Модели анализа функционирования производственных корпораций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

Старший преподаватель В.Э. Меерсон

(Воронеж. гос. лесотех. академия) кафедра вычислительной техники и информационных систем, тел. (473) 253-67-08

Модели анализа функционирования производственных корпорации

В статье представлены модели анализа потокораспределения целевого продукта в установившемся режиме функционирования производственной корпорации. Рассмотрено получение модели установившегося потокораспределения целевого продукта производственной корпорации с учетом переменности потерь в участках сети на основе вариационного принципа.

The paper presents the analysis of load How model of the expected product in the steady state operation of industrial corporations. Consider getting a steady flow distribution model of the target product manufacturing company with variable loss of parts of the network based on the variational principle.

Ключевые слова: производственная корпорация, целевой продукт, энергетический узел, модель потокораспределения

Структурное оформление производственных корпораций (ПК) предполагает наличие в их составе разнообразных по назначению подсистем и особенно это касается абонентских (пользовательских) подсистем [3]. Присутствие в последних различного рода активных элементов (подсистем принятия решений) приводит к необходимости представления структурных моделей ПК как моделей объек-тов с регулируемыми параметрами.

Исследуемый объект представляет собой некоторый фрагмент полной системы (ИФС, совокупность подающих целевого продукта (ЦП)), ограниченный узлами, через которые осуществляется обмен транспортируемой средой между ним и метасистемой. Такие узлы в дальнейшем будем называть энергетическими узлами (ЭУ) согласно терминологии, принятой в [2]. Несмотря на то, что производственная корпорация (ПК) обычно считается закрытой системой, потери ЦП в окружающую среду при транспортировке, восполняемой со складов и т. п., все равно существуют как нормируемые потери.

Необходимо иметь в виду, что не все активные элементы (базы, склады и т. п.) в составе ПК можно квалифицировать как энергоузлы. При моделировании будем различать источники питания и источники расхода ЦП. Применительно к ПК все активные элементы, которые обеспечивают перемещение ЦП в системе, классифицируются как источники кинетической энергии, размещаются на участках (дугах) графа и относятся к источникам расхода. Второй класс активных элементов поддерживает заданное количество ЦП в сети,

© Меерсон В.Э .,2013

постоянно пополняя его из запасов, хранящихся на базе, складе и т. п. Этот тип элементов классифицируется как источник потенциальной энергии, относится к источникам напора ЦП, размещается в узлах ПК, которые и называются энергетическими. В структурный состав ИФС входят также подсистемы потребителей (стоки) и участки, стыкующиеся в узлах. Участки состоят из магистралей ЦП, являющихся кинематическими связями для потока, определяющих его движение.

Исследуемый фрагмент системы ограничен множеством тг . тг . тг . тг

0 п{Г) и\ (Р)и\(д) и\(Г)

энергоузлов, содержащим подмножества:

тг - ИСТОЧНИКОВ И , , , , -

*(Г) ч(Р) и Ч(д) ич(Г)

стоков (потребителей), связанных между собой системой трубопроводов. При индексации множества верхний индекс показывает, что множество элементов системы принадлежит к зоне, то есть автономному объекту для моделирования. Нижний индекс определяет характер элемента потребитель, АП; п- источник питания; % - энергетически нейтральный узел или узел ветвления, то есть без обмена ЦП с метасистемой). В скобках помечен параметр, фиксируемый в качестве исходных данных.

Поскольку все элементы сети обладают однозначными Ь^) характеристиками, задание одного из параметров Ь или Q для всех элементов системы однозначно определяет ее состояние покоя (стационарный режим), а при задании возмущений, то есть изменений тех или иных параметров от времени (например изменений количества подаваемого (отбирае-

мого) ЦП или изменение в правилах принятия решений) устанавливает траекторию движения (нестационарный режим). К параметрам системы в общем случае относятся и неизбежные переменные потери ЦП при транспортировке, однако здесь для транспортируемой среды пока предполагается отсутствие потерь.

Совокупность объемных расходов ЦП g (в источниках, стоках) и Q (на участках) однозначно определяет стационарный режим течения ЦП в системе. В нестационарном режиме задаваемыми параметрами являются, кроме того, 8(т) и 0> ск.

