CC BY
42
УДК 539.214; 669.14
ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ФОРМУЛИРОВКЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ДЕФОРМИРУЕМОГО МАТЕРИАЛА
А.Ю. Овчаренко, Н.Д. Тутышкин
Рассматривается физико-механический подход к формулировке определяющих соотношений пластической повреждаемости конструкционных металлов. В соответствии с физическим механизмом деформационной повреждаемости при пластической деформации вводится в рассмотрение элементарная геометрическая модель пластически поврежденного материала - элементарный объем со стохастическим распределением мезодефектов - пор. Формулируемое кинетическое уравнение повреждаемости включает модальную характеристику объемной деформации мезоэлементов и её связь с накапливаемой деформацией сдвига макроэлемента.
Ключевые слова: пластичность, дефекты, повреждаемость, разрушение, напряжения, деформации.
Анализ и моделирование процессов пластического формоизменения с прогнозируемой деформационной повреждаемостью требует детального определения полей напряжений и деформаций, с учетом реологического поведения обрабатываемых материалов, с последующим прогнозированием их деформационной повреждаемости. Решение этих вопросов основывается на использовании связанной системы уравнений для механических и физико-структурных параметров пластически деформируемых материалов. За основной физико-структурный параметр принимается параметр повреждаемости материала дефектами деформационного происхождения с. Пластическое формоизменение материалов с прогнозируемой деформационной повреждаемостью описывается в ортогональной системе криволинейных координат (/ = 1,2,3) следующими основными и определяющими уравнениями [1]:
= (1)
щ
V* +1 £ = (2)
р бХ
/ (^, Л, Т) = 0, (3)
% =*Д-, (4)
|С = С(Л, *, Т), (5)
где <5^ - компоненты тензора напряжений; - компоненты вектора скорости; - девиаторные компоненты напряжений; ё^ - компоненты тензора
скорости деформации; Л - степень деформации сдвига (параметр Одкви-ста); 5 = 5 / хI - параметр трехосности напряженного состояния (5 - среднее напряжение; т^ - интенсивность касательных напряжений); / (5 ^, Л, Т)
- пластический потенциал; Т - термодинамическая температура; с - параметр повреждаемости (физико-структурный параметр); 1 - положительная скалярная величина, пропорциональная мощности пластической деформации; р - плотность материала; ^ - время.
Система (1) - (5) состоит из дифференциальных уравнений равновесия (1), условия сплошности (2), уравнения поверхности текучести (3), условия градиентности скоростей деформации (4) и кинетического уравнения деформационной повреждаемости (5).
Поверхность текучести (3) можно задавать для каждого материала с помощью опорных кривых, построенных на основе опытов с варьируемыми условиями деформации. На основе систематизированных экспериментальных данных используется следующая структура опорных неизотермических кривых упрочнения [1]:
55 = 5{из) ехр
а
с г ^ \ч Т — Т0
V Ттах — Т0 )
(6)
где 55из) =5(из,То,о) - изотермическая кривая упрочнения, построенная при начальной температуре То; Ттах - максимальная температура обработки; а, q - параметры температурной зависимости предела текучести.
Изотермическая зависимость предела текучести при заданных тем-пературно-скоростных условиях деформации имеет вид [1]:
5из) = 50+^ / о=0+Аот р -212 + Бё("0 — ). (7)
где на основе экспериментов действует соотношение между напряжением 5а, необходимом для движения заблокированной дислокации, и мерой повреждаемости деформационными микродефектами с :
5 а =5 а / о=о + Аст, (8)
В последнем выражении А и т - параметры степенной функции, вычисляемые по опорным точкам 0 (о = 0; 5а / с=о), 1 (о(1); 5^) и
2(о(2); 5^) опытной зависимости (рис. 1).
Для экспериментального определения функции 5а (с) проводились опыты по двухэтапному растяжению предварительно отожженных образцов. После каждого этапа измерялись мера повреждаемости с и плотность
255
дислокаций р . Мера повреждаемости с определялась по методике проф.
