Анализ динамики контактных систем приборов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.888.4.001.2 Хади О.Ш.

«Технологический Университет», Багдад, Ирак

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ КОНТАКТНЫХ СИСТЕМ ПРИБОРОВ

К современной аппаратуре предъявляются требования высокой надежности и долговечности, что трудно обеспечить при воздействии вибрации, ударов и т.п. По статистике, около половины отказов приборов происходит при вибрации на резонансных частотах колебаний блоков, панелей, плат и контактных систем. В процессе производства, транспортировки и эксплуатации аппаратура испытывает вибрации в широком диапазоне частот и внешних возмущающих нагрузок поэтому в процессе производства аппаратуру испытывают на надежность, виброустойчивость и вибропрочность [1].

Виброустойчивость аппаратуры определяется виброустойчивостью ее элементов, поэтому исследования, связанные с повышением виброустойчивости элементов электромеханической и радиоэлектронной аппаратуры, являются актуальными.Повышение виброустойчивости элементов аппаратуры может осуществляться по двум основным направлениям:

- создание безрезонансных конструкций;

- применение специальных мер по уменьшению влияния вибрации в зонах резонансных явлений элементов аппаратуры.

Создание безрезонансных конструкций возможно в ограниченных случаях, когда при узком диапазоне частот внешних эксплуатационных вибраций можно вывести из него собственные частоты колебаний отдельных элементов и конструкции в целом. Одним из путей создания виброустойчивых конструкций является применение вибродемпфирующих покрытий или иных демпфирующих устройств , позволяющих при незначительном увеличении веса и размеров несущей конструкции обеспечить эффективную виброзащиту [2] .

Одним из основных вопросов при рассмотрении виброустойчивости конструкций является определение их собственных частот. Рассматривается плоская контактная пластина длиной 1, которая жестко защемлена одним концом, опирается на упругую промежуточную опору с жесткостью с и несет контакт массой М. Взаимное расположение опоры и контакта произвольные и определяются координатами 11 и 12 (рис 1). В общем случае поперечное сечение переменно по длине пластины. Пластина рассматривается как система с распределенными параметрами, собственные изгибные колебания которой описываются дифференциальным уравнением:

Ox2

" ці

E(x >1?

+ pF (x Й = о

Of

(1)

где E и р

модуль упругости и плотность материала пластины

F (x) и J (x)

площадь и момент

инерции поперечного сечения.

“ M X

h < c /у}//.

l2

l '

Рис 1 - Контактная пластина

Введем безразмерные параметры:

x*= x/l - безразмерная продольная координата;

b = lxjl - безразмерная координата упругой промежуточной опоры ( 0 1 );

m = lill - безразмерная координата массы контакта М, при 0 < р < 1; п = М/(т01)-относительная масса контакта;

с = l3/(EJ0)c- относительная жесткость промежуточной упругой опоры.

В дальнейшем "звездочку" в обозначении координаты x* опускаем, понимая под х безразмерную про-

дольную координату.

Момент инерции и площадь произвольного поперечного сечения контактной пластины представим в виде

J(x) = J0 • J (x) , F(x) = F0 • F(x) , (2)

где J о и Fo - момент инерции и площадь поперечного сечения в начале координат; J (x) и F (x) -безразмерные функции, описывающие закон изменения момента инерции и площади поперечного сечения по длине пластины; m0 = pF0 .

Уравнение для форм собственных колебаний ф(х)в безразмерном виде записывается как

э1

dx2

J (x т

-a4F(x)j(x) = 0 . (3)

Здесь a

4=mt w _

EJ„

частотный коэффициент.

Собственная частота изгибных колебаний контактной пластины определяется выражением

w =

a

i

l

(с-1)

(4)

Рассмотрим плоскую контактную пластину постоянного сечения при J(x) = F (x) = 1 . Точное решение

для форм колебаний запишем, используя функции Крылова U, V, S, T [3] .

Возможны два случая взаимного расположения массы контакта и упругой опоры:

- упругая опора расположена между массой и опорой (в<ц);

- масса расположена между жесткой опорой и упругой опорой (в>ц).

Рассмотрим первый случай. Контактная пластина имеет три участка, на которых решения записываются в виде:

при 0<Х<|3 j(х) = j (х) = С-fJ (ax) + CyV (ax) ;

при

в<х<ц j( x) = j (x ) = j( x)—a j(b)V [a( x-b)] ; (5)

a

при ц<х<1 j(x) = j(x) = j2(x) + naj(m)V[a(x-m)] ,

где j( x) , j2 ( x) , j3 ( x) - собственные формы колебаний на первом

ответственно; j(b), j(m) - прогибы контактной пластины в месте

массы контакта соответственно .

Граничные условия при х = 1 имеют вид:

jf(1) = j(1) = 0 . (6)

втором и третьем участке сорасположения упругой опоры и

Удовлетворяя граничным условиям и учитывая, что

при х = в j(x) = j(b) ;

при х = ц j(x) = j2 (m) , (7)

получим систему линейных однородных уравнений для определения неизвестных постоянных Cl, С2,

j(b) , j(m) :

CU (ap) + C2V(ab) -j(b) = 0,

C

c1u (am)+c2v (am) —3 v [a(m- p)] j(b) -j(m) = 0,

a

C1S (a) + C2T (a)-a t [a(l - p)]j(p) + naT [a(l -m)] j(m) = 0,

> (8)

C1V (a) + C2S (a)-3 S [a(l -p)]j(b) + naS [a(l -m)] j(m) = 0.

