Научная статья на тему 'Витгентшейн против Гёделя: доказанность и доказуемость'

Витгентшейн против Гёделя: доказанность и доказуемость Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

CC BY
945
154
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ / ДОКАЗУЕМОСТЬ / ВИТГЕНШТЕЙН / INCOMPLETENESS THEOREM / PROVABILITY / WITTGENSTEIN

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Родин Кирилл Александрович

Кратко обрисовывается история споров вокруг записей Л. Витгенштейна, в которых философ прямо или косвенно обсуждает Гёделеву первую теорему о неполноте; главные моменты трактовки Витгенштейном этой теоремы реконструируются в контексте некоторых «проблем» философии математики, обозначенных Витгенштейном в Заметках по основаниям математики.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Wittgenstein contra Godel: proved and provable

The paper is concerned with the controversy and debate around Wittgenstein''s notes on the Godel''s first incompleteness theorem. The main points of the Wittgenstein''s reflection about this theorem are considered in the context of his philosophy of mathematics, which is find out in the Remarks of the Foundation of mathematics.

Текст научной работы на тему «Витгентшейн против Гёделя: доказанность и доказуемость»

Вестник Томского государственного университета Философия. Социология. Политология 2013. № 4 (24)

УДК 1(091)

К.А. Родин

ВИТГЕНШТЕЙН ПРОТИВ ГЁДЕЛЯ: Д ОКАЗАННОСТЬ И ДОКАЗУЕМОСТЬ1

Кратко обрисовывается история споров вокруг записей Л. Витгенштейна, в которых философ прямо или косвенно обсуждает Гёделеву первую теорему о неполноте; главные моменты трактовки Витгенштейном этой теоремы реконструируются в контексте некоторых «проблем» философии математики, обозначенных Витгенштейном в Заметках по основаниям математики.

Ключевые слова: теорема о неполноте, доказуемость, Витгенштейн.

0. Первая теорема Гёделя о неполноте занимала Витгенштейна 22-24 сентября 1937 г. и - еще два дня - 2-3 июля 1941 г. Тогда и были сделаны записи, опубликованные в составе «Заметок по основаниям математики» (ЗОМ) (это, соответственно, фрагменты: 1. ЯБМ Арр. III, или в КасЫаР: МБ 118, 105у-114г; 2. ЯБМ §18,19,21,22, или в КасЫар: МБ 124, 87-94; в КасЫар, кроме того, есть записи, которые, хотя и не многочисленны, однако, если пытаться вынести окончательный вердикт по делу «Витгенштейн&Гёдель», должны быть затребованы). После публикации в 1956 г. ЗОМ Георг Крайзель и Пауль Бернайс расценили указанные записи как свидетельство того, что Витгенштейн первую теорему о неполноте не понял [1. С. 153-54; 2. С. 15]. Позднее появились несколько более «дружественные» отзывы. Однако лишь в начале 2000-х дело обратило на себя пристальное внимание. Вышли в свет: «апологитическая» статья Дж. Флойд и Х. Патнема, статьи Дж. Флойд и М. Штейнера, разбор записей о Геделе в КасЫаР В. Родича, его же критический отзыв на статью Флойд и Патнема с подробным обзором истории вопроса (соответственно [3, 4, 5, 6, 7]) (наибольшее количество откликов вызвала как раз статья Флойд и Патнема).

Известна реакция Гёделя относительно тех фрагментов записей Витгенштейна, которыми поделился с ним в личном письме Менгер (1972 г., цит. по: [8. С. 49]): «Что касается моей теоремы о неразрешимых утверждениях, то из процитированных тобой фрагментов несомненно: Витгенштейн ее не понял (или притворился что не понял). Он интерпретировал ее как вид логического парадокса, в то время как, наоборот, она представляет собой математическую теорему внутри абсолютно бесспорной части математики (теория финитных чисел или комбинаторика). Кстати, весь процитированный тобой фрагмент кажется мне бессмысленным. См., например: «суеверный страх математиков перед противоречиями». Гёдель в конце цитаты цитирует из §17

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.2.1, заявка №2012-1.2.1-12-000-3003-029), а также в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований (тематический план НИР Национального исследовательского Томского государственного университета №6.4832.2011).

