CC BY
29
Петров Б.М., Мороз Д.Ю., Уткина О.Н.
МОДЕЛЬ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ, УЧИТЫВАЮЩАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ОТКАЗОВ В БРЭС, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ
ВЛОЖЕННЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Применение экспертной системы анализа надежности (ЭСАН) бортовых радиоэлектронных систем (БРЭС) позволяет наиболее эффективно анализировать различные виды отказов (сбои, перемежающиеся и внезапные), возникающих в системах цифровой обработки сигнала (СЦОС), которые соответствуют сложным структурам баз знаний (БЗ) и баз данных (БД), использующих сложные структурные преобразования, такие как прямые дискретные ортогональные преобразования (ПДОП) или быстрые дискретные ортогональные преобразования (БДОП), со сложными структурами.
Рассмотрим структуру реального процесса функционирования СЦОС, который имеет очень сложное фазовое пространство состояний и описывается полумарковским процессом. Нашей задачей является построение более простого процесса, изоморфного исходному процессу функционирования СЦОС. Это позволяет, во-первых использовать метод укрупнения фазового пространства состояний для значительного упрощения анализа безотказности СЦОС с учетом реального процесса функционирования; во-вторых использовать аппарат вложенных марковских процессов для расчета безотказности с учетом различных видов отказов, характерных для СЦОС.
Для этого сложное фазовое пространство состоянии СЦОС (рис. 1), расщепляется на конечное
г ___
число непересекающихся классов (подмножеств) Г= . Состояния каждого из классов Г^,^=1,г,
5=1
укрупняются (склеиваются) в одно состояние е^5 5=1,Г, В новом укрупненном фазовом пространстве
Г = . .,Н>Г^ г состоящем из конечного числа состояний, строится укрупненная система.
Расщепление фазового пространства основывается на физике отказов и последствий влияния основных видов отказов СЦОС, а также на предположении о высоконадежности системы (когда среднее время нахождения канала (системы) в отказном состоянии значительно меньше, чем среднее время нахождения в работоспособном состоянии). Это позволяет построить структурную схему безотказности СЦОС с учетом различных видов отказов.
Рассмотрим укрупнение процесса режима функционирования (рис. 2), который получается из реального процесса (рис. 1 ) путем склеивания фазового пространства. При этом каждое состояние
нового укрупненного процесса можно интерпретировать как множество состояний исходного процесса. Переход от исходного к укрупненному процессу соответствует замене исходного процесса с неравномерным (неоднородным) масштабом с разрешениями и пучками (рис. 3а, 3б) однородным
процессом со свернутыми состояниями.
Рис. 1 Орграф, описывающий фазовое пространство состояний СЦОС На рис. 1 сплошными стрелками показаны высоковероятные переходы процесса, а пунктирными стрелками показаны маловероятные переходы. Если процесс находится в одном из состояний \ Е Е! подмножества Г* , то вероятность перехода в состояния ] Е Е* и к Е Е3 маловероятны и процесс
сравнительно долго будет находиться в классе Г . Подмножество состояний Г* соответствует: Г0 -
безотказной работе СЦОС ( БР ), Г - возникновению внезапного отказа ( ВО ), Г2 - возникновению
перемежающегося отказа ( ПО ), Г3 - возникновению сбоя (СБ), отражает следующее подмножество
состояний Г* в комбинации: БР и ВО и ПО и СБ.
Рис. 2 Укрупнённый орграф СЦОС Рис. 3а
Орграф, соответствующий матрице переходных вероятностей
Рис. 3б Орграф, соответствующий матрице переходных вероятностей
Рис. 4 Орграф смены состояний СЦОС за т циклов решения задачи
Подмножество
состояний
г:
соответствует
следующим
комбинациям:
ВОпВОиВОпПОиПОпПОиПОпСБиСБпСБиСБпВО .
Подмножество состояний Г* - комбинациям:
ВОпВОпВОиВОпВОпПОиВОпПОпПОиПОпПОпПОиПОпПОпСБиПОпСБпСБиСБпСБпСБиСБпСБпВОиСБпВОпВО и т.д.
Затем процесс переходит в класс Г2 и снова будет долго оставаться в этом классе и т.д. Из
Г' : -р-»*
2 , Г имеют практически нулевые вероятности, поэтому эти связи из рассматриваемого процесса исключаются. Тогда вместо бесчисленного множества состояний и связей, которые определить и учесть очень трудно (практически невозможно), получаем конечное число состояний и связей, соответствующих основным видам отказов, характерных для СЦОС.
