CC BY
54
УДК 59.01.85
С.М. Алферов, А.М. Кориков
Моделирование задатчика давления для настройки манометров
Разработано математическое описание процессов, протекающих в задатчике давления (ЗД) автоматизированного стенда для настройки манометров, обоснована линеаризация уравнений, описывающих эти процессы, и получено их решение. На этой основе проведено моделирование ЗД, выполнено также сравнение модельных расчетов с экспериментальными данными. Ключевые слова: автоматизация, манометр, автоматизированный стенд, задатчик давления, математическая модель, линеаризация, моделирование.
Манометрические приборы имеют разнообразные сферы применения: промышленность, транспорт, бытовая техника, научные исследования и т.д. Конкуренция производителей в данной области приборостроения высока и заставляет предприятия развиваться в направлении повышения качества выпускаемой продукции, осваивать новые технологии и осуществлять автоматизацию выпуска манометров [1, 2]. В этом направлении проделан большой объем исследований, отраженный частично в цитируемых работах [1-4]. В [1] предложен проект системы автоматизированной настройки манометров с помощью нанесения шкал. В [3] предложены конструкция прибора, позволяющая автоматизировать процесс сборки манометра, способ автоматизированной сборки и расчет регулировочных параметров. В [4] разработан стенд для автоматизированной регулировки узлов манометров с трубкой Бурдона по одному параметру путем измерения характеристик чувствительного элемента и обработки механизма по вычисленному регулировочному параметру (координаты крепежного отверстия к чувствительному элементу). Поиск оригинальных технических решений проблемы автоматизации сборки и настройки манометров продолжается и, в частности, соавтором данной статьи С.М. Алфёровым совместно с сотрудниками ОАО «Манотомь» разработан способ индивидуальной градуировки шкал манометров и устройство для его осуществления [2]. В проблеме автоматизации регулировки узлов манометров «узким» местом остается проблема автоматизации процесса управления давлением на стендовых манометрах. Успешное решение обозначенной актуальной задачи возможно с привлечением методов математического моделирования ЗД для настройки манометров. Именно этот путь реализуется в данной статье.
Постановка задачи. Важнейшей компонентой стенда для автоматизированной регулировки узлов манометров с трубкой Бурдона является гидравлическая установка, представленная на рис. 1. На этом рисунке использованы следующие обозначения: ДД - датчик давления (цифровой образцовый манометр); Ст - насосная станция; Вн], Вн2 - вентили; Др - дроссель для настройки входного давления; Кль Кл2 - электромагнитные клапаны для подъема и сброса давления; УУ - устройство управления. Гидравлическая установка предназначена для плавной подачи и сброса давления на регулируемые манометры. Поясним кратко функциональное назначение основных компонент гидравлической установки с помощью рис. 1. Станция нагнетания давления Ст способна выдавать постоянное давление масла. Через вентиль Вн1 давление масла подается на дроссель Др, с помощью которого можно настроить необходимое давление на вентиле Вн2 и входе клапана Кл1 (если Вн2 открыт).
Рис. 1. Схема гидравлической установки
Манометр Регулируемые манометры
входного
давления [/)[/)[/)[/)[/
Электромагнитные клапаны Кл и Кл2 способны плавно менять свою гидравлическую проводимость под действием напряжений и1 и и2, таким образом, регулируются потоки масла Q1 и Q2 через клапаны и давление на манометрах Р.
Определим суть процессов, протекающих в гидравлической установке с позиции теории управления. Выделим на схеме этой установки объект управления (ОУ). Тогда данная схема может быть представлена в виде рис. 2, на котором в качестве ОУ представлен ЗД (на рис. 1 ему соответствует система клапанов Кл1 и Кл2, выделенная пунктиром). Управлению клапанами мешают эффекты «залипания» задвижки клапана, которые, возможно, объясняются силами сухого трения. Для успешного управления давлением требуется построить математическую модель ЗД.
Управляемым параметром является давление Р. Ріп ЧІ/ \1/ро Управляющие параметры: и1 и и2.
Pg(P)
УУ U1 > ОУ P
U2 :
м
^ P 1 и / ДД
V.
Рис. 2. Структурная схема системы управления: ОУ - объект управления
(1)
Используя уравнения гидродинамики [5], запишем математические модели для компонентов ЗД, т.е. для системы клапанов Кл1 и Кл2:
01ЧРіп - Р • 01,
°2 =7Р-Р0 • °2^ где 01, 02 - проводимость соответствующих клапанов.
