CC BY
253
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 004.5
Р. М. Овечкин, А. Г. Финогеев
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ И ПОДРАЗУМЕВАЕМОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Аннотация. Актуальность и цели. Эффективным средством решения задач управления в финансово-кредитных организациях являются автоматизированные системы поддержки принятия решений, которые являются развитием идеологии экспертных технологий. Особый интерес вызывает процесс автоматизации аналитической обработки банковской информации в плане оптимизации управления кредитными рисками путем торговли производными финансовыми продуктами - кредитными деривативами. Основным моментом при торговле деривативами является хеджирование (страхование) ценового или валютного риска во времени или получение спекулятивной прибыли от изменения цены базового актива. Важнейшим финансовым показателем в управлении рисками следует считать волатильность, т.е. статистический показатель, характеризующий тенденцию изменчивости цены финансового продукта. Целью данной работы является разработка и внедрение моделей и методов оценки дополнительных величин для деривативов типа «опцион»: «расчетная стоимость опциона» и «подразумеваемая волатильность» для автоматизированной системы мониторинга и поддержки принятия решений в области биржевой торговли кредитными деривативами и ценными бумагами для минимизации кредитных рисков финансовых организаций. Материалы и методы. В работе представлено описание моделей и методов расчета аналитических величин «рекомендованная стоимость» и «подразумеваемая волатильность» для производных финансовых продуктов типа «Опцион», оценки их стоимости в процессе мониторинга ситуаций на фондовом ранке с целью поддержки принятия решений в области торговли кредитными деривативами. Для оценки стоимости опционов использована усовершенствованная модель Блека - Шоулза, а также разработанный алгоритм нахождения подразумеваемой волатильности при помощи численных методов. Результаты. Результаты теоретических исследований направлены на создание новых подходов к мониторингу и автоматизированной поддержке принятия решений для управления кредитными рисками среднего и крупного коммерческого банка в области торговли производными финансовыми продуктами, что позволит повысить качество и надежность принимаемых управленческих решений. В процессе анализа банковской деятельности в области управления рисками при торговле кредитными деривативами и прочими ценными бумагами выполнены исследования формализованного подхода к моделированию и оценке рыночных ситуаций, моделей и методик расчета производных финансовых инструментов для использования в системах поддержки принятия решений. Выводы. Разра-
ботанные модели и методы расчета аналитических величин «рекомендованная стоимость» и «подразумеваемая волатильность» для производных финансовых продуктов типа «Опцион», в отличие от существующих, используют комбинацию моделей Блэка - Шоулза, биномиального дерева и численный метод бисекционного поиска, что позволяет управлять точностью и вычислительной сложностью при решении задачи. За счет автоматизированного подбора числа шагов при построении биномиального дерева и количества итераций бисекционного поиска обеспечивается оптимальная точность расчета данных аналитических величин в реальном времени.
Ключевые слова: мониторинг, система поддержки принятия решений, пользовательский интерфейс, хеджирование, кредитный дериватив.
R. M. Ovechkin, A. G. Finogeev
MODELS AND METHODS OF OPTION VALUE ASSESSMENT AND THE IMPLIED VOLATILITY
Abstract. Background. Effective means of solving problems of management in financial and credit institutions are automated decision support systems, which are the base of the expert technology ideology. Of particular interest is the process of automating analytical processing of banking information in terms of optimizing the management of credit risk by trading in derivative financial products - credit derivatives. The major factor in trading of the derivatives is hedging (insurance) price or currency risk in time or getting speculative profit from price changes of the underlying asset. Volatility that means statistical measure of the tendency of price variability of a financial product should be considered as the major financial indicator of risk management. The purpose of this work is the development and implementation of models and methods of assessment of additional values for such derivative types as "option", "estimated value of the option" and "implied volatility" for automated monitoring and decision support in the field of stock trading of credit derivatives and securities for minimizing credit risks of financial institutions. Materials and methods. The paper describes the models and analytical methods for calculating the values of "recommended price" and "implied volatility" for derivative financial products like "option" for assessment of their value in monitoring the stock market so that to support decision-making in the field of trade credit derivatives. The improved Black - Sholes formula and the algorithm for finding the implied volatility through numerical methods are used for assessing the value of the options. Results.