Таким образом, модель функционирования СЦФ, работающая в реальном масштабе времени, при наличии различных видов отказов интерпретируется ориентированным графом состояний (рис. 1).
Вершины орграфа соответствуют взаимоисключающим состояниям СЦОС, а его ориентированные ветви
- возможностям прямого перехода из состояния Н в состояние Н с вероятностью Ьу . Время
нахождения СЦОС в каждом укрупненном состоянии зависит от различных воздействий, почти независимых между собой, поэтому законы распределения этих времен принимаем экспоненциальными. Как было показано выше, применение метода укрупнения фазового пространства состояний, позволило выделить в полумарковском процессе вложенный марковский процесс (ВМП), который дает полное вероятностное описание СЦОС с учетом воздействия различных видов отказов, присущих СЦОС (рис. 1), и характеризуется:
распределением р= {р^,1 е Е}, ^р = 1, с помощью
- начальным
которого выбирается исходное состояние 1 е Е ;
- вектором X = Д е Е} параметров показательно распределенных величин ^,1 е Е ;
- матрицей вероятностей перехода из произвольного состояния 1 в
произвольное состояние j , р= |рц},:у е Е .
Этот ВМП с конечным числом состояний и дискретным временем соответствует орграфу (рис. 4) и характеризуется произведением трех матриц АхВхС . В соответствии с принятой моделью, в любой фиксированный момент времени функционирования, система может находиться только в одном из к
возможных состояний. Обозначим фиксированное множество состояний н5=4 через пространство состояний системы, в котором
Н1 П Н2 П Нз П Н4 = 0, а Н1 и Н2 и Нз и Н4 = Н ,
где Н1 - состояние, соответствующее безотказной работе СЦОС;
Н2 - состояние, соответствующее возникновению в СЦОС внезапного отказа;
Нз - состояние орграфа, соответствующее возникновению в СЦОС сбоя или перемежающегося отказа с t < 3Тц ;
Н4 - состояние орграфа, соответствующее появлению в СЦОС перемежающегося систематического отказа с tTO ^ 3Тц .
В начальный момент выполнения задания система может находиться в любом из возможных состояний H с вероятностями А(0) , где А(0) = [ ai, а2, аз, а4] - матрица-строка распределения начальных
вероятностей состояний (размерностью 1хп ); ai - вероятность безотказного состояния СЦОС в начальный момент; а2 - а4 - вероятности появления в СЦОС i -го вида отказа =Р{^0 = i} • Поскольку
n
состояния ai несовместимые и образуют полную группу событий, то 2 «i (0 ) = 1 • Задание матрицы
ероятностей А(0) проводится при
i=1
рассмотрении
особенностей процесса
распределения начальных функционирования СЦОС.
После определения матрицы А определим следующую матрицу В - матрицу переходных вероятностей, соответствующую орграфу состоянии СЦОС (рис. 3а, 3б), При построении матрицы переходных
вероятностей В необходимо руководствоваться следующим правилами (условиями):
- элементы матрицы В представляют неотрицательные вещественные числа > 0 (при отсутствии
прямых связей между вершинами в орграфе элементы матрицы Ь^ = 0 );
п
- сумма элементов любой из строк матрицы В равна единице Ьу =1 ;
^0
п
- в матрице должны отсутствовать столбцы, состоящее из одних только нулей X V0 .
1=0
Построенная стохастическая матрица переходных вероятностей В размерность п х п , в которой - диагональные элементы Ь за время одного цикла решения задачи
- остальные элементы Ь^ - вероятности перехода из состояния 1 в состояние цикла решения задачи (Тц).
Столбец матрицы В соответствует
должна иметь квадратную
ероятности сохранения i
ероятности сохранения i - го состояния j за время одного е вероятности
перехода в i -е состояние из других состоянии за время одного е —
состояния, а
' b11 b12 b13 b1
b21 b22 b23 b2
b31 b32 b33 b
v b41 b42 b43 b
(
цикла решения задачи в СЦОС.
Строка матрицы В характеризует распределение
вероятностей по состояниям и соответствует
сохранению 1 -го состояния, а также время одного цикла решения задачи.
