Модели надежности структур базы данных экспертной системы, использующих дискретные ортогональные преобразования, описываемые характеристическими функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Петров Б.М, , Уткина О.Н., Мороз Д.Ю.

МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ СТРУКТУР БАЗЫ ДАННЫХ ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ДИСКРЕТНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

Экспертной системе при обеспечении надежности бортовых радиоэлектронных систем (БРЭС) приходится исследовать модели наименее надежных систем цифровой обработки сигнала (СЦОС), которые соответствуют сложным структурам баз знаний (БЗ) и баз данных (БД), использующих сложные структурные преобразования, такие как прямые дискретные ортогональные преобразования (ПДОП) или быстрые дискретные ортогональные преобразования (БДОП), со сложными структурами и различными каналами, имеющие независимые внезапные отказы каналов, выделенные при исследовании алгоритма вычисления, т.е. когда вероятность отказа 1 - го канала не зависит от вероятности отказа j -го канала. Вероятность отказа 1, j - го каналов зависит от их сложности, времени выполнения задания.

Для расчета надежности СЦОС, на основании имеющейся информации в базе знаний по последствиям отказов, задается критерии отказа Ф ф, m, п), характерный для пороговых моделей со структурами " т из п ". Такая структура нормально функционирует, когда работоспособны т каналов, где 1<т^п.Частным случаем пороговых моделей, когда критерий отказа т = п и т = 1, соответствует

последовательное и параллельное соединение каналов. Для пороговых моделей, имеющих не равно надежные каналы, целесообразно применять математический аппарат характеристических функций.

При расчете надежности обозначим за А событие, состоящее в том, что в СЦОС откажет первый канал (цифровой фильтр (ЦФ) 1-го порядка или умножитель, сумматор 1-го ранга, 1-го дерева). Событие А соответствует безотказной работе первого канала. Событие А соответствует отказу второго канала, событие А соответствует безотказной работе второго канала и т.д. до п . Событие

А обозначает множество состояний 1 - го канала А| е|А,Л| .

Критерием отказа для ПДОП, при условии нейтрализации первого отказа, является событие е25 ,

соответствующее отказу ровно двух каналов из пяти (т.е. т = 2 , п = 5 ) . Найдем вероятность

отказа двух каналов из пяти или двух, четырех, восьми каналов, отказавших на различных рангах в древообразных структурах БДОП. Событие е25 представляет собой набор последователь-ностей событий,

в которых событие А входит т раз, событие А входит п - т раз, назовем этот набор пространством элементарных событий

е25 = ААААА + ААААА + ААААА +

+ААААА + ААААА + ААААА + ААААА +

+ААААА + ААААА + ААААА.

Общее число последовательностей равно числу сочетаний « т из п » , т.е.

ст = п!

п т! (п-т) !

Обозначим вероятность появления события А ( т.е. отказа 1 -го канала) через ^, а вероятность события А (т.е. безотказной работы 1 - го канала) через р , где

Я! > 0,р1 > 0,я1 + р1 = 1,Р(А1) = ррР(А1) = я .

Учитывая, что полученные последовательности несовместимы, а события, входящие в произведения, независимы и вероятности появления события различные, то по теореме сложения и умножения

независимых событий получим пространство элементарных событий, в котором число всех элементарных

событий равно ст

Р (В2,5 ) = ВД2РзР4Р5 + ВД2ЧзР4Р5 + Я^РзЧдРз + Я^РзРдЧз +

+ М2ЯзР4Р5 + М2РзЯ4Р5 + РЛ2РзР4Я5 + Р^ЯзЯ4Рз +

+ Р1Р2ЯзР4Я5 + Р1Р2РзЯ4Я5 = Ся^Р1™ = Р,^

Затем найдем вероятность Р(В2 5) , которая соответствует разложению функции ^(^)по степеням

параметра z. Исследования показали, что такие системы, как СЦОС ( ПДОП и БДОП ), вторичные

многофазные источники питания, системы аналоговой фильтрации на ПАВ и ПЗС и др., можно привести к

квазирезервированным, ветвящимся (древообразным) или сетеобразным моделям. Эти модели можно интерпретировать в виде набора независимых и различных сигналов, передаточных функций, каналов, в которых эти элементы преобразуются. Имеющиеся в этих моделях, различные виды избыточности позволяют преобразовать их в пороговые схемы безотказности, в которых требуется вычисление

вероятности безотказного функционирования « т из п » элементов, т.е. Р (Втп)

Математическим аппаратом, который хорошо отражает внутренние связи между отдельными элементами дискретных систем с избыточностью, при анализе пороговых моделей, является аппарат характеристических функций. Этот аппарат является обобщением методов: производящих функций, Ъ -

преобразовании, Д - преобразования и т.д..

