Итоги разработок математических моделей анализа потокораспределения для систем теплоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

ИТОГИ РАЗРАБОТОК МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АНАЛИЗА ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ С.А. Сазонова

Рассматривается последовательность формирования математических моделей потокораспределения. Применяется энергетическое эквивалентирование при анализе состояния системы теплоснабжения

Ключевые слова: энергетическое эквивалентирование, система теплоснабжения

'В работах [1], [2], [3], [4], [5] подробно рассмотрен процесс разработки комплекса моделей анализа потокораспределения для систем теплоснабжения (СТС). Обобщим результаты данных исследований, посвященных разработке моделей потокораспределения (МП) с установившемся и неустановившемся течением транспортируемой среды (ТС) в СТС. Их аппаратурное оформление предполагает наличие разнообразных по назначению элементов в составе абонентских подсистем (АП). Присутствие в них регуляторов расхода, давления, температуры приводит к необходимости представления моделей СТС, как моделей с регулируемыми параметрами. Для реализации МП применяется традиционная методика вложенных итеративных циклов.

Рассмотрим последовательность формирования математических моделей анализа потоко-распределения для СТС.

Основу формирования МП в СТС составляет известный вариационный принцип виртуальных скоростей. Исследуемый объект рассматривается как некоторый фрагмент полной системы (ИФС), ограниченный узлами, через которые осуществляется обмен ТС между ним и метасистемой. Такие узлы считаются энергетическими узлами (ЭУ). ИФС ограничен множест-

вом Jz, и J

и Jz

и Jz

пСО п (Р) пОзО пСО

энерго-

узлов, содержащим подмножества: Jz

п( /)

источников и Jz иJz

и Jz

- стоков.

П(р) П(зО п(/)

При индексации множеств верхний индекс показывает, что элементы системы принадлежат к расчетной зоне, то есть автономному объекту для моделирования. Нижний индекс определяет характер элемента (п - потребитель, то есть АП; п- источник питания; х - энергетически нейтральный узел или узел ветвления, то есть без обмена массой с метасистемой). В скобках помечен параметр, фиксируемый в качестве исходных данных, выступающих в роли граничных условий (ГУ).

Гидравлические параметры режима связанные МП включают: расходы среды на ветвях

Q, или отборы в узлах g, потенциалы в узлах Н, изменения напора (давления) на ветвях к и т.д. Поскольку все элементы сети обладают однозначными кхарактеристиками задание одного из параметров к или Q для всех элементов системы однозначно определяет ее состояние покоя (стационарный режим), а при задании возмущений, то есть изменений параметров во времени устанавливает траекторию движения (нестационарный режим). На макроскопическом уровне абстрагирования поток жидкости в пределах любого элемента считается сплошной средой и ИФС рассматривается как механическая система. Совокупность расходов среды через источники и стоки, а также по участкам системы однозначно определяет стационарный режим течения. В нестационарном режиме параметрами являются, кроме того, 5(г) и

Q =dQ / .

МП получены в результате формализации соответствующих свободных вариационных задач и исключения из них неопределенных множителей Лагранжа, которые имеют смысл узловых потенциалов. Эта процедура выражает переход от принятых переменных (скоростей) к псевдопеременным (псевдоскоростям) или к их линейным комбинациям.

При выделении ИФС и формировании на ее границах необходимых условий однозначности (в частном случае ГУ) возможно, что не все ее элементы могут быть охвачены контурами, а, следовательно, и не все исходные переменные будут фигурировать в составе псевдопеременных. В этом случае обычно вводятся фиктивные контуры с так называемой циклической схемой расчета. Вместо этого в работе [1] используется дополнительный тип псевдопеременных - выражающих потоки среды на независимых цепях. В результате объединения подсистемы контурных, цепных уравнений и уравнений узловых балансов получена МП с неустановившемся течением [1]:

1 Сазонова Светлана Анатольевна - ВИВТ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 220-56-08

Срхп х ) + ед^)х + ЕпМ) X 0>П1 }= М'р„ X Нй ±1Н в

■

кг<„ х ^)+адпй )х впх?+E„(d) х <2 пх?}=0гх1 ± е н (в)-;(к),

;(к ) Ь /Л;(к ]

и (к ]

?(к)

\и(к).

&

А

тхп

х в“(1)] = )€(к),;

^пх1 отх1 ’

где: п

е =

т2 и т2 п(/) П(Р)

т

и /2

и т п(/)

З2 . . иЗ2 пСзО х

- число ЭУ с

ГУ для ЭУ; Е Н (в )

и (к)

(1) (2) (3)

сумма напоров

фиксируемым

потенциалом; р - число независимых цепей (р=е-1); = £г-|вг| - элемент

диагональной матрицы; Si -коэффициент гидравлического сопротивления участка г; Я(в)г -элемент диагональной матрицы, выражающий переменное сопротивление регулятора (расхода, давления, температуры), установленного на участке г; Ег = ) - гидравлическая ин-