приложения III ЗОМ (в русском переводе, сделанном с первого издания, это приложение из общеупотребимого сейчас второго, дополненного издания 1976 г. имеет номер I (об изданиях, редакциях и переводах этой работы см. подробнее: [9])). Он, следовательно, имел дело с записями 1937 г., в которых Витгенштейн обсуждает семантическую, «необязательную» формулировку теоремы.

1. Построим формулу так, чтобы она выражала недоказуемость самой себя (вспомним известный парадокс об утверждении в рамке, утверждающем, что утверждение в рамке недоказуемо: если утверждение доказуемо, то доказуема его недоказуемость, а если утверждение недоказуемо, то оно истинно, ибо само о себе как раз и говорит, что утверждение недоказуемо; иначе: если утверждение ложно, то оно доказуемо, т.е. доказуема недоказуемость утверждения, что невозможно, следовательно, утверждение истинно). Для этого используем изложение Гёделева доказательства первой теоремы о неполноте, представленное в устной лекции проф. В.А. Успенского:

а) пронумеруем все формулы: Сь С2, С3 и т.д., и все доказательства: Гь Г2, Г3 и т.д.;

б) рассмотрим функцию §: §(8) = 1 тогда и только тогда, когда Г8 есть доказательство формулы С функция § вычислима - её, следовательно, выражает некоторая формула в с параметрами х и у; 0(8,1) истинна тогда и только тогда, когда доказательство с номером 8 является доказательством формулы с номером ^

в) для каждого числа I формула ^юС(юД) означает доказуемость формулы

О и для каждого числа ^ формула ^Е|мС(ы.1.) означает недоказуемость формулы О:;

г) нумеруем все открытые формулы с единственным параметром х: А1, А2, А3; Г(ш,п) - номер формулы - закрытой - Ат(п); поскольку Г - вычислимая функция, её выражает некоторая формула Б с параметрами х,у,г; формула Б(ш,п,р) истинна тогда и только тогда, когда р есть номер формулы Аш(п);

д) формула Эи|С(с.и)&Р(т.п.и)| означает, что е - номер доказательства формулы Аш(п), имеющей номер Г(ш,п);

е) формула _,ЗюЕи[С(ю,и)&Р(т,п,и)] означает недоказуемость формулы Аш(п), имеющей номер Г(ш,п); для каждого числа п формула ^ЭмЭи|С(ы.и)&Р(п.п.и)| означает недоказуемость формулы Ап(п), имеющей номер Г(п,п);

ж) рассмотрим формулу с единственным параметром х: _,ЗюЭи[С(ю,и)&Р(х,х,и)] - эта формула есть Ач при некотором q.

з) формула Ач^), т.е. формула -,ЭюЭи[С(ю,и)&Р^^,и)], имеет номер %,о>;

и) однако, согласно пункту е) формула та же, что в пункте з), -'ЭюЭи[С(ю,и)&Р^^,и)] означает недоказуемость формулы с номером ^^). Сравним пункты з) и и).

l65

Построена такая формула, что она утверждает собственную недоказуемость. Формула истинна на интуитивном уровне, и/но недоказуема. Построим формулу, чтобы невозможно было доказать ни её саму, ни её отрицания:

а) пусть y(C) - геделевский номер формулы C, а T(C) - геделевский номер доказательства формулы, и пусть предикат Док(у^) утверждает, что у является геделевским номером доказательства формулы с геделевским номером х (мы опускаем рассмотрение способа нумерации);

б) рассмотрим функцию s(z) = у(П у '(/)), которая вычисляет геделевский номер формулы, полученной в результате подстановки в формулу у- (z) (эта запись означает, что мы по номеру восстанавливаем формулу) вместо z -х и введем предикат G(x) = Vy_,floK(y,s(x));

