CC BY
30
2015 Математика и механика № 3(35)
УДК 519.95
Б01 10.17223/19988621/35/2
В.М. Зюзьков
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕРАЗРЕШИМЫХ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
Изучаются косвенно рефлексивные предложения в арифметике Пеано (в предположении, что данная теория ю-непротиворечива), говорящие о доказуемости или опровержимости. Доказываются достаточные условия существования неразрешимых косвенно рефлексивных предложений.
Ключевые слова: арифметика Пеано, косвенная рефлексия, неразрешимые предложения.
Формула ¥ языка теории первого порядка Т называется неразрешимой в Т, если ни сама формула ¥, ни её отрицание — ¥ не являются теоремами этой теории. Арифметика Пеано РА является одной из хорошо известных теорий первого порядка и играет важную роль в логике. В теории РА можно построить неразрешимое в этой теории предложение.
Нелогическими символами РА являются константа 0, унарный функциональный символ (который обозначает функцию следования) и два бинарных функциональных символа + и х. Для любого неотрицательного целого п терм 55...50 (5 повторяется п раз) будем обозначать п. Такие термы называются нумералами.
Курт Гёдель первым построил неразрешимое предложение для теории РА. Он сделал это посредством процедуры, которая сейчас называется арифметизацией.
Пусть и есть объединение трех множеств: множества символов теории Т, множества всех выражений (термов и формул) Т и множества всех конечных последовательностей выражений Т. Пусть N - множество целых неотрицательных чисел и функция & и ^ N инъективна. Функция & называется арифметизацией теории Т, если выполнены следующие условия:
(1) & эффективно вычисляема;
(2) существует алгоритм, который определяет, принадлежит ли данное положительное целое т множеству значений функции & и, если это так, то алгоритм находит объект х е и такой, что &(х) = т.
Функция & определяется стандартным способом [1, 2]. Число &(х) называется гёделевым номером объекта х. Если &(х) = п, мы определяем Гх~| как нумерал п. Это позволяет заменить утверждения о формальной теории эквивалентными теоретико-числовыми предложениями и затем выразить такие предложения в самой формальной теории.
В работе [3] изучались косвенно рефлексивные предложения в РА (в предположении, что данная теория ю-непротиворечива [1]), говорящие о доказуемости и/или опровержимости. Рассматривались некоторые совокупности таких предложений, и доказывалось, что среди них существуют неразрешимые предложения. Настоящая работа является продолжением и обобщением [3]. Мы формулируем общие условия и доказываем, что они достаточны для существования неразрешимых косвенно рефлексивных предложений.
Исходным утверждением является следующая теорема о косвенной рефлексивности, доказанная в [3].
Теорема 1. Пусть т - положительное целое число и Вь В2, ..., Вт - формулы теории РА, для которых свободные переменные содержатся в списке хь х2, ..., хт. Тогда существуют такие формулы Оь 02, ., От, что
|- ох ~ Б1(Го11, ГО2!, ..., ГОт!),
I- О2 ~ В2(ГоД ГО2!, ..., ГОт!),
|- От ~ Вт(ГоД ГО2!, ., Г От!)
в теории РА.
Как известно [1], отношение РгоуаЫе(п, т): «формула с гёделевым номером п является выводимой (доказуемой) в РА и ее доказательство имеет номер т» выразимо в РА некоторой формулой Рг(х,у), т.е.:
1) если РгоуаЫе(п, т) истинно, то |- Рг(п, т),
2) если РгоуаЫе(п, т) ложно, то |—1 Рг(п, т).
Формула Р(п) = Зу Рг(п, у) выражает следующее свойство: «формула с гёделе-вым номером п является выводимой (доказуемой) в РА».
Из теоремы 1 при т = 1 получаем известную лемму о рефлексии. Пусть В(х) произвольная формула формальной арифметики, имеющая единственную свободную переменную х. Тогда можно построить замкнутую формулу А, такую, что |- А ~ б(Га!). Формула А рефлексивна и «говорит о себе», что она обладает свойством В. В частности, имеется формула О, для которой |- о ~ -Р(Го!), т. е. О «говорит о себе», что она недоказуема в РА. Гёдель, неявно используя лемму о рефлексии, получил формулу О и доказал, что она неразрешима в РА (предполагая, что РА является ю-непротиворечивой теорией).