*
Н.Д. Тутышкина [2]. Плотность дислокаций р оценивалась на основе
*
рентгеноструктурного анализа. Далее по известным зависимостям о^ (р ) [3] рассчитывалось напряжение о^. Результаты экспериментального определения функции (8) приведены ниже в таблице.
400
МПа
300
Он
200
2
0 1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
(О -►
Рис. 1. Зависимость между напряжением о^ и поврежденностью ю при пластической деформации (сплав Л1М%3)
Экспериментальное определение функции о^(с)
Стадии деформации Параметр повреждаемости, со Содержаение дислокаций, * -2 р , см Напряжение, о4, МПа Материальные константы
А, МПа т
Начальная деформация (точка 1) 0 108 265 157 1.40
Первая стадия деформации (точка 1) 0,26 109 289
Вторая стадия деформации (точка 2) 0,66 1011 353
Степенной характер зависимости напряжения о^ от меры повреж-
*
даемости ю в (8) связан с возрастанием плотности дислокаций р при пластическом течении материала. Реологическая зависимость (6) вполне удовлетворительно описывает изменение предела текучести при пластической деформации многих конструкционных металлов. Экспоненциальная зависимость предела текучести от температуры выводится из основных соотношений термодинамики для деформируемых металлов [4].
Приращение температуры материала, связанное с диссипацией энергии формоизменения, находится из уравнения сохранения энергии
йа1 = срйТ + аэ(т), (9)
где а^ - удельная работа формоизменения; с - удельная теплоемкость материала; э(т) - внутренняя диссипация энергии, связанная с изменением структурных параметров тк. Справедливость уравнения (9) подтверждается экспериментальными данными, согласно которым не вся работа на пластических деформациях переходит в теплоту, часть ее затрачивается на структурные изменения материала.
В качестве поверхности текучести (3) может приниматься обобщенная функция текучести Мизеса [5]:
/ (^, Л, Т )=2 (^)—х2 (Л, Т ) = 0, (10)
где х5 - предел текучести материала при сдвиге. Как показали многочисленные эксперименты [6-9], обобщенная функция текучести (10) достаточно удовлетворительно описывает поведение металлических конструкционных материалов при больших конечных деформациях. Уравнение (10), с учетом зависимости (6), приводится к следующему удобному виду:
2 5ц5ц — (х5и3 ))2 ехр
— 2а
С гр гр ^ 1 — Т0
V Ттах — Т0 )
= 0. (11)
Таким образом, при анализе процессов пластического формоизменения целесообразно рассматривать эволюцию поверхности текучести (3) с учетом влияющих на нее факторов.
Известные физические представления о повреждаемости пластически деформируемых металлов позволяют ввести связанные с ними основные соотношения [1]. Представление о макроэлементе как об элементарном объеме поврежденного дефектами материала, соответствует фундаментальной гипотезе микрофизической определимости в механике сплошной среды [10], так как макроэлемент воспроизводит свойства деформируемой повреждаемой среды. Это соответствие позволяет воспроизводить в опытах над образцами конечных размеров состояние вещества в малом объеме Умакро, т.е. экспериментально проверять и развивать закономерности поведения деформируемой среды. Определяющие соотношения повреждаемости деформируемых металлов должны соответствовать следствию из гипотезы макрофизической определимости для подсистем, согласно которой тело А (система, среда) состоит из большого числа "1 однотипных тел (подсистем) А1, каждая из которых в свою очередь состоит из большого числа "2 однотипных тел А2 и т.д. В данном случае роль тела А выполняет деформируемый материал заготовки, полуфабриката изде-
257
лия, роль тел (подсистем) А\ выполняют макроэлементы, а роль тел А2 -мезоэлементы. Это следствие в соответствии с физическим механизмом деформационной повреждаемости при больших пластических деформациях позволяет ввести в рассмотрение элементарную геометрическую модель пластически поврежденного материала - элементарный объем Умакро со
стохастическим распределением мезодефектов - пор (рис. 2). В начальный момент деформации элементарный объем Умакро рассматривается как
прямоугольный элементарный параллелепипед. Каждый мезоэлемент Vмезо представляет собой параллелепипед со вписанной в него порой (рис. 3). В процессе произвольно сложной деформации прямоугольный элементарный параллелепипед Умакро преобразуется в наклонный параллелепипед и, соответственно, содержащиеся в нем мезоэлементы Умезо также преобразуются в наклонные параллелепипеды.
