CC BY
2
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 5.
УДК 539.374
DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-331-342
Моделирование деформационной повреждаемости металлов при деформациях пластического сжатия
Тутышкин Николай Дмитриевич — доктор технических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: nikolai. tutyshkin@mail. ru
Эксплуатационные свойства многих изделий точного машиностроения, изготавливаемых методами пластической деформации, существенно зависят от структурной деформационной повреждаемости их материала. В связи с этим существенное значение для расчета и прогнозирования надежных эксплутационных характеристик этих изделий имеют методы математического моделирования сложного физического процесса структурной повреждаемости. Согласно систематизированным экспериментальным данным, повреждаемость металлов при больших пластических деформациях связана, главным образом, с образованием, ростом и коалесценцией пор. Для формулировки определяющих соотношений и определения входящих в них материальных функций используется геометрическая модель элементарного объема (БУЕ) со стохастически распределенными мезоэлементами (МЕ), представляющими материальную оболочку с порой. Для поэтапного расчета компонент тензора приращения деформации на БУЕ- и МЕ- уровнях их начальная (недеформирован-ная) и текущая (деформированная) конфигурация определяются метрическим тензором. Приводится расчет мер повреждаемости на основе экспериментальния определение и моделирование материальных функций пластической дилатансии и девиаторной деформации МЕ в зависимости от девиаторной деформации БУЕ в опытах на пластическое сжатие.
Ключевые слова: структурная повреждаемость, математическое моделирование, тензор деформации, физико-структурные параметры, макро- и мезоэлементы, определяющие соотношения.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
Н. Д. Тутышкин. Моделирование деформационной повреждаемости металлов при деформациях пластического сжатия // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 331-342.
Н. Д. Тутышкин
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.
UDC 539.374 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-331-342
Modeling of deformation damage of metals in case of plastic
compression deformations
N. D. Tutvshkin
Tutyshkin Nikolai Dmitrievich — doctor of technical sciences, professor, Tula State University (Tula).
e-mail: nikolai. tutyshkin@mail. ru
Abstract
The performance properties of many precision mechanical engineering products manufactured by plastic deformation methods depend significantly on the structural deformation damage of their material. In this regard, methods of mathematical modeling of the complex physical process of structural damage are essential for calculating and predicting reliable operational characteristics of these products. According to systematic experimental data, the damage of metals in large plastic deformations is mainly associated with the formation, growth and coalescence of pores. To formulate the defining relations and determine the material functions included in them, a geometric model of elementary volume (RVE) with stochastically distributed mesoelements (ME) representing a material shell with sometimes is used. For step-by-step calculation of strain increment tensor components at RVE- and ME- levels, their initial (undeformed) and current (deformed) configurations are determined by the metric tensor. Calculation of damage measures based on experimentation, determination and modeling of material functions of plastic dilatancy and deviator deformation of ME depending on deviator deformation of RVE in plastic compression experiments, is given.
Keywords: structural damageability, mathematical modeling, strain tensor, physical and structural parameters, macro- and mesoelements, determining relationships.
Bibliography: 15 titles. For citation:
N. D. Tutyshkin, 2023, "Modeling of deformation damage of metals in case of plastic compression deformations", Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 331-342.
1. Введение
Прогнозирование пластической повреждаемости является очень существенным технологическим фактором, особенно при изготовлении металлоизделий с качественной мезострук-турой и высокими эксплуатационными свойствами (испытывающих интенсивные силовые и тепловые нагрузки, высокие скорости деформации и физико-химические воздействия). Повреждаемость металлов при больших конечных пластических деформациях связана главным образом с образованием, ростом и коалесценцией пор [1-3]. Например, известно, что при больших пластических деформациях в направлении полос сдвига происходит коалесценция пор с образованием пустот большого размера. В свою очередь эти пустоты являются источниками полос локализованной деформации и могут приводить к пластическому разрушению материала [4].
Важной проблемой в механике пластической повреждаемости остается создание физически обоснованных моделей, описывающих повреждаемость. Неучёт повреждаемости, особенно при больших конечных пластических деформациях, может приводить к существенным погрешностям при решении прикладных задач.
