Неразрешимые косвенно рефлексивные предложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 1(9)

УДК 519.95

В.М. Зюзьков

НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Для теории формальной арифметики доказывается обобщение на случай косвенной рефлексии известной леммы о диагонализации (о рефлексии). Изучаются косвенно самоссылочные предложения в формальной арифметике (в предположении, что данная теория ю-непротиворечива), «говорящие» о доказуемости или опровержимости. Рассматриваются некоторые совокупности таких предложений и доказывается, что среди них существуют неразрешимые предложения. Показывается, что если доказуемость и опровержи-мость заменить истиной и ложью, то существование неразрешимых предложений приводит к парадоксам.

Ключевые слова: формальная арифметика, диагонализация, косвенная рефлексия, неразрешимые предложения, парадоксы.

Формула языка теории первого порядка Т называется неразрешимой в Т, если ни сама формула, ни её отрицание не являются теоремами этой теории. Таким образом, теория Т неполна тогда и только тогда, когда существуют неразрешимые формулы в этой теории.

Если предполагать, что теория формальной арифметики £ ю-непротиворечива, то можно построить неразрешимое в этой теории предложение. Впервые это проделал К. Гёдель с помощью процедуры, которая в честь него называется гёдели-зацией.

Гёделизацией теории формальной арифметики £ называется функция g, отображающая инъективно множество всех термов, формул и конечных последовательностей формул во множество целых положительных чисел. При этом требуется: (г) чтобы значение функции g можно было вычислить с помощью некоторого алгоритма, (гг) чтобы существовал алгоритм, позволяющий для каждого целого т определить, является ли т значением функции g, и в случае, если является, то построить тот объект х, для которого т = g(х). Значение функции g для терма (формулы, последовательности формул) называется гёделевым номером соответствующего объекта. Функцию g можно определить стандартным образом (см., например, [1, с. 151, 152; 2, с. 229, 230]).

Для каждого п е N терм п определяется как соответствующий нумерал в теории £. Если М является выражением с гёделевым номером п, то определим \М\ как нумерал п.

В данной работе изучаются косвенно самоссылочные предложения в £ (в предположении, что данная теория ю-непротиворечива), «говорящие» о доказуемости и/или опровержимости. Рассматриваются некоторые совокупности таких предложений и доказывается, что среди них существуют неразрешимые предложения. Предварительно доказывается обобщение на случай косвенной рефлексии известной леммы о диагонализации (о рефлексии). Кроме того, показывается, как существование неразрешимых предложений приводит к парадоксам, если доказуемость и опровержимость заменить истиной и ложью.

Косвенная рефлексия в формальной арифметике

Пусть т - целое положительное число и В1, В2, ..., Вт - формулы теории S со свободными переменными х1, х2, ..., хт. Назовем т-местной диагонализацией списка формул В1, В2, ., Вт список формул

Сг = 3 х1, х2, ..., хт (х1 = ГВ11 & х2 = ГВ21 & ... & хт = Гвт1 & В) для всех г = 1, 2, ., т.

Если т=1, то получаем известное определение диагонализации формулы.

Лемма 1. Существуют вычислимые функции ^(хь х2, ..., хт), й2(х\, х2, ..., хт), ., ёт(х1, х2, ., хт), такие, что если п1, п2, ., пт - гёделевы номера формул В1, В2, ..., Вт, то ^(пь п2, ..., пт), ё2(п1, п2, ..., пт), ..., ёт(п1, п2, ..., пт) - соответственно гёделевы номера формул С1, С2, ., Ст.

Доказательство. Для произвольных натуральных чисел п1, п2, ..., пт и для каждого г = 1, 2, ., т определим ё(х1, х2, ., хт) как гёделевый код формулы

3 х1, х2, ., хт (х1 = п1 & х2 = п2 & ... & хт = пт & В).

Функции вычислимы. Действительно, зная пь п2, ..., пт, можно алгоритмически проверить, являются ли данные числа гёделевыми номерами формул. Если это так, то можно построить соответствующие формулы В1, В2, ., Вт и алгоритмическим способом отыскать свободные переменные в этих формулах и убедиться, что они суть х1, х2, ..., хт. После этого, в соответствии с имеющейся гёделевой нумерацией можно вычислить код Сг.