Формоизменение макрочастицы будет вполне описываться изменением длин материальных волокон АА, ББ', СС' и трёх углов (первоначально прямых) между ними, то есть шестью независимыми параметрами, определяющими тензор деформации [11]. Аналогичным образом выделим в мезо-объёме Умезо три отрезка АА, ББ', СС'. Формоизменение поры также будет вполне описываться изменением длин этих отрезков и трёх углов между ними.
При последующем построении определяющих соотношений для повреждаемости будем исходить из подобия преобразований макрочастицы деформируемого материала и заключённых внутри неё мезочастиц. Это подобие следует из условия однородности деформации в пределах каждой весьма малой частицы материала и доказывается в механике сплошной среды [12].
Рис. 2. Элементарный объем (макроэлемент) со стохастическим
распределением пор
Рис. 3. Мезоэлемент в начальный момент деформации
Введём сопутствующую систему координат X1, X2, X3, жёстко связанную с макрочастицами деформируемого материала. Если произвольной деформации сплошной среды поставить в соответствие некоторое преобразование системы координат, то предположение об однородности деформации соответствует аффинному преобразованию в пределах каждой макрочастицы сплошной среды, то есть преобразование макрочастицы и заключённых в ней мезочастиц является аффинным.
Рассмотрим сначала макрочастицу. Координатами точек А, В, С и
А, В', С' являются величины X + Х (' = 1,2,3), где X - координаты
точки М (центра частицы). Положение материальных точек частицы в момент г можно задать вектором йг = Э'й^', где Э' - ковариантные векторы
базиса сопутствующей системы координат XX. Положение тех же материальных точек в момент определится вектором = Э'о.
Если совместить центры частицы и поры в моменты ^ и г, то есть
точки Мо и М, и разложить вектор йт по направлениям базиса Э' (рис.
4), йт = Э'йц1, то компоненты этого разложения йЦ будут отличаться от
компонент . Связь между компонентами йЦ и ^ определяет преобразование частицы материала с порами и находится из равенства
йт = Эю^^ = Э'йЦ.
(12)
Связь между векторами базиса Э' и Э'о устанавливается следующей зависимостью
дио _ ^ 117 „к ^ _(як- , уу ..к к пк
Эо = Э += Э + VгикЭк = № + чгик Эк = СкЭк, (13)
дХ
где и — вектор перемещения; V¡ик — ковариантная производная контрава-риантых компонент вектора иг; Ь^ — символ Кронекера.
Рис. 4. Преобразование при произвольно сложной деформации малой частицы сплошной среды (центры частицы Мо и М
в моменты Iо и I совмещены)
Из зависимости (13) следует, что
о
с!го = Э ¡¿Х = ск' Эк^Х = Эк^Лк, (14)
откуда находим
дц к = с к ¿Хг. (15)
Преобразование от компонент ¿Х к компонентам дЦ является
, независящей от дифференциалов
ск -
с- г
однородным линейным с матрицей
¿Х . Коэффициенты Ск зависят, вообще говоря, только от координат центра частицы М(х). Таким образом, коэффициенты Ск для каждой макрочастицы постоянны, а преобразование (15) аффинно, то есть любые прямолинейные материальные волокна в пределах малой частицы, в том числе и отрезки Ао АО, Во Во, СоС0, Ао Ао, Во Во, СоСо остаются прямолинейными при любой произвольно сложной деформации (преобразовании) этой же частицы.
