Научная статья на тему 'Модели качества оптимального приёма сигналов в условиях структурных помех'

Модели качества оптимального приёма сигналов в условиях структурных помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
116
23
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ / СТРУКТУРНАЯ ПОМЕХА / БЕЛЫЙ ШУМ / НЕКОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ / РЕЛЕЕВСКОЕ ЗАМИРАНИЕ / РЕЛЕЕВСКИЙ КАНАЛ

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Чучин Е. В., Алексеев А. А.

Синтезированы модели качества приёма двоичных ортогональных сигналов, оптимального в условиях воздействия белого шума и структурных помех. Дана сравнительная оценка качества приёма, реализующего различные решающие правила.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Модели качества оптимального приёма сигналов в условиях структурных помех»

УДК 621.391.372.019

МОДЕЛИ КАЧЕСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ

© 2012 Е. В. Чучин1, А. А. Алексеев2

1канд. техн. наук, доцент каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: chew42@yandex.ru 2аспирант каф. программного обеспечения и администрирования

информационных систем e-mail: alekseev@russia.ru

Курский государственный университет

Синтезированы модели качества приёма двоичных ортогональных сигналов, оптимального в условиях воздействия белого шума и структурных помех. Дана сравнительная оценка качества приёма, реализующего различные решающие правила.

Ключевые слова: Вероятность ошибки, структурная помеха, белый шум, некогерентный прием, когерентный прием, релеевское замирание, релеевский канал.

Синтезированные оптимальные алгоритмы приёма сигналов в условиях воздействия в канале связи структурных помех [Зарудный, Чучин 2010] позволяют найти структуру приёмника, обеспечивающего наибольшую достоверность решения о переданном сигнале. Дальнейшая задача состоит в том, чтобы дать количественную оценку этой достоверности или, что то же, вычислить значение вероятности ошибочного решения. Сделанное предположение о релеевских замираниях в канале связи позволяет решить эту задачу стационарными методами.

Решающее правило запишем в виде квадратичной формы 2п случайных величин

(п =2):

1 =X + X - X-X > с, (1)

где

2 п. г./ 1 г./ \-2

^ГН- b (Yhyr - Y

1- abgl

X =

Xh- b (YH % - %)

1- abg2r

xh ' ТРТР'(tK {t)dt, *=ТРТР'(t)%)dt'

T T

7h ' VPot' (t )Zn (t)dt' Y%' V^T-P' (t(t) dt'

T T

Л ' Vw^i4 (t )zn(t ) dt' % ' ^Ы"* )zn (t) dt,

g2r= У2 +•

h2 7 hn2

a -; b ' " ;

h2 +1 h2 +1

(2)

С - некоторый пороговый уровень; г = 1, 2.

Для алгоритма, полученного по критерию максимального правдоподобия,

С = ln 1 - abgr

а 1 - abg2r

В остальных случаях С = 0.

При релеевских замираниях сигнала и помех все величины, входящие в квадратичную форму (1), распределены по нормальному закону с нулевым средним значением. Поэтому их совокупность полностью характеризуется корреляционной матрицей порядка 2п х 2п.

к [хиХр), к, р = \,2,...,2п.

Вероятность ошибки равна вероятности невыполнения неравенств ^ > С при передаче ^) и % < С при передаче 22 ^):

p = P{i< C} = f W(i)d§,

œ

(3)

p2 = P {i> C}= f W (i) d£,

C

где W (§) - плотность вероятности квадратичной формы Ц.

Полная вероятность ошибки

1 1 $# œ % p = 2 [ Pi + P2 ] = -&/W (d) dç+JW (d) dd.

(4)

-1 2

I IV I

Согласно с методикой И.С. Андронова и Л.И. Финки [1971] плотность распределения квадратичной формы Ц может быть получена с помощью собственных

А.

чисел

КА

-г матрицы , которые находятся как корни характеристического

уравнения ёе1 (КА-ЛгI) = 0, где А - матрица квадратичной формы (1), а I -

единичная матрица, размером 2п х 2п.