Поры при больших пластических деформациях сжатия приобретают сплюснутую эллипсоидальную форму. При этом пространственная ориентация главных осей мезоэллипсоида оказывается связанной с направлениями главных деформаций £1,£2,£з малой частицы материала, содержащей пору (мезоэлемента, представляющего собой материальную оболочку с одной порой). Таким образом металлические материалы обладают тензорными свойствами деформационной повреждаемости. Целесообразность использования тензорной модели для оценки деформационной повреждаемости основывается на известных результатах по экспериментальному исследованию и моделированию процесса роста и коалесценции пор при пластической деформации.
В работах [5-9], на основе физической концепции роста и изменения формы пор при больших пластических деформациях, формулируется потенциал диссипации и определяющие соотношения пластической повреждаемости металлов. Для модели пластического повреждаемого материала вводятся два набора внутренних переменных: пластические переменные (характеризующие дислокационную структуру) и переменные повреждаемости (описывающие размножение и рост микродефектов). Термодинамическая формулировка определяющих соотношений приводит к симметричному тензору повреждаемости второго ранга (ш) с ясным физическим смыслом. Его первый инвариант (шкк) определяет повреждаемость, связанную с пластической дилатансией материала вследствие роста пор. А второй инвариант (1/2) шш^
( ■ '• \ 1/2
девиаторного тензора й (мера! (1/2) ш^ш34) ) - повреждаемость, связанную с изменением формы дефектов. Введение двух нормированных мер (^1 8 ^2) с соответствующим физическим смыслом позволяет отобразить кинетический процесс деформационной повреждаемости эквивалентным параметром ш (^1, Ш2) в фазовом пространстве (¿1, Ш2, включая критериальные условия для начала стадии коалесценции пор и пластического разрушения. Целесообразность совместного использования этих мер обосновывается экспериментальными исследованиями кинетического процесса пластической повреждаемости металлических материалов, проведенными рядом исследователей.
2. Основные соотношения
В дальнейшем используются следующие обозначения. Символы а ■ Ь и а ® Ь обозначают соответственно скалярное и тензорное произведение векторов аиЬ. Тензоры второго порядка, как векторы, обозначены буквами, набранными жирным шрифтом. В связи с определением деформаций на ВУЕ — и мезоуровнях вводятся в рассмотрение тензоры приращения деформации и ее скорости на ДУ^—уровне: ёе, £ и мезоуровне: ёё, ё(тензоры будут обозначаться буквами с жирным шрифтом). Следуя работам [9, 10], соответствующими буквами (с нежирным шрифтом) будут обозначаться их (например, ковариантные) компоненты: е^,
в том числе, шаровые д,екк, ¿кк, д,екк, екк и девиаторные ёе^, ^е^, е^, а также эквивалентные меры ёед, еед,йеед, £ед, ёед. Эквивалентная деформация, определенная из тензора логарифмических деформаций:
л/2
— ^)2 + (£2 — £з)2 + (ез — ^)2 , (1)
£еп
где £1, £2 , £3 - главные компоненты тензора деформаций.
Эквивалентная (накапливаемая) деформация (параметр Одквиста) при сложном (непропорциональном) нагружении определяется интегрированием по пути деформации [11]:
£ед = ^едМ = , (2)
где эквивалентная скорость и приращение деформации
£ед = (2/3) - ¿^¡^^) , = (2/3) (ё^< - ) . (3)
На мезоуровне для МЕ вводятся аналогичные соотношения. Рассеянные по объему ВУЕ поры имеют различные исходные и текущие размеры и форму, а также положение главных осей. Поэтому экспериментальные измерения изменяющихся размеров совокупности пор в пределах ВУЕ за период времени приводят к рассеянным значениям тензора приращения деформации мезоэлементов Д е = е Д£ и , соответственно, их эквивалентной деформации еед. В связи с этим возникает необходимость определения наиболее вероятных (модальных) значений величин Дёи ёед по экспериментально определяемым распределениям величин Д е и еед. Модальные значения тензоров Де и ёед являются мерами, ассоциированными по отношению к Ж-совокупности пор в пределах ВУЕ. Они будут также являться локальными характеристиками деформации ВУЕ на мезоуровне.