в) пусть q = y(G(x)); лемма: s(q) = y(G(q)) {s(q) = у(П£ у '(q)) = у(П£

y(G(x)) = y(G(q))}; ' '

г) G(q) - есть искомая формула; если G(q) доказуемо, тогда есть некое доказательство с номером m = T(G(q)), следовательно: Док(т, y(G(q))) = =Док(т, s(q)) = ЭуДок(у, s(q)), однако G(q) = Vy-floK(y,s(q));

д) если же G(q) недоказуемо, то доказуемо отрицание G(q) (мы исходим из того, что система непротиворечива), то есть -,Vy-floK(y,s(q)) = ЭуДок(у, s(q)), опять противоречие, следовательно, формулу G(q) нельзя ни доказать, ни опровергнуть (мы использовали материалы устной лекции проф. А. Б. Сосинского).

В первом и втором вышепредставленных способах доказательства число выступает в разных «интерпретациях»: как обычное число и как номер, кодифицирующий формулу. Своего рода постановка (Витгенштейн говорит: фокусы). Актер, который в жизни является одним человеком, на сцене играет роль другого. Эта метафора принадлежит Я. Хинтикки. У него же представлена наиболее короткая иллюстрация существа теоремы. Имеется лемма («diagonal lemma»), согласно которой для любой формулы F(x) из элементарной теории чисел с единственной переменной x существует число n, которое является геделевским номером формулы F(n). Рассмотрим формулу ~Prov(x), где x обозначает геделевский номер формулы. Возьмем число q, чтобы оно было геделевским номером формулы ~Prov(q) (по лемме). Получаем формулу, которая говорит, что формула с геделевским номером q недоказуема и которая сама же и есть эта формула [l0. С. 3l-33].

2. Обозначим буквой P формулу, которая выражает собственную недоказуемость. Очевидно, что среди приведенных доказательств не обнаруживается ни самореферентности, ни оправдания для семантической трактовки, при которой P объявлялась бы истинной, но недоказуемой. Кажется, Витгенштейн не обратил на это внимания: «Я представляю себе, что кто-то просит моего совета, он говорит: “Я сконструировал предложение в расселовских символах (обозначу его как Р). С помощью определенных дефиниций и преобразований его можно истолковать так, что утверждается: “Р недоказуемо в расселовской системе”. Разве я не должен сказать об этом предложении: оно и истинно, и недоказуемо. Ведь допустив его ложность, мы получили бы, что оно доказуемо! А ведь этого не может быть. Будь же оно доказуемым, дока-

зуемым было бы и то, что оно недоказуемо. Стало быть, оно может быть лишь истинным, но не доказуемым» [11. С. 54].

Стало быть, прав Гёдель, и Витгенштейн не понял доказательства теоремы? Витгенштейн, скорее всего, доказательства не читал (кроме того, смысл выражения «понимать формальное доказательство» неясен: если я его воспроизвожу, разве это означает, что я его понимаю; если я его не воспроизвожу, то я его всего лишь не воспроизвожу). Математика как таковая не интересовала Витгенштейна (об отношении философии и математики см., например: ФИ, §124). Витгенштейн тем не менее должен был бы принять невозможность формализации математики посредством рекурсивной аксиоматической системы: в §46 III раздела ЗОМ сказано, что математика есть «пестрая смесь техник доказательства», что отсылает к понятию «семейного сходства», которое предполагает несводимость математики к общей системе. Почему Витгенштейн не заинтересовался доказательством и продолжил интерпретировать теорему семантически и рассматривать ее на манер самореферент-ной конструкции (отметим, что Гёдель (см. подробнее в работе [5. С. 263]) в статье о неразрешимости в Рппс1р1а МаШешайса от 1967 г. сам сравнивает теорему с парадоксом лжеца и делает из неё семантические выводы), хотя и не во всех соответствующих записях? Ответ кажется простым: в заметках о Гёделе Витгенштейна интересует совсем не самореферентность/ несаморефе-рентность Р (после доказательства ничто не мешает нам рассматривать Р как самореферентную конструкцию - в том смысле, что воспроизводится некая аналогичная структура). Кроме того, из записи от 1 января 1939 г. [МБ 121 83у] видно, что Витгенштейн понимает не-рефлексивный характер формулы Р, и нет оснований считать, что в 1937 г. он этого еще не понимал.