Зная корни характеристического уравнения, выражение для плотности

распределения квадратичной формы Ц можно записать в виде

1

W (|) =

2[Л + Л 2 ] 1

2[Л + Л 2 ]

exp

exp

2Л„

I > 0;

I < 0.

Тогда, вычисляя интегралы в соответствии с (3), имеем

Р =

Л1

(1)

Л1

(1)

1

2 1Л(1)+ Л« Л(1)+ Л«

1 - exp

C

(1)

Л

(2)

Л(2) + л22)

exp

C

(2 )

, с > 0;

Л

(1)

Л

(2)

2. л(1) + л(1) л(2) + л(2)п

с = 0;

(5)

Л

(1)

2. Л(1) + Л«

exp

% Cl & , Л?> 1 - exp % Cl & Л(2) $

2Л (1) ' л'21 + Л22) 2Л(2) 0 1 ' Л(2) + л22)

, с < 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

Таким образом, для вычисления вероятности ошибки достаточно задаться значением порога С и вычислить корни характеристического уравнения Л(1 1. Найдём

их.

Корреляционная матрица квадратичной формы (1) имеет вид

К

X ХгЖ0 Х1Х2 XМ

XX X

№2

2

Х2Х1 Х2Ж0 X2 Х2Х%%

(6)

XX Ш М

Ниже приведены значения величин, входящих в эту матрицу при передаче г1 (/), с учётом (1):

X = = 1 - Ъ«2;

ХХ2 _

Л2 (1-ъ«2 )+1 '

(уу2 + т){[Л^ (1 - Ъ)2 - Л2Ъ(1 - Ъ«12) - Ъ(2 - Ъ)

х№ = -Жж2 =

ж+У1У2

^[Л2 (1 - Ъ«12) + 1][Л2 (1 - Ъ«2)+1]

){[Лп2 (1 - Ъ)2 - Л2Ъ (1 - Ъ«12) - Ъ (2 - Ъ)

(7)

Л2 (1 - Ъ«12) +1][ Л2 (1 - ъ« 22) +1]

Математическое ожидание произведения сопряжённых по гильберту величин, входящих в (6), равно нулю:

х Ж° = Жх = ХхЖр = Жжх = 0.

Аналогично находятся элементы (6) при передаче сигнала ^). Тогда, принимая во внимание, что матрица квадратичной формы (1)

А =

получим значения корней характеристического уравнения в виде 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

Л(г) = -1 2

4)=1 2 2

(г)2 (г)2

X ) + х^)

- 4 яй2 + хг)2 -х2г)2

(г)2 (г)2

х) + хх)

- 4В& -X2 + х2г)2

(8)

где ^ХХЦХЩ2

При передаче сигнала г1 ^)

Л"г =

V

1

2 1 - aЬg12

ъ2 (1 - ь%2 ) - +1};

Х2

.(1)2

2 1

V 1 \Ъ2Ь2£я22 -Ь^22 +1};

2 1 - aЬg 22

Я

(1)2

V

Ь2 g12 g 2

2 (1 -aЬg2l )(1 -abg2) При передаче сигнала ^)

- V2 1

ъ2 (1 - Ьg2) +1}2;

Х?)2 =

2 1 - abg

Х2

(2)2

V

1

2 1 - abg 22

2 [к2Ь2&2g2 - bgl2 +1};

1

к2 (1 - bg22) - bg22 +1};

(10)

Я

(2)2

V

Ь2 ^ g22

к 2 (1 - bg 2 ) + 1}2.

" 2 (1 - abg2l )(1 - abg22)

Вероятность ошибки по (5) позволяет рассчитать качество приёма при любой структурной помехе, присутствующей в канале связи. Для этого необходимо задать коэффициенты подобия помехи с первой и второй ^ сигнальными позициями. Наибольший интерес при этом представляет ситуация, когда помеха коррелированна только с сигналом ^) и ортогональна сигналу ) при г=1, 1=2.

В этом случае имеем: g1 = g; g2 =0.

