CC BY
14
DIFFRACTION OF SOUND WA VES ON AN ELLIPSOID WITH AN INHOMOGENEOUS COATING IN A CYLINDRICAL WAVEGUIDE
S.A. Skobel'tsyn, N.Y. Peshkov
The solution of the diffraction problem for the plane and spherical sound waves on a elastic ellipsoid with an inhomogeneous coating, is presented. The ellipsoid is located in a cylindrical waveguide of infinite length filled with an ideal fluid. The waveguide's side walls are soft, hard or impedance. The solution is realized at the base of the linear theory of elasticity and the model ofpropagation of the small vibrations in an ideal fluid using the finite element method (FEM). The results of calculation of the of the scattered sound field pressure, which show the influence of the physical parameters of the ellipsoid and waveguide at sound diffraction, are presented.
Key words: elastic ellipsoid, inhomogeneous elastic layer, cylindrical waveguide, scatteredfield, displacement potential, impedance, finite element method.
Skobel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skhl a ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Peshkov Nikita Yurievich, postgraduate, nikita.peshkoffayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 004.052.42
АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОТЛАДКИ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЭРЛАНГА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ОШИБОК
А.И. Данилов, А.А. Данилов
Предлагается динамическая модель поиска и устранения ошибок в программном обеспечении, с использованием которой разрабатывается алгоритм оценивания эффективности отладки программных средств, использование которого позволяет комплексно планировать финальную надежность программных средств, затрачиваемые ресурсы и необходимое время на различных этапах реализации проектов. Процесс обнаружения ошибок аппроксимируется двухфазным обобщенным распределением Эрланга, а процесс устранения ошибок - экспоненциальным законом. После аппроксимации процесс отладки программ представляется марковской системой обслуживания с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. При этом используются вероятности обнаружения ошибок для каждого модуля. Приведены размеченный граф и система дифференциальных уравнений, численное решение которой позволяет вычислить показатели надежности программных средств. Для комплексного оценивания эффективности процессов отладки программ использован обобщенный показатель - вероятность достижения цели операции (отладки). Приведены результаты расчетов как частных показателей целевого эффекта отладки программ, так и комплексного показателя эффективности.
Ключевые слова: модель, эффективность, программные средства, ошибка, вероятность, распределение Эрланга.
По известным причинам вопросам надежности программных средств (ПС) и эффективности их отладки всегда уделялось большое внимание. Существующие стандарты разработки ПС требуют осуществлять
209
прогноз затрат на достижение заданных показателей качества программ, такие как временные, финансовые, аппаратные, людские ресурсы. В научной литературе опубликованы множество подходов (моделей) для оценивания и прогнозирования надежности ПС на всех этапах их жизненного цикла. Наиболее известными являются эмпирические модели (модель фирмы IBM, модель М. Холстеда и др.), статистические модели (модели Коркорэна, Миллса, Б. Руднера, Бейзина и др.), вероятностные модели (модели Э. Нельсона, Дж. Муса, Джелинского-Моранды, Л. И. Волкова и др.) и модели надежности на основе нестацонарных систем обслуживания. Описание этих и других моделей, а также их недостатков, даны в [1-11, 13-15]. Из всего перечня недостатков выделим три. Во-первых, большинство моделей используют предположение об экспоненциальном распределении интервалов времени обнаружения (исправления) программных ошибок. Во-вторых, в моделях на основе нестационарных систем обслуживания программные модули делятся на надежные и ненадежные [3], используя некоторое пороговое значение вероятности наличия ошибки в модуле (например, 0,5). При таком подходе модули, в которых значения вероятностей наличия ошибок меньше 0,5 считаются надежными и не включаются в процессы отладки (моделирования). Остальные программные модули (с вероятностями наличия ошибок большими 0,5) подвергаются отладке (моделированию). При этом в моделях прогнозируемые ошибки обнаруживаются уже с единичной вероятностью. Таким образом, модели не используют вероятности обнаружения ошибок в отдельном программном модуле или мощность используемых тестов. Этот подход неизбежно ведет к возникновению погрешностей в расчетах. В-третих, для оценивания надежности ПС и эффективности процессов их отладки используются частные показатели (показатели целевого эффекта). Но при разработке ПС очень важно знать, какой ценой и за какое время получен целевой эффект (финальное качество ПС). Чаще всего именно расход ресурсов и времени предопределяют стратегию реализации проектов.
