CC BY
17
УДК 59.01.85
С.М. Алфёров, А.М. Кориков
Модели прессового задатчика давления АСУТП регулировки манометров с учетом утечки давления
Разработано математическое описание процессов, протекающих в задатчиках давления (ЗД) на основе пресса с шаговым двигателем для автоматизированного стенда настройки манометров. В модели ЗД учтено явление утечки давления, обоснована адекватность структуры модели и предложен способ параметрической идентификации ЗД.
Ключевые слова: идентификация, манометр, автоматизированный стенд, прессовый задатчик давления,
математическая модель, утечка.
doi: 10.21293/1818-0442-2016-19-3-90-93
Актуальность исследования
Автоматизация процесса сборки и регулировки манометрических приборов усложняется тем, что данный технологический процесс (ТП) является нестационарным и нелинейным объектом управления (ОУ). Известно, что общей теории управления подобными ОУ не существует, поэтому разрабатываются частные теории управления различными классами объектов, обладающих нестационарностью, типовыми нелинейностями и работающими в обстановке помех и возмущений. ТП сборки и регулировки манометров как объект управления имеет отмеченные выше особенности, поэтому к настоящему времени известны только частные решения проблемы автоматизации данного ТП. Некоторые частные решения этой проблемы представлены в наших работах [1-3].
Важнейшей компонентой автоматизированной системы управления ТП (АСУТП) сборки и регулировки манометров с трубкой Бурдона является задатчик давления (ЗД). В работе [2] представлено математическое описание процессов, протекающих в ЗД клапанного типа АСУТП настройки манометров, обоснована линеаризация уравнений, описывающих эти процессы, и получено их решение. В работе [2] представлено также экспериментальное исследование клапанного ЗД, питаемого аккумуляторной станцией через редукционный клапан (дроссель), и отмечено, что различие результатов эксперимента и моделирования обусловлены допущениями, сделанными при построении математической модели клапанного ЗД, поэтому необходимо создать специальное устройство управления (СУУ) для обеспечения равномерного роста давления при настройке манометров. Очевидно, что введение СУУ в состав АСУТП усложняет её функционирование, поэтому на ОАО «Манотомь» заменили клапанные ЗД на ЗД, использующий пресс с шаговым двигателем. Производственные испытания подтвердили эффективность применения в составе АСУТП прессового ЗД с шаговым двигателем. В процессе этих испытаний установлено, что на эффективность применения данного типа ЗД влияют утечки давления и необходимо исследовать каналы утечки давления и разработать рекомендации по их учету. В этой связи
математическое моделирование процессов, протекающих в ЗД на основе пресса с шаговым двигателем, представляет не только теоретическое, но и практическое значение.
Постановка задач исследования
В процессах сборки и градуировки манометров важнейшей составляющей является процесс управления давлением. Точностные характеристики этого процесса определяют класс точности манометрических приборов. Эксперименты показывают наличие утечки давления на стендах градуировки манометров среднего номинала (от 6 до 60 кгс/см2), что существенно затрудняет заданную точность процесса управления давлением. Для повышения точности и скорости управления давлением необходимо решить следующие задачи:
- Построить математическую модель прессового ЗД с учетом утечки давления.
- Разработать и реализовать алгоритм параметрической идентификации модели.
- Разработать и реализовать алгоритм управления давлением.
Прессовый ЗД как объект идентификации
Упрощенная схема ЗД с возможными утечками представлена на рис. 1.
Манометр
Утечка
воздуха Поршень
Воздух
Растворение Масло
У/////////М
9////////////////////Ш///Л
Рис. 1. Упрощенная схема ЗД с утечками
Возможны следующие каналы утечки давления:
1. Утечка воздуха, например в местах соединения манометров и пресса ЗД.
2. Утечка масла, например в месте контакта поршня и поршневой камеры.
3. Остывание воздуха в прессе, находящегося под давлением.
4. Растворение воздуха, находящегося под давлением, в масле прессового ЗД.