Детали используемых алгоритмов зависят от конкретной гёделизации. Функция ё не определена в тех случаях, когда какое-то пк не является гёделевым номером формулы со свободными переменными хь х2, ., хт. ■

Так как вычислимые функции ё1, ё2, ..., ёт представимы в теории 8, то существуют формулы Д (х1, х2, ., хт, у), Б2(х1, х2, ., хт, у), ., Бт(х1, х2, ., хт, у), такие, что если для любых г (1 < г < т), п1, п2, ..., пт и к имеем й(п1, п2, ..., пт) = к, то

|- Уу (Д{пь п2, ..., пт, у) ~у = Аг)

в теории 8.

Теорема 1 (о косвенной рефлексии). Пусть т - целое положительное число и Вь В2, ..., Вт - формулы теории S со свободными переменными хь х2, ..., хт. Тогда существуют такие формулы О1, 02, ., От, что

- ~ В1(Го11, Го21, ..., [От1),

- в2 ~ в1(Го11, Го21, ..., ГО,Д),

- От ~ В1(Га11, Гс21, ..., ГОт1)

в теории S.

Доказательство. Для всех г = 1, 2, ..., т определим формулы Е;(хь х2, ..., хт) = 3 У1, У2, ..., Ут (Д1(х1, х2, ..., хт, у1) & Д,(хЬ х2, ..., хт, у2) & ... &

& Дт(х1, х2, ., хт, Ут) & В,(у1, У2, ., Ут)).

Пусть пI - гёделев номер формулы Ег соответственно. Для всех г = 1, 2, ..., т определим формулы

Ог = 3 хь х2, ..., хт (х1 = п1 & х2 = п2 & ... хт = пт & Е;(хь х2, ..., хт)).

Так как Ог логически эквивалентно

3у1, У2, ..., Ут (А(пЬ п2, ..., пт, У1) & Д(пЬ п2, ..., пт, У2) & ... &

& Дт(пЬ п2, ., пт, Ут) & В,(у1, У2, ., Ут)),

то имеем

- Оi ~ 3 У1, У2, ..., Ут (А(пЬ п2, ..., пт, У1) & А(пЬ п2, ..., пт, У2) & ...&

& Дт(пЬ п2, ..., пт, Ут) & В,(уЬ У2, ..., Ут)).

Формулы О1, О2, ..., Оm образуют т-местную диагонализацию формул Е1, Е2, ..., Еm. Пусть к - гёделев номер формулы Оi, соответственно. Для всех г = 1, 2, ., т имеем

- Уу (А(п1, п2, ..., пт, у) ~У = к).

Значит,

- о, ~ 3 У1, У2, ..., Ут (У1 = к1 & У2 = к2 & ... & Ут = кт&В,(уЬ У2, ..., Ут)).

Следовательно,

- О, ~ В,(к1, к2, ..., кт)).

Т. е. для всех г = 1, 2, ., т имеем

- о, ~ в,(ГоД ГО21, ..., ГОт1). ■

Замечание 1. Если т = 1, то получаем известную теорему о диагонализации (о рефлексии). Пусть В(х) произвольная формула формальной арифметики, имеющая единственную свободную переменную х. Тогда можно построить замкнутую формулу О, такую, что - О ~ В(ГО1). Формула О «говорит о себе», что она обладает свойством В.

Замечание 2. Некоторые из формул Вг могут не содержать всех переменных х1, х2, ..., хт. Соответствующее утверждение остается в силе и при этих допущениях. В частности, справедливо следующее утверждение: пусть В1(х) и В2(х) - две формулы с единственной свободной переменной х. Тогда существуют формулы О1 и О2, такие, что выполнено |- О1 ~ В1(ГО21) и - О2 ~ В2(ГО11).

Будем предполагать, что теория S в стандартной интерпретации непротиворечива. Это означает, что любая замкнутая формула является либо истинной, либо ложной в стандартной интерпретации.

Как известно [1], отношение РгоуаЫе(п, т): «формула с гёделевым номером п является выводимой (доказуемой) в S и ее доказательство имеет номер т», возможно выразить в S некоторой формулой Рг(х, у), т.е.

1) если РгоуаЫе(п, т) истинно, то |- Рг(п, т),

2) если РгоуаЫе(п, т) ложно, то |-1 Рг(п, т).