3. Дж. Флойд в своей работе ссылается на Р. Гудстейна: «Не думаю, что Витгенштейн слышал об открытии Гёделя ранее 1935 года; после того, как он узнал о нём, его немедленная реакция, которая, по-моему, несомненно демонстрирует поразительное понимание, была в том, чтобы обратить внимание на тот факт, что формализации арифметики с помощью математической индукции и замены чисел переменными недостаточно для того, чтобы фиксировать понятие натурального числа. Потому что если в некоторой системе А все предложения 0(п), где п - натуральное число, доказуемы, но общее предложение (Уп)(3(п) - недоказуемо, то должна быть такая интерпретация А, в которой п принимает такие значения, которые отличны от натуральных чисел и для которых 0(п) - ложно (независимо от работы Гёделя это в 1934 году показал Сколем)» [12. С. 279].

Витгенштейн так прямо не высказывался. Он, по нашему мнению, действительно мог независимо прийти к тому, о чем говорит Гудстейн в приведенной цитате, однако вряд ли рассматривал бы результат существования определенной интерпретации системы А, связанный с теоремой Гёделя, как нечто существенное для своей философии. Замечание Гудстейна (это, само собой, видно и из доказательств) позволяет провести аналогию с диагональю Кантора, которая в ЗОМ тоже рассматривается. Мы имеем ряд (удлиняемый до бесконечности) десятичных дробей и мы всегда можем написать десятичную дробь, которой в ряду еще нет. Мы выводим формулы-теоремы из аксиом и правил вывода, и, следовательно, они доказуемы, но всегда возможно напи-

сать такую «неложную» формулу Р, которая окажется недоказуемой (окончательно вынесем за скобки вопрос о том, понимал ли Витгенштейн теорему Гёделя и каким образом). Критика Витгенштейном сомнительной интерпретации диагонального метода проста. Зададимся вопросом: уместно ли говорить, что при обучении ребенка умножению его обучают и тому, что умножение возможно? Или: мы учим ребенка располагать в ряд некоторые предметы. Это своего рода техника, которая одновременно исключает не предусмотренные в ней ходы (так, например, в технике вычисления дробей выражение «наиближайшая по величине дробь» не имеет смысла) и сама в то же время не всегда может быть применена. Уместно ли говорить о предметах, множество которых исчислимо? Предположим, что диагональная процедура была известна до Кантора и использовалась для получения числа, отличного от данных. Непонятно, почему на основании этой техники-процедуры уместно говорить, что множество действительных чисел несчетно. Или: иррациональные числа не могут быть упорядочены, следовательно, нет системы иррациональных чисел, однако «нет и Сверх-Системы, нет множества иррациональных чисел с бесконечностью высшего порядка». «Из того, что у нас есть то или иное применение для некоего типа числительного, словно бы задающего число членов того или иного бесконечного ряда, не следует, что уместно также говорить о числе применительно к понятию «бесконечного ряда», как будто тут мы располагаем неким применением чего-то, сходного с числительным. И нет никакой грамматической техники применения такого выражения. Ибо я, конечно, могу составить выражение: «Класс всех классов, которые имеют числовое равенство с классом «бесконечная последовательность», так же как и выражение: «Класс всех ангелов, которые помещаются на острие иглы», но это выражение пусто, пока для него нет применения» [10. С. 64-65]. Логика размышлений действительно простая. Умножение применимо в повседневной жизни, тогда как высказывание о возможности умножения - нет. Точно так же мы применяем некоторый тип числительного для обозначения числа членов того или иного бесконечного ряда, но мы не употребляем числительное по отношению к бесконечной последовательности в качестве числительного как такового. То есть мы употребляем якобы число для обозначения членов бесконечной последовательности, но это не означает, что о нем уместно говорить как об «обычном» числе и оперировать с ним, как с «обычными» числами. Или, говорит Витгенштейн: если слово «бесконечно» придает исчислению значение вместо того, чтобы получать значение от исчисления, то его следует избегать.