Таким образом, актуальными научными задачами являются задача повышения точности расчета показателей надежности ПС при моделировании процессов их отладки и задача обоснованного выбора наиболее эффективной стратегии из числа альтернативных на этапах планирования и организации работ с использованием обобщенного показателя эффективности.
Целью настоящей работы является разработка алгоритма оценивания эффективности отладки ПС на различных этапах их жизненного цикла. Этот алгоритм базируется на предлагаемой обобщенной динамической модели процессов отладки ПС, в которой учитываются вероятностные параметры обнаружения ошибок для каждого модуля при тестировании программ или состоятельность используемых тестов. Для реализации общих (неэкспоненциальных) предположений о характере распределения интервалов времени обнаружения ошибок (с целью повышения точности моделирования) используется аппроксимация по методу Кокса. Наряду
с частными показателями в качестве комплексного показателя эффективности процессов отладки ПС используется вероятность достижения цели [12].
Алгоритм оценивания эффективности отладки программных средств.
1. Нахождение вероятности обнаружения ошибок при тестировании программного модуля юг-. Определяется с использованием логистической регрессии по формуле [16, 17]
Ш = /а + е-(Р 0 +" Р \ (1)
где в/ - параметры логистической регрессии, которые определяются методом максимального правдоподобия; Х/ - значение метрики сложности.
2. Аппроксимация произвольных законов распределения интервалов времени обнаружения ошибок двухэтапным распределением Эрланга. Двухэтапное неоднородное распределение Эрланга предполагает последовательное прохождение двух экспоненциальных фаз с интенсивностями X и X. Для аппроксимации произвольной случайной величины двухэтапным распределением Эрланга необходимо, чтобы первые два момента распределений совпадали. Тогда система уравнений принимает вид [18]
1 1 _ 7 + - Л
Х Х , (2)
X2 + XX + X2 -12 где / - gi / /!, / - 1,2; gi - г -й начальный момент исходного распределения.
Решив систему уравнений (2), получим
X,X - /1 4/2 - 3/12 , (3)
2(/12 - /2)
3. Разработка взвешенного графа процессов отладки ПС. Рассмотрим следующую стратегию распределения ресурсов и времени между этапами обнаружения и исправления найденных ошибок (другие стратегии и модели опубликованы в [4-11]). Ошибки, обнаруженные во время тестирования, устраняются последовательно по мере их нахождения, а тестирование продолжается.
Выполняется аппроксимация, и после этого процессы обнаружения и исправления ошибок представляются марковским процессом с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Взвешенный граф состояний и переходов таких процессов показан на рис. 1.
Исходными данными при составлении графа являются следующие данные. ПС может содержать N ошибок. Вероятность обнаружения (не обнаружения) г-й ошибки равна ш/ (ш/ -1 - Ш/) и вычисляется по формуле (1). Произвольное распределение времени обнаружения (не обнаружения)
ошибок аппроксимируется двухэтапным распределением Эрланга с интен-сивностями экспоненциальных фаз Ю/ X/, А' (Ю/ X/, А/), зависящими от номера ошибки / (/ = 1, N). Здесь X/, А/ вычисляются по формулам (2)-(3) для каждого значения /. Время исправления ошибок распределено по экспоненциальному закону с интенсивностью ц. Состояния (/, к, ], I) системы в каждый момент времени будем описывать количеством обнаруженных, но не исправленных ошибок /, числом устраненных (сумма не найденных и исправленных ошибок) у (/, у = 0, N), фазой к (к = 0,1) распределения Эр-ланга длины интервалов времени обнаружения (не обнаружения) ошибок и I, которая для полных столбцов (у = 0, N) графа принимает нулевое значение, а для неполных столбцов (у = 0,N -1) - единичное значение. Вероятности пребывания системы в этих состояниях обозначим Р/,ку-,1 (¿). Переход системы из состояния (/, 0, у, 0) в состояние (/+1, 0, у, 0) определяет, что была найдена (/+у+1)-я ошибка, обнаружение которых описывается двухэтапным распределением Эрланга с интенсивностями Ю/+у/+у+1,
А/+у+1.