Формула Р(п) = 3у Рг(п, у) выражает свойство «формула с гёделевым номером п является выводимой (доказуемой) в S».

Замечание 3. Описанную выше гёделеву нумерацию можно провести таким образом, чтобы для любой формулы А элементарной арифметики из - А следовало - Р(Га1) [3, с. 27].

Определение ©-непротиворечивости. Говорят, что формальная арифметика является ю-непротиворечивой, если следующие два условия не выполняются вместе ни для какой формулы ф:

(I) - 3у ф(у);

(II) - -ф (0), - -ф (1), - -ф (2), ...

Лемма 2. Пусть формальная арифметика ю-непротиворечива, тогда для любой формулы А отношения - Р(ГА1) и |- А равносильны.

Доказательство. В силу замечания 3 осталось доказать только, что для любой формулы А отношение - Р(ГА1) влечет |- А. Докажем от противного. Пусть имеем

- Р(Га1) и не выполнено - А. Положим ф(у) = Рг(ГА1, у). Так как Р(ГА1) ^ 3у ф(у),

то имеем |- 3у ф(у). Так как не выполнено |-А, то ни для какого натурального числа т доказательство с номером т не является доказательством формулы А . Поэтому для любого т имеем |- —I Рг(Га1, т), или в других обозначениях |- -ф (т). Таким образом, одновременно выполнено

- 3у ф(у);

- —ф (0), - —ф (1), - —ф (2), ..., что означает ю-противоречивость формальной арифметики. ■

Отметим, что из леммы 2 не следует |- А ~ Р(Га1).

В дальнейшем будем использовать символ «»» как обозначение слов «тогда и только тогда, когда», в частности, лемма 2 утверждает, что |- Р(Га1) - А.

Свойство |—|А будем обозначать словами «формула А опровержима». Поэтому для любой формулы А её доказуемость логически равносильна опровержимо-сти —А. Далее, соответствие Га1 -о Г—А1 очевидным образом является взаимнооднозначным и вычислимым. Следовательно, обозначение Я(ГА1) для формулы Р( — А1) не является двусмысленным.

Поэтому, если теория формальной арифметики S является ю-непротиворе-чивой, то в силу леммы 2 выражение «А доказуема» одновременно означает |- А и |- Р( А1), а выражение «А опровержима» одновременно означает как |- —А, так и Я(ГА1).

Далее в статье рассматриваются формулы вида С(х), где формула С совпадает с одной из формул Р, Я, —Р и —Я. В зависимости от выбора С замкнутая формула С(ГА1) «утверждает» доказуемость (опровержимость, недоказуемость, неопровержимость) формулы А .

Утверждения, аналогичные лемме 2, но относящиеся к формулам — Р и —Я, не имеют места. Точнее, логические равносильности |- — Р(Га1) «. - —а, - —Р(Га1) » «не - А» и |——Я(Га1) » «не |—.А» не выполняются в общем случае. Поэтому употреблять такие выражения, как «формула А недоказуема» и «формула А неопровержима», следует с осторожностью. Например, «формула А недоказуема» означает |—|Р(ГА1) или «не |- А»? Условимся о следующем: когда предложение А1, «говорит» о другом предложении А2, что оно недоказуемо или неопровержимо, то всегда подразумевается соответственно - А1 —|Р(Га21) или - А1 —Я (ГА21). В остальных случаях слова «формула А недоказуема» означает ложность |- А (истинность «не - А»).

Существование неразрешимых предложений

Далее всюду предполагается, что теория формальной арифметики S является ю -непротиворечивой.

Будем рассматривать различные группы предложений, «косвенно говорящих»

о своей доказуемости или опровержимости. Теорема о косвенной рефлексии утверждает, что такие предложения выразимы соответствующими формулами в теории S.

Нам понадобится в дальнейшем ряд лемм.

Лемма 3. Если формулы а и р таковы, что выполнено - а ~ р и формула а неразрешима, то формула р также неразрешима.

Доказательство. Если - р, то из - а ~ р следует |- а. Кроме того, из |- а ~ р

следует |——а------—Р, поэтому из |——Р получаем |——а. Полученное противоречие

доказывает лемму. ■

Лемма 4. А. Если формулы а и р таковы, что выполнено - а ~ Р(Гр1), то |- а » |- р.