The results of the theoretical researches are aimed at creating new approaches to monitoring and automated decision support for credit risk management of medium and large commercial banks in the field of derivative financial products trading that will improve the quality and reliability of management decisions. Analysing banking activities in the field of risk management through trading of credit derivatives and other securities there was used a formalized approach to the modeling and assessment of market conditions, models and calculation methods of derivative financial instruments in decision support systems. Conclusions. The developed models and analytical methods for calculating such values as "recommended price" and "implied volatility" for derivative financial products like "option", in contrast to existing models use a combination of the Black - Scholes formula, the binomial tree and the numerical bisectional search method that allows accuracy and computational complexity in solving the problem. The optimal accuracy of the analytical data in real time is provided due to the automated selection of the number of steps in the construction of the binomial tree and the number of bisectional search iterations.
Key words: monitoring, decision support system, user interface, hedging, credit derivative.
Введение
Кредитные операции - самая доходная статья банковского бизнеса. Управление рисками при торговле производными кредитными продуктами позволяет банку защититься от неблагоприятных изменений цен на рынке акций, процентных ставок и т.п. Для быстрого и верного принятия управленческого решения требуется проанализировать достаточный объем информации, адаптированной для понимания, т. е. правильно обработанной специализированной системой мониторинга и поддержки принятия решений [1]. Для некоторых областей, например бюджетирования и планирования, имеется довольно много хорошо проработанных программных решений от таких производителей, как SAP, Oracle, PeopleSoft [2, 3]. Однако все еще есть области, в которых автоматизация процесса анализа и принятия управленческих решений требуют усовершенствований. Одной из таких областей и является управление рисками при торговле производными кредитными продуктами -кредитными деривативами.
Кредитные деривативы позволяют отделить кредитный риск от всех других рисков, присущих конкретному инструменту, и перенести такой риск от продавца риска (приобретателя кредитной защиты) к покупателю риска (продавцу кредитной защиты). Основной набор таких инструментов - это кредитные дефолтные свопы (CDS), опционы, фьючерсы и т.д.
Обычно целью покупки дериватива является не получение базового актива, а хеджирование (страхование, снижение риска от потерь) ценового или валютного риска во времени или получение спекулятивной прибыли от изменения цены базового актива. Операции на рынке осуществляются биржевыми торговцами - трейдерами, функции которых включают анализ текущей ситуации на рынке и заключение торговых сделок.
В статье приводится описание моделей и методик вычисления производных финансовых продуктов и дополнительных аналитических величин, необходимых для разработки системы поддержки принятия решений в области биржевой торговли и управления банковскими рисками.
Отличительной особенностью разработанных моделей и методик для управления рисками является возможность расчета дополнительных величин для деривативов типа «Опцион»: «Расчетная стоимость опциона» и «Подразумеваемая волатильность».
Волатильность - это статистический показатель, характеризующий тенденцию изменчивости цены, который является важнейшим финансовым показателем в управлении рисками.
Различают два вида волатильности:
1. Историческая волатильность - это величина, равная стандартному отклонению стоимости финансового инструмента за заданный промежуток времени, рассчитанному на основе исторических данных о его стоимости.
2. Подразумеваемая (ожидаемая или опционная) волатильность - величина, вычисляемая на основе текущей стоимости финансового инструмента в предположении, что рыночная стоимость финансового инструмента отражает ожидаемые риски.
1. Входные параметры для вычислений
В моделях оценки стоимости опционов и подразумеваемой волатильности, описанных ниже, используются следующие общие входные параметры:
- стиль опциона - Американский или Европейский;
- тип опциона - Колл или Пут;
- amount - количество акций на опционный контракт;
- S - цена спот базисного актива-акции;
- K - цена страйк опциона;
- r - процентная ставка, interest rate;
- tk - время от текущей даты до следующей даты выплаты дивидендов по акциям, учитываются только даты, меньшие даты экспарации опциона;
- dk - размер дивиденда, выплачиваемого в момент tk;
- f - альтернативная форма учета дивидендов - в процентах, непрерывно начисляемая процентная ставка. Однако ниже используется следующее обозначение: если по акциям выплачиваются дивиденды дискретно, стоит полагать f = 0. Хотя набор значений {dk, tk} можно привести к виду непрерывно начисляемого процента f, как будет показано ниже;
- о - волатильность. Этот параметр используется абсолютно во всех моделях оценки стоимости опционов, его теоретическое значение представляет собой среднеквадратичное отклонение цены спот базисного актива. Этот параметр не может быть измерен непосредственно по рыночным данным, поэтому очень важной задачей любого участника на рынке ценных бумаг является оценка волатильности по историческим данным с использованием текущих рыночных цен опционов и т.п. Обычно величина измеряется в процентах.
