CC BY
38
Дмитриева Марина Валерьевна Павлова Марианна Владимировна
ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС "СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ" Часть 1. Элементы математической логики
Введение.
Математическая логика - наука о правильных математических рассуждениях, о математическом мышлении. Впервые правила рассуждений систематизировал Аристотель. Однако как наука математическая лотка сложилась лишь в середине XIX века, когда Джордж Буль ввел логические связки и исчисление высказываний. Современная математическая логика изучает: а) структуру математических высказываний, б) исходные постулаты математики (аксиомы и правила вывода), в) математические доказательства (выводы), г) истинные математические утверждения (теоремы, леммы).
Одной из основных задач математической логики является формализация понятия доказательства.
В данной работе описывается система, позволяющая автоматически находить решения для определенного класса задач. Теоретическая база, на которую опирается система, это в основном работа [4], полезны также книги [1,2,3,8,9]. При описании системы поиска доказательств было решено выделить и описать отдельно три независимые части. В первой части приводятся основные понятия математической логики: формулы исчисления высказываний, равнозначность формул, построение конъюнктивно - нормальной формы. Вводится понятие логического следствия и формулируются теоремы о логическом следствии. Вторая часть посвящена проблеме форматизации процесса доказательства. Вводится понятие резольвенты. Описывается метод резолюций. Приводятся и обосновываются правила сокращения множества дизъюнктов. Третья часть содержит общее описание системы и несколько примеров ее использования. Все определения, теоремы и методы иллюстрируются различными примерами.
Изложенный материал использовался при проведении занятий по математической логике и методам решения задач искусственного интеллекта как со старшеклассниками специализированных классов при математико-механическом факультете СПбГУ, так и со студентами. Описываемая система использовалась на занятиях в компьютерном классе.
Данная работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 г.г."
Основные определения и обозначения.
В обычной жизни человек принимает решения в зависимости от конкретной ситуации. Предположим, что нам известны некоторые факты (или ранее уже доказанные утверждения) Б), р2,.. Рп и, предположим, что нас интересует, следует ли некоторое утверждение О из утверждений Р|, р2,.. Рп. Утверждение, что в логически следует из утверждений Р], Б^,» Рп называют теоремой, а рассуждения, позволяющие установить, что теорема верна, называют доказательством этой теоремы.
Математическая логика и автоматические методы доказательства теорем являются наиболее бурно развивающимися областями искусственного интеллекта. Сложность поиска доказательства зависит от того, какие средства используются для задания утверждений Р1, р2,.. Рп и й. В представленной работе для описания утверждений будут использоваться формулы исчислений высказываний [3,8,9]. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Можно строить составные высказывания, используя логические связки: отрицание (~), конъюнкцию (&), дизъюнкцию (V), импликацию (=>) и эквивалентность (о). Логические константы "истина" и "ложь" будем обозначать буквами "И" и "Л" соответственно.
Унарная связка ~ меняет значение высказывания на противоположное.
Ниже приводится таблица истинности для рассматриваемых бинарных логических связок.
А в А&В AvB А=>В А«В
И и И И И И
И л Л и Л Л
Л и Л и И л
л л л л И и
В исчислении высказываний логические константы и логические переменные -¿зываются атомами и считаются простейшими логическими формулами. Кроме атомов, :гической формулой считается отрицание логической формулы, а также (Е[ФЕ2), где -логические формулы, а знак обозначает одну из бинарных логических связок. 1ругих формул в исчислении высказываний нет. Мы видим, что при построении сложных тгических формул появляется большое количество круглых скобок. Для сокращения их числа можно использовать старшинство логических связок. Самой старшей является унарная :^язка отрицание, которая выполняется в первую очередь и применяется к непосредственно следующей за ней формуле. Бинарные логические связки, приведенные выше в таблице -стинности, перечислены в ней по убыванию их старшинства. Связки одного старшинства ■рименяюгся в порядке их следования слева направо. Если учитывать старшинство операций, то часть скобок можно опустить. Например, формула (((р&^)=>г)=>(р&г)) может быть писана вообще без скобок р&~ц=>г=>р&г.