Переход системы из состояния (/, 0, у, 0) в состояние (/, 0, у+1, 0) означает, что при тестировании подтверждено отсутствие (/+у+1)-ой ошибки (или она не найдена). Этот переход также описывается двухэтапным распределением Эрланга, но с интенсивностями экспоненциальных фаз ЮАг, А'. Переход системы из состояния (/, 0, у, 0) в состояние (/, 1, у, 1) означает прохождение процессом не обнаружения (/+у+1)-й ошибки первой
фазы распределения Эрланга. Переход системы из состояния (г, 1, у, 1) в состояние (г, 0, у+1, 0) означает прохождение процессом не обнаружения (/+/+1 )-й ошибки второй фазы распределения Эрланга. Переход системы из состояния (г, 0,у, 0) в состояние (г, 1,у, 0) означает прохождение процессом обнаружения (г+у+1)-й ошибки первой фазы распределения Эрланга. Переход системы из состояния (г, 1, у, 0) в состояние (¿+1, 0, у, 0) означает прохождение процессом обнаружения (г+у+1)-й ошибки второй фазы распределения Эрланга. Переход из состояния (г, 0, у, 0) или (г, 1, у, 0) в состояние (¿-1, 0, у+1, 0) или (¿-1, 1, у+1, 0) соответственно, означает, что была исправлена (у+1)-я обнаруженная ошибка, устранение которых описывается
экспоненциальным законом с интенсивностью ц. Таким образом, общее
2 Н
число состояний системы вычисляется по формуле: Ыс = (N +1)2 + £ г.
г=1
4. Разработка дифференциальной модели отладки ПС. Размеченный граф процессов отладки ПС может быть описан системой из Nc дифференциальных уравнений, каждое из которых составляется по правилу академика А.Н. Колмогорова:
Рк, у,/ (г) йг
= 5(05(1 - к)Рг—1,1,у ,0 (г,+у + 5(у)5(1 - к) х
х [ Рг+1,0, у—1,0(г V + Рг,1, у—1,1 (г г+у ] —
- 5(05(1 — /) Ргк, у,0 (г — 5( N — г — 7)5(1—к) , у,0 (г г+у+1 —
— 5(к )5(/)[ Ргк , у,1(г г+у+1 Рг,0, у,0(г )(1 ®г+у+1)Х г+у+1]
— 5(к )5(1 — /)[ Ргк, у,/ (г г+у+1 + + Р,0, у,/(г )®г+у+Аг+у+1] + 5( у)5(к )5(1 — / )Рг+1,1, у—^(г )и, (4)
1, если т > 0
где 5(т) = ^ ; г = 0,N; у = 0,N — г; к=0, 1; /=0,1.
0, если т £ 0
При этом должно соблюдаться условие нормировки вида
£N=0 УР'А. Л0(г)+1&11 N=0—1 Рл у.1 (г)+ЕЙ41 N="0^.1. у.0(г) = 1.
Для определения значений Р к у / (г) необходимо решить систему дифференциальных уравнений (задачу Коши), задав начальные условия к
1, если г + к + у + / = 0
[0, если г + к + у + / ф 0" ние системы (4), возможно получить ряд важных вероятностно-временных показателей процесса испытаний и состояния ПС.
