.2 Волчихин, В. И.
Моделирование динамических процессов контактных систем приборов / В. И. Волчихин, А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 3 (19). -
С. 140-152.