Зависимость объема воздуха в ресивере от потоков 01 и 02 находится по следующей формуле:
ґ
V = V)-О -02Ж . (2)
о
Математическая модель ЗД. Сделаем следующие допущения:
1. Зависимости проводимостей клапанов Кл1 и Кл2 от напряжений определяются формулами:
О = К-1%1 °2 = К2 х2^
где К1, К2 - коэффициенты чувствительности клапанов.
2. Процесс внутри пружины манометра - изотермический.
3. Манометр измеряет относительное давление, т.е. разность между воздействующим давлением и атмосферным (равную примерно 1 кгс/см2), при воздействии атмосферного давления на манометр его показание равно 0, поэтому удобнее в математической модели использовать давление относительно атмосферного, и, учитывая допущение 2, получаем следующее уравнение зависимости между давлением и объемом газа внутри пружины:
V (Р + 1) = V), (4)
где V0 - объем газа при атмосферном давлении.
Из уравнений (1), (3), (4) составим следующую систему уравнений:
V (Р+1) = V),
(3)
(5)
V = Vo-}й - Q2dt, о Q1 =yl Pin - P ■ G1, Q2 =VP-Po ■ G2.
Движение задвижки клапана под действием напряжения на катушке описывается следующим уравнением:
m ■ Xh = Feh - Fsh + Ffh . (б)
Здесь m - эффективная масса задвижки; h - номер клапана; xh , xh - координата задвижки и её ускорение соответственно для клапана Кл^ Feh - сила магнитного поля катушки, действующая на
задвижку, которая находится по формуле (7); Fsь - сила упругости пружины, действующая на задвижку, которая находится по формуле (8), Ff ь - сила трения, вычисляется по формуле (9) [6]:
= Циь , (7)
где ц - коэффициент; иь - напряжение на катушке;
^Ь =П-ХЬ , (8)
где п - коэффициент упругости пружины;
0, (( = 0) Л (^еь - ^Ь + тХЬ,-1| < Fmin),
Ffь = <-( -Fsь), ( = 0)Л( -Fsь + отз%-1|>Fmin), (9)
-Fmin • (хь), (( > 0),
где хь - скорость движения задвижки, хь -1 - предыстория ускорения, Fmin - сила трения покоя.
Линеаризуем систему уравнений (5), искомыми переменными здесь являются Q1, Q2, V, Р, задаваемые переменные 01, 02. Относительно этих переменных, уравнения 1, 3, 4 в системе уравнений (5) нелинейные, поэтому для численного решения на ЭВМ их необходимо линеаризовать. Перенесем правые части нелинейных уравнений в левую часть, обозначим их соответственно через Ф1, Ф3, Ф4 и в итоге получим следующие уравнения и частные производные для функций Ф1, Ф3, Ф4:
Ф1 (V,Р) = V(Р + 1)-V) = 0; Фз(О,,Р,0,) = О ^Р„, -Р• 01 = 0; Ф4(02,РО2) = 02 ЧР-Р) • °2 = 0.
дФ1 = Р + 1- дф1 = V;
дР
О дФз
Так как частные производные
дV
дФз = 1; дФз _____________ _____
д01 ’ дР 2^Р~-Р ’ д01
дФ 4 1 дФ>4 -&2 дФ 4
а02 “ ’ ~дГ ~ ^1 р - Ро ’
дФз дФ4
=4 Ріп - Р;
=-4Р-р.
(10)
стремятся к бесконечности при (Рп - Р)^ 0 и
дР дР
(Р - Р0)^ 0 , то заменим эти частные производные в окрестности особых точек Р = Ргп и Р = Р0 на следующие выражения:
дФз = 01 _, при р.п -р<ер, дФ1 = _°2, при Р-Р0 <8р , (11)
дР -у/^Р
дР лДР :
где еР можно принять равным 0,001(Ргп - Р0).
Моделируемый процесс разобьем на временные кванты Ж, и представим последовательностью г-х отсчетов ^ = ёЫ. Предположим, что при достаточно малом значении & процесс изменения переменных от (г-1)-го отсчета к г-му является линейным.