На поток ЦП в любом элементе по аналогии с механикой действуют следующие силы: количество ЦП, подаваемое из источников питания (базы, склады и т. п.) Щ, j е ^ ; противо-

давление стоков Н), ^

Я(0

Р V) Р V) Р

по-

Ср

' |Дп(ё)

+ адС)* С? + Е

Кг Хп х^+ВДС)* С?+Еп А

тери ЦП (отходы) на п участках ИФС (1е Jz );

силы инерции при транспортировке ЦП.

Учет взаимосвязей в данной вариационной задаче осуществляется посредством введения неопределенных множителей Ла-гранжа, которые в предмете исследования приобретают смысл узловых потенциалов. Для формирования модели потокораспреде-ления ЦП достаточно исключить неопределенные множители Лагранжа для узлов с нефиксированным потенциалом.

Объединяя подсистемы контурных и цепных уравнений, а также дополнив их подсистемой уравнений узловых балансов (условий неразрывности), получаем модель неустановившегося потокораспределения ЦП, которая имеет следующую векторно-

матричную

1рхе

X Qn|\)] = g

№ (к)

о^1^ )= М 1 г)= 0г «1 Н(д)1

форму

Нек1 ±? Н(01(к);

ШХ1 '

записи:

(1) (2) (3)

где:

е =

п=

З2 иЗ2 иЗ2

Ш=

З2, , иЗ2 п(я) ж

- число энергоузлов с

фиксируемым (задаваемым) потенциалом; р -число независимых цепей в расчетной схеме

/ 1 \ I 1а~1 ^

(р=е-1); = БЮл - элемент диагональной

матрицы, выражающий пропускную способность пассивного элемента; 81 -пропускная

способность участка 1; К(01 - элемент диагональной матрицы, выражающий переменную нагрузку активных элементов (базы, склады и т. п.), установленного на участке 1;

Е = ^/к производная расхода ЦП по времени участка 1, вычисляемая по результатам двух предыдущих итераций (к-1) и (к-2) в процессе решения; g - ускорение свободного падения; р - плотность потока транспортируемого ЦП; ^^ - длина и пропускная способность участка 1 соответственно; 1Н , g - матрицы-столбцы фиксируемых в качестве граничных условий (во времени) значений узлового потенциала и отбора (притока) для энер-

гоузла j; XН(0)1(к) - сумма напоров (коли-

I

честв) ЦП питающих элементов, размещаемых на участке 1, которые входят в соответствующую независимую цепь или контур, причем знак (+) принимается при совпадении направления действия активного элемента с направлением потока ЦП на участке и знак (-) в противном случае; и(к) - номер итерации двойного цикла (внешний цикл (к) определяет шаг интегрирования по времени, а в пределах внутреннего цикла (и) выполняется расчет объекта как системы с сосредоточенными параметрами) С, К, А. - матрицы смежности независимых цепей, контуров и матрица инциденций соответственно; М - матрица маршрутов; "1" -символ транспонирования; нижние индексы указывают на число строк и столбцов матриц соответственно; "ё" - признак диагональной матрицы; "1" - признак матрицы-столбца.

Модель (1)-(3) является в определенной степени приближенной, поскольку скорости изменения расхода ЦП в ней учитываются только для пассивных участков.

Модель установившегося потокораспределения ЦП может быть получена из (1)-(3) посредством исключения составляющих, зависящих от времени и, кроме того,

г

в этом случае отпадает необходимость внешнего итеративного цикла:

Сруп х {(ад + Я(в"п(С^ Х 0п1= Мрхв х Ив-л ± } Н(вЛ; (4)

<{(м»,)+м(О);т>О1]=о^-ТИШ (5)

К

Лт,п = кт

(6)

Неучет переменности потерь ЦП для участка магистрального пути сети вследствие взаимодействия с окружающей средой, которая имеет место для реальных ПК, может привести при моделировании производственных процессов к значительным погрешностям. Поэтому требуется обобщение, прежде всего модели (4)-(6), на случай потерь ЦП при транспортировке.

По аналогии с известной в гидравлике формулой Дарси-Вейсбаха [1] запишем, что потери ЦП ДБ! участка магистрального пути 1 с пропускной способностью и длиной Ь1 при переменных потерях ЦП Т(х), где х -линейная координата участка сети, можно представить в виде:

[[(м«с) + шгт Ь о*]'

С

рхи1 |

Кглп1 ]°гхп2

о

О" 1 ь Оа

АР,=1 \Т (х)Сх=

О, т - о ТЛР

Т,

БГ Т-

ь,;

(7)

где Т(х), Т - переменные и усредненные по

длине х участка потери ЦП соответственно;

Т - нормированные потери ЦП для привеС X

дения расхода ЦП к стандартным условиям функционирования ПК.

