CC BY
45
Литература
1. Нестругина Е.С. Чичикало Н.И. Моделирование процесса отклонений формы объекта от вертикального положения путем виртуального проектирования [Текст] / Е. С. Нестругина, Н. И. Чичикало: сб. науч. тр. / Дон. инст. ж/д трансп. -Донецк : ДонИЖТ, 2011. - 151-158 с.
2. Нестругина, Е. С. Концепция определения состояния двигательных функций человека в процессе реабилитации после травматизма [Текст] / Е. С. Нестругина, Н. И. Чичикало // Журн. «Искусственный интеллект». - 2011. - № 2. - С. 60-65.
3. Нестругина, Е. С. Исследование влияния внешних возмущающих факторов на индивидуум [Текст] / Е. С. Нестругина, Н. И. Чичикало // Журнал «Системи обробки інформації. Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія». - 2011.- № 3(93). - С. 206-209.
4. Нестругина, Е. С. К вопросу классификации видов возмущающих воздействий и реакций человека на них [Текст] / Е. С. Нестругина, Н. И. Чичикало // Журн. «Системи обробки інформації. Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія». - 2011.- № 4(94). - С. 221-224.
5. Чичикало, Н. И. Информационно-измерительная система контроля текущего состояния опорной структуры человека [Текст] / Н. И. Чичикало, Е. С. Нестругина // Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: “Обчислювальна техніка та автоматизація”. - 2012.- № 22(200). - С. 201-207.
6. Ямалов, И. У. Моделирование процессов управления и принятия решений в условиях чрезвычайных ситуаций [Текст] / И. У. Ямалов. - М.: Лаборатория Базовых знаний, 2007. - 288 с.
7. Bellifemine, F. Developing multi-agent systems with JADE [Текст] / F. Bellifemine // Chichester: John Wiley & Sons Ltd. -2007. - 286 p.
8. Oppenheim, А. V. Discrete-time signal processing [Текст] / А. V. Oppenheim, R. W. Schafer, J. R. Buck // Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1998. - 870 с.
9. Ritter, G. X. Handbook of computer vision algorithms in image algebra [Текст] / G. X. Ritter, J.N. Wilson // Boca Raton, Florida: CRC Press. - 2001. - 425 p.
10. Bow, S.-T. Pattern recognition and image preprocessing / S.-T. Bow // NY: Marcel Dekker, Inc. - 2002 - 714 p.
11. Pratt, W. K. Digital Image Processing [Текст] / W.K. Pratt // NY: John Wiley & Sons, Inc. - 2001. - 213 p.
12. Hallinan, P. L. Two- and Three-Dimensional Patterns of the Face [Текст] / P.L. Hallinan, G.G. Gordon, A.L. Yuille, P. Giblin, D. Mumford // A.K. Peters Ltd. 1999. - 260 p.
--------------------□ □----------------------
Розглянуто замкнуті системи типу “людина-машина-середовище” як з класичним найпростішим потоком, так і з нестабільним джерелом стихійних лих з різними видами щільності, що апроксимована кусково-постійними функціями. Процес ліквідації аварії у всіх моделях відбувається в кілька етапів, з різними інтенсивностями і можливими багаторазовими повтореннями етапів у разі «мульті-катастроф»
Ключові слова: ланцюг Mаркова, рівняння Колмогорова, максимальна ентропія
□---------------------------------□
Рассмотрены замкнутые системы типа “человек-машина-среда” как с классическим простейшим потоком, так и с нестабильным источником стихийных бедствий с различными видами плотности, аппроксимированными кусочно-постоянными функциями. Процесс ликвидации аварии во всех моделях происходит в несколько этапов, с различными интенсивностями и возможными многократными повторениями этапов в случае «мульти-катастроф» Ключевые слова: цепь Mаркова, уравнения Колмогорова, максимальная энтропия --------------------□ □----------------------
1. Введение шина-среда” с нестабильным источником стихийных
бедствий с различными видами плотности. Предло-Рассмотрены замкнутые системы типа ”человек-ма- жена Марковская модель, в которой некоторые пара...................................................................................................у5
УДК 615.89:505.3.054
МОДЕЛИ СИСТЕМ «ЧЕЛОВЕК-МАШИНА-СРЕДА» С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ ПРИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ПОТОКАХ СОБЫТИЙ
И. В. Наумейко
Кандидат технических наук, доцент* E-mail: naum@kture.kharkov.ua Аль-Азави Р. Дж.