Если мы зададим значения всех входящих в формулу переменных, то сможем вычислить жачение всей формулы. В этом случае говорят, что мы задали интерпретацию. В исчислении высказываний каждой формуле соответствует конечное число интерпретаций. Формулы бывают •пождественно-истинными (или общезначимыми) - это формулы истинные в любой интерпретации. Тождественно-ложными (или противоречивыми) называются формулы ложные = любой интерпретации. Наконец, выполнимыми называются формулы, дня которых можно хазать интерпретацию, в которой эта формула истинна. Если две формулы имеют одинаковые значения на любых возможных интерпретациях, то говорят, что они равнозначны или эквивалентны. Равнозначность формул обозначают знаком "<-»". Обозначим знаком "■" любую общезначимую формулу, и знаком "□" любую противоречивую формулу. Наиболее распространенные равнозначные формулы приведем в следующей таблице.
АоВо (А&ВМ-А&-В) А<=>В <-> (Ау~В)&(~АуВ)
(А=>В) <-> ~AvB
Ау(ВуС) <-> (АуВ)уС А&(В&С) о- (А&В)&С
АуВ оВуА А&В <-> В&А
Ау(В&С) (АуС) А&(ВуС) ^ (А&В)у (А&С)
~(~А) А
А v ~А <-> ■ А & ~А<->а
А v □ <-» А А & □
А v ■ <-» ■ А & Я «-»А
~(АуВ) <-» ~А &~В ~(А&В) <-> ~Av~B
Определение. Пусть даны формулы Г^ р2,— ,ГП и формула в. Говорят, что в логическое следствие формул ^ Ь^,... ,РП (или в следует из Р2,... ,ГП) тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации I, в которой истинны утверждения Р^ Г2,... ,Рп, утверждение С также истинно. Утверждения Р|, Г2,... ,РП называют аксиомами (постулатами или посылками), утверждение С-следствием.
В качестве примеров мы будем использовать в основном задачи из книг Раймонда М.Смаллиана [5,6,7], в которых математическая логика используется при раскрытии преступлений, поиске сокровищ, выборе пути на загадочные острова и в других необычных ситуациях.
Пример. На складе совершено хищение. Подозрение пало на трех человек: А, В, и С, они были доставлены для допроса. Установлено следующее:
1. Никто, кроме А, В, С, не был замешан в деле.
2. А никогда не ходит на дело без, по крайней мере, одного соучастника.
3. С не виновен.
Виновен ли В?
Обозначим через А утверждение - "А виновен", через В - "В виновен", через С - "С виновен". Запишем утверждения 1-3 с помощью формул Р^з исчисления высказываний:
Рх: АуВУС
Р2: А=>ВуС Р3: ~С
Предполагаемый ответ - "В - виновен" обозначим через в. Проверим, является ли формула О логаческим следствием формул Р2, Рз- С помощью таблицы переберем все интерпретации и для каждой из них укажем значение каждой из формул , Р2, Р3 в этой интерпретации.
N0 А в с АуВУС ¥2: А=>ВУС Р3: ~С 0:В
1 И и и И И Л
2 И и л И И и И
3 И л и и И л
4 и л л и Л и
5 л и и и и л
6 л и л и и и И
7 л л и и и л
8 л л л л и и
Нас интересуют только те интерпретации, в которых все посылки (формулы Р], ¥2, Рз) истинны. Таких интерпретаций только две - вторая и шестая. В этих интерпретациях и значение формулы в истинно. Следовательно, формула в - логическое следствие, то есть В виновен.
Теоремы о логическом следствии.
Теоремы о логическом следствии позволяют решение вопроса о том, является ли одна формула следствием других, свести к анализу общезначимости или противоречивости некоторой формулы.
Прежде, чем формулировать теоремы и рассматривать примеры их применения, рассмотрим вопрос об упрощении формул. Нетрудно доказать, что любую формулу исчисления высказываний можно преобразовать к равнозначной формуле, которая содержит только три логические связки: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Действительно,
сказав равнозначность формул А=>В и ~АуВ, а также формул А«В и (А&В)у(~А&~В), лучим то, что требуется. Некоторые часто используемые правила получили специальные -¿звания, например:
Закон двойного отрицания: —А <-> А.
Закон контрапозиции: А=>В ~В=>~А.
Законы де Моргана: ~(АуВ) <-» -А&-В и ~(А&В) <-» ~Ау~В.
Теорема 1. (о логическом следствии). Пусть даны формулы Рд, Р2,— ,РП и формула О. Тогда формула в является логическим следствием формул Р2,„. ,РП тогда и гатько тогда, когда формула Р] &Р2&...&РП=>С общезначима.