Для моделирования процессов пластического формоизменения металлоизделий с высокими эксплуатационными свойствами целесообразно вводить два набора внутренних переменных: пластические переменные (характеризующие дислокационную структуру) и переменные повреждаемости (описывающие размножение и рост микродефектов).
Разложение тензора приращения поврежденности сСш на шаровый тензор и девиатор йш^ = (1/3) Сшкк + С шу, где Сшкк - первый инвариант тензора Ссш, - символ Кроне-кера, имеет ясный физический смысл. Шаровый тензор (1/3) Сшкк описывает приращение поврежденности, связанное с изменением объема пор. Девиатор сССЬ описывает приращение поврежденности, связанное с изменением формы пор. Подобное представление кинетического процесса повреждаемости деформируемого материала позволяет ввести для его оценки две меры (ш1 и Ш2) следующими дифференциальными уравнениями [9]:
ек' /—~"— \/3ё?' ё^г 3 ^
ссил = Сшкк = —са,сСш2 = л/3ш¡¿ш¡¡а = * _3 г а = —= — а. (4)
Рассмотрим интегральную функцию ëf. Представим ее зависимость через приращения деформаций:
ч = I ((4)2 + Л = ^ (а = I СС,с = ((4)2 + 9^) . (5)
Введем изображающее пространство с декартовыми прямоугольными координатами £ = = ёкк, ] = (3/^)ёед, ] € [0; го] (рис. 1). Накопленное значение параметра е/ = определяется длиной дуги Огде точка ^ соответствует моменту макроразрушения. В случае пропорционального роста дилатансии ё^к и эквивалентной деформации ёед мезоэлементов
параметр ëf = ^ С( = 0(f определяется модулем вектора 0(f. Фазовый угол вектора
разрушения О^ 'дf = агсЪд ((3/л/2) Соответственно вводится вектор коалесцен-
ции О'С,с с фазовым углом §с = агсЬд ({3/л/2) ёедс/ёккс).
Интегральные нормированные меры повреждаемости , Ш2 дифференциальными уравнениями (4):
£ [0; 1]), в соответствии с
W1
dt =
lt £f
f ^ ^ ^ £f
£f
dt =
(3/ v2 ё
eq
£f
dt =
3V2
£f
de,
eq-
(6)
3 _
-f2 3?
s1f
/У 1
// /// 1 f//\ 1 Ш„
У i- \
0.8
« 2C 0.6
0.4
0.2
—L 1 1
- "/i 1 \ 1 \
- у \ 1 1 \
V'\ 1 1 1
0.2
0.4 fi>ic0.6
«lf
Рис 1: Изображающее пространство развития повреждаемости: слева - в плоскости параметров т] = Skk, = (3/л/2) £eq; справа - в плоскости нормированных параметров
W2
Введем пространство нормированных параметров wi, W2 (рис. 1). Процесс повреждаемости деформируемого материала от начального состояния до макроразрушения изображается траекторией OMcMf, где точка Мс соответствует началу стадии коалесценции пор. Подобная интерпретация процесса повреждаемости позволяет ввести в рассмотрение рабочую гипотезу о существовании годографа разрушения Sf (w1, ш2) (рис. 1). Система У-опытов с варьированием мер повреждаемости wi, ^позволяет определить совокупность точек, принадлежащих годографу разрушения Sf (w1, w2). Точка годографа Sf (1, 0) соответствует разрушению образца в результате достижения критической величины пластической дилатансии, без изменения формы пор. Точка годографа Sf (0, 1) соответствует разрушению образца в результате достижения критической величины эквивалентной деформации мезоэлементов, содержащих вытянутые эллипсоидальные поры, без изменения их объема. Пространство Wi, Ш2 позволяет ввести эквивалентную повреждаемость шед = (wi2 + W22)1/2.
При экспериментальном изучении и моделировании деформационной повреждаемости с использованием мер wi и Ш2 удобно входящие в соотношения (6) величины ёкк, ёед и их производные определять как материальные функции от текущей эквивалентной девиаторной деформации RVE eeq'
£-к
= £ кк (£eq) , £% =
¿к-
(£eq )
de,
dt
eq £ , с eq
— ^eq (^eq) , £eq — [£eq (£eq)]
de,
eq
dt
(7)
где штрих означает производную по Л.