Условно обозначим как X набор всех вышеперечисленных параметров:
X = {style, type, S, t, K, r, {ti, di} orf, о}.
Имея модель оценки стоимости опционов, можно:
- рассчитать теоретическую цену опциона по заданным параметрам;
- рассчитать подразумеваемую волатильность, соответствующую рыночной цене опциона.
Так как волатильность является единственным параметром, не наблюдаемым напрямую по рыночным данным, существует однозначная взаимосвязь между ценой опциона и подразумеваемой волатильностью. То есть, зная волатильность, можно вычислить цену опциона и наоборот.
2. Модель Блэка - Шоулза
Модель Блэка - Шоулза - это первая модель оценки стоимости опционов, которая стала буквально всемирно известной. Она предполагает, что цена спот-акции изменяется стохастически: если цена известна на текущий момент, то существует возможность сказать (к примеру): «две недели спустя цена спот будет находиться между 10 и 15 долл. с вероятностью в 30 %», т.е. предполагается, что в любой момент в будущем log(S) нормально распределен с известным средним значением и среднеквадратичным отклонением. Основываясь на этих данных, можно подсчитать средний доход от исполнения опциона и теоретическую цену опциона. Опуская подробности вывода формулы Блэка - Шоулза, ниже приведен алгоритм для расчета цены опциона.
Если дивиденды приведены в виде {tk, dk }, тогда { A = S- NPV({tk, dk}, r); f = 0; } иначе A = S • exp(-f • t);
B = K • exp(-r • t);
D = о • sqrt(t);
d1 = log(A / B) / D + D / 2;
d2 = d1 - D;
Price = A • 0>(d1) - B • 0(d2); if type = Put then Price = Price - A + B; return;
Здесь и далее log(x) означает натуральный логарифм от x (не десятичный), и O(x) - это так называемая so-called error function:
Функция NPV({tk, dk}, r) - чистая приведенная стоимость дивидендов (net present value), т.е. сколько стоят дивиденды, будучи приведенными к текущей дате. Эта функция рассчитывается как
где сумма рассчитывается по всем выплатам дивидендов с текущей даты по дату экспарации опциона, 0 <= ґк < = ґ.
Как можно заметить из приведенных формул для расчета РЕ_В8(Х), эквивалентная процентная ставка дивидендов / может быть рассчитана для дивидендов дискретного вида {ґк, ак|, процентная ставка г и время до экспарации ґ.
Строго говоря, РЕ_ВБ(Х определяет цену Европейского типа опциона, т.е. она не принимает во внимание свойство Американского типа - возможность быть исполненным до экспарации. Тем не менее она дает нижнюю границу цены Американского опциона, и это используется для того, чтобы убедиться в надежности результатов других моделей.
Одним из наиболее распространенных и полезных методов оценки фондовых опционов является построение биномиального дерева, т.е. диаграммы, демонстрирующей разные варианты изменения цены акции в течение срока действия опциона. Этот метод основан на предположении, что цена акции подчиняется законам случайного блуждания (random walk). На каждом шаге по времени существует определенная вероятность того, что цена акции увеличится или уменьшится на некую относительную величину. Если величина временного шага стремится к нулю, это приводит к предположению, что цены акций имеют логнормальное распределение, лежащее в основе модели Блэка - Шоулза.
Price = PFBS(X)
}
NPV({tk , dk К r) = 2dk exp(-rtkК
f = - log(1 - NPV({tk, dk}, r) I S) I t (О <= tk <= t).
З. Биномиальные деревья
Семейство функций прайсинга, основанных на биномиальных деревьях, используется для прайсинга опционов как Европейского, так и Американского типа. Этот подход основан на тех же допущениях, что и модель Блэка -Шоулза, но позволяет принимать во внимание возможность досрочного исполнения для Американского типа опциона. Функция имеет 3 дополнительных входных параметра, кроме X:
- количество шагов дерева N;
- верхний (up) множитель изменчивости спота u;
- нижний (down) множитель изменчивости спота d.
При этом N >= 1; N - целое число; u >= 1, 0 < d <= 1.