дуктивность участка ■, то есть производная расхода по времени вычисляемая по результатам двух предыдущих итераций (к-1) и (к-2) в процессе решения; g - ускорение свободного падения; р - плотность ТС; Ь , ^ - длина и площадь поперечного сечения участка 1 соответственно; Н , € - матрицы-столбцы фиксируемых

насосов, размещаемых на участке 1, в составе соответствующей цепи или контура, причем знак (+) принимается при совпадении направления его действия с направлением потока на участке и знак (-) в противном случае; и(к) - номер итерации вложенного цикла, внешний цикл (к) определяет шаг интегрирования по времени, а в пределах внутреннего цикла (и) выполняется расчет объекта как системы с сосредоточенными параметрами; С, К, А - матрицы смежности независимых цепей, контуров и матрица инци-денций соответственно; М - матрица маршрутов; ‘Ч” - символ транспонирования; нижние индексы указывают на число строк и столбцов матриц соответственно; ” - признак диагональной матрицы; ‘1” - признак матрицы-

столбца.

МП с установившемся течением ТС [2] может быть получена из (1)-(3) посредством исключения составляющих, зависящих от времени и внешнего итеративного цикла

С

рхп

Кг

|Япу)+шп^ ))х ОПх,}= м

п х |Дп(Л) + К(в)‘;,0))х вих]}= 0гх1 ± Е Н(в)И;

Рхе х Н€ех, ±Е Н (в)И;

г

>тх1’

(4)

(5)

(6)

х

При формировании МП с неизотермическим течением [3] полагается, что изменение температуры осуществляется только из-за теплообмена трубопровода с окружающей средой и в результате смешения потоков, то есть не учитываются эффекты дросселирования в регулирующих устройствах, адиабатное сжатие теплоносителя в насосах и т.д. Модель формируется на основе вариационной задачи по потокам энергии для ИФС при стационарном режиме течения с учетом связей в форме узловых урав-

)х<

нений тепловых балансов. Для определения неопределенных множителей Лагранжа в задаче теплообмена вводятся дополнительные граничные условия в узлах [], ]+1], инцидентных уча-

Г, грМ

, Т - температуры в начальном узле после смешения и в конечном узле до смешения соответственно. Допуская, что процесс смешения потоков с различной температурой протекает в пределах узла без энергопотерь, МП может быть представлена в виде:

с рх„х )+вдп^ ))х }=м'рхех йы ± Е Н Ш;

Кгхп х ^) + Жв)^))х впх,}= 0гх1 ± ЕН(в)И;

Атхп х впх1

Еп^) х (п^) х ©пх 1 + Т

>тх1 -

" ) =

пх 1) —

л х Т" Апхт 1

тх1;

(7)

(8) (9)

(10)

Атхп х вп(d) х Т"пх1 Атхп х вп(d) х Т'пх1 = €т(d) х Т'тх1 gm(d) х Ттх1; (11)

Матрицы-столбцы температур смешения Т' в левой части (10) имеют размерность (п -

по числу участков), а в правой части (т - по числу узлов). Итеративный процесс решения системы нелинейных уравнений (7)-(11) удобнее разделить на два этапа: на первом из подсистемы гидравлических соотношений (7)-(9)

определяются значения ) (к-номер итерации) задавшись ориентировочными средними значениями температур на участках. В результате ищутся значения нефиксируемых узловых отборов (притоков) в ЭУ с фиксируемым узловым потенциалом

/е Т2 иТ2 ит2 . При этом обеспечила./) п(Р) п(/)

вается замкнутость подсистемы уравнений теплообмена п - уравнений теплопотерь на участках (10) и т -уравнений тепловых балансов смешения потоков в узлах (11) при общем числе

неизвестных: п ( Т ■(к ) )-температуры в конце

всех участков; т (т" (к) ) - температуры смеше-

/

ния в узлах; п (Т(к) ) -средние температуры на

г

участках. Замкнутость соблюдается с учетом п замыкающих соотношений на участках. В результате решения (10)-(11) уточняются значения

средних температур Т(к +1) , которыми прихо-

г

дится задаваться при решении подсистемы (7)-(9). Завершенность итеративного процесса совместного решения контролируется по подсистеме гидравлических уравнений.

Неизотермичность течения как и неста-ционарность приводит к необходимости организации фактически тройного цикла в алгоритме реализации модели (7)-(11). Первый (внешний) осуществляет поиск положения регулирующих устройств и режимов работы активных элементов. Второй (внутренний) осуществляет гидравлическую увязку системы, как объекта с сосредоточенными параметрами. Третий (внутренний) выполняет уточнение значения температур среды на участках.

С .1 С .Л^) + К((Жп^))х ОЛ

С рхп1 С рхп2 ..........................

