Моделирование автореферентных рассуждений в логике первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования УДК 681.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОРЕФЕРЕНТНЫХ РАССУЖДЕНИЙ В ЛОГИКЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В.М. Зюзьков

Автореферентными рассуждениями называются рассуждения, в которых используются понятия, самоотносимые или самоприменимые к самим себе. В статье предлагается метод решения некоторых задач с автореферентными рассуждениями путем нахождения модели в некоторой теории первого порядка.

Рассмотрим логическую задачу.

Известны следующие факты:

1) если А виновен и В не виновен, то С виновен;

2) С никогда не действует в одиночку;

3) А никогда не ходит на дело вместе с С;

4) никто, кроме А, В и С, в преступлении не замешан, и, по крайней мере, один из этой тройки виновен.

Полностью доказать, кто виновен, а кто не виновен, из этих фактов не получится, но чтобы выдвинуть неопровержимое обвинение против одного из них, материала вполне достаточно.

Обозначим высказывания «А - виновен», «В - виновен», «С - виновен» соответственно через А, В и С. Тогда условие задачи можно записать в виде формул логики высказываний:

А & -В з С ; С з (А & С V В & С); -(А & С);

А V В V С.

Поскольку имеется только конечное число интерпретаций, то с помощью полного перебора можно получить решение задачи.

В [1] приводится много логических задач, в которых персонажи высказывают некоторые автореферентные утверждения, прямо или косвенно говорящие об истинности этих утверждений. Персонажи этих задач населяют некоторый остров и относятся к одной из двух категорий: «рыцари», которые говорят только правду, и «лжецы», изрекающие только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец. Одна из простых задач следующая.

Задача 1. Персонаж А утверждает: «Мы оба вместе с В лжецы». Кто есть А и кто есть В?

Условие данной задачи нельзя описать в рамках логики высказываний. Но, неформально рассуждая, легко получить ее решение.

Для моделирования интроспективных и автореферентных рассуждениий, как правило, вводятся неклассические модальные логики, в частности, автоэпистимические логики [2].

Мы покажем, как задачи данного класса алгоритмически решаются в рамках классической логики первого порядка.

Мы рассматриваем теорию первого порядка. Язык теории есть множество формул: P(x1, x2,..., xn) (P - предикатный символ, xl3 x2,..., xn - переменные); фу^ (дизъюнкция); ф & у (конъюнкция); —ф (отрицание); x = y (равенство).

Свободные переменные могут быть конкретизированы термами: ф(x) — ф(т). Среди термов мы имеем для каждой формулы ф терм (ф) , который называется именем или геделевым номером соответствующей формулы.

Интерпретация M означает присваивание значений элементам языка:

терм т —^ объект тм из M;

предикатный символ P — отношение PM на объектах M; формула ф— истинностное значение фм. Допущение: для всех формул ф считаем, что (ф^ = фм . Таким образом, Р((ф)) выражает, что ф обладает свойством PM . Говорят, что формула ф выполнена в M, если ф^^^ = true .

Мы введем предикаты, с помощью которых опишем формулы, выражающие автореферентные утверждения в задачах данного вида.

Пусть a, b, с,... - множество констант в нашем языке. Пусть M - область интерпретации -

разбивается на два подмножества: M = R ^ L . Базисные предикаты языка теории есть R(x) и

L(x) . Интерпретация этих предикатов:

R(x) = xM е R, L(x) = xM е L .

Для каждой константы с языка определим предикат Pc. Зададим интерпретацию предиката только для аргументов специального вида

P ((ф))M = (cM е R) & фм v (cM е L) & —фм . (1)

Для других термов интерпретация остается неопределенной, но она нам и не понадобится. Поскольку {R, L} - разбиение множества M, то Pc((ф)) истинно тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух взаимно исключающих друг друга условий: (cM еR)&фм ; (cM еL)& —фм .

Содержательно cM е R можно понимать как «рыцарь с именем с», а cM е L - как «лжец с именем с».

Теперь мы в состоянии описать условие задачи 1. Оно выражается формулой

Pa((L(a)& L(b))) .

Используя вольность в обозначениях, будем смешивать константы языка с их интерпретацией, поэтому последнюю формулу запишем в виде Pa ((a е L & b е L)).

Поскольку аргументами предикатов в логиках первого порядка могут быть только термы, то для того чтобы можно было конструировать формулы, «говорящие» о формулах, как раз и используется гедилизация (традиционный способ, введенный К. Геделем).

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 2. Перед нами три жителя острова A, B и C. Двое из них (A и B) высказывают следующие утверждения:

A: мы все лжецы;

B: Один из нас рыцарь.