Таким образом, тензор повреждаемости ш и связанные с его инвариантами нормированные меры Ш2 описывают как возможность макроразрушения деформируемого материала в определенной опасной зоне, так и возможность начала стадии активной коалесценции эллипсоидальных пор и образования полостных дефектов (как критерий микроразрушения на мезоуровне). Эти меры могут оказаться полезными для оценки качества мезоструктуры металлоизделий. Качественная структура металлических материалов (без крупных полостных
ея
дефектов, кластеров) существенно повышает способность деталей выдерживать динамические ударные нагрузки, а также их усталостную прочность.
3. Моделирование экспериментально определяемых материальных функций
Расчет повреждаемости и прогнозирование разрушения в процессах пластического течения металлов связан с экспериментальным определением и моделированием материальных функций, входящих в определяющие соотношения. Вводя в дифференциальные уравнения (4) материальные функции (7), получаем:
du- - [ёкк (g)] deeq,du2 - 3 d£eq. (8)
ef V2 £f
Для расчета повреждаемости в конкретном процессе пластической деформации представим дифференциальные уравнения (8) в интегральной форме:
Ш = ¡^ [ёкк (eeq)] d u = 3 [eeq (£eq)]
Ш1 = ----~deeq, u2 - ^ —Г-^d£eg. (У)
/0 £f (£eq f) J 0 V 2 £f (£ eqf)
В соотношения (9) входят следующие зависимости (материальные функции): пластической
к к e
e e
f e f
Рассмотрим моделирование экспериментально определяемых материальных функций в процессах пластического сжатия. План эксперимента предусматривал использование в опытах на сжатие цилиндрических образцов пяти типов (рис. 2) из конструкционной стали (Steel DC01) и чистой меди (Copper). Тин А сплошной, без искусственных нор, остальные четыре - с различным расположением цепочки из трех цилиндрических нор-отверстий. Образец В имеет вертикально расположенные отверстия в меридиональном сечении. Остальные три тина С, D, Е имеют горизонтально расположенные отверстия, однако их цепочки расположены под разным углом к оси сжимающей нагрузки: 90° (С), 45° (D) и 0° (Е). Варианты расположения отверстий приняты с учетом предварительных опытов по осадке образцов из чистой меди. Принятые варианты расположения отверстий и их цепочки имеет следующий смысл. Образцы В и С варьируют расположение оси отверстий относительно направления осевой сжимающей нагрузки; их деформация позволит в сравнении «контрасно» выявить влияние гидростати чеекого давления
Рис. 2: Исходные цилиндрические образцы
(отрицательных значений triaxiality) на дилатансию материала в зоне искусственных пор. Ожидалось, что образец В с вертикально расположенными отверстиями в меридиональном сечении будет испытывать наибольшую дилатансию, так как радиальная деформация при осадке будет растягивать отверстия в радиальном направлении. Горизонтально расположенные отверстия в поперечном сечении образца С будут испытывать деформацию сжатия, которая может привести к отрицательной дилатансии. Образцы С, D, Е варьируют направление цепочки искусственных пор относительно направления сжимающей нагрузки и соответственно, относительно направления сдвиговых деформаций. В образце D направление цепочки дефектов (с углом 45°) будет наиболее близким к направлению сдвиговых деформаций, и расположение дефектов будет способствовать сдвиговому разрушению. Выявление зависимости предельной деформации (Л f) образцов С, D, Е от расположения линии дефектов является существенным фактором деформационной повреждаемости. План эксперимента предусматривал варьирование в опытах на сжатие еще двух факторов: отношения начального диаметра к начальной высоте (do/ho = 0.75; 1.00; 1.25) и относительного расстояния между центрами соседних отверстий (lh/dh = 1.5; 2.5).Эти факторы оказывают немаловажное влияние на развитие повреждаемости и деформацию при разрушении осаживаемого образца. Интер-
do/ho
заготовок из пруткового проката, применяемых в технологии.