Рассмотрим переходные вероятности
ероятности перехода из i -го состояния в другие состояния за
каждого из состояний Н в отдельности. Отметим, что
переходные вероятности Ь±д постоянные, т.е. Ьу(т-1,т)=Ьу,т=1,2,..., , что соответствует однородному
марковсому процессу. Здесь Ь^ соответствует интенсивностям отказов, сбоев, а Ь^ - интенсивностям восстановлений после фиксации отказа, поиска неисправностей и нейтрализации отказа.
Элементами первой строки матрицы переходных вероятностей (рис. 3а) являются вероятности того, что из состояния Н1 процесс перешел в состояние Н1 и Н2 и Нз и Н4 , имеющие вид Ьц > 1 ,
где Ьц - вероятность сохранения безотказного состояния СЦОС за время одного цикла решения задачи ( с параметром Х11 );
- Ь12 - вероятность возникновения в СЦОС внезапного отказа за время одного цикла решения задачи
соответствует вероятности перехода системы из безотказного состояния Н1 в состояние Н2 ( с
параметром Х12 );
- Ь1з - вероятность возникновения в СЦОС за время одного цикла решения задачи одного сбоя соответствует вероятности перехода системы из безотказного Н1 в состояние Нз (с параметром Х13);
- Ь14 - вероятность возникновения в СЦОС за время одного цикла решения задачи перемежающегося
отказа
длительностью
t > 3Тц
соответствует вероятности перехода
системы из безотказного
состояния Н1 в состояние Н4 (с параметром Х14).
Элементами второй строки матрицы вероятностей перехода, отличными от нуля (рис, 3б ), являются вероятности перехода из состояния Н2 в состояния Н1 и Н2 , т.е. Ь21 , где 1 = 1,2:
- Ь21 - вероятность того, что за один цикл решения задачи происходит обнаружение и нейтрализация
в СЦОС внезапного отказа, характерна для выборочного обнаружения отказавшего канала;
- Ь22 - вероятность того, что в течение данного цикла решения задачи в СЦОС не закончится
операция по локализации внезапного отказа, характерна для последовательного перебора при обнаружении отказавшего канала.
Аналогично получаем элементы третьей и четвертой строки матрицы вероятностей перехода В , где
- Ьз1 - вероятность того, что в СЦОС в данном цикле решения задачи происходит обнаружение и нейтрализация одиночного сбоя, а другой сбой в этом цикле не возникает (реально в системе может возникнуть второй сбой, но он маскируется и нейтрализуется одновременно с первым);
- Ьз4 - вероятность того, что одиночный сбой в данном цикле порождает возникновение перемежающегося отказа в СЦОС;
- Ь41 - вероятность того, что в СЦОС имеется перемежающийся отказ, который в данном цикле не обнаружен;
- Ь44 - вероятность того, что в СЦОС произошло обнаружение и нейтрализация перемежающегося
отказа за счет обнуления коэффициентов умножителей соседних каналов.
Таким образом, определили матрицу переходных вероятностей .
Для определения выходных характеристик вложенного марковского процесса введем матрицу-столбец размерностью п х 1) исследуемых состояний
с
Ск = [С 1зс2,...ск]т
Следовательно, полное вероятностное описание процесса функционирования СЦОС, математической моделью которого является вложенный марковский процесс, достигается заданием рассмотренных матриц А х В х С .
Вероятность Рт, к нахождения СЦОС в состоянии К за т циклов решения задачи равна
р _ А(о) х Ит х С
т, к / к , где т - число циклов решения задач; к - номер исследуемого состояния
системы.
В заключение отметим, что применение метода фазового укрупнения пространства состояний позволяет: во-первых, произвести значительное упрощение исходного фазового пространства, т.е.
построить укрупненный процесс меньшей сложности, и во-вторых, построить, изоморфный исходному, процесс, который имеет новые свойства. В данном случае, появление марковского свойства в укрупненном процессе позволило применить для расчета безотказности СЦОС, с учетом процесса функционирования и различных видов отказов (сбоев, перемежающихся и внезапных отказов), математический аппарат вложенных марковских процессов. Следует отметить, что дальнейшие исследование должно проводиться при выделении в СЦОС самоподобных фрактальных стохастических процессов, которые хорошо описываются преобразованиями вейвлет - анализа и позволяют вводить коэффициенты масштабирования и учитывать неоднородность по времени и пространству распределения различных видов отказов в СЦОС.