В настоящее время метод характеристических функций интенсивно развивается, он позволяет

сравнительно просто решать многие прикладные задачи теории вероятностей. Отметим, что использование Ъ - преобразования при анализе передаточных функций СЦОС, записанных в виде линейно-разностных уравнений, позволило построить простые, в математическом отношении, процедуры декомпозиции цифровых динамических систем.

Применение характеристических функций для анализа безотказности СЦОС позволяет, с одной стороны, проводить преобразование сложных моделей в более простые и использовать мощный аппарат характеристических функций для оценки безотказности полученных моделей, для которых обычные методы, используемые в теории надежности, не давали положительных результатов.

Учитывая особенности СЦОС и модели безотказности, целесообразно для анализа их применить три закона распределения случайных величин: биномиальный, пуассоновский и нормальный, и использовать

характеристические функции для вычисления математического ожидания и дисперсии числа возможных работоспособных каналов на выделенных рангах.

По определению характеристические функции действительной случайной величины Х называется

комплекснозначная функция математического ожидания случайной величины й11х и записывается в виде

ях(1 ) = М е1^(1 )< 1, (е1*( = 1,

где 1 - мнимая единица, 1=^-1; ^ - параметр, действительное число; х - случайная величина;

Ях(1) - аналитическая внутри единичного круга.

п

«ин ях (1 ) = £pke1tx, где т? = т(Х=>5) .

Для дискретных случайных

Для непрерывных случайных величин ях(1 )= J е11хГ(х) dx

—да

р(х) = т(х=>?),5=ОД,2,...

где

последовательностъ

целочисленная неотрицательная случайная величина. Таким образом, имеем

[Ях(1)] , которая внутри единичного круга сходимости сходится абсолютно и

равномерно. Отметим, что внутри данной области степенные последовательности можно складывать, умножать, интегрировать и дифференцировать.

Запишем связь К -го начального момента с ХФ

х Ях^( 1) , где - К -я производная ХФ .

Начальный момент в точке t = 0 равен Уж = х Я^(0) .

Очень удобно вычислять математическое ожидание МХ и дисперсию ДХ числа работоспособных каналов через начальные моменты первого и второго порядка, используя выражения МХ = У1 , ДХ = У2 - У12 .

При проведении расчетов безотказности СЦОС, имеющих сложную структуру переходов (связей) с двойной инверсией, целесообразно предварительно выделить из общей структуры деревья цифровой обработки сигнала (ЦОС) и области ячеек памяти (Я П).

Для упрощения расчетов «временную» модель заменяем «пространственной». Под X понимаем среднюю плотность распределения отказавших каналов в структуре аппаратной реализации. Тогда закон Бернулли (Пуассона) будет соответствовать распределению каналов, попавших в выделенную часть (Хт = а = пр). Использование факторизации для преобразования характеристической функции системы, позволяет записать и рассмотреть выделенные деревья в виде двух орграфов О1 и О2

Яд( 1 ) = МН1д=с% (\) х с[^( \) , где д=%+1 - сумма независимых случайных величин. Их

характеристические функции соответственно равны (1 ) = МН% , ^ (1 )= МН“’ .

Отметим, что проведение безграничной факторизации характеристических функции допускается в биномиальное распределении, в распределении Пуассона, в нормальном распределении, что позволяет проводить факторизацию на любом ранге деревьев.

Первое дерево О1 соответствует непосредственно структуре соединения каналов ЦОС, в котором через % обозначим целочисленную случайную величину, соответствующую количеству п, нормально функционирующих (или отказавших ) каналов ЦОС, которые имеют вероятность безотказной работы

[0, отказовое состояние ЦОС, исправное состояние ЦОС.

Отказ одного или нескольких каналов не приводит к отказу дерева О1 из-за имеющейся большой избыточности.

Второе дерево О2 соответствует структуре организации памяти. Обозначим через 1 целочисленную случайную величину, соответствующую количеству п нормально функционирующих (отказавших) укрупненных ячеек памяти ПЗУ, в которых записаны весовые коэффициенты, и каналов связи, зключающих элементы обращения к памяти.

[0, отказовое состояние ЦОС, исправное состояние ЦОС.

Отказ ячейки памяти в ПЗУ приводит к искажению весового коэффициента, но при проведении коррекции на последнем ранге отказа БДОП нет. Отказ системы происходит при одновременном отказе канала ЦОС и ЯП из-за трудностей однозначного распознавания ошибок. При наличии и отсутствии контроля и коррекции ошибок имеем следующие ситуации

д = % + 1 , | 1^%| 0| 1| ; д = % х Г] , | 1^%| 0| 1| .

|о|о|1| |о|о|о|

|1|1|1||1|о|1|

Отметим, что укрупнение рангов каналов ЦОС упрощается: отсутствием в структуре БДОП связей

между узлами одного ранга и отсутствием циклов. Кроме того, на определение безотказности укрупненной структуры большое влияние оказывает неоднородность подчинения за счет использования структур с инвертируемыми и неинвертируемыми переходами. При инвертируемых переходах в структуре происходит хорошее перемешивание результатов вычислений, что приводит к независимости укрупненных

Р{1=к|} = Рк ;Р{1}=

рангов между собой по выбранному критерию, например, отказ двух соседних каналов на верхнем укрупненном ранге.