В. Если формулы а и р таковы, что выполнено - а ~ — Р(Г р1), то |——а » |- р.

Доказательство. А. Пусть - а, тогда - Р(Гр1), и по лемме 2 имеем |- р. Если же формула а недоказуема, то недоказуема формула Р(Г р1) и снова по лемме 2 недоказуема формула р.

В. Из - а--Р(Г р1) следует |---.а ~ Р(Г р1) и поэтому по первой части леммы

получаем |—.а » - р. ■

Лемма 5. А. Если формулы а и р таковы, что выполнено - а ~ Я(Гр1), то

- а « - —р.

В. Если формулы а и р таковы, что выполнено - а ~ — Я(Г р1), то |—.а » |——р.

Доказательство. А. Формула Я(Гр1) по определению означает Р(Г—р1), и поэтому утверждение данной леммы следует из леммы 4(А).

В. Если |- а---Я(Г р1), то отсюда следует |--—а ~ Я(Г р1), и теперь по первой

части леммы имеем |—.а тогда и только тогда, когда |——Р ■

Лемма 6. Пусть формулы а, р и у таковы, что выполнено - а » |——Р и |- р

» |——у. Тогда 1) р или у неразрешима или 2) |- а » |- у.

Доказательство. Рассмотрим два случая: формула а доказуема и недоказуема. Пусть выполнено |- а, тогда |-—Р, следовательно, р недоказуема, и поэтому

—у также недоказуема. Если - у, то формулы а и у доказуемы вместе. Если же формула у недоказуема, то формулы —у и у недоказуемы вместе, т.е. в этом случае формула у неразрешима.

Пусть теперь а недоказуема, тогда и формула —Р недоказуема. Если же формула р недоказуема, то он разрешима. Поэтому пусть р доказуема, тогда |—.у и, следовательно, у недоказуема. Таким образом, в этом случае формулы а и у недоказуемы вместе. ■

Лемма 7. Пусть формулы а, р и у таковы, что выполнено |——а » - р и |—в » |- у. Тогда 1) а или р неразрешима или 2) |- а » |- у.

Доказательство. Перепишем условие леммы в другом порядке - у » |——Р и

- Р » |—.а Теперь видим, с точностью до замены обозначений, что выполняется условие леммы 6, откуда и следует требуемое заключение. ■

Первое неразрешимое предложение появилось в знаменитой теореме Курта Гёделя о неполноте (см., например, [4]).

Теорема 2а (по Гёделю). Если формула О такова, что - О ~ — Р( О1), то формулы О и Р( О1) неразрешимы.

Доказательство. Лемма 4(В) говорит, что |----—О тогда и только тогда, когда

|- О. Это не будет противоречием, если формула О неразрешима. Неразрешимость формулы Р( О1) тогда следует из неразрешимости О по лемме 3. ■

Известно также [4], что для существования неразрешимого предложения вместо свойства недоказуемости можно взять свойство опровержимости. Рассмотрение вопроса о связи неразрешимости и опровержимости достаточно полно проведено в книге Раймонда Смаллиана [5].

Теорема 2Ь (по Смаллиану). Если формула Ь такова, что - Ь ~ Я(ГЬ1), то формулы Ь и Я(Гь1) неразрешимы.

Доказательство. Лемма 5(А) говорит, что - Ь тогда и только тогда, когда |--—Ь. Это не будет противоречием, если формула Ь неразрешима. Неразреши-

мость формулы Я( Ь1) следует из неразрешимости Ь по лемме 3. ■

Теперь перейдем к косвенной рефлексии.

Теорема 3а. Пусть даны предложения (п > 1) со косвенной самоссылочностью: А1: «Предложение А2 доказуемо»;

А2: «Предложение А3 доказуемо»;

А3: «Предложение А4 доказуемо»;

Ап-1: «Предложение Ап доказуемо»;

Ап: «Предложение А 1 опровержимо».

Тогда предложение А1 неразрешимо.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {Аь А2, ., Ап} обладает следующими свойствами:

- А1 ~ Р(ГА 21),

- А2 ~ Р(ГАз1),

|- Ап-1 ~ Р( Ап1),

- Ап ~ Я(ГА11).