! 0

Кгхп1

Под анализом потокораспределения возмущенного состояния СТС подразумевается оценка значений гидравлических параметров в результате воздействия на них любых возмущающих факторов (например присоединение новых источников тепла или потребителей, установка перемычек на магистральных трубопроводах, отключение участков в аварийных режимах, изменение гидравлических характеристик насосов или регуляторов и т.д.). При формировании МП возмущенного состояния в работе [4] применено энергетическое эквивален-тирование горячего водоснабжения (ГВ). Необходимость такого приема диктуется двумя обстоятельствами: 1) для открытых систем это неизбежно, поскольку в результате воздействия любого возмущающего фактора, величина нагрузки систем горячего водоснабжения (ГВ) становится неопределенной; 2) для закрытых систем это целесообразно, поскольку их анализ без рассмотрения подпиточных насосов оказывается недостаточно полноценным, а введение в состав модели этих элементов автоматически вынуждает квалифицировать объект как открытую систему.

Гидравлический эквивалент ГВ строится из условия баланса диссипации энергии на ее реальных элементах и фиктивном участке согласно условию:

Е Е*ва= Е ъва; (12)

/еЗ п (р )и З п (,) ге17 1еГ

где - множество участков ГВ, условно от-

несенных к энергоузлу /.

Подсистему ГВ можно считать низшей пассивной иерархией СТС, а их выделение в самостоятельные фрагменты обусловлено сложностью совместного моделирования с распределительными сетями из-за необходимости учета геодезических уровней размещения элементов. МП для возмущенного состояния [4] также строится на основе вариационного принципа виртуальных скоростей и имеет вид.

0

О

п1х1

0гхп2 х

К*)+ЖО)^) )х ОПх1І

Жп2((1) Оп2х1

=мРхех йЄх1 ±Е ЩО)!; (13)

А

тхп1

А

тхп2 х —.......... &тх1

—п 2х1

- 0 х —п!х' = 0„, + гН(О)“;

Жп2(<1) —п2х1 1

—п1х1 С

Еп(3)х \Бп(3)х ©пх1 + Т

(14)

(15)

(16)

х

0

Через п1, п2 в (13)-(17) обозначено соответственно количество реальных элементов

ИФС nl = 1/

эквивалентов

ГВ,

n2 = 1/

; e - полное число ЭУ с фиксиро-

ванным узловым потенциалом или гидравлической характеристикой элемента

e = 1JS(,) uJ* ,) uJa uJi( >; p -

п(/) п(/) n(P) n(P) J

число независимых цепей (p = e - 1); r - число

контуров;

m = 1 J t u Js

пОзО X

множество

узлов с нефиксируемым потенциалом; индексы “&т”, “ае” обозначают соответственно элементы ИФС, эквивалентных структур; символ “~”- указывает на элементы, вновь включаемые в ИФС (возмущающее воздействие); все остальные обозначения идентичны как и для модели (7)-(11); пунктирные линии показывают, что в составе модели используются матрицы блочного типа.

По материалам исследований проведен вычислительный эксперимент [5].

МП (13)-(17) является качественно новым типом формализации задач анализа потокорас-пределения. Она содержит в своей основе все известные до сих пор МП в объектах с регулируемыми параметрами, поэтому ее можно считать обобщенно-упорядоченной формой представления частных моделей потокораспределе-ния при описании исследуемого объекта как гидравлической цепи с регулируемыми пара-

метрами при неизотермическом течении вязкой среды.

Литература

1. Сазонова С. А. Разработка модели анализа невозмущенного состояния системы теплоснабжения при неустановившемся потокораспределении / С. А. Сазонова // Моделирование систем и информационные технологии: межвузовский сборник научных трудов. - Воронеж: Научная книга, 2006. - Вып. 3. - Часть II - С. 236-239.

2. Сазонова С. А. Разработка модели анализа

невозмущенного состояния системы теплоснабжения при установившемся потокораспределении /

С. А. Сазонова // Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах: труды Все-рос. конф. - Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2006. - С. 57-58.

3. Сазонова С. А. Разработка модели анализа

невозмущенного состояния системы теплоснабжения при неизотермическом течении вязкой среды / С. А. Сазонова, А. Ф. Рогачев // Материалы отчетной научной конференции профессорско-

пренодавательского состава за 2005 - 2006 учебный год. - Воронеж: Воронежский институт высоких технологий, 2006. - С. 35-36.

4. Сазонова С. А. Разработка модели анализа потокораспределения возмущенного состояния системы теплоснабжения / С. А. Сазонова // Моделирование систем и информационные технологии: межвузовский сборник научных трудов.- Воронеж: Научная книга, 2007. - Вып. 4. - С. 52-55.

5. Сазонова С. А. Результаты вычислительного эксперимента по апробации математических моделей анализа потокораспределения для систем теплоснабжения / С. А. Сазонова // Вестник Воронежского института высоких технологий. - 2010. -№6. - С. 99104.

Воронежский институт высоких технологий

TOTALS OF THE DEVELOPMENTS OF THE MATHEMATICAL MODELS OF DISTRIBUTION FLOW ANALYSIS FOR HEAT SUPPLY SYSTEM S.A. Sazonova

Sequence of formation of mathematical distribution flow models are described. It’s applied an energy eqvivalenting under analysis of state of heat supply system

sr

и

ae

Key words: energy eqvivalenting, heat supply system