5. Вычисление вероятностно-временных показателей целевого эффекта процесса отладки и качества ПС:
- вероятность того, что в процессе испытаний было найдено ровно г ошибок (сумма найденных, но не исправленных и устранённых ошибок):
213
системе уравнений в виде Р к у / (0) = Имея реше-
R (t) = ij=о I -i) P - j, k, j,o(t) + 5( N - i)I j=о Pi - jX u(t); (5)
- математическое ожидание числа найденных ошибок:
Nr (t) = iN=iiRi (t); (6)
- вероятность того, что в процессе испытаний было устранено (исправлено или отсутствовало) ровно j ошибок:
Pj (t)=I N-1- j Ik=о Pik, j ,о (t)+Pn - j ,о, j ,0 (t)+iN=-1-j piX j ,i; (7)
- математическое ожидание числа устранённых ошибок:
Np (t)=lN=ijPj (t); (8)
- функция Fi (t) распределения времени устранения не менее i ошибок:
Fi (t) = lN=iPl (t), i = о^; (9)
- время отладки, которое необходимо, чтобы устранить NTP требуемое число ошибок с требуемой вероятностью PTP :
Tntp, PTP = t|FNTp (t) > Ptp. (1о)
6. Вычисление комплексного показателя эффективности отладки ПС. Вероятностно-временные показатели (5) - (1о) отнесем к частным показателям целевого эффекта (ради чего организуется отладка ПС). При комплексном оценивании эффективности процессов отладки ПС предлагается использовать обобщенный показатель [12], который называется вероятностью достижения цели операции (отладки) и обозначается Рдц . Реализация этого пункта алгоритма с использованием операционного функционала подробно описана в [7, 8] и здесь не дублируется из-за опасения плагиата. Однако при описании и проведении вычислительного эксперимента постановка задачи оценивания эффективности отладки ПС осуществляется при тех же законах распределения, но вычисление вероятности достижения цели отладки ПС производится двумя методами: с использованием операционного функционала и методом ведущих компонент (МВК). Раскроем сущность МВК [12].
Ведущими называются компоненты Y<n> показателя Y<n> качества результатов операции, которые наиболее полно, в рамках конкретного исследования отражают физическую сущность ее цели
/V /V
Остальные компоненты Y<n> вектора Y<n> называются ведомыми. На ведомые компоненты априори накладываются ограничения и в дальнейшем анализе они в явном виде не фигурируют, но участвуют через параметры законов их распределений.
Для нашего случая, не нарушая общности рассуждений, ограничимся симплексной канонической формой представления показателя качества
результатов операции, при которой размерность вектора Y<n> равна трем,
/V /V
т.е. n=3. Тогда Y<3> = < Л У2,Уз > =< J,r,Т >, а его компоненты связаны
214
монотонными зависимостями (функциональными связями или операционным функционалом - совокупностью операционной функции и функции связи). В общем случае целевой эффект д, вычисленный по формулам (5)-(10), связан с ресурсами такой зависимостью: i3 = R(r,т). Пусть целевой эффект i3 и расход операционного времени т связаны с расходом ресурсов г (выделенных на отладку программ финансов), и которые имеют обратные
функции: fl = R{r) г = т = S(r) г = ^(т).
Полагаем известной функцию распределения Ff (г) количества расходуемых ресурсов (финансов) г (генеральная компонента), и при этом ведущая компонентой является директивное время отладки j>3 = т. Если к тому же требуемые (предельно допустимые) значения ведущих и ведомых компонент детерминированы и заданы Z<3> =< zj1, >=<
дТ, гп,тд > и ведущая компонента одна, то интегральный закон апостериорного (условного) распределения случайного вектора Y<3> относительно события Н = [($ > z]1) П (f < z^1)] будет иметь вид [12]:
Фу<3>(т;г?,г?)
где Фг^/т; zi'.zi1) = Р[(у, > /,") n (у2 < z2n) n (у3 = т < z3n = тд)],
♦iSj*?.*?) = P[(9i — *i") П (у2 < z")].
/V
Если же ведущей компонентой является целевой эффект ух = гЯ, то интегральный закон условного распределения случайного вектора Y<3> относительно события Н = [(f < z^1) П (т < Z31)] примет следующий вид:
Фу (i9;z?,z?)
<2>
где Ф?<3>(<?; zJUJ) = Р[(Л = д > z? = <9Т) П (у2 < z2n) П (у3 < z3n)], ^¿>2".*?) = Р[(у2 < z?) п (у3 < z")].