Определение ©-непротиворечивости [1, с. 158]. Пусть Т - теория первого порядка с теми же самыми символами, что и РА. Теория Т называется (»-непротиворечивой, если для всякой формулы ф(х) этой теории из того, что при любом п выполнено |-Т ф(п), следует невозможность |-Т Зх —ф (х).
Мы говорим, что формула А опровержима в РА, если -А доказуема в РА. Раймонд Смаллиан обнаружил формулу Я(п), которая выражает следующее свойство: «отрицание формулы с гёделевым номером п доказуемо в РА». Формула Л(Гр!) «утверждает» опровержимость формулы К Лемма о рефлексии дает формулу Ь, для которой Формула Смаллиана Ь «утверждает» свою собственную
опровержимость.. Формула Ь также неразрешима [4, 3].
Будем считать, что арифметика Пеано является ю-непротиворечивой. Это свойство используется при доказательстве следующей леммы.
Лемма 1 [3]. Для любой формулы ^ теории РА выполнено:
1) |- Р(Г^1) тогда и только тогда, когда |- 2) |- Л(Гр!) тогда и только тогда, когда |—.к
В силу теоремы 1 имеем, что формулы теории РА, «косвенно утверждающие» собственную доказуемость или опровержимость, существуют. И в некоторых конечных множествах таких формул удается доказать существование неразрешимых формул.
Например, формулы А и В, для которых выполнено
|- а ~ я(Гб!), |- в ~ р(Га!),
являются неразрешимыми [3].
Пусть для данных формул Аь А2, ..., Ап, п > 1, выполнено |- А, ~ для всех I = 1, 2, ..., п. Причем каждая формула Zi построена из некоторых формул вида Р(Га/|) и Л(ГАк1) с помощью пропозициональных связок. Рассмотрим следующую формулу ф пропозициональной логики:
(А! ~ Щ) & (А2 ~ & ... & (Ап ~ К), где каждая формула К, получена из соответствующей формулы заменой Р(Га,1) на А/ и заменой Л(ГАк1) на —Ак. Символы А, трактуются в формуле ф как пропозициональные переменные.
Теорема 2 (достаточное условие для неразрешимости). Если формула ф является невыполнимой формулой пропозициональной логики, то, по крайней мере, одна из формул А, неразрешима.
Для доказательства потребуется две леммы. Введем обозначение. Пусть 1 -произвольная формула арифметики Пеано, построенная из некоторых формул вида Р(ГА/|) и Щ А~к\) с помощью пропозициональных связок. Обозначим через м>(11) формулу, полученную из 1 заменой Р(Га,1) на Аи заменой Л(ГАк1) на —Ак.
Лемма 2. Пусть 1 - произвольная формула арифметики Пеано, построенная из некоторых формул вида Р(Га,1) и я(Га к I) с помощью пропозициональных связок. Тогда если |- 1, то |- м>(21).
Заметим, что тогда из |- 1 следует |- 1 ~ ч>(2). Для этого достаточно воспользоваться тавтологией а & р з (а ~ Р).
Доказательство. Проведем математическую индукцию по построению формулы 1.
Базис индукции. Если формула 1 вообще не содержит подформул вида Р(Га,1) и Я(ГАк1), то, очевидно, w(Z) = 1. И поэтому утверждение леммы в данном случае выполнено. Рассмотрим случаи, когда формула 1 есть Р(Га,1) или Я(Га,-1). В первом случае ^(Р(Га,1)) = А,-. По лемме 1, |- Р(Га,1) влечет |- А,. Если же формула 1 есть Л(ГА~|), то ^(Л(Га,1)) = —А. Отношение |- ^(Га,1) влечет |—¡А,, по лемме 1
Отрицание. Пусть формула 1 имеет вид —1\ и по индуктивному предположению |- ~ ^>(2\). Имеем также м>(—1\) = —^(11). Из |—\2\, используя тавтологию —а & (а ~ Р) з —Р, получаем |—м>(7.{).
Конъюнкция. Пусть формула 1 имеет вид & 12 и по индуктивному предположению |- ~ ^>(2\) и |- 12 ~ ^(12). Имеем также & 12) = ^(Ц) & ^(12). Используя тавтологию
а1 & а2 & (а1 ~ р1) & (а2 ~ р2) з ф1 & р2), из |- & 12 получаем |- м>(2{) & ^(12).