Осадка образцов осуществлялась на испытательной универсальной машине с измерительным комплексом. В каждом опыте идентичные образцы осаживались до различных нарастающих степеней, включая разрушение образца). Момент разрушения образца устанавливался по появлению на его боковой поверхности трещины (разрушение при сдвиге). Этому моменту соответствует деформация разрушения образца £eqf- После деформации измерялись под оптическим микроскопом размеры искусственных пор и RVE. Распределение естественных пор в окрестности отверстий, а также при осадке сплошных образцов анализировалось с применением сканирующего электронного микроскопа (SEM).
Основной задачей при проведении опытов было определение и моделирокание входящих в определяющие зависимости пластической повреждаемости материальных функций eeq = eeq (eeq) (рис. 3), а также их предельных значений при экспериментально устанавливае-
e f
образованию макротрещины на боковой поверхности образца. При осадке образцов типа С, D, Е из всех материалов макротрещина всегда проходила через искусственные поры. Все образцы из малоуглеродистой стали выявили разрушение. Однако сплошные образцы (типа А) и с вертикальным расположением отверстий (типа В) из чистой меди, осаженные до высокой степени деформации eeq = 1.56... 1.63, не выявили следов разрушения. Опыты на образцах типа В с центральным расположением вертикальных отверстий согласуются с результатами работ [12, 13], согласно которым разрушение происходит на меридиональной поверхности, а не в центре образца. Значительное гидростатическое давление в центре заготовки, даже при исходной поврежденности центральной части искусственными дефектами, залечивает их и не позволяет развиться разрушению. Подтверждается существование triaxiality (( ST)nf), при котором разрушение не наступает и на меридиональной поверхности [14]. Большое гидростатическое давление приводит к залечиванию дефектов с образованием химических связей между соединяемыми поверхностями дефектов (процесс микросварки давлением на мезоуровне).
e ( e )
емости траекториями s (wi , w2) в плоскости параметров wi, W2 (рис.4). Траектории s (wi , w2) сильно смещены влево к оси W2 по сравнению с соответствующими траекториями повреждаемости при растяжении образцов [15]. Это смещение связано с сильным изменение формы ME и малой их дилатансией. Образующиеся цепочки вытянутых эллипсоидальных пор инициируют образование проходящей через них трещины. Для неразрушаемых в
'eq "eq
Рис. 3: Экспериментальные зависимости eeq = eeq (eeq) для исследуемых материалов Steel
DC01 и Copper
Рис. 4: Траектории повреждаемости в плоскости нормированных параметров wi, W2 для исследуемых материалов Steel DC01 и Copper
процессе осадки образцов из меди (типа А и В) траектории s (wi, изображаются петлей, восходящая ветвь которой отображает процесс развития повреждаемости, а нисходящая интенсивнохх) залечивания дефектов.
Зависимости эквивалентной повреждаемости от эквивалентной деформации RVE (рис. 5) показывают разрушение всех образцов типов А, В, С из материала Steel DC01 при достижении величины weq = 1.
со.
eq
1
0.8 0.6 0.4
0.2
1 // 1 ff А—
_ / / В— -
с —
D —
if Е— _
- Ii Steel DC01
¿0/4=1-0 _
1 lh/dh= 1.5 1 1 1
су
eq
1
0.8 0.6 0.4
0.2
| А- X 1 1
В- /
- с- / -
D ■ /
Е -/
- ff Copper
¿„А, =1-0 _
if 7 1 lh/dh= 1.5 | |
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8
^eq ^eq
Рис. 5: Зависимость эквивалентной повреждаемости от эквивалентной деформации для
материалов Steel DC01 и Copper
С увеличением соотношения исходных размеров образцов do/hoti относительного расстояния между отверстиями lh/dh происходит смещение показателя напряженного состояния в область больших отрицательных значений; в результате повреждаемость несколько уменьшается, а предельная деформация увеличивается. Зависимости ueq = ueq (eeq) выявляют максимум ueqmax- В зоне максимума интенсивность процесса залечивания дефектов достигает интенсивности повреждаемости, поэтому в этой зоне приращение эквивалентной повреждаемости dweq/deeq ~ 0. При дальнейшем смещении показателя напряженного состояния в область больших отрицательных значений процесс залечивания дефектов развивается с нарастающей интенсивностью и приводит к быстрому снижению эквивалентной новрежденности. Кинетический процесс повреждаемости вполне удовлетворительно описывается аналитической зависимостью следующих) вида:
Ш,
eq
= bDeaeq • bhe
-C£eq = beaeq e-C£e
(10)
где Ьв£eq-> bhe-C£eq - составляющие функции, описывающие, соответственно, процессы повреждаемости и залечиваемости; {Ьв, bh и а, с - модульные и степенные коэффициенты повреждаемости и залечиваемости, определяемые по характерным точкам графиков ueq = ueq (eeq)); b - эквивалентный коэффициент.