Вероятность ошибки приобретает вид

1

Р * 2

1-

1 + к2 (1 - bg2)

1+к

1/ к2

к2

1 + к2 (1 - bg2)

(1 + к2) '1 + (1 - bg2 )(1 + к2)

(11)

В другом крайнем случае помеха оказывает равное воздействие на обе сигнальные позиции (= ^ = Я2). При этом пороговый уровень равен нулю (С=0), а величина ^ < 0,5. Вероятность ошибки принимает вид

1-

к 4 (1 - 2bg2)

к 4 (1 - 2^2) + 4к2 (1 - bg2) + 4

(12)

Кривые зависимостей вероятности ошибки от К= Рп / Рс , построенные по (11) и (12), представлены на рисунке 1.

Как следует из представленного рисунка, кривые помехоустойчивости несущественно отличаются при перераспределении корреляционной связи между помехой и вариантами используемых сигналов. Эффект подавления помехи выражен при любой её мощности.

Расчёт по формулам (11) и (12) для рассматриваемых ситуаций показывает, что

потери в помехоустойчивости приёма для значений Н = 1000 характеризуется энергетическим проигрышем, не превышающим 5дб при кп2 .

Рис. 1. Зависимость вероятности ошибки от отношения мощности помехи к мощности сигнала при приёме по алгоритму максимального правдоподобия

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из соотношений (11) и (12) следует, что помехоустойчивость оптимальной по критерию максимального правдоподобия схемы при больших значениях И^И2 ^ 1)

инвариантна к мощности структурной помехи. Причём это свойство сохраняется и в том случае, когда помеха полностью подобна одному из вариантов передаваемого сигнала (^2 = 1, ¿2 = 0) и всё время поражает один из трактов приёмника.

Информационный ущерб, наносимый помехой при поэлементном приёме сигнала, в основном зависит от степени подобия помехи передаваемым реализациям ) и ^). Но в данном случае он незначителен.

Иначе обстоит дело при построении оптимального алгоритма по критерию обобщённого максимального правдоподобия.

При приёме сигнала по этому алгоритму вероятность ошибки рассчитывается по формуле (5) при Л = 0. В случае равномерного распределения мощности помехи между обеими позициями сигнала ( ^п2 ^ = ^п2 ) он совпадает с (12). Однако, за счёт того что здесь отсутствует регулировка порогового уровня, помехоустойчивость этой схемы при ^п2 ^ ^ ^п2 существенно отличается от предыдущей. Наибольший ущерб структурная помеха наносит при полном подобии её одному из вариантов сигнала (¿2 = 1, ¿2 = 0) и, на основании (5), (9) и (12), определяется формулой

1

' = 2

1- ^2

1- bg2r

--^-+ _-^-

И2 (1 - bg2 )2 - bg2 (1 + а) + 2 И2 (1-bg2 )2 - bg2 (1 + а) + 2

(13)

Расчёт для этой ситуации представлен на рисунке 2. Р-

1.12-10

4.7-10

-4

К

Ю-5 Ш-4" 10 3 0.01 0.1

10 100

Рис. 2. Зависимость вероятности ошибки от отношения мощности помехи к мощности сигнала при приёме по алгоритму обобщённого максимального правдоподобия

Сравнение кривых, представленных на рисунках 1 и 2, показывает, что помехоустойчивость приёма в случае равномерного распределения мощности помехи между приёмными трактами для обоих алгоритмов приёма совпадает. Однако чем больше помеха по своей структуре подобна одному из вариантов передаваемого сигнала, тем сильнее проявляется её воздействие на качество приёма по обобщённому алгоритму.

Алгоритмы (21) и (22) (см.: [Зарудный, Чучин 2010] являются более простыми. Для них вероятность ошибки может быть получена в удобной для числовых расчётов форме:

Р = 2 {Рх + Рг} =

(14)

где при приёме сигнала по алгоритму (21) 1

Рг =

1

к/

1 - Ь ( £ + Е2г

к4

"1 - Ь(£ + £)] + 4к2 (1 - ) + 4^

(15)

и

Рг =

к4 (1 - Я? - Я?)