Эта дискретная модель времени предполагает, что лежащий в основе спот может изменить свое значение N раз за период между сегодняшним днем и датой экспарации опциона. Также цена может либо подняться вверх на коэффициент u, либо снизиться на коэффициент d за данный временной промежуток. Эти допущения позволяют прийти к древовидной структуре -биномиальному дереву для лежащего в основе спота, которое используется для прайсинга опционов на базе этого спота.
По идее, для очень большого N цена, полученная при помощи биномиального дерева для Европейского типа опциона, должна быть той же при прайсинге на основе модели Блэка - Шоулза. Для конечного числа N метод дает приблизительную оценку цены, точность оценки повышается с увеличением числа N.
Также существует определенная свобода выбора параметров u и d, которые позволяют строить биномиальные деревья с различными полезными характеристиками. Ниже рассмотрим некоторые дополнительные переменные, рассчитываемые с помощью X, N, u и d:
т - временной шаг дерева, в годах; т = t / N;
p - вероятность повышения цены спота, p = (exp((r - f) • т) - d) / (u - d);
q - вероятность понижения цены спота, q = 1 - p.
Формула для p и q показывает, что имеют место следующие неравенства:
0 < d < min[exp((r - f) • t), 1], u > max[exp((r - f) • т), 1], это доказывает, что 0 < p, q < 1, как и должно быть для вероятностей.
4. Описание основного алгоритма
Рассмотрим, как строится биномиальное дерево для лежащего в основе спота. Для дерева с N шагами разделяем интервал между сегодняшним днем T = 0 и датой экспарации опциона T = t на N равных интервалов длиной т = t/N. Основной спот равен S при T = 0, и мы допускаем, что он может принимать только два значения при T = т: S • u с вероятностью p, S • d с вероятностью q = 1 - p. При T = 2 • т спот может принимать три значения: S • u2 с вероятностью p2, S • u • d с вероятностью 2 • p • q и S • d2 с вероятностью q2. И так далее до тех пор, пока T = N • t = t. На каждом временном шаге i (T = i • т) спот может принять только i + 1 значение (уровень) от S • d до S • u1; спот на j-м уровне есть
£(1,]) = £ • и • Л'г -]), ] = 0, 1, ..., 1.
Такое значение спота является результатом ] повышений и (1 - /) понижений цены лежащего в основе спота; вероятность нахождения цены спота на у-м уровне 1-го временного шага определяется как
P(^ j) =
i
где
j
i - (i - І) -... - (i - j + І) І-2 -... - j
- биномиальный коэффициент.
Рисунок 1 иллюстрирует, как выглядит биномиальное дерево базового
спота.
Рис. 1. Изображение биномиального дерева базового спота
Рассмотрим подробнее, как при помощи этого дерева может быть вычислена цена опциона. Обозначим теоретическую стоимость опциона на 1-м
шаге дерева и j-м уровне спота как C(i, j) и начиная с самого дальнего N-го шага, на котором премии (цены опционов) известны:
C (N, j) = max( S (N, j) - K ,0) - для опциона Колл;
C (N, j) = max( K - S (N, j), 0) - для опциона Пут.
Действительно, для опциона Колл, если S(N, j) > K, тогда будет выгодно исполнить опцион и купить базовый актив у продавца опциона по цене K $ и сразу же продать его по цене S(N, j) $ на рынке, поэтому прибыль от этой операции (S(N, j) - K) покроет цену опциона. В другом случае, если S(N, j) < K, исполнять опцион будет невыгодно, так как цена базового актива на рынке будет ниже. Смысла такой контракт иметь не будет, хранитель опциона не обязан покупать базовый актив по невыгодной ему цене. Схожая логика применима к опционам типа Пут.
Цены опционов на предыдущем (N - 1)-м шаге для Европейского типа опциона (Колл и Пут) можно получить так:
C(N -1, j) = (pC(N, j +1) + qC(N, j))e-rT .
Для Американского типа опциона следует принимать во внимание возможность досрочного исполнения, поэтому для Американского опциона Колл
C(N -1, j) = max S(N -1, j) - K, (pC(N, j +1) + qC(N, j))e-rT
Здесь премия (реальная цена опциона) вычисляется как максимальное значение результата одной из стратегий: исполнить опцион немедленно T1 = (N - 1) • т (когда его цена равна max[S(N -1, j) - K,0]) или держать опцион до тех пор, пока не станет T2 = N • т, тогда цена будет снижена, как для Европейского типа опциона.