Кто из трех островитян A, B и C рыцарь и кто лжец?

Условие этой задачи представляется в виде двух формул:

Pa ((a е L & b е L & с е L)) ;

Pb ((a е R & b е L & с е L v a е L & b е R & с е L v a е L & b е L & с е R)) .

Проведем онтологический анализ задач данного класса. По-видимому, для решения таких задач нам придется иметь дело со следующими объектами.

Персонажи, произносящие утверждения. Произносимое утверждение характеризует либо самого персонажа, либо прочих персонажей, либо и тех и других. Персонаж может быть либо рыцарем, либо лжецом. Имена персонажей задаются константами a, b, с и т. д.

Утверждение, содержащееся в реплике. Это утверждение может быть лживым или истинным. Предикат Pc((ф)) интерпретируется как «персонаж с именем с говорит утверждение ф ».

Существует среда (мир), которая характеризуется совокупностью наших предположений. Например, существует мир, в котором мы предположили, что B - рыцарь, и, следовательно, высказанное им утверждение (или утверждения) истинно. Это предположение влечет за собой разные следствия, которые образуют контекст данного гипотетического мира. Другими словами, мир является интерпретацией теории. Введенные нами интерпретации будем называть интерпретациями Смаллиана.

Таким образом, рассматриваемая проблема относится к типу таких, решение которых находится в результате анализа выводов, следующих из определенных предположений, и поиска в них противоречий (или отсутствия таковых). Мы предполагаем, что определенный персонаж говорит правду, а затем смотрим, можно ли в этом случае так распределить «роли» остальных

персонажей, что не будут нарушены условия, сформулированные в утверждениях. Вопрос состоит в том, существует ли мир и кем он должен быть «заселен», чтобы множество утверждений (с учетом их истинности) было непротиворечивым?

В терминах математической логики для решения любой задачи данного класса требуется:

1) описание условий задачи в виде множества Г формул теории первого порядка;

2) поиск модели (среди интерпретаций Смаллиана) для множества Г.

Поскольку количество интерпретаций Смаллиана всегда конечно, то модель (или модели) можно найти с помощью перебора. Сложность задачи есть 0(2п), где п - количество персонажей задачи.

Рассмотрим еще задачу.

Задача 3. Встретились два человека А и В, которые заявляют следующее: А: В утверждает, что он рыцарь; В: А утверждает, что он лжец.

К какой категории следует отнести каждого персонажа?

Теперь имеются высказывания о высказываниях - будем называть их метавысказыва-ниями. Метавысказывания также выражаются в нашей теории. В частности, условие этой задачи представляется формулами Ра«Рь«Ь е К)))), Рь«Ра«а е Ь)))) . Используя отношение (1), получаем решение

Рь((Ра((а е Ь))))м = (Ь е К)& Ра((а е Ь))м V (Ь е Ь)& -Ра((а е Ь))м . Отсюда следует, что Ь е Ь , поскольку Ра ((а е Ь)) ложно в любой интерпретации Смаллиана. Далее, Ра ((Ръ((Ь е Ь))))м = (а е К)& Рь ((Ь е К))м V (а е Ь) & -Рь((Ь е К))м . Поскольку Рь ((Ь е К)) в интерпретациях Смаллиана всегда выполняется, то а е К.

Таким образом, получаем единственную интерпретацию - решение задачи 3. Очевидно, данная теория позволяет описывать метавысказывания произвольной вложенности.

Рассмотрим задачи несколько другого вида. Кроме рыцарей и лжецов на острове поселились «нормальные» люди, которые иногда лгут, а иногда говорят правду. Теперь область интерпретации разбивается на три непересекающихся подмножества М = К ^ Ь ^ N. Вводится предикат N(х) = х е N, который интерпретируется как «х - нормальный человек». Правило (1) заменяется правилом

Рс(<ф))м = (См е К) & фм V (см е Ь) & -фм V (см е N). (2)

Таким образом, если с - нормальный человек, то истинность ф может быть произвольной.

Правило интерпретации (2), конечно, менее ограничительно, чем (1). При наличии нормальных людей теперь формула Ра ((а е Ь)) может быть и истинной, а формула Ра ((а е К))

может быть и ложной. Но в некоторых задачах, можно по-прежнему обнаружить единственную модель.

Задача 4. Двое людей А и В, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения:

А: В - рыцарь.

В: А - лжец.

Есть ли среди них рыцари?

Легко проверить, что любая модель для этого решения не содержит рыцарей.