Теперь процитируем из §17 III дополнения ЗОМ:

А как предположить, что Р доказано? С помощью доказательства недоказуемости? Или каким-то другим образом? Предположи, что с помощью доказательства недоказуемости. Затем, чтобы понять, что доказано, обрати внимание на доказательство! Может быть, здесь доказано, что такая-то форма доказательства не ведет к Р. - Или пусть Р доказано, так сказать, неким непосредственным образом, - тогда из этого следует предложение «Р недоказуемо», и теперь надо выяснить, как эта интерпретация символов Р сталкивается с фактом доказательства и почему от нее следует здесь отказаться.

Предположим, однако, что доказано не-Р. - Как доказано? Например, тем, что Р доказано непосредственным образом, - ибо из этого следует, что оно доказуемо, то есть что оно есть не Р. Что же я должен теперь высказывать: «Р» или «не-Р»? Почему не оба предложения? Если кто-нибудь спросит меня: «Что в данном случае верно - Р или не-Р?» - то я отвечу: Р стоит в конце расселовского доказательства, так что в системе Рассела ты пишешь Р; однако, с другой стороны, это как раз доказуемо, и это выражается через «не-Р», но это предложение не стоит в конце расселовского доказательства, то есть не относится к системе Рассела. - Когда для Р была дана интерпретация «Р недоказуемо», то еще было неизвестно это доказательство для Р, и поэтому нельзя сказать, что Р утверждает: это доказательство не существует. -Как только выстроено доказательство, тем самым создана новая ситуация: и теперь надо решать, будем ли мы называть это доказательством (еще одним доказательством) или же утверждением о недоказуемости [10. С. 57].

Витгенштейн различает между доказанностью и доказуемостью. Различие аналогично различию между процедурой умножения и возможностью умножения или между обозначением числа членов бесконечной последовательности некоторым «числительным» и произвольным псевдоупотреблением этого «числительного» наряду с «обычными» числительными. Обобщая, можно сказать, что подобные различия служат для воспроизводства некоторой элементарной феноменологии. Что же говорит Витгенштейн в §17? Ранее Витгенштейн отмечает, что только доказательство может служить критерием того, по праву ли нечто называется высказыванием «Х недоказуемо», и весь вопрос в том, является ли «доказательство недоказуемости Р» убедительным основанием для предположения, что доказательство Р не будет найдено (можно пользоваться формулой Р из приведенных доказательств, но удобнее взять следующее: «Р: Р недоказуемо»). Если Р не доказано, то неясно, что должно служить критерием его истинности, «и его смысл, можно сказать, еще скрыт». Если доказано Р, то тем самым доказано и не-Р. Однако если Р доказано, то это есть некоторый факт, т. е. Р прямо сейчас выведено (примерно так же мы можем сказать, что когда мы прибавляем к 2 единицу и получаем три, то непосредственно производим счет), но тогда «не-Р», оно выражает то, что мы только что доказали, не является прямо доказанным (оно не стоит в конце расселовского доказательства), и от него, как от интерпретации, следует отказаться. С другой стороны, Р не может утверждать, что то доказательство, которое мы якобы непосредственно получили, не существует, потому что Р было сформулировано до всякого «доказано» из предположения о «доказуемости». Какое отношение это имеет к доказательству теоремы Гёделя? Никакого.