Рассмотрим прессовый ЗД с утечками как объект идентификации (ОИ). Для разработки математической модели данного ОИ был проведен эксперимент: поршень пресса был передвинут до состояния, при котором давление достигло примерно 40 кгс/см2 (2/3 от максимально допустимого на экспериментальном стенде АСУТП), затем поршень был остановлен и проведены измерения давления в зависимости от времени в течение примерно 800 с (точнее, 784 с). В результате эксперимента получен числовой массив из 9625 отсчетов Pi и t. График падения давления при неподвижном поршне пресса приведен на рис. 2. На графике за начало отсчета времени t принят момент остановки поршня.
40 35 30 25 20 P, к г/см
0 100 200 300 400 500 600 700 800 t, с Рис. 2. Зависимость падения давления в ЗД от времени
Данный график и соответствующий ему числовой массив из 9625 отсчетов Pi и ti с математической точки зрения является временным рядом [4], анализ которого на основе методов теории эксперимента [5] позволит определить причинные механизмы, обусловливающие появление этого ряда. Итак, на основе полученных экспериментальных данных необходимо построить математическую модель прессового ЗД с учетом наблюдаемых утечек.
Исследование прессового ЗД с учетом утечки воздуха
В качестве математической модели ЗД с учетом утечки воздуха используем следующее уравнение: qa = kLA ■ P , (1)
где qa - поток утечки воздуха; kLA - коэффициент проводимости канала утечки воздуха; P - текущее давление в прессе.
С учетом модели утечки (1), математическая модель пресса будет иметь следующий вид:
(P + Patm )V = (( + Patm )Vq-¡Qa (x)dx,
QA = kLA ■ P, V =Vq - S ■ x, x = k ■ F,
(2)
где V - текущий объем воздуха; Ря1т - атмосферное давление; Po, V0 - давление и объем перед началом движения поршня пресса; - площадь поршня; x -текущее положение поршня от начального состояния или расстояние, пройденное поршнем; к - коэффициент зависимости между количеством им-
пульсов управления и расстоянием, пройденным поршнем; F - количество выработанных импульсов управления.
Для определения модели падения давления рассмотрим поведение давления в ЗД после остановки поршня, при этом x = const и V = const, согласно третьему уравнению из системы уравнений (2). Продифференцировав по времени первое уравнение системы уравнений (2), с учетом условия V = const получим:
P ■V = -Qla
или с учетом второго уравнения
P■V = -kLA ■P , (3)
решение дифференциального уравнения (3) запишем в следующем виде:
P = Pmax ■ exp| -V ■ t
(4)
где Ртах - давление в прессе в начале падения, после остановки поршня ( = 0, см. рис. 2). После логарифмирования уравнения (4) получим линейную зависимость 1п(Р) от V.
In (P) = ln (Pmax ) + |- V-
(5)
На рис. 3 показана зависимость 1п(Р) от времени здесь Р и / взяты из экспериментальных данных Pi и представленных на рис. 2.
1п(Р)
3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3
0 200 400 600 А с
Рис. 3. Проверка структуры модели утечки воздуха
Из графика на рис. 3 видно, что зависимость на этом рисунке не совпадает с линейной зависимостью (5). Коэффициент корреляции Я между величинами 1пР) и ^ равен -0,96239. При расчете коэффициента корреляции Я использовались известные формулы корреляционного анализа [4]. Обозначим для удобства 1пР) через У, а ^ - X, тогда Я между величинами Уi и Xi определится по формуле СОУ(Х ,У )
R =-
(1)
где
Cov(X,Y) =1 ¿(( -M(X))(( -M(Y)) -
ni=l
кова-
риация; ст
дисперсия;
M(X)=1 ^Xi - математическое ожидание.
ni=i
Если принять предложенную модель утечки воздуха, то можно вычислить интегральный параметр р1 как коэффициент наклона прямой, проведенной через точки ti, 1п(Р,), с помощью метода наименьших квадратов (МНК):
Если давление измеряется в кгс/см2, то Patm = 1
Pi =
kLA V
Параметр V можно вычислить, подсчитав количество импульсов Е и используя уравнения 3 и 4 системы уравнений (2). Вычисление параметров V0 и к будет рассмотрено далее при выводе формул (13) и (14). Параметр - площадь поршня известен из проектной документации на ЗД.