Аспирант* E-mail: razijabur@gmail.com *Кафедра прикладной математики Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, Украина, 61166
© И. В. Наумейко, Аль-Азави Р. Дж., 2013
метры найдены с помощью принципа максимизации После нормировки ограничений, задача оптимиза-
информационной энтропии. ции информационной энтропии имеет вид:
2. Постановка проблемы и анализ литературы
Рассматривается замкнутая система типа «человек-машина-среда», в которой имеется, в общем случае возможно, нестационарный источник событий-катастроф, влияющих на работу подсистемы «машина» и здоровье подсистемы «человек», задача которого эту аварию, либо катастрофу ликвидировать. В отличие от стандартного подхода, вероятности состояний человека не известны и определяются из условия максимума информационной энтропии замкнутой стационарной эргодической системы [3]. В таких случаях, в качестве инструмента исследования, использовался этот принцип, также называемый «вторым началом синергетики» [4]. Модели такого рода носят качественный, «мягкий» [1] характер.
Использован подход, который можно было бы уподобить подходу термодинамики, а именно мы хотим описывать поведение сложных систем с помощью макроскопически наблюдаемых величин. Методом для достижения этой цели послужит принцип максимума информационной энтропии, разработанный в совершенно общем виде Джейнсом [9]. Трудность проблемы обобщения этого принципа на системы, далекие от теплового равновесия, или даже на нефизические системы, кроется именно в адекватном выборе ограничений [10].
В качестве базовой модели для всей системы «че-ловек-машина-среда» использована идея Марковской модели «гибели-размножения» [2], приспособленная для не-Марковских систем с переменными интенсивностями [7]. Продуктивность такого подхода подтверждается тем, что формулы типа Эрланга для переменного времени обслуживания доказаны и применяются уже пол-века [2].
3. Цель работы
Si = -^ р 1пР; ^ тах , р = 1,0 < р < 1,0.973р + 1.013Р2 + 1.054Р2 = 1.
(1)
Функция SI сепарабельна, выпукла вверх по каждой переменной, а значит, максимум на выпуклой области единственный.
Данный модельный пример легко решить аналитически методом множителей Лагранжа, однако, при большем числе состояний, потребуется математический пакет, например, МаШетайса.
Получен результат для энтропии и вероятностей состояний здоровья: {1.02, {р! ^ 0.51, р2 ^ 0.31, р3 ^ 0.18}}, по крайней мере, соответствующий здравому смыслу.
Упрощенная модель системы «человек-машина-среда»
Здесь X и ц; - константы, п - количество этапов (операций процесса восстановления). Отличия от классической модели: каждая операция имеет свою интенсивность ц; при постоянной интенсивности аварий. Вид уравнений Колмогорова в этом случае, их вывод и решения мало отличаются от классического. Значит, обоснования перехода к стационару и наличия предельных вероятностей - тоже не отличаются. Получаем размеченный граф состояний, аналогичный процессу «гибели и размножения» [2] (рис. 1):
Рис. 1. Схема при i = 0,1,2,...п при постоянном переходе влево и вправо
Получаем решения для вероятностей состояний, из которых Р0, безусловно, наиболее интересно.
Построить Марковскую модель, рассмотреть уравнения Колмогорова для переходного процесса и соответствующую алгебраическую систему типа Эрланга для стационарного предельного случая. Исследовать возможность расширения модели на случай «мультикатастроф» - немарковский поток со случайным количеством событий и переменной интенсивностью. Путем введения фиктивных состояний свести модель к Марковской [8]. Численно исследовать адекватность замены динамической модели стационарной.
Подсистема «человек»
Рассмотрим сначала подсистему «человек», которая может находиться в одном из трех возможных состояний Sl = «здоров и работоспособен», s2 = «болен, но работоспособен», sз = «неработоспособен», соответственно с вероятностями р;. Критерий есть функция трех переменных, и задача может иметь не более двух ограничений-равенств, одно из которых тривиальное и присутствует всегда: Ер; = 1. В классическом случае остальные ограничения имеют вид математических ожиданий. Для последней связи значения и М могут быть получены, например, из статистики для температуры тела: Т^) = 36, Т^2) = 37.5, Т^3) = 39.
ХР 0 = Ц^ ХР 1 =1^................., ХР п-1 =ЦпРп
при Р0 + Р1 + Р2 +.... + Рп =1.
(2)
р=
-Р0, ;=1, 2, ..., п.
Ц1Ц2 .Ц;
Из условия (2) имеем: Р0 =
\-1
ПЦ;
Известно [2], что для переменных последняя формула сохраняется в смысле среднего времени работы на каждом этапе.
