CC BY
32
УДК 615.89: 504.3.054
Аль-Азави Рази Джабур
МОДЕЛИРОВАНИЕ АВАРИЙ И ИХ ЛИКВИДАЦИИ В ЭРГАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рассмотрены системы типа «человек-машина-среда» с защитой от стихийных и техногенных бедствий с различными видами интенсивности, как с классическим простейшим потоком, так и с нестабильным источником. Процесс ликвидации аварии во всех моделях происходит в несколько этапов, с различными интенсивностями и возможными многократными повторениями этапов в случае «мульти-катастроф».
Ключевые слова; цепь Маркова, уравнения Колмогорова, максимальная энтропия
1. Введение
За последние десять лет системы типа «Человек-Машина-Среда»(ЧМС), часто называемые также «эрга-тическими», выделились в особый класс, включающий некоторые важные системы экономики, экологии, военного дела и безопасной жизнедеятельности. Эти элементы всегда входили в большинство кибернетических систем, но рассматривались только с точки зрения автоматизированного управления, с применением ограниченного круга методов исследования, например, СМО и теория надежности. В настоящее время наиболее актуальными из ЧМС являются системы с защитой и восстановлением работоспособности в результате действий оператора. Они составляют отдельный класс систем, в большинстве случаев обладают Марковским свойством, но не могут быть полностью описаны с помощью методов СМО (за не имением такого понятия как «очередь») или теории надежности (отсутствует понятие «резерва»). Проблема, следовательно, актуальна, как с теоретической, так и с практической точек зрения.
2. Постановка проблемы и анализ литературы
Рассматривается замкнутая система типа «человек-машина-среда», в которой имеется, в общем случае, возможно, нестационарный источник событий, влияющих на работу подсистемы «машина» и здоровье подсистемы «человек», задача которого эту аварию, либо катастрофу ликвидировать [1 - 10]. Использован подход, который может быть уподоблен подходу термодинамики, а именно, мы хотим описывать поведение сложных систем с помощью макроскопических наблюдаемых величин. Методом для достижения этой цели послужит принцип максимума информационной энтропии, разработанный в совершенно общем виде Джейнсом [9]. Трудность проблемы обобщения этого принципа на системы, далекие от теплового равновесия, и на нефизические системы, кроется именно в адекватном выборе ограничений [10].
В качестве базовой модели для всей системы «чело-век-машина-среда» использованы системы с Марковским свойством [2] и, возможно, переменными интенсивностями событий [7]. Продуктивность такого подхода подтверждается тем, что формулы типа Эрланга для переменного времени обслуживания в СМО доказаны и применяются уже полвека [2].
В данной работе цель и задачи исследования состоят
в определении вероятностей состояний, и характеристик системы ЧМС с защитной подсистемой в целом.
Для достижения этой цели решены следующие задачи:
• исследование устойчивых стационарных решений динамики систем с защитой и переходных процессов в них;
• проведение численных экспериментов для получения вероятностей состояний в ЧМС-системах различной структуры.
Методы исследования включают теорию Марковских цепей с дискретным пространством состояний и непрерывным временем, решение систем дифференциальных уравнений Колмогорова и алгебраических систем для предельных вероятностей, а также численный анализ.
3. Статическая модель
Рассмотрим команду профессионалов, которые ликвидируют некоторое повреждение в подсистеме «Машина» за п этапов (рис. 1). Не нарушая общности, пусть п=3).
Система в данной постановке полностью статическая и цепь дискретна, как по состояниям, так и по времени.
Рис. 1. Граф-схема состояний восстановления системы за три этапа
Матрица вероятностей переходов такой системы приведена в работе [6].
Вероятности Р01 и вероятности всех «обратных» переходов Р32, Р31, Р21 (рис. 1) являются наблюдаемыми переменными, и определяются частотой и мощностью аварии, а все остальные - управляемыми.
Как следует из теории Марковских эргодических цепей, матрица переходов для такой ЧМС за к шагов -Рк - быстро сходится, в частности, с пригодной для практических целей погрешностью в 1 % - при к<10 (по результатам численной прогонки для 10-ти реальных систем). В пределе - это стохастическая матрица с одинаковыми строками.
TECHNOLOGY АИІТ А№ PRODUCTION RESERVES — № 6/4(14], 2013, © Аль-Азави Рази Джабур
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ
ISSN 222Б-37В0
Предельные вероятности состояний определяют среднее нормированное время нахождения в данном состоянии, а следовательно, и стоимость (ущерб) от аварии и её ликвидации в целом, как математическое ожидание. Если для управляемых параметров вероятности переходов заданы как функции затрат на защиту, то естественно возникает задача об оптимизации общих средних потерь в результате аварии при заданных Сі -удельных стоимостях состояний: Z = ^ СІРІ.
Такая задача минимизации затрат линейна по не известным вероятностям состояний, однако они не являются независимыми переменными. Их зависимость от управляемых переменных - переходных вероятностей матрицы Р есть полиномы к-й степени. Функция и ограничения при этом не выпуклы. Численными методами удается найти несколько локальных минимумов.
Другая задача оптимизации, основанная не на стоимости процеса, а на внутренних особенностях системы ЧМС, предложена в работе [8]. Она использует энтропийный подход [9, 10].