Вычисляя интегральный параметр модели р1 из данных ti, 1п(Р,) с помощью МНК и V с использованием системы уравнений (2) и формул (13) и (14), определим параметр утечки воздуха по формуле: кьл =-Р1 ^.
Исследование прессового ЗД с учетом утечки масла
В качестве математической модели утечки масла используем следующее уравнение:
е=кь • р, (6)
где е - поток утечки масла; кь - коэффициент проводимости канала утечки масла; Р - давление в прессе.
С учетом модели (6) математическая модель пресса будет следующей:
(Р + Ра1ш К = (Рс + Рат Ко,'
е=кь • р,
V = V0 - S • x + {Q(x)dx,
x=k • F.
(7)
Рассмотрим поведение системы по модели (7) после остановки поршня. Из эксперимента нам известно поведение параметра P, поэтому исключим остальные параметры из (7), которые меняются во времени. Для этого сначала исключим Q, подставив второе уравнение в третье, затем исключим V, подставив третье уравнение в первое, получим:
f t s
(P + Patm )• V - S • X + J kL • PdT =(P0 + Ptm ))>,
V 0
x = k • F.
Преобразуем первое уравнение полученной системы уравнений:
К • Pd. = ((( + Patm))0
0 L (P + Patm)
Так как поршень неподвижен, то х = const, учитывая это, продифференцируем левую и правую части полученного уравнения по времени t:
Lp = -(P0 + Patm) р
- +S • x - V0.
или
(P + Patm )2 P(P + Patm)2 =-(P0 + PatmP .
кгс/см , тогда:
P (P +1)2 =-(P^K P .
Решив уравнение (8), получим:
,=-(P0 +1)V •fin(-L-1+-L+C
P+1J P+1
(8)
(9)
где С - постоянный коэффициент, полученный после интегрирования, учитывая, что при t = 0 [т.е. после остановки поршня (см. рис. 2)] давление было равно Ртах, получим:
С = -1п| Ртах ' 1
P + 1 p +1 1 ma^ V 1 max ^ *
Введем функцию
Y ( P ) = A in (P) + B in (P +1)-
C P +1
(10)
где A = 1 см4/кгс2
B = -1 см4/кгс2
С = -1 см2/кгс. При проверке размерности в формуле (10) следует помнить, что выше в формуле (9) через 1 обозначено РаХт =1 кгс/см2 .
Из уравнения (9) следует, что между функцией У(Р), введенной соотношением (10), и временем t имеется линейная зависимость, так как параметры С, Р0, V, и кь не меняются в процессе падения давления. По экспериментальным данным Р, можно рассчитать значения функции (10), получив значения У, = У(Р,). Построив график зависимости У, от t (рис. 4), можно увидеть зависимость, близкую к линейной, что подтверждает адекватность структуры математической модели утечки масла.
600 700
Y(P),
см4/кг2
—2-10-4 —4-10-4 —610-4 —810-4
—10"
Рис. 4. Проверка структуры модели утечки масла
Коэффициент корреляции Я между величинами У, и ^ равен -0,99166. Расчет коэффициента корреляции Я выполнен по известным формулам корреляционного анализа [4].
По данным У, и и получено значение интегрального параметра уравнений (8) и (9):
(р0 + 1к0
р1 =1_0—=1058670.
кь
Процесс градуировки предполагает следующее: параметр Р0 измеряется перед началом движения поршня, т.е. известен и зависит от номинала. Параметр V) может изменяться в зависимости от количе -ства установленных манометрических приборов на стенд АСУТП регулировки манометров и количества воздуха в их пружинах, поэтому его необходимо определять для каждого процесса управления давле-
L
нием при градуировке. Параметр кь можно считать неизменным, так как он характеризует задатчик давления.
Параметр V0 можно оценить в процессе набора давления при съеме характеристики манометра, допустив, что при небольших давлениях утечка незначительна. Для этого необходимо измерить давление в двух состояниях поршня х0 (перед началом движения поршня) и х1. Модель без учета утечек.