По леммам 4(А) и 5(А) получаем логическую эквивалентность утверждений:

| ^1 « - A2,

| А2 ^ - A3,

|--Ап-1 ^ - An,

- Ап ^ |----А1.

Получаем цепь утверждений - А1 » - А2 » ... » - Ап. Имеем отношения: одновременно выполняются |- А1 » - Ап и - Ап » |—Аь Полученный результат не будет противоречием, если формула А1 неразрешима. ■

Теорема 3Ь. Пусть даны предложения с косвенной самоссылочностью:

В1: «Предложение В2 неопровержимо»;

В2: «Предложение В3 неопровержимо»;

Вп-1: «Предложение Вп неопровержимо»;

Вп: «Предложение В1 опровержимо».

Тогда предложение Вп неразрешимо.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {В1, В2, ., Вп} обладает следующими свойствами:

- В1 ~ —Я(Г В21),

|- В2 Я(Г Вз1),

|- Вп-1 ~ —Я( Вп1),

- Вп ~ Я(ГВх1).

По лемме 5 получаем логическую эквивалентность утверждений:

| 1В1 « | |B2,

|--В2 » |----|B3,

|--—Вп-1 ^ |-|Bn,

- Вп ^ |----|В1.

Получаем цепь утверждений |----------—В1 » |--—В2 » . » |—Вп. Получили отношения: одновременно имеем |- — В1 ^ |---------|Вп и - Вп ^ - — В1. Полученный ре-

зультат не будет противоречием, если формула Вп неразрешима. ■

Теорема 4a. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

С1: «Предложение С2 недоказуемо»,

С2: «Предложение С3 недоказуемо»,

Сп: «Предложение Ci недоказуемо».

Если п нечетно, то среди предложений С1, С3, С4, ..., Сп имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {С1, С2, ..., Сп} обладает следующими свойствами:

- С ~ -Р(ГС21),

- С2 ~ -Р(ГСз1),

- Сп ~ -Р(Г сЛ).

Случай п = 1 доказан в теореме 2a, в этом случае неразрешимой является формула С1. Поэтому будем предполагать, что п>3. По лемме 4(5) имеем логическую эквивалентность утверждений:

|-1 Ci « |- C2,

|-1 С2 « |- Cз,

1-1 Сп ^ |- C1,

Множество всех эквивалентностей, за исключением первой, разобьем на подряд идущие пары вида

|—| Ci ^ |- Ci+l,

|-1 Ci+1 ^ |- Ch

где i пробегает множество 2, 4, ., п-2 и для всех пар, за исключением последней, k обозначает i+2, а для последней пары k есть i. Пусть в каждой такой паре формулы Ci+1 и Ci+2 разрешимы, тогда по лемме 7 имеем - Ci » - Ck. Когда i пробегает четные значения 2, 4, ., п-2, получаем цепь - С2 » - С4 » . » - Сп. Отсюда следует - С2 » - Сп » - С1. Получили отношения: одновременно имеем

- С2 » - С1 и |-----С » |- С2. Полученный результат не будет противоречием,

если формула С1 неразрешима. А если это не так, то среди формул С3, С4, ., Сп имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 4b. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

D1: «Предложение D2 опровержимо»;

D2: «Предложение D3 опровержимо»;

Dn: «Предложение D1 опровержимо».

Если п нечетно, то среди предложений D2, D3, D4, ..., Dn имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {D1, D2, ., Dn} обладает следующими свойствами:

- Di ~ RCD2I),

- D2 ~ R(r D3I),

- Dn ~ RiDi1).

Случай п = 1 доказан в теореме 2b, в этом случае неразрешимой является формула Dn. Поэтому будем предполагать, что п>3. По лемме 5(4) имеем логическую эквивалентность утверждений:

— D1 ö I—i D2,

|— D2 ö I—i D3,

— Dn ö 1----1 Dl-

Множество всех эквивалентностей, за исключением первой, разобьем на подряд идущие пары вида