Таким образом, алгоритм оценивания эффективности отладки ПС состоит из реализации шести предложенных пунктов.
Вычислительный эксперимент. Используя формулы (5) - (10), алгоритм позволяет не только рассчитать частные показатели надежности ПС, но и вычислить комплексный показатель эффективности процессов отладки ПС Рдц • Покажем, как это можно сделать. Для этого приведем
результаты расчета некоторых частных вероятностно-временных показателей процесса отладки и состояния ПС. Выполним расчеты по формулам (7), (9) для следующих исходных данных. Предполагается, что в ПС содержится N = 10 ошибок со средними длительностями интервалов времени тестирования равными: 1,3; 1,3; 1,3; 1,7; 1,7; 2; 3; 4; 6; 11 (ч), а коэффициент вариации равен v = 0,75. Интенсивность обнаружения ошибки рассчитывается делением единицы на длительность интервала времени тестирования, и является первым начальным моментом аппроксимируемого рас-
215
пределения (математическим ожиданием - Второй начальный момент
(дисперсия) находится по коэффициенту вариации: %2 = (П^) . Распределение времени устранения каждой ошибки имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью ц = 0,33. Значения вероятностей обнаружения ошибок юг-, I = 1, N, указаны на графике. На рис. 2 представлены графики функций распределения времени устранения не менее (¿=5, 10) ошибок для рассматриваемой модели.
ад 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 ОД 0
/ ■ 7 X
/' ' - / ■■II / > / --¡=5 (со=1)
—¡=10 (ш=1)
¡1 ' / —¡=5 (ю=0,5)
;'/ // / I/' / -- ¡=10(10=0,5)
.......¡=5 (<о=0,1)
Ш ! / —-¡=10 (ш=0Д)
и; // / V /' /
7 > 111111
10
20
30
Т, час
40
50
60
70
Рис. 2. Функции распределения времени устранения ошибок
Эти графики дают возможность оценить время отладки Т^р рТр , которое требуется для устранения требуемое количества ошибок ^р с требуемой вероятностью Ррр . Время Т^р рТр устранения ошибок в данном
случае существенно зависит от значения вероятностей обнаружения ошибок. Далее в эксперименте получены данные о зависимости вероятности исправления всех N=10 ошибок от различных значений коэффициента вариации V распределения интервалов времени обнаружения ошибок. Эти данные позволяют найти значения требуемого времени отладки по заданной вероятности при V = 0,5; 0,75; 1,0, которое представлено в таблице.
Расчет времени отладки по вероятности отсутствия ошибок
Вероятность отсутствия ошибки Требуемое время отладки, ч
Значения коэффициента вариации
v=0,5 v=0,75 v=1
0,7 21,0 21,3 21,5
0,8 23,6 23,9 24,4
0,9 28,1 28,4 28,9
0,95 32,2 32,7 33,0
Эти вычисления дают возможность утверждать, что переход от экспоненциальной модели надежности ПС к неэкспоненциальной повышает точность прогноза.
Чтобы показать возможности модели в исследовании эффективности процессов отладки ПС уточним условия задачи и найдем решение с использованием операционного функционала [7, 8]. Пусть целевой эффект д есть вероятность устранения не менее . программных ошибок является ведущей компонентой и связана со временем отладки т соотношением
(10): д = Г (т) = Р1 (т) ^ т = р._1 (д). Законы распределения этих вероятностей представлены на рис. 2.
/V
Директивное время отладки т от момента начала t до момента ее окончания t случайно, подчинено равномерному закону распределения на
интервале те и является генеральной компонентой:
т - {
Рт( т) = ^ П( т; Г, 0 + Д(т -1 "),
где Дх) - индикатор полубесконечного интервала [0, да); П(т;^") - индикатор интервала [ /,t'].
Расходуемые в ходе отладки ресурсы г (денежные средства) пропорциональны времени отладки: г = а т. Цель отладки достигается, если
[(д > дт)п (Г £ гп) п (т £ тд)] @ и, т.е. одновременно выполняются эти три события.