Без существенного изменения результата можно предложить ряд дальнейших обобщений на не-про-стейшие потоки событий. При этом, адекватность предположений следует проверить численным экспериментом на имитационной модели, либо сравнением с решениями уравнения Колмогорова.
1) Хр)представляется ступенчатой функцией Хк,
тогда Р0 =
ЕПХ;/ Ц;
к
X
к=1 ;=1
2) Х(^) и ц(^) - произвольные, однако удовлетворяющие условиям стационарности и существования предельных вероятностей Р;'0), при
Результаты некоторых экспериментов для более общей модели приведены в разделе 3.
Дальнейшее развитие модели системы «человек-машина- ср еда»
Для выше описанных моделей предполагалось, что мощность катастрофы не велика, и потому каждое новое событие ’’отодвигает” процесс восстановления только на один шаг назад. При большой мощности катастрофы восстановление каждый раз начинается сначала, и граф состояний, при п=3, имеет вид (рис. 2):
Рз =
Х
; р2 = -
Хц3
Рі =
Ро =
Х + Ц3 2 (Х + Ц3)(Х + Ц2)
_________ХЦз^2____________.
(Х + Ц3)(Х + ^2)(Х + Ці)
_________Хц#2І^і__________
(Х + Ц3)(Х + ^2)(Х + Ці)Х
С целью определения характерного времени Т выхода на асимптотику, на рис. 3 приведен характерный график решений уравнения Колмогорова (3) для сравнения с полученными по формулам (4) числами.
Для а = 0.3 <1 имеем: Р0=0.13, Р1=0.16, Р2=0.28, Р3=0.43; Т = 10, т =14.
Для а = 1.3 >1 имеем: Р0 = 0.5, Р1=0.1, Р2=0.2, Р3=0.2; Т = 18, т =18.
Для аї 1 имеем: Р0 = 0.4, Р1=0.2, Р2=0.2, Р3=0.2; Т = 20, т = 21.
Рис. 2. Размеченный граф состояний
Уравнения Колмогорова для этого случая легко получить:
Р0 = -ХР0 + МіР1 ;
Р1,= ^2Р2-(Х+^1 )р1;
Р2=^3Р3-(Х + ^2 )Р2 ; (3)
Р = ХР0 + ХР1 + ХР2 - ^3Р 3 .
В равновесном случае, решая систему алгебраических уравнений, получаем:
(4)
Формулы допускают очевидные обобщения на случай п этапов S.
По формулам (4) для реальных X и ц рассчитаны значения Р; для разных характерных случаев соотношений интенсивностей событий.
В качестве характеристики безопасности ситуации естественно рассмотреть величину отношения среднего интервала аварий к среднему времени их устранения:
« = (1/ Х)/(1/ ц +1Ц2 + V Цз)
Средний период аварии:
г = (УХ) + (V Ц + V Ц2 + V Цз)
Рис. 3. Временная зависимость t вероятностей состояний и выход на стационар Р
Результат Т ^ т показывает совпадение по порядку величин этого времени со средними временами операций и интервалами между авариями, что подтверждает законность перехода от динамической модели к стационарной, причем тем более, чем опаснее ситуация ( а << 1).
Модель системы при слабых разрушениях и изменении состояния оператора
Время и качество работы при аварии зависит от состояния здоровья человека-оператора, которое, в свою очередь, зависит от состояния системы (и прямого вредного воздействия, и стресса).
Мы предполагаем, что оператор может находиться, в отличие от раздела 1, только в двух состояниях, условно говоря, ”полностью функциональный” и ”частично функциональный”. Вероятность восстановления эффективности в процессе ликвидации аварии равна нулю, а вероятность нефункционального состояния при выполнении 1-ой операции равна Ь;. После окончания работ, работоспособность оператора будет восстановлена, или он будет заменен.
Тогда вероятности перехода для каждой пары состояний (1+1) и (1+1)ь с полной и частичной функциональностью оператора, соответственно, равняются Ь; ц; и (1-Ь;)Ц;. Состояние системы, интенсивность и вероятность восстановления работы системы при неполной функциональности оператора, соответственно, 1ь, Ць и р;ь. Размеченный граф состояний представлен на рис. 4.