— Di ö 1 1 Di+1,

— Di+1 ö 1 1 Dk,

где i пробегает множество 2, 4, ..., n-2 и для всех пар, за исключением последней, к обозначает i+2, а для последней пары к есть 1. Пусть в каждой такой паре формулы Di+1 и Dk разрешимы, тогда по лемме 6 имеем — Di ö — Dk. Когда i пробегает четные значения 2, 4, ., n-2, получаем цепь — D2 ö — D4 ö . ö — Dn. Отсюда следует — D2 ö — Dn ö — D1. Получили отношения: одновременно имеем I— D2 ö I— D1 и I— D1 ö I— i D2. Полученный результат не будет противоречием, если формула D2 неразрешима. А если это не так, то среди формул D3, D4, ., Dn имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 5a. Пусть даны предложения (n>1) с косвенной самоссылочностью:

E1 : «Предложение Е2 доказуемо»;

E2: «Предложение Е3 доказуемо»;

En—1: «Предложение En доказуемо»;

En: «Предложение E1 недоказуемо».

Тогда предложение En неразрешимо.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {E1, E2, ., En} обладает следующими свойствами:

— E1 ~ Р(Г E2I),

— E2 ~ Р(Г E3I),

— En—1 ~ Р(Г Eni),

— En ~ -Р(ГE1I).

Первые n—1 отношения по лемме 4(A) дают — E1 ö — E2 ö ... ö — En. Из последнего отношения по лемме 4(5) получаем — E1 ö |—iEn. Полученный результат не будет противоречием, если формула En неразрешима. ■

Теорема 5b. Пусть даны предложения с косвенной самоссылочностью:

F1 : «Предложение F2 неопровержимо»;

F2: «Предложение F3 неопровержимо»;

Fn—1 : «Предложение Fn неопровержимо»;

Fn: «Предложение F1 недоказуемо».

Тогда предложение Fn неразрешимо.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {F1, F2, ., Fn} обладает следующими свойствами:

— F1 ~ -я(Г F2I),

— F2 —iR([ F3I),

— Fn—1 ~ -R(rFni),

— Fn ~ -Р(ГF1I).

По леммам 4 и 5 получаем логическую эквивалентность утверждений:

- -F » - -F2,

- -F » - -F3,

I--'Fn-1 » I—'Fn,

I--'Fn » - F1

Получаем цепь утверждений |—F1 » |—F2 » ... » |- F1. Получили отношение I-1 Fi » - Fl. Полученный результат не будет противоречием, если формула

F1 неразрешима. ■

Теорема 6a. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

H1 : «Предложение Н2 недоказуемо»,

Н2: «Предложение Н3 недоказуемо»,

Hn-1 : «Предложение Нп недоказуемо»,

Нп: «Предложение Н1 доказуемо».

Если n четно, то среди предложений Н2, Н3, ..., Нп имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Точно также как при доказательствах предыдущих теорем, получаем логическую эквивалентность утверждений:

I- ' Н1 » I- Н2,

I--' Н2 » - Н3,

1--1 Нп-1 » - Нт

- Нп » - Н1.

Случай n = 2 доказан в теореме 5a, при этом формула Н2 неразрешима.

При n>2 разбиваем эти эквивалентности, за исключением первой и последней, на подряд идущие пары. Предполагаем, что все формулы Н3, Н4, ., Нп разрешимы, тогда получаем цепь - Н2 » - Н4 » ... » - Нп. Отсюда следует - Н2 » - Нп » - Н1. Получили отношения: одновременно имеем - Н2 » - Н1 и - Н1 » I---Н2. Полученный результат не будет противоречием, если формула Н2 нераз-

решима. А если это не так, то среди формул Н3, Н4, ., Нп имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 6b. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

J1 : «Предложение J2 недоказуемо»,

J2: «Предложение J3 недоказуемо»,

Jn-1 : «Предложение Jn недоказуемо»,

Jn: «Предложение J1 неопровержимо».

Если n четно, то среди предложений J2, J3, ..., Jn имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Случай n = 2 доказан в теореме 5b. При этом неразрешимым предложением будет J2.