Соотношение коэффициентов а/с имеет ясный физический смысл и определяет эквивалентную деформацию RVE, при которой наступает равновесие кинетического процесса повреждаемости и залечивания мезодефектов: при eeq = а/с функция (10) имеет экстремум ueqmax = b (а/се)а. При нарастании деформации после точки равновесия eeq = а/с функция (10) быстро убывает и асимтотически приближается к оси ueq = 0.
Зависимость (10) является довольно универсальной и позволяет установить связь меры эквивалентной повреждаемости ueq с деформацией разрушения £eqf- В момент разрушения weq = be^fe-C£eqf = 1, и прогнозируемая деформация разрушения образцов из стали изображается точкой пересечения кривых составляющих функций&еСд (£eq) и eCSeq (eeq) (рис. (6, слева). Для неразрушаемых в процессе осадки образцов (типа А и В) из чистой меди кривые составляющих функций be'Cq (eeq) и eCSeq (eeq) не пересекаются, а максимальное их сближение но оси ординат соответствует равновесию кинетического процесса повреждаемости и залечивания микродефектов в точке eeq = а/с (рис. (6, справа). Эта точка соответствует значению показателя напряженного состояния, при котором разрушение образца при пластическом сжатии не произойдет при любых деформациях.
Рис. 6: Графики составляющих функций модели повреждаемости и залечивания дефектов при пластическом сжатии сплошного образца с соотношением исходных размеров do/ho = 1.00 и do/ho = 1.5: слева - для стали Steel DC01; справа - для чистой меди Copper
4. Заключение
Экспериментальные исследования свидетельствуют о существенном влиянии изменения формы пор на развитие деформационной повреждаемости и возможное пластическое разрушение материала. Моделирование повреждаемости связывается с ростом пор (изменением их объемной фракции) и с изменением их формы (приобретением эллипсоидальной формы, связанной с направлением главных деформаций). Тензорная теория повреждаемости позволяет построить термодинамически обоснованную математическую модель с материальными функциями для моделирования повреждаемости деформируемого материала в технологических процессах.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 444 с.
2. MeClintoek F. A criterion for ductile fracture by the growth of holes /7 .J. Appl. Mech. 1968. Vol. 90. P. 363-371.
3. Bao Y., Wierzbicki T. On fracture locus in the equivalent strain and stress triaxialitv space /7 Int. .J. Mech. Sri. 2004. Vol. 46. P. 81-98.
4. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твёрдых тел. — М.: Металлургия,
-
5. Briinig М. An anisotropic ductile damage model based on irreversible thermodynamics /7 Int. ■J. Plasticity. 2003. Vol. 19. P. 1679 1713.
6. Bammann D., Solanki K. On kinematic, thermodynamic, and kinetic coupling of a damage theory for polycrystalline material /7 Int. .J. Plasticity. 2010. Vol. 26. P. 775-793.
7. Khan A., Liu H. A new approach for ductile fracture prediction on A1 2024-T351 alloy /7 Int. ■J. Plasticity. 2012. Vol. 35. P. 1 12.
8. Hosokava A., Wilkinson D., Kang .J., Maire E. Onset of void coalescence in uniaxial tension studied by continuous X-ray tomography /7 Int. .J. Acta Materialia. 2013. Vol. 61. P. 1021-1036.
9. Tutvshkin N., Müller W., Wille R., Zapara M. Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments // Int. J. of Plasticity. 2014. Vol. 59. P. 133-151.