26о
Преобразования (15) свидетельствуют о тождестве мер формоизменения макрочастицы сплошной среды и заключенных в ней мезочастиц. Это обстоятельство позволяет описать меру повреждаемости не только через изменение размеров и формы мезочастиц, но и через изменение размеров и формы макрочастицы. Преобразования (15) позволяют ввести в рассмотрение модель макрочастицы, поврежденной совокупностью п стохастически распределенных пор. Эта модель позволит описывать процесс роста и слияния пор в крупные полостные дефекты с учетом преобразований (15). Для распространенных в технике конструкционных металлических материалов линейные размеры макро- и мезоэлементов составляют 8макр0 = 110 - 210 мкм, 8мезо = 1 - 20 мкм. Соответственно их объемное
/' Л
соотношение Умезо / Умакро » 0.75 10- - 0.86 10- .
В связи с последующим определением деформаций как на макро-, так и на мезоуровне, будем различать их компоненты (скорости и приращения) следующим образом: еу, еу, йеу - на макроуровне, ёу, ёу, йёу -
на мезоуровне. За меру пластического разрыхления (пластической дила-тансии) принимается объемная деформация мезоэлементов ё. Разброс размеров совокупности мезоэлементов в пределах каждого макроэлемента приводит к разбросу индивидуальных значений еу, ёу, d8гj на каждом
этапе деформирования. В связи с этим возникает необходимость определения наиболее вероятных (модальных) значений деформаций ёу, ёу, сШу
по экспериментально определяемым распределениям величин еу, £у, йё^ .
Поэтому для каждого макроэлемента должны экспериментально определяться наиболее вероятные величины ёу, ёу, й^у. Модальные значения
величин ёу, ёу, Съ^ являются мерами мезодеформации, ассоциированными по отношению к совокупности пор в пределах макроэлемента. Они будут также являться локальной характеристикой деформации макроэлемента на мезоуровне.
В механике деформируемого твердого тела получило распространение представление о поврежденности, как величине (с), описывающей накопление дефектов в процессе деформации
сс (1^), 1 = 1,2,..., (16)
где СА^) - функция скорости повреждаемости й от параметров
связанных с НДС процесса.
Нормированная величина поврежденности сое [0;1], где границы интервала соответствуют исходному состоянию материала ( со = 0) и моменту макроразрушения ( с = 1).
В известных работах [13-17] С моментом образования макротрещины связывается момент достижения критической величины пластического разрыхления ёцкр на макроуровне. Связь пластического разрыхления металла с процессом рассеянного образования и роста деформационных ме-зодефектов позволяет принять в уравнении (16) в качестве параметра А,^
линейный инвариант тензора деформации ёц, т.е. А^=еи ■ В результате кинетическое уравнение (16) принимает следующий вид:
dw_ e ü
dt гпкр
(17)
где eц - скорость пластической дилатансии на макроуровне.
Согласно последним исследованиям [2, 11, 18], более обоснованной мерой деформационной повреждаемости, с позиций её физической природы, является объемная деформация мезоэлементов. Ранее принятая модель макроэлемента со стохастическим распределением пор позволяет принять за меру повреждаемости модальную характеристику объемной деформации ёц по отношению к N -совокупности мезоэлементов, заключенных в данном макроэлементе. Современная экспериментальная техника позволяет определять модальную характеристику ёц для распределенных по объему деформируемого материала макроэлементов Умакро [2, 11, 18]. С моментом образования макротрещины связывается момент достижения критической величины пластического разрыхления ёцкр на мезоуровне. Принимая в уравнении (17) в качестве параметра А^ линейный инвариант тензора деформации ёц, т.е. А^=£ц, получаем:
dw ё
-7/
dt е»кр
(18)
Кинетическое уравнение (18) с учетом связи ёц (Л) между пластической дилатансией ёц и накапливаемой деформацией сдвига макроэлемента Л , имеет следующий вид:
= [ёгг(Л)]Н (19)
Л ёИ кр (Л пр У
где Лпр - предельная степень деформации сдвига, соответствующая моменту разрушения; штрих означает дифференцирование по параметру Л; Н = дЛ / д - интенсивность скоростей деформации сдвига.