Дизъюнкция. Пусть формула 1 имеет вид V 12 и по индуктивному предположению |- ~ ^(Ц) и |- 12 ~ ^(12). Имеем также ^(Хх V 12) = ^(Ц) V ^(12). Используя тавтологию
(а1 V а2) & (а1 ~ р1) & (а2 ~ р2) з (Р1 V р2), из |- V 12 получаем |- ^>(2\) V ^(12).
Импликация. Пусть формула 1 имеет вид з 12 и по индуктивному предположению |- ~ ^>(2\) и |- 12 ~ ^(12). Имеем также з 12) = ^(Ц) з ^(12). Используя тавтологию
(а1 з а2) & (а1 ~ р1) & (а2 ~ р2) з (Р1 з р2), из |- з 12 получаем |- ^>(2\) з ^(12).
Эквиваленция. Пусть формула 1 имеет вид ~ 12 и по индуктивному предположению |- ~ ^>(2\) и |- 12 ~ ^(12). Имеем также ~ 12) = ^>(2\) ~ ^(12).
Используя тавтологию
(а1 ~ а2) & (а1 ~ ßl) & (а2 ~ ß2) з (ßl ~ ß2), из |- Z1 ~ Z2 получаем |- w(Z1) ~ w(Z2). ■
Лемма 3. Если формула Atразрешима, то |- A, ~ Z{ влечет |- A, ~ w(Z,). Доказательство. Рассмотрим два случая.
1.Пусть |- A,. Тогда, используя тавтологию а & (а ~ ß) з ß, получаем |- Z,. По лемме 2 имеем |- w(Z,). Воспользуемся тавтологией а & ß з (а ~ ß) и получим
|- A, ~ w(Z ,).
2. Пусть |—iAТогда, используя тавтологию (а ~ ß) з (—а--iß), из |- A, ~ Z,
получаем |—A,--Z,. Теперь из |—A, и |—A,--Z,-, с помощью тавтологии а &
(а ~ ß) з ß, получаем |—Z. По лемме 2, имеем |--iw(Z,). Из |--A, и |--1w(Z,),
воспользовавшись тавтологией а & ß з (а ~ ß), получаем |—A, —iw(Z,). И снова, с помощью тавтологии (а ~ ß) з (—а —iß), имеем |- A, ~ w(Z,). ■
Доказательство теоремы 2. От противного допустим, что все формулы A1, A2, ..., An разрешимы. Так как |- A, ~ Z , то формулы A, ~ Z, истинны для всех i. Пусть W i обозначает формулу w(Z,). По лемме 3 имеем |- A , ~ W, для всех ,'. Если трактовать все A^, входящие в A,- ~ W, как пропозициональные переменные, то формула
(A1 ~ W1) & (A 2 ~ W2) & . & (An ~ Wn) является истинной формулой пропозициональной логики, но это противоречит невыполнимости ф. Полученное противоречие доказывает теорему. ■
Введем следующее обозначение: если - индекс, пробегающий диапазон 1, 2, ..., n, то ,+ обозначает , + 1 для , = 1, ..., n -1, и = 1 для , = п. Теперь можем сформулировать следствие из теоремы 2.
Следствие 1. Допустим, что для , = 1, ..., п, каждое A, есть одно из следующих утверждений:
(i) A,+ - доказуемо;
(ii) A,+ - не доказуемо;
(iii) A,+ - опровержимо;
(iv) A,+ - не опровержимо.
Пусть количество значений индекса , для которых A утверждает (ii) или (iii), нечетно. Тогда, по крайней мере, одна из формул A, неразрешима.
Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть все формулы A , разрешимы. Переведем исходные условия на точный язык. Для = 1, ., n каждое A i удовлетворяет одному из следующих отношений:
(i) |- A,~ P( A,+!);
(ii) |-A,~ — P(U,+!);
(iii) |- A,~ R(\ A,+!);
(iv) |- A,~ —R(\A,+!).