Рис. 4. Размеченный граф состояний полной и неполной работоспособности оператора
Е
Отметим, что вероятность заболевания человека-оператора в процессе выполнении первой функции не известна и будет определяться с помощью ’’принципа максимума информационной энтропии” (раздел 1). Стационарные системы уравнений для вероятностей состояний имеют вид [5]:
=___X____ и P =___X____
; (X+Х2) к,Ь (X+Z2)
р,к =
A
ц.(2і + X2) ’ ~к’Ь цЬ(Х + Z2)
^Рь + XP0 -MV; (1 — Ь1 )^1P1 = ^2P2 Ь1^1^>1 = ^ 2^^2Ь •
(1 - Ь^Ц^ -h+lPi+l';
Ц^ь + -^+iPi+i
(5)
(1 - ь„) цД -XP,; І^Рь + ЧЦД -XP0l
Также используется:
Е P + Z P-ь + Poь -1
i-G i-2
где
к - i...n; PG -
P - An+1
X(Z1+ Z2) ’
P* --
1
X(Z1+ X2) ’ 0 X(Z1+ X2) ■
4. Выводы
(6)
Особый интерес вызывают значения вероятностей
Р* = Р + РьД-РоИ Роь .
Из рекуррентных соотношений (5), используя (6), обозначим для к = 2,...,п:
к-1
Вк =П (1 -Ь;Х Ак = 1 -Вк,
]=1
А0 = А1 = 0, В0 = В1 = 1, X1 = :^Вк/^
0
X 2 = ХАк/ ^к ,
0
Для величины а << 1, что соответствует высокой степени опасности, переходные процессы затухают быстро и модификация формул Эрланга применима для переменных интенсивностей.
При этом функции ц(Ч) заменяются ступенчатыми.
При высокой интенсивности катастроф и их низкой периодичностью по сравнению со скоростью их ликвидации (Чернобыль, Фукусима), а > 1 и стационарная модель также удовлетворительно применима при замене переменных интенсивностей их средними значениями.
Для случая а (^)=1 необходимо решать нестационарные уравнения Колмогорова.
Величина а не может быть единственной характеристикой опасности ситуации, поскольку случай Х^) =1, при t < 1 и Х(^) << 1, при t > 1, ц=0 - мультикатастрофа при медленной её ликвидации, например, землетрясения, - приводит к росту функции а (^ и её переходу через единицу, т.е. опять необходимо решать нестационарные уравнения Колмогорова.
B
Литература
1. Арнольд, В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели [Текст] / В. И. Арнольд // М.: МЦНМО, 2000, 32 с.
2. Вентцель, Е.С. Исследование операцій [Текст] / Е.С. Вентцель // М.: Советское радио, 1972, 552 с.
3. Хинчин, А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания [Текст] / А. Я. Хинчин // Под редакцией Б. В. Гнеденко. М.: Физматгиз, 1963, 236 с.
4. Хакен, Г. Информация и самоорганизация [Текст] / Г. Хакен// М.: КомКнига, 2005, 248 с.
5. Аль-Азави, Р. Дж. Об одном подходе к моделированию человеко-машинных систем восстановления в критических ситуациях [Текст] / Р. Дж. Аль-Азави // 16-й Международный молодежный форум «РАДИОЭЛЕКТРОНИКА И МОЛОДЕЖЬ В ХХІ веке» 17-19 апреля 2012 г. - С. 131-132
6. Razi J. Alazawi Markovian Approach To Man-Machine-Environment Systems [Текст] / R. J. Alazawi/ / Радиотехника, №170, Харьков, 2012. С.14-18.
7. Аль-Азави, Р. Дж. Моделирование Человеко-Машинных Систем восстановления в критических ситуациях с помощью процессов гибели и размножения [Текст] / Р. Дж. Аль-Азави //Радиотехника, Харьков, 2013 (в печати).
8. Наумейко, И.В. К расчету марковской модели эргатической системы [Текст] / И. В. Наумейко, А.В. Сова //Сб Науч. Труд. 5-й Юбилейной Международной Научной конференции "Функциональная база наноэлектроники” Харьков-Крым, 2012. С. 236-239.
9. Jaynes E.T. Where do we stand on maximum entropy? [Текст] / E.T. Jaynes// in R.D. Levine and M. ТгіЬш (eds), The Maximum Entropy Formalism (Camteidge, Mass.: M.I.T. Press),1978.
10. Jaynes, E.T. WHERE DO WE GO FROM HERE? [Текст] / E.T. Jaynes// C.Ray Smith and W.T. Grandy, Jr.(eds), Maximum-Entropy and Bayesian Methods in Inverse ProЬlems, 21-58. 1985 Ьу D. Reidel Punishing Company
3