262
Более конкретный вид кинетического уравнения (19) (с учетом входящих в него материальных функций ёц (Л), Л пр (о)) определяется на основе системы экспериментов. Материальная функция ёц (Л) для изучаемого материала и заданных температурно-скоростных условий деформации определяется на основе экспериментального анализа распределения дефектов деформационного происхождения и его изменения во времени процесса деформирования. Материальная функция Лпр (о) представляет собой
известные диаграммы пластичности [13-15] для разных материалов и определяется на основе разнотипных опытов (на растяжение, осадку, сдвиг и т.д.).
Для определения материальной функции Л пр (о) изучаемых материалов используются известные экспериментальные данные [13-15]. Для построения материальной функции Л пр (о) удобно ввести в рассмотрение
направляющий девиатор напряжений /о = /о/дДгС^а) [10], модуль которого 12(/о) = 1. Таким образом, пластичность металла с заданным химическим составом, структурой тк0 для фиксированных температурно-скоростных условий обработки ёу0, 70 зависит от тензорных функций напряжений:
Л пр = Л пр
11(То ) ^, 1з( /о )
гй Л 3 V /о У
¿у 0, T0, т к 0
где отношение /о / /о выполняет роль масштабного фактора напряженного состояния.
Для прикладных расчетов пластичности металлов используется характеристика среднего напряжения в виде о = - 71(То) , то есть
3 /о
ЛПр = Лпр (о). Для построения зависимости Лпр = Лпр (о) разработана
методика проведения разнотипных испытаний на растяжение, сжатие и выдавливание под гидростатическим давлением, что обеспечивает варьирование параметра трехосности напряженного состояния о. Скорость деформации сдвига Н, входящая в кинетическое уравнение (19), рассчитывается на основе полей скоростей пластического течения.
Выводы. На основе используемых физических представлений о повреждаемости пластически деформируемых металлов введены связанные с ними основные соотношения. Введение представления о макроэлементе
263
как об элементарном объеме поврежденного дефектами материала соответствует фундаментальной гипотезе микрофизической определимости в механике сплошной среды [10].
Определяющие соотношения повреждаемости деформируемых металлов соответствуют следствию из гипотезы макрофизической определимости для подсистем, согласно которой тело Ао (система, среда) состоит из большого числа щ однотипных тел (подсистем) A, каждая из которых в свою очередь состоит из большого числа «2 однотипных тел А2 и т.д. В данном случае роль тела А0 выполняет деформируемый материал заготовки, полуфабриката изделия, роль тел (подсистем) А1 выполняют макроэлементы, а роль тел А2 - мезоэлементы.
В соответствии с физическим механизмом деформационной повреждаемости при больших пластических деформациях введена в рассмотрение элементарная геометрическая модель пластически поврежденного материала - элементарный объем Умакро со стохастическим распределением
мезодефектов - пор.
Для построения определяющих соотношений повреждаемости показано подобие преобразований макрочастицы деформируемого материала и заключённых внутри неё мезочастиц. Это подобие следует из условия однородности деформации в пределах каждой весьма малой частицы материала.
На основе физической концепции порообразования в пластически деформируемом материале сформулировано кинетическое уравнение повреждаемости, включающее модальную характеристику объемной деформации мезоэлементов ёц и её связь ёц (Л) с накапливаемой деформацией сдвига макроэлемента L .
Список литературы
1. Комплексные задачи теории пластичности / Н.Д. Тутышкин, Ю.В. Полтавец, А.Е. Гвоздев [и др.]; под ред. Н.Д. Тутышкина, А.Е. Гвоздева. Тула: Шар, 1999. 378 с.
2. Tutyshkin N.D. Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments / N.D. Tutyshkin, W.H. Müller, R. Wille, M.A. Zapara // Int. J. Plastisity, 2014. V. 59. P. 133 - 151.
3. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. М.: Металлургия, 1971. 264 с.
4. Зайков М.А. Прочность углеродистых сталей при высоких температурах // Журнал технической физики, 1949. Т.19. Вып. 6. С. 684 - 695.
264
5. Майборода В.П., Кравчук А.С., Холин Н.Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1986. 264 с.
6. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.
420 с.
7. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.
8. Хилл Р. Математическая теория пластичности / пер. с англ. Э.И. Григолюка. М.: Госуд. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1956, 407 с.
9. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. 2. Конечные деформации / пер. с англ. под ред. А.П. Фалина. М.: Наука, Главная редакция физ. - матем. лит-ры, 1984. 432 с.
10. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: АН СССР, 1963. 271 с.
11. Zapara M.A. Constitutive equations of a tensorial model for ductile damage of metals / M.A. Zapara, N.D. Tutyshkin, W.H. Müller, R. Wille // Cont. Mech. Therm, 2012. V. 24. P. 697 - 717.
12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука, 1984.
528 с.
13. Колмогоров В. Л. Напряжения. Деформации. Разрушение. М.: Металлургия, 1970. 229 с.
14. Колмогоров В.Л. Пластичность и разрушение / В.Л. Колмогоров, А.А. Богатов [и др.]. М.: Металлургия, 1977. 336 с.
15. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов: учебное пособие для вузов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ - УПИ, 2002. 329 с.
16. Богатов А.А., Миржицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984. 144 с.
17. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: Уральский государственный технический университет (УПИ), 2001. 836 с.
18. Zapara M.A. A study of ductile damage and failure of pure copper -Part II: Analysis of the deep drawing process of a cylindrical shell / M.A. Zapara, N.D. Tutyshkin, W.H. Müller, R. Wille // Technische Mechanik, 2012. V. 32. P. 631 - 648.
Овчаренко Александр Юрьевич, асп., ovcharenko. alexandrahk. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Тутышкин Николай Дмитриевич, д-р техн. наук, проф., Nikolai. Tutyshkin@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
PHYSICO-MECHANICAL ASPECTS AND CRITERIA OF PLASTIC DAMA GEABILITY
OF STRUCTURAL METALS
A.Y. Ovcharenko, N.D. Tutyshkin
Deals with physical and mechanical aspects and criteria of ductile damage in structural metals. Introduces ideas of object as the basic amount of damaged defective material meets the fundamental hypothesis of microphysical definability in continuum mechanics, as a macronutrient reproduces the properties of wrought damaged environment (M-sample in the terminology of A. A. Ilyushin).
Key words: plasticity, defects, damage, fracture, stress, strain.
Ovcharenko Alexandr Yurievich, postgraduate, ovcharenko.alexandrabk.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tutyshkin Nikolai Dmitrievich, doctor of technical science, professor, Nikolai. T utyshkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.9; 663.255
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЩЕЛЕВОГО БУНКЕРНОГО ЗАГРУЗОЧНОГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ Т-ОБРАЗНЫХ ПРОБОК
Е.В. Давыдова, Е.А. Ганков
Рассматривается методика определения вероятностных коэффициентов аналитической модели производительности дискового щелевого бункерного загрузочного устройства для Т-образных пробок с различными геометрическими и физико-механическими параметрами.
Ключевые слова: дисковое щелевое бункерное загрузочное устройство, Т-образные пробки, автоматическая загрузка.
Автоматическая загрузка роторных машин и линий для розлива игристых вин, шампанского и элитных алкогольных напитков укупорочными элементами в виде Т-образных пробок (рис. 1) в упорядоченном положении, с заданным темпом и требуемой производительностью является актуальной задачей пищевой промышленности. Это обусловлено тем, что ручная подача пробок в машину может обеспечить лишь подачу 30...40 шт./мин при производительности от 100 до 200 шт./мин отечественных линий и до 1200 шт./мин зарубежных [1].
266