Определим закон распределения вектора У<3>. по формуле
Фу<3> (7<3>) = Ф<д,г,т>(< д, г, т >) = Р[(д > д) п (Г £ г) п (т £ т)] =
1 г
= Р[(Г (т) > д) п (ат £ г) п (т £ т)] = Р[(т > р - (д)) п (т £ -) п (т £ т)] =
а
1 г г 1
= Р[Г.-!(д) £ т £ шт{-,т} ] = ,т} ] - р"!(д)].
аа
Для равномерного закона распределения Гт (т) и области допустимых значений вектора У<3>, определяемой декартовым произведение трех множеств [¿1, ¥ х (-¥, ^2] х (-<», ¿3], получим формулу для функции распределения вектора 7<з>.(в данном случае ограничимся первым из восьми слагаемых, учитывая значения параметров для расчетов и области допу-
/V
стимых значений вектора У<3>):
Фу<3> (У<3>) = Ф <длт>(< д, г, т >) =
^,Х} -1 / Р. -!(д) -1 -Г-1, Г-Г
х
х П (д; Г. (/), р ^ ")) п (г; а/, аt") П (т; /, t"). 217
Рассчитаем вероятность достижения цели отладки Рдц при следующих значениях параметров: 1З7 =0,8; Гц = 200 [тыс. руб.]; тд = 60 [ч]; а=Ъ
[тыс. руб./ч]; t' = 0 [ч]; t" = 70 [ч].
Для того, чтобы получить значение обратной функции целевого
эффекта Ffl{ 1З7-), воспользуемся графиком рис. 2, построенным при /=10, ю=0,5:
Рдц >) = ф<^>(<0,8;200;60>) =
• i200 Am mm{— ,60} ?4
=-2--— = 0,514.
70 70
Решим теперь эту задачу МВК. Пусть ведущей компонентой является целевой эффект =г?ипо всем компонентам требования заданы. Тогда по формулам (11), (12) имеем
<4 з>(^2П.2ЗП)
рдц = Р(* a zi1) = Rd (zf) = „ „
" Ki>2-1
Filming,тд} - FT{F-4ÖTJ}1 0,514
Следует обратить внимание, что поскольку в МВК эффективность операции исследуется при условии, что по ведомым компонентам цель операции уже достигнута, то получаемые в рамках этого метода оценки эффективности операции представляют собой "потенциальные" условные вероятности достижения ее цели и, следовательно, принимают более высокие чем полные его вероятности значения.
Таким образом, если использовать в алгоритме оценки надежности для каждого модуля, то можно упростить задание исходных данных, повысить точность моделирования, учесть мощность используемых тестов, искать пути повышения показателей надежности ПС за счет формирования более состоятельных тестов. Аппроксимация произвольных законов распределений интервалов времени обнаружения ошибок распределением Эрланга обобщает марковские модели, повышает точность моделирования и делает модель более универсальной. Алгоритм позволяет не только рассчитать частные вероятностно-временные показатели надежности ПС, но и вычислить комплексный показатель эффективности отладки ПС, выработать практические рекомендации по эффективной организации испытаний программ.
Список литературы
1. Смагин В. А. Основы теории надёжности программного обеспечения. СПб.: BKA им. А.Ф. Можайского, 2009. 355 с.
2. Бубнов В.П., Сафонов B.II. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания. С'Пб.: Лань, 1999. 64 с.
3. Тырва А.В. Методика задания исходных данных для моделей надежности программных средств железнодорожного транспорта // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2010. № 2 (23). С.250 - 261.
4. Данилов А.И., Данилов А. А. Нестационарные модели процессов испытаний программных средств в условиях риска // Сб. науч. тр. второй всерос. науч.-практ. конф. «Современные проблемы создания и эксплуатации вооружения, военной и специальной техники»: 20-21 ноября 2014. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2014.С. 199-202.
5. Данилов А.И., Данилов А. А. Динамические модели испытаний пропэаммных средств с двумя типами ошибок // Труды военнокосмической академии имени А.Ф. Можайского. 2015. Вып. 647. С. 12 - 21.