Используя частные производные, запишем линеаризованные выражения для определения искомых функций и при этом учтем, что эти функции тождественно равны нулю:
IV- (-^-1)+дР. (- р-1)=О,
V = V -1 -( - 02,і),
дФз
до ( -&,і-1 )+дФрг(Рі- -Рі-1 ) + І03^°1,і -°1,і-1 ) = °,
дФз
дФ4
д02 р2,і - 0і,іл1>+іР4(Рі - Р-1)+і|гр2,і - °2,м)=а
Здесь искомые переменные только 0и, Ог г, V,, Рі, оставим их в левой части, остальное перенесем в правую часть и в итоге получим:
дФ4
дФ1
дУ
г-1
дФ1
дР
г-1
дФ1
дУ
V-1 +
г-1
дФ1
дР
Гг-1,
У + йі • - йі • Оц = Уг-1,
дФ3
да
дФ 4
й, г +
дФ3
г-1
дФ3
дО2
°2,г +
дР
дФ4
Р =
г -1 г дО1
дФ4
°1,г-1 +
г-1
дФ3
І-1
І -1
дР
Р =
г-1 г дО2
°2,г -1 +
дР
дФ4
Р-1 -^ г-1 ' 1 дО
г -1
(і -О1,г-1),
І-1
дР
Р-1 -дФ4 І-1 ' 1 дЄ2
г -1
(2,І - О2,г-1).
(12)
Уравнение (10) в матричном виде, с учетом (8) и (9), будет выглядеть следующим образом:
( Уг-1 (РІ-1 +1) 0 0 ^ ( Рі ((2 Р-1 +1)У-1 ї
0 1 йі -йі X Уі Уі-1
АР3,І-1 0 1 0 Он ВР3,І-1
V АР4,і-1 0 0 1 У °2,г' у V ВР4,І-1 У
(13)
л <
где АР3,г-1 =-
[ °1,І
дФ3 ^ Ріп Р1
дР І-1 Оі Р [—1 Ггп л/єр
Ріп Рі-1 >єг
АР4,і-1 =
дФ 4
дР
І-1
-О
2,1
2>/ РІ-1~ Р0
Р'-1 Р0 > є р,
-О
2,і
, РІ-1 Р0 — Є р ;
ВР3,І-1 = °1,І-1 + АР3,,І-1РІ-1 +л/Ріп - Р'-1 (°1,г - О1,І-1) , ВР4,І-1 = °2,І-1 + АР4,І-1РІ-1 +УІРІ-1 - Р0 (О2,І - О2,І-1) • Система из уравнений (6) - (9) линейна относительно переменных и, х, х, х для каждого случая, указанного в (9), в матричном виде эта система будет выглядеть следующим образом:
0
Ахкі1
т
-йі й22
1 -йі
(хкі (
хк,і
\Хк,ІУ V
Ц'ик,і + Вхк,і-1 хк,і-1 хк,і-1
(14)
где Ахкі-1 =< _
|0, |-хк,І-1 <ЄУ ;
-ршіп Sigп(Хк,i-l), |-хк,І-1 ^ ,
Вхк,І-1 = 1-ршІп8ЩП(ик,І-П •xк,i-l), (|хк,І-1І <єу)Л(ик,І-п •хк,І-1 + т •■хк,І-1І ^ ршіп ),
-Ц• ик,І, (хк,І-1 < Єу) Л (• ик,І - П • хк,І-1 + т • хк,І-1І <ршіп)•
Компоненты начального состояния:
и1,0 = 0; и2,0 = 0; ( У0 Оі,0 02,0) =( У) 0 0)Т;
(х1,0 -х1,0 х1,0) =(0 0 0); (2,0 -х2,0 ЛТ2,0) =(0 0 0)Т.
Алгоритм моделирования. Вход: экспериментальные данные іг - отсчеты времени, и1>г- - напряжение на катушке впускного клапана, и2і - напряжение на катушке выпускного клапана.
Выход: Рг - рассчитанное давление в системе.
1. Цикл по всем отсчетам от І:=1, ..., п
1.1. йі := іі - іг-1.
1.2. На основе значений (х1 г-1 х1 г-1 л! г-1) и и1>г- решить систему (14) и получить значения (х1,і х1, і х1,г).
1.3. На основе значений (х2 г-1 .х2 г-1 х2 і-1) и и2і решить систему (14) и получить значения
(х2,і х2,і х2,І).