(Р + Рат )-V = (Р + Рат )-^ь
V = У0 - 5 - х, (11)
х=к - F.
Начальному положению поршня х = 0 соответствует давление Р0 и объем У0, положению поршня х1 соответствует давление Р1 и объем ^^. Подставив соответствующие значения в систему уравнений (11) получим.
(Р + Ра1т И =(Р0 + Рагт )-Vo,
VI = Vo - 5 - Х1, , (12)
Х1 = к - ^1,
где F1 - количество импульсов управления, совершенных до достижения давления Р1. Параметр F1 подсчитывается программой управления. Напомним также, что параметр 5 - площадь поршня - известен из проектной документации на ЗД. Из систем уравнений (11) и (12) следует.
ГР + Рат
Vq = S ■ k ■ F-
P- Po
, V0-V1 , AVk
k=—-1 или k=- k
S ■ F
S ■ Fk
(13)
(14)
где АУк - объем камеры пресса; Fк - количество импульсов управления, требующихся для перемещения поршня от начального до конечного положения. Параметр к не меняется и может быть вычислен заранее.
Если параметр V0 оценить при наборе давления в процессе получения данных Р^ и ^ (см. рис. 1), то после вычисления интегрального параметра Р1 можно определить коэффициент утечки кь.
( +1)^0
kr =-
PI
Заключение
Рассмотрены две модели ЗД. с утечкой воздуха и утечкой масла. Предложены способы параметрической идентификации ЗД для каждой модели утечки, при этом предполагается, что при малых давлениях утечка незначительная. Корреляционный анализ [4, 5] предложенных двух моделей ЗД показал, что утечка масла является основной причиной падения давления в ЗД, представленного экспериментальными данными на рис. 2. Наш теоретический
вывод совпадает с экспертным заключением разработчика исследуемого ЗД, суть которого заключается в том, что наибольший вклад в падение давления вносит утечка масла. Определена структура математической модели прессового ЗД с учетом утечки масла и доказана адекватность предложенной модели ЗД. Разработанный и реализованный алгоритм параметрической идентификации модели прессового ЗД с учетом утечки масла является основой для следующего важнейшего этапа исследования. разработки и реализации алгоритма управления давлением, обеспечивающего равномерный рост давления при настройке манометров.
Литература
1. Алфёров С.М. Автоматизация процессов сборки и настройки манометров / С.М. Алфёров, А.М. Кориков // Доклады Том. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники. - 2011. - № 2(24), ч. 3. - С. 121-128.
2. Алфёров С.М. Моделирование задатчика давления для настройки манометров / С.М. Алфёров, А.М. Кориков // Доклады Том. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники. - 2012. - № 2(26), ч. 1. - С. 193-198.
3. Алфёров С.М. Автоматизация процесса градуировки шкал манометров / С.М. Алфёров, А.М. Кориков // Автоматика и программная инженерия. - 2014. - № 1(7). -С. 82-92.
4. Кендалл М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. - М.. Наука, 1976. - 736 с.
5. Кориков А.М. Эксперимент в научном исследовании // Доклады Том. гос ун-та систем упр. и радиоэлектроники. - 2015. - № 2(36). - С. 148-154.
Алферов Сергей Михайлович
Канд. техн. наук, ассистент каф. автоматизированных
систем управления (АСУ) ТУСУРа
Тел.. +7 (382-2) 41-42-79
Эл. почта. a1ferov.srn@asu.tusur.ru
Кориков Анатолий Михайлович
Д-р техн. наук, проф., зав. каф. АСУ, профессор Национального исследовательского Томского политехнического университета Тел.. +7 (382-2) 41-42-79 Эл. почта. korikov@asu.tusur.ru
Alferov S.M., Korikov A.M.
Model of a press-based pressure controller for settings automated manometers in view of pressure leakage
The paper presents the mathematical models of the processes that take place in pressure controllers based on the press with the stepper motor for automatically adjusting manometers. Keywords: identification, pressure gauge, automated stand, pressure control, mathematical model, leak.