6. Хомоненко А.Д., Данилов А.И., Данилов А.А. Динамические модели отладки программ с вероятностным обнаружением ошибок и распределением Эрланга длительности их исправления // Научно-Технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 4. С. 655 - 662.
7. Данилов А.И., Данилов А.А. Методика численного анализа эффективности отладки программных средств // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 3. С. 543 - 551.
8. Данилов А.И., Зубачев А.М., Данилов А.А. Методика численного анализа эффективности подготовки и применения сложной технической системы // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 8. С. 186 - 199.
9. Хомоненко А.Д., Данилов А.И., Данилов А.А. Нестационарные модели стратегий испытаний программных средств при вероятностных параметрах обнаружения ошибок // Информационно-управляюшне системы. 2015. Вып. 4. С. 50 - 58.
10. Хомоненко А. Д., Данилов А.И., Данилов А.А. Динамические модели испытаний программных средств // Сб. докл. XVIII Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: 19 - 21 мая 2015. СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015. Т. 1. С. 239 - 242.
11. Хомоненко А.Д., Данилов А.И., Данилов А.А., Герасименко П.В. Нестационарные модели отладки программ с распределением Кокса длительности исправления ошибок // Сб. докл. Х!Х Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: 25 - 27 мая. СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. Т. 1. С. 163 - 166.
12. Петухов Г.Б., Якунин В.И. Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем. М.: ACT, 2006. 504 с.
13. Moranda P., Jelinski Z. Final Repot on Software Reliability Study // McDonnell Douglas Astronautics Company. MADC Report Number 63921. 1972.
14. Musa J., Iannino A., Okumoto K. Software Reliability // Measurement, Prediction, Application, McGraw-Hill, New York, 1987.
15. Littlewood B. The Littlewood-Verrall Model for Software Reliability Compared with Some Rivals, Journal of Systems and Software. 1980. Vol. 1. No. 3. P. 251-258.
16. Chidamber S.R., Kemerer C.F. A Metrics Suite for Object Oriented Design // IEEE Transactions on Software Engineering. 1994. Vol. 20. Iss. 6. P. 476 - 493.
17. El-Emam K., Melo W., Machado J.C. The Prediction of Faulty Classes Using Object-oriented Design Metrics // Journal of Systems and Software. 2001. Vol. 56. P. 63 - 75.
18. Cox P.R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes // Proc. Cambr. Soc. 1955. Vol. 51. P. 313 - 319.
Данилов Анатолий Исаевич, канд. тех. наук, доцент, An-drey.Danilov. aadamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Данилов Андрей Анатольевич, ведущий инженер-программист, Andrey.Danilov.aadamail.ru, Россия, Санкт-Петербург, ЗАО «Нокиа Солюшенз энд Нетвокс»
EFFICIENCY EVALUATION ALGORITHM FOR SOFTWARE TESTING WITH ERLANG DISTRIBUTION FOR ERROR DETECTION DURATION
A.I. Danilov, A.A. Danilov
A non-stationary model of software errors detection and fixing is offered. Based on this model an algorithm for software testing efficiency evaluating is developed. This algorithm allows comprehensively plan the final software quality (reliability), resources and necessary time at various stages of project implementation. The error detection process is approximated by a two-phase generalized Erlang distribution. The error elimination process is approximated by the exponential distribution. The program testing process after approximation is represented by Markov service system with discrete set of states and continuous time. It provides possibility to use the error detection probability for each module during their testing. A modified marked graph and a differential equations system are presented the numerical solution of which allows to calculate the software reliability. For a comprehensive evaluation of these processes effectiveness a generalized indicator is used - the operation (testing) goal achieving probability. The calculations results for particular target effect indicators and complicated efficiency indicator of software testing are presented.
Key words: model, efficiency, software, error, probability, Erlang distribution.
Danilov Anatoly Isaevich, candidate of technical sciences, docent, Andrey.Danilov. aada mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, A. F. Mozhaiskiy Military Space Academy,
Danilov Andrey Anatolyevich, senior software engineer, An-drey.Danilov. aada mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, Nokia Solutions and Networks