8; = -ЕР; 1пР; ->птах, = 1- 0<Р;<1. (1)
Функция SI сепарабельна, выпукла вверх по каждой переменной, а значит, максимум на выпуклой области единственный.
Полученный в [8] результат для энтропии и вероятностей состояний здоровья оператора, ликвидирующего аварию: {1.02, {р1 = 0.51,р2 = 0.31,р3 = 0.18}}, по крайней мере, не противоречит здравому смыслу. Однако, ввиду незамкнутости подсистемы «человек», правомерность применения здесь принципа максимума энтропии не может быть строго доказана [9]. В нашем случае система замкнута, но сложная зависимость от Р(р^) делает задачу много-экстремальной.
4. Модель системы ЧМС с переменной интенсивностью аварий
Здесь для модели из [6] рассмотрены случаи потоков Пуассона для событий-аварий с переменной интенсивностью Х^) двух типов: имеющие предел при t и периодические. Основываясь на теоремах Флоке-Ляпу-нова, показано, что в большинстве важных неавтономных систем Колмогорова усредненные вероятности состояний
1 т
—|Р^)й можно получить с удовлетворительной точ-т 0
ностью по формулам стационарных вероятностей для
1 т
усредненных интенсивностей / =—(табл. 1).
т0
Таблица 1
Пример результатов усредненных вероятностей состояний
5. Выводы
Для стационарной задачи устранения аварий в самом общем виде описана постановка задачи оптимизации на цепи Маркова - минимизации затрат на защиту и средних убытков от аварии.
Полученные в результате численных экспериментов временные зависимости для вероятностей состояний позволяют определить время установления динамических процессов в системе ЧМС с нестационарными потоками аварий и показать правомерность оценки осредненных вероятностей состояний по средним интенсивностям событий.
Литература
1. Арнольд, В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели [Текст] / В. И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2000. - 32 с.
2. Вентцель, Е. С. Исследование операцій [Текст] / Е. С. Вентцель. - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.
3. Хинчин, А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания [Текст] / А. Я. Хинчин; под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.
4. Хакен, Г. Информация и самоорганизация [Текст] / Г. Ха-кен. - М.: КомКнига, 2005. - 248 с.
5. Аль-Азави, Р. Дж. Об одном подходе к моделированию человеко-машинных систем восстановления в критических ситуациях [Текст] / Р. Дж. Аль-Азави // 16-й Международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке», 17-19 апреля 2012 г. - С. 131-132
6. Alazawi, R. J. Markovian Approach To Man-Machine-Environment Systems [Текст] / R. J. Alazawi // Радиотехника. - 2012. - №170. - С. 14-18.
7. Аль-Азави, Р. Дж. Моделирование Человеко-Машинных Систем восстановления в критических ситуациях с помощью процессов гибели и размножения [Текст] / Р. Дж. Аль-Азави // Радиотехника. - Харьков, 2013.
8. Наумейко, И. В. К расчету марковской модели эргатической системы [Текст] / И. В. Наумейко, А. В. Сова // Сб. Науч. Труд. 5-й Юбилейной Международной Научной конференции «Функциональная база наноэлектроники». - Харьков-Крым, 2012. - С. 236-239
9. Jaynes, E. T. Where do we stand on maximum entropy? [Текст] / E. T. Jaynes; R. D. Levine, M. Tribus (eds.) // The Maximum Entropy Formalism. - Cambridge, Mass.: M.I.T Press, 1978.
10. Jaynes, E. T. Where do we go from here? [Текст] / E. T. Jaynes; C. Ray Smith, W. T. Grandy, Jr.(eds) // Maximum-Entropy and Bayesian Methods in Inverse Problems. -D. Reidel Publishing Company, 1985. - P. 21-58.
МОДЕЛЮВАННЯ АВАРІЙ ТА ЇХ ЛІКВІДАЦІЇ У ЕРГОТИЧНИХ СИСТЕМАХ
Розглянуто системи типу «людина-машина-середовище» із захистом від стихійних та техногенних лих з різними видами щільності, як з класичним найпростішим потоком, так і з нестабільним джерелом. Процес ліквідації аварії у всіх моделях відбувається в кілька етапів, з різними інтенсивностями і можливими багаторазовими повтореннями етапів у разі «мульті-катастроф».
Ключові слова: ланцюг Маркова, рівняння Колмогорова, максимальна ентропія
Аль-Азави Рази Джабур, аспирант, кафедра прикладной математики, Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Украина, e-mail: razijabur@gmail.com
Аль-Азавi Разi Джабур, аспірант, кафедра прикладної математики, Харківський національний університет радіоелектроніки, Україна, e-mail: razijabur@gmail.com
l(t) / P0 P1 P2 P3
0.5+0.1Sin(t) 0.514 0.0267 0.135 0.277 0.563
0.5+0.5Sin(t) 0.572 0.021 0.121 0.27 0.588
/ + sin2(t) 0.519 0.026 0.134 0.276 0.565
Al-Azawi Razi Jabur, Kharkiv National University of Radioelectronics, Ukraine, e-mail: razijabur@gmail.com
40
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 6/4(14), 2013