к 4 (1 - я? - Я?) + 4к2 (1 - ) +41Я? & 1 - Я?

(16)

при приёме сигнала по алгоритму (22).

Графики, построенные по этим формулам, представлены на рисунках 3 и 4. При %2г = g2l = g2 для (14) с учётом (15) имеем

1 -

к 4 "1 - 2bg2 ■

к 4 I1 - 2bg2 + 4к2 (1 - bg2) + 4

.

(17)

Если g2r = g2, gf = 0, аналогично находим

Рг

к

[1 - »г ]

■ + ^

2 к2 + 2

(18)

10 6 10 5 10 4 10 3 001 0 1 1

10 100

Рис. 3. Вероятность ошибки по (14) с учётом (15)

Вероятность ошибки при расчёте по формуле (16) для этих случаев определяется аналогичными соотношениями, если положить Ь = 1.

Рис. 4. Вероятность ошибки по (14) с учётом (15) и (16)

Представленные на последнем графике горизонтальные прямые соответствуют вероятности ошибки по (16). Они рассчитаны исходя из присутствия в канале связи помехи большой мощности. Зависимость от отношения помеха/сигнал в этом случае отсутствует.

Расположение горизонтальных прямых вдоль вертикальной оси определяется в этом случае только величиной коэффициентов подобия gl и g2 . Поведение вероятности

ошибки при изменении этих коэффициентов показано на рисунке 5.

Рис. 5. Зависимость вероятности ошибки от коэффициентов подобия сигналов и помехи

При отсутствии структурной помехи И^ = 0 либо в случае ортогональности её

передаваемым сигналам представленные модели качества сводятся к известной формуле для вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приёме двоичных

ортогональных сигналов в условиях помех типа белого шума

' = (19)

Анализ представленных зависимостей показывает, что алгоритмы приёма (13) и (14) сохраняют свойство инвариантности ошибки по отношению к мощности помехи только при равенстве воздействия помехи на обе сигнальные позиции. Алгоритм (18) в этом случае вообще от мощности помехи не зависит, так как рассчитан исходя из отсутствия замираний.

Если величина ^ мала, то помеха практически не оказывает влияния на качество связи. Вероятность ошибки при этом определяется по формуле (19). Однако при значениях ^ близких к единице свойство инвариантности утрачивается и в

пределе, при к2 кп2 и ^ ^ 1, вероятность ошибки стремится к своему

предельному значению р = 0,5.

Общий вывод, который следует из проведенного исследования, состоит в том, что полученные модели качества представляют собой элементы структурированной системы, объединяющей частные модели, соответствующие различному уровню априорных сведений об условиях приёма сигнала. Наиболее полные данные, включающие знание законов замираний сигнала и помехи, степень их взаимного различия и энергетику, позволяют осуществить приём сигнала с наибольшей достоверностью, что соответствует аналитической модели (5).

По мере убывания сведений об условиях приёма сигналов качество связи снижается в соответствии с моделями (13), (15) и (16), которые можно рассматривать как частные случаи более общей модели (5).

Помимо рассмотренных случаев дальнейший интерес представляет ситуация, когда характер замираний сигнала отличается от релеевского. Вероятность ошибки в этом случае может быть получена системными методами, аналогичными, что и в случае оптимального приёма в условиях белого шума при воздействии структурных помех. Более того, несомненный практический интерес представляют модели, характеризующие качество приёма в ситуации, когда влиянием флуктуационной помехи можно пренебречь. Это позволяет непосредственно проводить системные исследования качества связи от вида структурных помех, выявлять степень их влияния в каналах с разнообразными свойствами, определять меры борьбы с помехами различного рода. Эти и другие вопросы подлежат дальнейшему рассмотрению и публикации.

Библиографический список

Андронов И.С., Финки Л.М. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам. М.: Сов. радио, 1971. 408 с.

Зарудный Я. А., Чучин Е.В. Системы решающих правил в цифровой радиосвязи // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ фак. информ. и вычислит. техники / отв. ред. Е. А. Бабкин; Курск. гос. ун-т. Курск, 2010. С. 93-102.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.