При n>2 по лемме 4(B) получаем логическую эквивалентность утверждений:

I- 'J1 » I- J2,

I--J2 » - Jз,

I--Jn-1 » - ^

к которым добавляется (по лемме 5(B)) ещё одна эквивалентность

I--Jn » I 'J1

Далее, разбиваем эти эквивалентности, за исключением первой и последней, на подряд идущие пары. Предполагаем, что все формулы J3, J4, ., Jn разрешимы, тогда по лемме 6 получаем цепь - J2 » - J4 » ... » - Jn. Отсюда следует

- J2 » - Jn. Применим лемму 7 к данной и последней эквивалентности | - ' Jn » I—J Если J2 неразрешима, то доказывать нечего. Поэтому остается вариант, когда J2 разрешима, тогда по лемме 7 получаем I----J2 » I----J1. Учитывая первую

эквивалентность I---1/1 » - J2, получаем I—J2 » - J2, что противоречит разре-

шимости J2. Следовательно, J2 неразрешима. А если это не так, то среди формул J3, J4, ., Jn имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 7a. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

К1: «Предложение К2опровержимо»;

К2: «Предложение К3 опровержимо»;

К3: «Предложение К4 опровержимо»;

Kn-1 : «Предложение Кп опровержимо»;

Кп: «Предложение К1 доказуемо».

Если n четно, то среди предложений К1, К2, ..., Кп имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Случай n = 2 доказан в теореме 3a. При n > 2 по лемме 5 получаем логическую эквивалентность утверждений:

I- К1 » I- ' К2,

I- К2 » I- ' К3,

- Кп-1 » I--1 Кп

- Кп » - К1.

И так же, как и ранее, разбиваем эти эквивалентности, за исключением первой и последней, на подряд идущие пары. Предполагаем, что все формулы К3, К4, ., Кп разрешимы, тогда получаем цепь

- К2 » I- К4 » ... » - Кп.

Отсюда следует I- К2 » - Кп » - К1. Получили отношения: одновременно имеем I- К2 » I- К1 и I- К1 » I- 'К2. Полученный результат не будет противоречием, если формула К2 неразрешима. А если это не так, то среди формул К3, К4, ., Кп имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 7b. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

M1 : «Предложение М2 опровержимо»;

М2: «Предложение М3 опровержимо»;

Мп-1 : «Предложение Мп опровержимо»;

Мп: «Предложение М1 неопровержимо».

Если п четно, то среди предложений М1, М2, ..., Мп имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Случай n = 2 доказан в теореме 3b. При этом неразрешимым предложением будет М1.

При n>2 по лемме 5 получаем логическую эквивалентность утверждений:

I— М^1 I—-М2,

I— I—-М3,

- Мп-1 » I—Мп,

I Mn ö I 1M1.

Разбиваем эти эквивалентности, за исключением первой и последней, на подряд идущие пары. Предполагая, что все формулы M3, M4, ., Mn разрешимы, получаем цепь — M2 ö — M4 ö ... ö — Mn. Отсюда следует — M2 ö — Mn. Применим

лемму 7 к данной и последней эквивалентности | Mn ö |------------M1. Предполагая,

что формулы M2 и Mn разрешимы, получаем |—M2 ö |—M1.

Полученный результат вместе с первой эквивалентностью I— M1 ö I— iM2 не будет противоречием, если формула M1 неразрешима. А если это не так, то среди формул M2, M3, ., Mn имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 8a. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

N1: «Предложение N2 недоказуемо»;

N2: «Предложение N3 недоказуемо»;

Nn—1: «Предложение Nn недоказуемо»;

Nn: «Предложение N1 опровержимо».

Если n нечетно, то среди предложений N1, N2, ..., Nn имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {N1, N2, ., Nn} обладает следующими свойствами:

— N1 —Р(Г N2I),

— N2 —Р(Г N3I),

— Nn—1 Р(Г Nn1),

— Nn ~R(N1I).

Случай n = 1 доказан в теореме 2b, в этом случае неразрешимой является формула N1. Поэтому будем предполагать, что и>3. По леммам 4(5) и 5(A) имеем логическую эквивалентность утверждений:

| 1 N1 ö |— N2,

|--1 N2 | N3,

— Nn—1 ö |— Nm

— Nn ö | iN1.

Множество первых n—1 эквивалентностей разобьем на подряд идущие пары вида

|—i Ni ö |— Ni+l,

| 1 Ni+1 ö |— Ni+2.