Для Американского опциона Пут:
C(N -1, j) = max K - S(N -1, j), (pC(N, j +1) + qC(N, j))e-rT
Эта функция выполняется рекурсивно на всех шагах i = N - 2, N - 3, ..., 1, 0.
Для Европейских опционов Колл и Пут:
C(i, j) = (pC (i +1, j +1) + qC (i +1, j))e-rT .
5. Вычисление подразумеваемой волатильности
Если прямое назначение методов оценки опционов заключается в расчете теоретической стоимости опциона по исходным данным - цене и волатильности базисного актива, страйку и времени до экспирации опциона, процентной ставке, - то при определении подразумеваемой волатильности решается обратная задача. Известными считаются все перечисленные исходные параметры, за исключением волатильности, вместо которой дается цена опциона. При увеличении волатильности от нуля стоимость опциона монотонно возрастает, поэтому существует единственное значение волатильности, при котором теоретическая стоимость сравнивается с заданной ценой (при условии, что цена лежит в диапазоне возможных стоимостей опциона). Найденное
таким образом значение волатильности и называется подразумеваемым или опционным.
Зная определенное значение волатильности о, можно получить теоретическую стоимость опциона, используя для прайсинга некоторую функцию
Price = PF_XXX(o, Y),
где PF_XXX() - функция прайсинге; о - волатильность; Y - все остальные параметры, необходимые для расчета стоимости опциона, как было описано выше.
Для оценки стоимости опциона при совершении сделок трейдеру необходимо знать, какая волатильность подразумевается рыночной стоимостью опциона, т.е. рассчитать волатильность как функцию от стоимости опциона в рамках модели, используемой при расчете этой стоимости:
о = IV_XXX(Price, Y).
Здесь и далее IV_XXX() обозначает функцию расчета подразумеваемой волатильности в рамках используемой при расчете стоимости модели (PF_XXX()). Как правило, аналитическое выражение для функции IV_XXX() является слишком сложным для программной реализации, поэтому подразумеваемая волатильность о вычисляется приближенно - перебором различных значений о с попыткой минимизировать абсолютную разность между рыночной стоимостью опциона (Price) и значением функции PF_XXX(о, Y).
Для этого мы используем принцип бисекционного поиска (логарифмического поиска), являющийся численным методом. Бисекционный поиск также известен как метод деления пополам и дихотомия - алгоритм поиска элемента в отсортированном массиве, элементы которого отсортированы в определенном порядке. Частным случаем двоичного поиска является метод бисекции, который применяется для поиска корней заданной непрерывной функции на заданном отрезке. Логарифмическим алгоритм называется также потому, что количество шагов (итераций) поиска для ряда из n элементов будет не больше логарифма числа n по основанию 2.
Применимость этого метода для поиска нужной волатильности опциона основана на следующем: цена опциона никогда не уменьшится при увеличении его волатильности, причем чем выше волатильность, тем выше и стоимость опциона, это применимо ко всем типам опционов. Объяснение этому следующее: высокая волатильность означает крупные изменения цены базового спота, из-за чего можно ожидать большей прибыли, если цена спота изменится в «нужном направлении» при высокой волатильности. С другой стороны, если цена спота изменяется в «невыгодном направлении», держатель опциона всегда может избежать убытков, просто не исполняя его, если это не выгодно.
Все вышесказанное применительно к математическим терминам означает следующее: если известно два значения волатильности о1 и о2, то:
PF_XXX(fSi, Y) < Price < PF_XЩо2, Y).
Тогда подразумеваемая волатильность ограничена: о! < о < о2.
На каждом шаге бинарного поиска берется среднее значение волатильности о,,™ = (о1 + о2) / 2, на основе этого значения вычисляется значение
функции PF XXX^^, Y и сравнивается с рыночной ценой опциона Price. Если значение функции меньше, чем Price, становится ясно, что оиот < о < о2; если больше, то о! < о < оиот. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы получим значение подразумеваемой волатильности с высокой точностью, которая с каждым шагом возрастает квадратично. К примеру, после 10 шагов точность вычисления подразумеваемой волатильности будет выше, чем (о2 - о!) / 1000, а после 20 шагов - выше, чем (о2 - о!) / 1000000 и т.д.
Алгоритм может использовать любую из описанных выше моделей вычисления стоимости - Блэка - Шоулза или метод биномиальных деревьев.