Из условия нетривиальности решений получим частотное уравнение

a3 [S2 (a) - V(a)T (a)] - na [c (U (ab){AiV (am) - AV [a(m - b)]} --V (ab){A1U (am) - A3V [a(m - b)]}^ + a3 {A 2U (am)-A3V (am)}] -+e(u (ab){T (a) S [a(1 - b)] - S (a)T [a(1 -b)]}--V (ab){S (a) S [a(1 -b)] - V (a)T [a(1 -b)]}) = 0.

(9)

Здесь введены обозначения:

A1 = T[a(1 -b)]S[a(1 -m)]-S[a(1 -b)]T[a(1 -m)] ,

A2 = T(a)S[a(1 -m)]-S(a)T[a(1 -m)] ,

A3 = S (a) S [a(1 -m)] - V (a)T [a(1 -m)].

Частотное уравнение (9) имеет бесконечное число корней aa (j = 1,2,3,...) , которые являются частотными коэффициентами и определяют величины собственных частот (4) рассматриваемой контактной пластины ,j- номер собственной частоты контактной пластины.

Для второго случая (в>ц) задача решается аналогично и в результате получаем частотное уравнение в виде:

S2 (a) - V(a)T(a)-О-(и(am){A*V(ab)-A*2V[a(b-m)]}-

-V (am){A1U (ab)-A*3V [a(b-m)]}^ + —3[a2u (ab)-A*3V (ab)J --nai^ U (am){T (a) S [a(1 -m)] - S (a)T [a(1 -m)]}--V (am){S (a) S [a(1 -m)] - V (a)T [a(1 -m)]}^ = 0,

где A1 =-A1 ; а выражения Д2 иДЗ получаем из выражений для Д2 иД3 путем взаимной перестановки параметров в и U •

Частотные уравнения (9) и (10) являются наиболее общими, так как позволяют вычислять точные значения частотных коэффициентов, и, следовательно, собственных частот при любых вариантах взаимного расположения промежуточной упругой опоры и массы контакта, а также при различных относительных значениях жесткости упругой опоры и массы контакта. Эти уравнения позволяют получить решения и для различных частных вариантов исполнения контактных пластин: положение массы и упругой опоры

совпадают (в = ц); промежуточная опора является абсолютно жесткой (c — ¥ ); масса контакта отсутствует (п = 0); промежуточная опора отсутствует (c — 0 ) и т. д.

Трансцендентные частотные уравнения решаются численным методом. Численные исследования проводились в широком диапазоне изменения безразмерных параметров контактной системы в, ц, c , п, что позволило построить номограммы для определения частотного коэффициента а. Полученные номограммы удобны для проведения расчета собственных частот контактных пластин в инженерной практике динамических расчетов.

На рис. 2 и 3 показаны некоторые характерные зависимости для первых двух частотных коэффициентов аіи а2 от основных безразмерных параметров контактной системы.

а)

б)

«з 4'33

*-Вз

а'3з

Рие.2 Частотные коэффициенты аіи а2 при п = 5 ; с=50 а)

б)

Рие.3 Частотные коэффициенты аіи a2 при n = 0,5 ; с=500

Анализ полученных результатов показывает, что зависимости частотного коэффициента от параметров системы имеют нелинейный характер и обладают экстремумами. Это позволяет без изменения веса контактной системы выбирать оптимальные значения параметров системы (например (3 и ц, характеризующие расположение упругой опоры и массы контакта), обеспечивающие существенное повышение ее собственных частот и, как следствие, повышение виброустойчивости контактной группы, т. к. ее собственные частоты пропорциональны квадрату частотного коэффициента (4).

В тех случаях когда контактная пластина имеет переменное поперечное сечение и точное определение частотных коэффициентов невозможно можно применять вариационный метод Ритца [3] , используя в

качестве базисных функций формы колебаний (5) , полученные для контактных пластин постоянного

поперечного сечения и учитывающие взаимное расположение опоры и массы контакта . В этом случае точность расчета существенно возрастает . Закон изменения поперечного сечения по длине контактной

пластины при этом определяется видом функций J (x) и F(x) .

Предложенный алгоритм расчета позволяет на этапе проектирования контактных систем анализировать их динамические характеристики и принимать конструктивные решения по обеспечению их виброустойчивости .

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин ,Э.Н.Обеспечение виброударостойкости оборудования и аппаратуры / Э.Н. Кузьмин- Сне-

женск : Изд -во РФЯЦ - ВНИИТФ,2003.- 320с.

2. Артамонов,Д.В. Применение саистых структур для повышения виброустойчивости конструкций различного назначения / Д.В. Артамонов, А.Н. Литвинов, М.А. Литвинов,Н.К.Юрков// Надёжность и качество :книга тр. Междунар.симп. Т .2, Пенза:Изд-во ПГУ, 2013.-С.149-151 .

3. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. - М.: Наука. - 1965. - 560 с.