1.4. На основе вычисленных значений х1>г- и х2 І по формулам (3) вычислить О1,І и О2 І.
1.5. По значениям (Р- V- Оц-1 02 г—1) и О1>г-, О2уІ решить систему (13) и получить зна-
чения (рі уі а і °2,і ).
Результаты моделирования. На рис. 3 представлен график зависимости давления от времени. Моделирование и эксперимент проведены при значениях параметров Pin = 30 кгс/см , Р0 = 0 кгс/см и изменении воздействия напряжений U1, U2 на катушках в соответствии с графиками на рис. 4. При моделировании приняты значения неизвестных параметров: V0 = 0,001 единиц объема, K1 = 10-4 и K2 = 10-4 единиц чувствительности, m = 0,5 единиц массы, ц = 0,5 единиц, п = 0,6 единиц упругости. Нас интересует только величина давления, поэтому размерность неизвестных параметров взята в условных единицах, после параметрической идентификации ЗД эта размерность их единицы измерения не будет играть никакой роли. Расчеты выполнены в системе MathCad [7] по алгоритму, приведенному выше, с использованием функции lsolve для решения систем уравнений (13) и (14).
Сравнительный анализ графиков на рис. 3 позволяет сделать вывод о том, что структура математической модели ЗД в нашем исследовании построена правильно, т.е. нами решена задача структурной идентификации ЗД. Различие результатов эксперимента и моделирования обусловлены допущениями 1-3, сделанными при построении математической модели ЗД, возможным несовпадением значений неизвестных параметров У0, К1, К2, т, ц, п и тем, что в эксперименте на напряжения и1 и и2 накладывались колебательные процессы для уменьшения эффекта «залипания» задвижки (т.е. уменьшения воздействия на неё силы трения покоя).
Заключение. Разработанная математическая модель ЗД позволяет адекватно описать процессы, протекающие в ЗД автоматизированного стенда для настройки манометров. В дальнейшем на основе созданной математической модели, планируется решить задачу параметрической идентификации ЗД, т.е. решить задачу определения неизвестных параметров У0, К1, К2, т, ц, п и создать устройство управления для обеспечения равномерного роста давления при настройке манометров.
Литература
1. Лазичев А.А. Система автоматизированной настройки манометров с помощью нанесения шкал / А.А. Лазичев, Ю.А. Самулеева // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 8. -С.35-38.
2. Пат. 2 428 668 РФ, МПК в01Ь27/00. Способ индивидуальной градуировки шкал манометров и устройство для его осуществления / А.Ю. Гетц, В.И. Мачкинис, С.М. Везнер и др. (РФ). - № 2009 145 224 / 28; заявл. 07.12.09; опубл. 10.09.10. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www1.fips.ru/wps/portal/Registers/, Реестр изобретений; свободный (дата обращения: 25.10.12).
3. Бригадин А.Г. Автоматизация регулировки манометров: дис. ... канд. техн. наук. - Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998. - 151 с.
4. Кузнецов А.А. Компьютерный измерительно-технологический комплекс для автоматизированной настройки манометров: дис. . канд. техн. наук. - Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2004. - 149 с.
5. Гартман Т.Н. Компьютерное моделирование простых гидравлических систем / Т.Н. Гартман, В.Н. Калинкин, Л.И. Артемьева. - М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2002. - 40 с.
6. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. - М.: Наука, 1973. - 584 с.
7. Фриск В.В. Ма&Саі Расчеты и моделирование цепей на ПК. - М.: Солон-Пресс, 2006. - 88 с.
Алфёров Сергей Михайлович
Аспирант каф. автоматизированных систем управления ТУСУРа
Тел.: 8-909-538-80-02
Эл. почта: alhoresm@sibmail.com
Кориков Анатолий Михайлович
Д-р техн. наук, проф., зав. каф. автоматизированных систем управления ТУСУРа
Тел.: 8 (382-2) 41-42-79
Эл. почта: korikov@asu.tusur.ru
Alferov S.M., Korikov A.M.
Simulation of the pressure adjuster for tuning gauges
We developed a mathematical description of processes in an automated booth pressure adjuster for tuning pressure gauge, explained linearized equations describing these processes, and received their solution. On this basis, we simulated a pressure adjuster and compared model calculations with experimental data.
Keywords: automation, pressure gauges, automated stand, pressure vessel, the mathematical model, linearization, modeling.