Пример. Предположим, что меня спрашивают: "А верно ли, что если вы любите Елу, то вы также любите и Маргарет?". А я отвечаю: "Если это правда, то я люблю Еву, и гели я люблю Еву, то это правда". Люблю ли я Маргарет?
Продемонстрируем решение задачи на основании теоремы 1. Пусть через Е обозначено гверждение - "Я люблю Еву", через М - "Я люблю Маргарет". Утверждение "Если вы .тюбите Еву, то вы любите Маргарет" запишется формулой: Е=>М. Утверждение: "Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда" запишется так: Е=>М)=>Е)&(Е=>(Е=>М)). Предположим, ответ будет "Я люблю Маргарет". Тогда по -гореме 1 формула (((Е=>М)=>Е)&(Е=>(Е=>М)) =>М) должна быть общезначимой. Проверим это, выполнив эквивалентные преобразования формул: ((Е=>М)=>Е)&(Е=>(Е=>М)) =>М ~(~(~ЕУМ)УЕ)У~(~ЕУ~Е\/М)\/М ~Е&М\/ЕУ~ЕУМ ЕУ~Е
Последняя формула общезначима, следовательно, справедливо утверждение, что "Я люблю Маргарет".
Теорема 2. (о логическом следствии). Пусть даны формулы Р^ Г2,— и формула в. Тогда формула в является логическим следствием формул Р2,... ,РП тогда и только тогда, когда формула Г^&Р2&...&ГП&~С противоречива.
Пример. Рассмотрим предьщущий пример и ответим на вопрос: "Люблю ли я Еву?". Нд основании теоремы 2 о логическом следствии нас интересует вопрос, является ли тготиворечивой формула: ((Е=>М)=>Е)&(Е=>(Е=>М)) &~Е.
Убедимся в этом, выполнив эквивалентные преобразования: ((Е=>М)=>Е)&(Е=>(Е=>М))&~Е (Е&~М)у Е) &(Е=>(Е=>М)) &~Е Е&(~М\/Е)&(~ЕУМ)& ~Е Е& ~Е
Последняя формула противоречива, следовательно, справедливо утверждение "Я тюблю Еву".
Рассмотрим еще один пример. На некотором острове, населенном рыцарями и ххецами (рыцари говорят только правду, лжецы только ложь), разнесся слух о том, что на -ем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете одного из местных жителей (Назовем его А): "Есть ли на острове золото?". В ответ на ваш вопрос А заявляет: "Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь".
а) можно ли определить, кто такой А - рыцарь или лжец?
б) можно ли определить, есть ли сокровища на острове?
Ответим на второй вопрос. Обозначим через А утверждение "А-рыцарь", через Б -Сокровища на острове есть". Тогда высказывание жителя А "Сокровища на острове есть 5 том и только в том случае, если я рыцарь" запишется формулой: (АоБ). Тогда, если А
- рыцарь, то его высказывание истинно, если лжец - то ложно. Таким образом, наша посылка есть формула вида (А<=>( А<=>8)). Для того чтобы доказать, что утверждение 5 следствие нашей посылки, то есть сокровища на острове есть, нам достаточно на основании теоремы 2 доказать, что формула (А<=>(А<=>8))&~8 противоречива. Проверим это, перебрав все интерпретации и вычислив значения формул в каждой из них.
А 8 (Ао8) (А«=>( АоБ)) (А<=>( А<=>8))&~8
И И И И Л
И Л Л Л Л
Л и л И Л
л л и Л л
Формула (А<=>( Ао8))&~8 ложна в любой интерпретации, следовательно, она противоречива, и поэтому верно утверждение, что сокровища на острове есть.
Конъюнктивно-нормальная форма и ее построение.
Во многих случаях удобно рассматривать вместо формул общего вида формулы специального вида или, как говорят, формулы в канонической форме. В математической логике и в теории автоматического доказательства теорем рассматриваются формулы в коньюнктивно-нормальной форме (КНФ). Для любой формулы может быть построена эквивалентная ей формула в конъюнктивно-нормальной форме. Как мы увидим дальше, такая формула может не быть единственной. Уточним понятие конъюнктивно-нормальной формы, так как оно нам потребуется в дальнейшем. Будем называть литералом атом или его отрицание, дизъюнктом - литерал или дизъюнкцию литералов, и конъюнктивно-нормальной формой - формулу, которая представляет собой либо дизъюнкт, либо является конъюнкцией дизъюнктов.