Вероятность отказа двух соседних каналов на нижнем ранге при прямом подчинении выше, чем при хорошем перемешивании. При прямом перемешивании учитываем вероятность отказа только одной цепочки

-4X1

из 1 - 1 элементов и 1 - 1 связей (например, Я =е ). При хорошем перемешивании отказ двух

/ ^2_ - 8Х 1 ,

соседних каналов происходит при отказе двух цепочек (я =е ) . Укрупнение в памяти проводится по значениям (весам) коэффициентов.

Для ПДОП и верхнего ранга БДОП, в котором случайные величины % и , имеют биномиальное распределение, характеристическая функция имеет вид для Я%( 1) ;я,( 1) ^ (1)

п

А

соответственно

(1) = Ме11% = ^е^С- ТС* (1 — с)"-- = Гелс + (1 — с)] п

-=0 1

т / г ,

я, (1) = Ме111 = £е-ст/ (1 — РГ = Ге11 Р + (1 — Р)] 1

Б=0 Г

% (1) = Ме11С = [ейс + (1 — с)] п х [е11 Р + (1 — Р)] т

Найдем, через начальные моменты х я X (°) , основные числовые характеристики

биномиального распределения МС и ДС числа работоспособных каналов. Запишем первый начальный момент для мС

У1 = 1 х Я(1)(0)= 1 {[е‘‘С+(1 — с)]" х [е‘1Р + (1 — р)]"} =

= 1 хп[с+(1 — с)] п-1е111с х 1 т[ р + (1 — р)] т-1е111р =

= псх тр.

Запишем второй начальный момент для ДС

^ 2 = 1 х Я(2)(0)= 1 {пс12е11 [се* + (1 -с)] п-1 + п (п-1)с12е11 х

хГ^з11 + (1 -с) ] п-2}х {[е11 р + (1 -р) ] т-1е1112тр + е1112т(т-1)р2х

хГе11 р + (1 -р)] т-2} = пс(1 - с)х тр(1 -р).

Для средних рангов БДОП для которых & — СОП$1 и находится в интервале 1 - 10, используем

распределение Пуассона

да да

2с- = 1 с = ъжЦ '^р5 = 1;«2 = тр,

j=0 Б=0

с- = р {%=-} = у;-;ръ = р {,=5} = С .

Применяя характеристические функции, получим

да да „- да Ф

(Лл _ ц, _ ^ а е

Я% (1) = Ме‘% = X — =£ е* Л е- 1 = е- * 2 Л =

-=0 -=0 - • -=0 - •

= е^1 ехр (а е11) = ехр{л ^е11 — } ,

я, (1) = Ме111 = 2е115р5 = ехр{а2 [е11 — 1] },

э=0

(1) = Ме11С = ехр {у [е11 — 1] + а2 [е11 — 1]} = = ехр{[е11 —1]( а + а)}.

Для нижних рангов структуры БДОП, для которых а> 10 , используем нормальное распределение, плотность которого

1 —^#

f (х) = —= е 2а .

<г^2с

Запишем характеристические функции для МХ и ДХ

да (х-а )2 IV

М<)=^/57_1 е‘“е "',11х=е"- 2

^2

У = :гяв (0) = 1е 2 (1а - 1ст2),

2 2 2 2 Л 'л. 1 ^ ' л. 1 ^

У2 = 1 е “ (1" - 1^2) + е"” (_^)].

Общая формула вероятности безотказной работы для СЦОС (БДОП) представляет произведение вероятностей безотказной работы р± для каждого укрупненного ранга (распределенных соответственно по Бернулли, Пуассону, Гауссу) с учетом вероятности отказа двух соседних каналов на верхнем ранге 5

т_дТМ = ^^Р х Р2о/оор, где Р1 - вероятность безотказной работы набора каналов (элементов) 1 -го ранга; 1=1

Р2вр - вероятность отказа двух соседних каналов на верхнем ранге; к - общее количество укрупненных рангов.

Поэтому проводить контроль исправных каналов ЦОС и Я П целесообразно только на верхнем ранге. Введение корректирующих коэффициентов на нижнем ранге целесообразно только для ошибок в вычислениях, выполненных на верхнем ранге. Факторизацию СЦОС, использующей БДОП, на поддеревья необходимо проводить на каждом укрупненном ранге.