Пусть в каждой такой паре формулы Ni+1 и Ni+2 разрешимы, тогда по лемме 7 имеем — Ni ö — Ni+2. Когда i пробегает нечетные значения 1, 3, ..., n—2, получаем цепь — N1 ö — N3 ö . ö — Nn. Учитывая последнюю эквивалентность, получаем

— N1 ö — Nn ö |—Nb Полученный результат не будет противоречием, если формула N1 неразрешима. А если это не так, то среди формул N2, N3, ., Nn имеется неразрешимая формула. ■

Теорема 8b. Рассмотрим предложения с косвенной самоссылочностью:

01: «Предложение O2опровержимо»;

02: «Предложение 03 опровержимо»;

0n—1: «Предложение 0nопровержимо»;

0n: «Предложение 01 недоказуемо».

Если п нечетно, то среди предложений О1, О 2, ..., Оп имеется неразрешимое предложение.

Доказательство. Условие теоремы означает, что множество формул {Оь О2, ., Оп} обладает следующими свойствами:

- О! ~ Я(ГО21),

|— О2 ~ Я(Г Оз1),

- Оп—! ~ Я(ГОп1),

— Оп---|Р(Г О11).

Случай п = 1 доказан в теореме 2а, в этом случае неразрешимой является формула О1. Поэтому будем предполагать, что п>3. По леммам 5(4) и 4(5) имеем логическую эквивалентность утверждений:

— О1 ^ 1----lO2,

— О2 « 1----|Oз,

— Оп—1 ^ 1--|Ото

1-|Оп ^ |— О1.

Множество первых п—1 эквивалентностей разобьем на подряд идущие пары вида

— Ог ^ 1----'°>+Ь

— О1+1 ^ 1-|Ог+2.

Пусть в каждой такой паре формулы О1+1 и О+ разрешимы, тогда по лемме 6 имеем — О{ » — О1+2. Когда / пробегает нечетные значения 1, 3, ..., п—2, получаем цепь |— О1 » |— О3 » . » — Оп. Учитывая последнюю эквивалентность, получаем

— Оп ^ — О1 ^ — | Оп. Полученный результат не будет противоречием, если формула Оп неразрешима. А если это не так, то среди формул О2, О3, ., Оп—1 имеется неразрешимая формула. ■

Рассмотрим теперь связь неразрешимых предложений с парадоксами. Доказанные теоремы при нумерации разбиты на пары. Теоремы с одинаковыми номерами, но отличающиеся буквами а или Ь, аналогичны по доказательству. Но у них есть и аналогия в формулировках теорем. Переформулируем все теоремы от 2а до 8Ь следующим образом. Заменим в условиях теорем слова доказуемо и неопровержимо словом истинно, а слова опровержимо и недоказуемо словом ложно. Заключением теорем теперь при прежних ограничениях на количество предложений п будет утверждение, что соответствующие предложения образуют парадокс. То, что при такой замене действительно получаются парадоксы, легко проверить (конечно, теперь мы не проводим рассуждение в рамках какой-либо формальной системы).

Так, теоремы 2а и 2Ь дают парадокс лжеца:

А: «Предложение А ложно».

Теоремы 3а и 3Ь при п = 2 приводят к парадоксу о Сократе и Платоне:

Сократ: «То, что сказал Платон, есть ложь»,

Платон: «Сократ говорит только правду».

Теоремы 4а и 4Ь при п = 3 приводят к парадоксу Альберта Саксонского:

Q1: «Предложение Q2 ложно»;

Q2: «Предложение Q3 ложно»;

Q3: «Предложение Q1 ложно».

Таким образом, теоремы из каждой пары при указанной выше нумерации дают один и тот же парадокс. Но всего получаем 4 различных парадокса. При п = 1 имеем парадокс лжеца. А при п > 1 оставшиеся 6 пар теорем приводят только к трем различным парадоксам (пары 3 и 5 дают одинаковый парадокс, пары 4 и 8 дают одинаковый парадокс и, наконец, пары 6 и 7 дают одинаковый парадокс).

ЛИТЕРАТУРА

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. 320 с.

2. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 396 с.

3. Справочная книга по математической логике: в 4-х частях / под ред. Дж. Барвайса. Ч. IV. Теория доказательств и конструктивная математика. М.: Наука, 1983. 392 с.

4. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 528 с.

5. Smullyan R.M. Godel’s Incompleteness Theorem. Oxford: Oxford University Press, 1992.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЗЮЗЬКОВ Валентин Михайлович - старший научный сотрудник, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 18.10.2009 г.