4. Можно сказать, теорема Гёделя, согласно Витгенштейну, обладает «двоякой бесполезностью». Первую - математическую - «бесполезность» (она как раз и обсуждалась в предыдущем разделе) лучше всего резюмировать словами самого Витгенштейна: «Ты говоришь: “... следовательно, Р истинно и недоказуемо”. Это, вероятно, означает: “Итак, Р”. Пожалуй, я не возражаю, но с какой целью ты записываешь данное “утверждение”? (Оно равносильно тому, как если бы кто-нибудь, опираясь на известные принципы, касающиеся природных форм и архитектурного стиля, вывел из них утвер-

ждение, что на горе Эверест, где никто не может жить, должно стоять небольшое шале в стиле барокко.) И как бы ты смог объяснить мне истинность утверждения, если сам не можешь использовать его для чего-нибудь иного, кроме как для этих маленьких фокусов?» [10. С. 58]

«Вторая бесполезность» теоремы связана, так сказать, с пропедевтикой различных околофилософских и теологических спекуляций, с последующим избавлением от них. Спекуляции же связаны с поиском или уверенностью в существовании истин, недоступных разуму и пр. и т.д. На выходе они чаще всего дают «платонизм», и, хотя непосредственно теорема в этом не виновата, Гёдель был несколько заинтересован в подобного рода поиске. Приведем исчерпывающую характеристику Дж. Флойд: «Гёдель читает Лейбница и Гуссерля, чтобы лучше понять такие основные идеи, как реальность, истина, объект, концепт, число, тогда как Витгенштейн спрашивает, обладаем ли мы каким-либо способом ясного выражения или представления этих основных идей. Гёдель пытается конструировать логико-математический смысл различных философских направлений: логицизма, формализма, финитизма и интуиционизма, тогда как Витгенштейн настроен скептически относительно обоснованности (coherence) какой-либо теории, говорящей о математике в целом. Гёдель проявляет интерес к рациональной теологии. Витгенштейн, определенно из-за признания религии, относится с презрением к философским попыткам рационализации оснований религии и этической жизни, точно так же он отвергает проекты, которые ставят своей целью рационализацию оснований математики» [4. С. 288].

В заключение еще раз отметим, что Витгенштейн никогда не обсуждал первую теорему Гёделя о неполноте по существу. Его целью - кажется, он оказался успешен в ее достижении - было пропустить эту теорему, пройти мимо.

Литература

1. Kreisel G. Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics // British Jornal for the philosophy of Science, 1958. №9. P. 135-137.

2. Bernays P. Comments on Ludwig Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics // Ratio. 1959. Vol. II. №1. P. 1-22.

3. Floyd J., Putnam H. A Note on Wittgenstein's "Notorious Paragraph" about the Godel Theorem // The Journal of Philosophy, 2000. Vol. 97, №11. P. 624-632.

4. Floyd J. Prose versus Proof: Wittgenstein on Godel, Tarski and Truth // Philosophia Mathe-matica. 2001. Vol. 9. №3. P. 280-307.

5. Steiner M. Wittgenstein as his Own Worst Enemy: The Case of Godel's Theorem // Philosophia Mathematica. 2001. Vol. 9, № 3. P. 257-279.

6. Rodych V. Wittgenstein on Godel: The Newly Published Remarks // Erkenntnis. 2002. Vol. 56.,№3. P. 379-397.

7. Rodych V. Misunderstanding Godel: New Arguments about Wittgenstein and New Remarks by Wittgenstein // Dialectica. 2003. Vol. 57, №3. P. 279-313.

8. WangH. Reflections on Kurt Godel. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1987.

9. Суровцев В.А., Ладов В.А. О VI разделе «Заметок по основаниям математики» Л. Витгенштейна (предисловие к русскому переводу) // Эпистемология и философия науки, 2007. Т. 12, №2. С. 216-219.

10. Hintikka J. On Godel. - Boston: Wadsworth/Thomson Learning, Inc, 2000.

11. Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II. М.: Гнозис, 1994.

12. Goodstein R.L. Wittgenstein’s philosophy of mathematics // Ludwig Wittgenstein: Philoso-phe and Language. London: Allen&Unwin, 1972. P. 271-286.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.