10. Тутышкин Н.Д., Травин В.Ю. Тензорная теория деформационной повреждаемости // Чебышевский сборник. 2022. - Том 23. № 5. С. 320 - 336.
11. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Пер. с англ. Э.И. Григолюка.М.: Госуд. изд-во технико-теорет. лит-ры. 407 с.
12. Dunand М.. Maertens A., Luo М.. Mohr D. Experiments and modeling of anisotropic aluminum extrusions under multi-axial loading - Part I: Plasticity // Int. J. Plasticity. 2012 Vol. 36. P. 34-49.
13. Luo M.. Dunand M.. Mohr D. Experiments and modeling of anisotropic aluminum extrusions under multi-axial loading - Part II: Ductile fracture. // Int. J. Plasticity. 2012. Vol. 32-33, May. P. 36-58.
14. Bao Y., Wierzbicki T. On the cut-off value of negative triaxialitv for fracture. //J. Eng. Fract. Mech. 2005. Vol. 72. P. 1049-1069.
15. Zapara M., Tutvshkin N., Müller W., Wille R. Constitutive equations of a tensorial model for ductile damage of metals //J. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2012. Vol. 24. P. 697-717.
REFERENCES
1. McClintock F. к Argon A. 1970, "Deformation and destruction of materials", M.: Mir, 444 p. (In Russ.)
2. McClintock F. 1968, "A criterion for ductile fracture by the growth of holes", J. Appl. Mech., vol. 90, pp. 363-371.
3. Bao Y. к Wierzbicki T. 2004, "On fracture locus in the equivalent strain and stress triaxialitv space", Int. J. Mech. Sei., vol. 46, pp. 81-98.
4. Ekobori T. 1971, "Physics and mechanics of destruction and strength of solids", M.: Metallurgy, 264 p. (In Russ.)
5. Brünig M. 2003, "An anisotropic ductile damage model based on irreversible thermo-dynamics", Int. J. Plasticity, vol. 19, pp. 1679-1713.
6. Bammann D. к Solanki K. 2010, "On kinematic, thermodynamic, and kinetic coupling of a damage theory for polycrvstalline material", Int. J. Plasticity, vol. 26, pp. 775-793.
7. Khan A. к Liu H. 2012, "A new approach for ductile fracture prediction on AI 2024-T351 alloy", Int. J. Plasticity, vol. 35, pp. 1-12.
8. Hosokava A., Wilkinson D., Kang J. к Maire E. 2013, "Onset of void coalescence in uniaxial tension studied by continuous X-ray tomography", Int. J. Acta Materialia, vol. 61, pp. 10211036.
9. Tutvshkin N.D, Müller W.X, Wille R. к Zapara M.A. 2014, "Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments", Int. J. of Plasticity, vol. 59, pp. 133-151.
10. Tutvshkin N.D. к Travin V.Yu. 2022, "Tensor theory of deformation damage", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no 5, pp. 320 - 336. (In Russ.)
11. Hill R. 1950, "Mathematical theory of plasticity", M.: State, edition of the technical-theoretical literature, 407 p.
12. Dunand M., Maertens A., Luo M. к Mohr D. 2012, "Experiments and modeling of anisotropic aluminum extrusions under multi-axial loading - Part I: Plasticity", Int. J. Plasticity, vol. 36, pp. 34-49.
13. Luo M., Dunand M. к Mohr D. 2012, "Experiments and modeling of anisotropic aluminum extrusions under multi-axial loading - Part II: Ductile fracture", Int. J. Plasticity, vol. 32-33, May, pp. 36-58.
14. Bao Y. к Wierzbicki T. 2005, "On the cut-off value of negative triaxialitv for fracture", J. Eng. Fract. Mech., vol. 72, pp. 1049-1069.
15. Zapara M.A., Tutvshkin N.D, Mtiller W.X. к Wille R. 2012, "Constitutive equations of a tensorial model for ductile damage of metals", J. Continuum Mechanics and Thermodynamics, vol. 24, pp. 697-717.
Получено: 11.10.2023 Принято в печать: 21.12.2023