Заключение
Данная статья содержит результаты исследований, которые направлены на создание новых подходов к мониторингу и автоматизированной поддержке принятия решений для управления кредитными рисками средних и крупных коммерческих банков и торговли производными финансовыми продуктами позволяют повысить качество и надежность принимаемых управленческих решений, что в условиях активно развивающегося финансового рынка является наиболее актуальной проблемой. Разработка и внедрение новых моделей, методов и технологий сбора, хранения и обработки информационных потоков в финансовых организациях, сценарного анализа финансовой деятельности, мониторинга развития ситуаций на рынках с использованием автоматизированных интеллектуальных систем поддержки принятия решений является актуальной научно-исследовательской задачей.
В процессе анализа банковской деятельности в области управления рисками при торговле кредитными деривативами и прочими ценными бумагами и работы над статьей выполнены исследования формализованного подхода к моделированию и оценке рыночных ситуаций, моделей и методик расчета производных финансовых инструментов для использования в системах поддержки принятия решений.
Предложенная в статье методика расчета аналитических величин «рекомендованная стоимость» и «подразумеваемая волатильность» для производных финансовых продуктов типа «Опцион» использует комбинацию моделей Блэка - Шоулза, биномиального дерева и численный метод бисекционного поиска, что позволяет управлять точностью и вычислительной сложностью при решении данной задачи. Изменяя число шагов при построении биномиального дерева и количество итераций бисекционного поиска, можно подобрать оптимальную точность расчета аналитических величин и представлять результаты в реальном времени.
Список литературы
1. Шишкин, А. И. Сущность, задачи и принципы мониторинга / А. И. Шишкин // Экономический рост в регионах России : материалы рабочего совещания 9 февраля 2003 г. - URL: http://www.aspe.spb.ru/Workshop/Shishkin.pdf
2. Turban, А. Information Technology for Management, Transforming Organizations in the Digital Economy / А. Turban // Massachusetts : John Wiley & Sons, Inc., 2008. -P. 300-343.
3. Лаврушин, О. И. Банковское дело: современная система кредитования : учеб. пособие / О. И. Лаврушин, О. Н. Афанасьева, С. Л. Корниенко ; под ред. засл. де-ят. науки РФ, д-ра экон. наук, проф. О. И. Лаврушина. - 3-е изд., доп. - М. : КНО-РУС, 2007. - 264 с.
4. Bauer, С. Hibernate in Action I C. Bauer, G. King. - Manning, 2004.
5. Hilwa, A. Adobe Flex in the Enterprise: The Case for More Usable Software Copyright I A. Hilwa, R. Perry. - IDC, 2010. - URL: http://www.adobe.com/ enterpriseIpdfIidc.pdf
6. Когаловский, М. Р. Энциклопедия технологий баз данных I М. Р. Когалов-ский. - М. : Финансы и статистика, 2002. - 800 с.
References
1. Shishkin A. I. Ekonomicheskiy rost v regionakh Rossii: materialy rabochego sovesh-chaniya 9 fevralya 2003 g. [Economic growth in Russian regions: proceedings of the working conference on 9th February 2003]. Available at: http:IIwww.aspe.spb.ru WorkshopIShishkin.pdf
2. Turban А. Massachusett: John Wiley & Sons, Inc., 2008, pp. 300-343.
3. Lavrushin O. I., Afanas'eva O. N., Kornienko S. L. Bankovskoe delo: sovremennaya
sistema kreditovaniya: uchebnoe posobie [Banking: modern system of crediting: tutorial]. Moscow: KNORUS, 2007, 264 p.
4. Bauer С., King G. Hibernate in Action. Manning, 2004.
5. Hilwa A., Perry R. Adobe Flex in the Enterprise: The Case for More Usable Software
Copyright. IDC, 2010. Available at: http:IIwww.adobe.com/enterpriseIpdfIidc.pdf
6. Kogalovskiy M. R. Entsiklopediya tekhnologiy baz dannykh [Encyclopaedia of data base technologies]. Moscow: Finansy i statistika, 2002, 800 p.
Овечкин Роман Михайлович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: nifect@gmail.ru
Финогеев Алексей Германович доктор технических наук, профессор, кафедра систем автоматизированного проектирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: finogeev@sura.ru
Ovechkin Roman Mikhaylovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Finogeev Aleksey Germanovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of computer aided design, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 004.5 Овечкин, Р. М.
Модели и методы оценки стоимости опционов и подразумеваемой волатильности / Р. М. Овечкин, А. Г. Финогеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 3 (27). -С. 5-15.