Вернемся снова к интерпретациям Смаллиана, содержащим только рыцарей или лжецов. Нетрудно убедиться, что если какая-то формула теории не имеет модели среди интерпретаций Смаллиана, то утверждение «результат интерпретации этой формулы» является парадоксом. Очевидно, классический «парадокс лжеца» представлен формулой Ра ((а е Ь)). Не менее известный парадокс с косвенной автореференцией - следующая задача.

Задача 5 (о Сократе и Платоне).

Сократ: «То, что сказал Платон, есть ложь».

Платон: «Сократ говорит только правду».

Условие задачи описывается совместно невыполняемыми формулами:

Рсократ((Платон е Г)) ;

Рплатон ((Сократ е Я)).

Рассмотрим сейчас области интерпретации, в которой объекты обладают дополнительными атрибутами, кроме свойства истинности. В ряде задач Р. Смаллиана речь идет о надписях на шкатулках, и эти надписи могут сообщать что-то о своей собственной истинности - вот в этом и заключается автореферентность.

Задача 6. У Порции из комедии Шекспира «Венецианский купец» было три шкатулки: из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. Поклоннику предлагалось выбрать шкатулку, и если он был достаточно удачлив (или достаточно умен), чтобы выбрать шкатулку с портретом, то получал право назвать Порцию своей невестой. На крышке каждой шкатулки была сделана надпись, которая должна была помочь претенденту на руку и сердце Порции выбрать «правильную» шкатулку.

Предположим, что Порция вздумала выбирать мужа не по добродетелям, а по уму. На крышках шкатулок она приказала сделать следующие надписи:

На золотой На серебряной На свинцовой

Портрет в этой шкатулке Портрет не в этой шкатулке Портрет не в золотой шкатулке

Своему поклоннику Порция пояснила, что из трех высказываний, выгравированных на

крышках шкатулок, только одно истинно.

Какую шкатулку следует выбрать поклоннику Порции?

Чтобы оставаться в рамках теории первого порядка выберем область интерпретации как декартово произведение М = (Я и Ь) х {портрет _ есть, портрета _ нет} . Константа с со-

держательно интерпретируется как «шкатулка с именем с». Предикат Рс((ф)) содержательно интерпретируется: «на крышке шкатулки с написана надпись, выраженная формулой ф , и портрет в данной шкатулке (не) находится». Таким образом, значением см является одна из возможных ситуаций:

«Надпись на шкатулке с истинна и портрет находится в этой шкатулке»;

«Надпись на шкатулке с ложна и портрет находится в этой шкатулке»;

«Надпись на шкатулке с истинна и портрет не находится в этой шкатулке»;

«Надпись на шкатулке с ложна и портрет не находится в этой шкатулке».

Вместо правила (1) необходимо использовать правило интерпретации

Рс((ф))М = (сМ е К х {портрет _ есть}) & фм V (см е К х {портрета _ нет}) & фм V

V (см е Ь х {портрет _ есть}) & —фм V (см е Ь х {портрета _ нет}) & —фм . (3)

Дополнительно вводим предикат для описания того, что портрет в шкатулке х: £(х)м = см е (К и Ь) х {портрет _ есть}. Теперь условие задачи 6 можно описать в виде формул:

ф1 = Рзолотая((£(златая)));

ф2 = ^серебряная ((—£(серебряная))) ;

фз = Рсвинцовая ((—£(золотая))) ;

ф1 & —ф2 & —ф3 V —ф1 & ф2 & —ф3 V —ф1 & —ф2 & ф3;

£ (золотая) & —£ (серебряная) & —£ (свинцовая) V —£ (золотая) & £ (серебряная) & &—£ (свинцовая) V —£ (золотая) & —£ (серебряная) & £ (свинцовая). Последняя формула выражает требование, что в шкатулках только один портрет. Таким образом, в задачах с дополнительными атрибутами объектов интерпретации решение снова можно описать как модель некоторого множества формул теории 1-го порядка, причем в этом случае автореферентные предикаты Рс((ф)) интерпретируются как в правиле (3).

В более ранней работе [3] предлагалось решение рассмотренных задач с помощью логического программирования, но математическая сторона проблемы не исследовалась.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? - М.: Мир, 1981. - 238 с.

2. Логический подход к искусственному интеллекту: От модальной теории к логике баз данных / А. Тейз, П. Грибомон, Г. Юлен и др. - М.: Мир, 1998. - 494 с.

3. Зюзьков В.М. Моделирование автореферентных рассуждений с помощью логического программирования // Докл. Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. Том 7. Авто-

матизированные системы обработки информации, управления и проектирования: Сб. науч. тр. Томск: Изд-во Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2002. - С. 113-122.