И количество значений индекса , для которых A удовлетворяют отношениям (ii) или (iii), нечетно. Заменим P( A,+!) на A,+ и R ( A ,+ I) на —A,+. Тогда отношения (i)-(iv) в силу леммы 3 преобразуются в отношения
(I) |- A,~ A,+;
(II) |- A,~ — A,+;
(III) |- A,~ — A,+;
(IV) |- A, ~ A,+.
Причем общее количество выражений вида A, ~ — A,+ является нечетным.
Будем рассматривать все Ai как пропозициональные переменные. Чтобы применить теорему 2, рассмотрим формулу ф, которая в данном случае есть
(A ~ B2) & (A2 ~ B3) & ... & (An_i ~ Bn) & (An ~ Bi), где каждое Bk есть Ak или —Ak. Так как мы предположили, что все формулы Ai разрешимы, то по теореме 2 формула ф должна быть выполнимой.
Удалим из формулы ф все эквивалентности вида Ai ~ Ai+, причем удаляя каждую такую эквивалентность, будем делать перенумерацию переменных так, чтобы соседние переменные по-прежнему имели последовательные номера.
Полученная формула равносильна ф и имеет вид
(Ai ~ —A2)&(A2 ~ —A3)& . &(Ak ~ —Ai), (1)
где kнечетно.
Докажем, что формула (1) не может быть выполнимой. От противного. Пусть формула (i) истинна при некотором распределении истинностных значений переменных Ai, A2, . , Ak. При этом распределении все эквивалентности в скобках должны иметь значение истина. Рассмотрим два возможных истинностных значения для переменной A1.
• Пусть A1 есть истина, тогда A2 - ложь, A3 - истина, A4 - ложь, ..., Ak - истина, так как k нечетно.
• Если же A1 есть ложь, то A2 - истина, A3 - ложь, A4 - истина, ..., Ak - ложь, так как k нечетно.
В любом случае для выполнимости формулы (1) истинностные значения переменных Ak и A1 должны совпадать, но тогда последняя эквивалентность Ak--A1
имеет ложное значение и формула (1) ложна при любом значении A1. Поэтому формула (1) невыполнима. Так как формулы (1) и ф равносильны, то формула ф невыполнима. Полученное противоречие доказывает, что, по крайней мере, одна из формул Ai неразрешима. ■
Если в формулировке следствия n = 1, то тогда мы имеем одну формулу A1,
для которой выполнено |- A1--iP(Ta11) или |- A1 ~ R^A^). И из следствия 1 и
леммы 1 сразу получаем
Следствие 2 (после Гёделя). Если |- G
P(T Gl), то формулы G и P(T Gl) неразрешимы.
Следствие 3 (после Смаллиана). Если |- L
~ R(T Ll), то формулы L и R(T Ll) неразрешимы.
Замечание. Все чистые теоремы существования неразрешимых косвенно рефлексивных предложений, доказанные в [3], являются частными случаями следствия 1.
Автор благодарит профессора Heinrich Rolletschek (Research Institute for Symbolic Computation, Linz, Austria) за плодотворное обсуждение результатов из [3], вследствие чего появилась настоящая статья.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. 320 с.
2. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 396 с.
3. Зюзьков В.М. Неразрешимые косвенно рефлексивные предложения // Вестник Томского
государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 21-33.
4. Smullyan R.M. Godel's Incompleteness Theorem. Oxford: Oxford University Press, 1992.
Статья поступила 14.03.2015 г.
Zyuz'kov V.M. SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF UNDECIDABLE INDIRECTLY REFLECTIVE SENTENCES
DOI 10.17223/19988621/35/2
Indirectly reflective sentences in the (»-consistent theory of formal arithmetic are studied. Sufficient conditions for the existence of undecidable indirectly reflective sentences are proved.
Кeywords: formal arithmetic, indirect reflexion, undecidable sentences.
ZYUZ'KOV Valentin Mikhailovich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: vmz@math.tsu.ru
REFERENCES
1. Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall, 1998.
2. Boolos G. Jeffrey R. Computability and Logic. Cambridge University Press, 1974.
3. Zyuz'kov V.M. Nerazreshimye kosvenno refleksivnye predlozheniya. Vestnik Tomskogo gosu-darstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2010, no. 1(9), pp. 21-33. (in Russian)
4. Smullyan R.M. Godel's Incompleteness Theorem. Oxford, Oxford University Press, 1992.