Поскольку режим функционирования ПК установившийся, необходимо в рамках общей постановки исключить силы инерции.

Для определения неопределенных множителей Лагранжа в задаче с такой постановкой необходимо ввести дополнительные граничные условия в узлах [), )+1], инцидентных участку 1:

Т' при х=0- потери ЦП в начальном узле; Т = - Т "при х - потери ЦП в конечном узле; Т при 0<х<Ь - текущие потери ЦП.

Тогда математическая модель установившегося потокораспределения ЦП с учетом переменности их потерь примет вид:

о

Он,

М

п2(С )

Оп:

-К,* * И еХ1 нш

[(Мх) + м(О)П(с) )* Оп"х1 Ц о Оп

о

1 {Лтх п2 }>

Оп1х1 Оп2х1

Мп2(С) Оп

к тх1

■ = огА ±2 н (О)1

Е,

п(С)

4ВпХ) Х®«х1 + Т„"х1 )=-Л \хт Х С

(8) (9) (10) (11)

Лтхп Х Оп(С) Х Тпх1

где обозначения аналогичны (1)-(3).

Лтхп Х й

п(С )

Х Тпх1 - ёт(й) Х Ттх1 §т(С) Х Ттх1

(12),

Переменность потерь ЦП вследствие взаимодействия с окружающей средой может быть обусловлена как технологическими, так и другими факторами, причем в последнем случае, рассматриваемом ниже, можно допустить условие Т0=сош1. Если допустить постоянство коэффициента потерь ЦП, то для принятых граничных условий параметр Т(х) можно записать в виде:

Т(х)=То+ Т' -То)ехр [-кпБх / (МСр) Ц , (13)

а потери ЦП в конечном узле )+1 участка 1 [), )+1] определяются выражением:

Т"и+1 = Т0 + (т-То] ехр [-кжОгЬг/ (М,Ср) ]; , (14)

где М 1 - массовый расход транспортируемого ЦП на участке 1.

Из (13) и (14) можно получить выражение для средних потерь материала на участке:

Т Т + Т' Т ) 1-ехР Ьк*/(МСР) ]. (15)

Т,=Т0 +\Т,-Т0) кжОЬ/ (М,СР) ; (15)

Учитывая, что рассматривается система с регулируемыми параметрами, переменность потерь ЦП (как и нестационарность) приводит к необходимости организации фактически тройного цикла в алгоритме реализации модели (8)-(12). Первый (внешний) осуществляет поиск поло-

жения регулирующих устройств (подсистем принятия решения) и режимов работы активных элементов. Второй (внутренний) осуществляет производственную увязку системы как объекта с сосредоточенными параметрами. Наконец, третий (внутренний) выполняет уточнение значения потерь ЦП на участках.

Модель (8)-(12) является качественно новым научным результатом формализации задач анализа потокораспределения ЦП. Она содержит в своей основе все известные до сих пор модели установившегося потокораспределения в объектах с регулируемыми параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1 Воеводин, А.Ф. Численные методы расчета одномерных систем [Текст] / А.Ф. Воеводин, С.М. Шугрин. - Новосибирск: Наука, 1981. - 208с.

2 Евдокимов, А.Г. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях [Текст] / А.Г. Евдокимов, А.Д. Те-

вяшов, В.В. Дубровский. - М.: Стройиздат, 1990. - 368 с.

3 Меерсон, В.Э. Обобщенная модель управления производственной корпорацией [Текст] / В.Э. Меерсон // Научно - технический журнал «Моделирование систем и процессов». - 2012. - №3. - С. 112.

REFERENCES

1 Voevodin, A.F. N:merical methods for calc:lating one-dimensional systems [Text] / A.F. Voevodin, S.M. Sh:grin. - Novosibirsk Na:;a, 1981. - 208 p.

2 Evdo;imov, A.G. Sim:lation and optimization of flow distrib:tion in engineering net-wor;s [Text] / A.G. Evdo;imov, A.D. Tevyashov, V.V. D:brovs;y. - M.: Stroyizdat, 1990. - 368 p.

3 Meyerson, V.E. A generalized model of management of ind:strial corporation [Text] / V.E. Meyerson // Scientific - technical jo:rnal "Modelling of systems and processes". - 2012. -№ 3. - P. 112.