Теорема. По любой формуле Г может быть построена эквивалентная ей формула g, находящаяся в КНФ.
Алгоритм построения формулы % поясним на примере, рассмотрев формулу £ от трех переменных. Возьмем в качестве формулы £ формулу (х=>у)<=»г. Приведем таблицу, в которой перечислим интерпретации и значение формулы в каждой из интерпретаций. Правый столбец таблицы будем использовать для построения дизъюнктов конъюнктивно-нормальной формы, соответствующей формуле.
Выделим те интерпретации, в которых формула принимает значение ложь, и для этих интерпретаций построим дизъюнкт по правилу: если значение переменной ложь, то
N0 X У ъ (х=>у)<=>г. Дизъюнкты формулы §
1 И и и И
2 и и л л -\v~yvz
3 и л и л
4 и л л и
5 л и и и
6 л и л л xv~yvz
7 л л и и
8 л л л л хуууг
гжлючаем в дизъюнкт эту переменную, в противном случае включаем переменную с ~т*щанием. Тогда по построению в интерпретациях, в которых значение f ложно, значение
1 также ложно. В нашем случае g - конъюнкция построенных формул: (~х\/~у\/г)&(~х\/ . -г)&(х\/~у\/г)&(х\/у\/г). Формулы Г и g равнозначны и g имеет КНФ. Равнозначность
■аюрмул можно доказать в качестве упражнения.
Заметим, что КНФ формулы f можно получить, выполняя последовательно жвивалентные преобразования формулы Г (избавляясь от логической эквивалентности, •хлликации, подтягивая логическое отрицание к атомам, применяя правила де Моргана и 1Г>тие законы). Продемонстрируем в качестве примера преобразования для формулы 1=>у)ог:
(х=>у)«г <-> ((х=>у)=>г)&(г=>(х=>у)) <-> (~(х=>у)уг)&(~гу~хуу) <-> (~(~хуу)у/)&(~гу~хуу) о (х&~ууг)&(~гу~хуу) <-» (х\/х)&(~у\/г)&(~муу~г)
Полученная формула §1: (хуг)&(~ууг)&(~хууу~г) эквивалентна исходной формуле находится в конъюнктивно-нормальной форме и не совпадает с g. Мы видим, что для гсрмулы f построены две равнозначные ей формулы g и gl, которые различны и обе -¿лодятся в конъюнктивно-нормальной форме.
Итак, для того , чтобы доказать, что утверждение в следует из известных или уже танее доказанных фактов .....Рт мы можем поступить следующим образом:
- на основании определения логического следствия рассмотреть все интерпретации, :- которых истинны посылки Р1-Рт, и проверить, истинно ли значение в в этих ■гтерпретациях;
- на основании теоремы 1 о следствии исследовать, является ли формула
- &Р2&....&РП1=>0 общезначимой;
- на основании теоремы 2 о следствии исследовать, является ли формула
- &р2&....&рт&~0 противоречивой.
Мы можем преобразовать формулу р]&р2&....&рт&~0 к КНФ, получив гавнозначную формулу 81&82&...&8П, рассматриваемую как множество дизъюнктов 51 .52,...,8п}. Как по утвержденям получать новые утверждения и строить доказательство, >(ы рассмотрим в следующей части.
Литература.
Н. Дж. Нильсон. Принципы искусственного интеллекта. М.: Радио и связь, 1985.
2 Н. Дж. Нильсон. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. М.: Мир, 1973.
3 С.Клини. Математическая логика М.: Мир, 1973.
- Ч.Чень, Р.Ли. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. Наука, 1983. с Р.Смаллиан. Как же называется эта книга? М.: Мир, 1981.
Р.Смаллиан. Принцесса или тигр? М.: Мир, 1985. г Р.Смаллиан. Алиса в стране смекалки. М. Мир, 1987.
^ Н.К. Косовский. Элементы математической логики и ее применение к теории ->брекурсивных алгоритмов. Изд-во ЛГУ, 1981.
И МИ И АНТОНЫ
I !
Дмитриева Марина Валерьевна, доцент кафедры информатики Санкт-Петербургского государственного университета.
Павлова Марианна Владимировна, старший преподаватель кафедры информатики СПбГУ, преподаватель школы-лицея N9 419.
