CC BY
38
Разработка модели анализа параметров состояния функционирующей производственной корпорации в условиях установившегося потока распределения целевого продукта DEVELOPMENT OF MODEL OF THE ANALYSIS OF PARAMETERS OF THE CONDITION OF FUNCTIONING PRODUCTION CORPORATION IN THE CONDITIONS OF THE ESTABLISHED TARGET PRODUCT’S LOAD FLOW Черкасов Олег Николаевич, д.т.н., профессор кафедры «Организация перевозок и безопасности движения» Воронежской государственной
лесотехнической академии, cherkasov68@bk.ru Меерсон Вера Эдуардовна, ст. преподаватель кафедры «Вычислительной техники и информационных систем» Воронежской государственной
лесотехнической академии, Meerson@yandex.ru
Аннотация
В статье получена модель установившегося потокораспределения целевого продукта производственной корпорации с учетом переменности потерь в участках сети на основе вариационного принципа.
Abstract
The article deals with the model of the established target product’s load flow of production corporation taking account of variability of losses in network sites on the basis of a variation principle.
Ключевые слова ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ КОРПОРАЦИЯ (ПК), ЦЕЛЕВОЙ ПРОДУКТ (ЦП), ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УЗЕЛ (ЭУ).
Keywords: PRODUCTION CORPORATION (PC), TARGET
PRODUCT (TP), POWER HUB (PH).
Введение
Структурное оформление ПК предполагает наличие в их составе разнообразного по назначению подсистем и особенно это касается абонентских (пользовательских) подсистем. Присутствие в последних
различного рода активных элементов (подсистем принятия решений) приводит к необходимости представления структурных моделей ПК, как моделей объектов с регулируемыми параметрами.
Современная вычислительная техника обладает достаточно мощными ресурсами как по объему оперативной памяти, так и по быстродействию, поэтому появляется возможность применять высокую степень детализации расчетных схем в математических моделях. Однако чрезмерная подробность в отображении структуры ПК может негативно сказываться на сходимости вычислительного процесса. Поиск компромисса в этом вопросе становится одной из основных задач реализации моделей с регулируемыми параметрами.
Вопросы моделирования структуры ПК как объекта с регулируемыми параметрами, в принципе, не являются новыми. Известны многочисленные исследования, ставящие своей целью адаптировать классические методы анализа систем с сосредоточенными параметрами к системам с регулируемыми параметрами [1,2]. При расчете такого рода сетевых структур чаще всего речь идет (в отношении технологических параметров) о поиске положений органов регулирования расходов материалов, определяемого значением пропускных способностей тех участков, которые содержат регуляторы (блоки принятия решений).
Построение модели установившегося потокораспределения
целевого продукта
Допустим, что исследуемый объект представляет собой некоторый фрагмент полной системы (совокупность подающих ЦП - ИФС), ограниченный узлами, через которые осуществляется обмен транспортируемой средой между ним и метасистемой. Такие узлы в дальнейшем будем называть энергетическими узлами (ЭУ), согласно терминологии, принятой в [3]. Несмотря на то, что ПК обычно считается закрытой системой, потери ЦП в окружающую среду при
транспортировке, восполняемые со складов и т. п., все равно существуют как нормируемые потери.
Необходимо иметь в виду, что не все активные элементы (базы, склады и т. п.) в составе ПК можно квалифицировать как энергоузлы. При моделировании будем различать источники питания и источники расхода ЦП. Первые по аналогии с механикой обеспечивают прирост потенциальной энергии системы, а вторые - кинетической. Применительно к ПК все активные элементы, которые обеспечивают перемещение ЦП в системе классифицируются как источники кинетической энергии, размещаются на участках (дугах) графа и относятся к источникам расхода. Второй класс активных элементов поддерживает заданное количество ЦП в сети, постоянно им пополняя ее из запасов, хранящихся на базе, складе и т. п. Этот тип элементов классифицируется как источники потенциальной энергии, относится к источникам напора ЦП, размещается в узлах ПК, которые и называются энергетическими. В структурный состав ИФС входят также подсистемы потребителей (стоки) и участки, стыкующиеся в узлах. Участки состоят из магистралей ЦП, являющиеся кинематическими связями для потока, определяющими его движение.
Исследуемый фрагмент системы ограничен множеством
т? , , т? , , т? , , т? энергоузлов, содержащим подмножества:
т п(Г) и(пиитл(/)
тг - источников и т? , , т? , , т2 - стоков (потребителей),
V) иг,(Р) и^(я) и^(/)
связанных между собой системой трубопроводов. При индексации множества верхний индекс показывает, что множество элементов системы принадлежит к зоне, то есть автономному объекту для моделирования. Нижний индекс определяет характер элемента (^- потребитель, АП; п-источник питания; х - энергетически нейтральный узел или узел ветвления, то есть без обмена массой с метасистемой). В скобках помечен параметр, фиксируемый в качестве исходных данных.
Производственные параметры: расходы ЦП на ветвях Q, или отборы в узлах g, потенциалы в узлах Н, изменения количества ЦП на ветвях h условно можно разделить на искомые и заданные. Последние формируют граничные условия, то есть варьируемые входные данные, к которым (в зависимости от типа решаемой задачи) относятся величины притоков ЦП и нагрузок в узлах, допустимые диапазоны в значениях параметров и т.д. Поскольку все элементы сети обладают однозначными h(Q) характеристиками задание одного из параметров h или Q для всех элементов системы однозначно определяет ее состояние покоя (стационарный режим), а при задании возмущений, то есть изменений тех или иных параметров от времени (например изменений количества подаваемого (отбираемого) ЦП или в правилах принятия решений, устанавливает траекторию движения (нестационарный режим). К параметрам системы в общем случае относится и неизбежные переменные потери ЦП при транспортировке, однако здесь пока для транспортируемой среды предполагается отсутствие потерь.
На установленном (макроскопическом) уровне абстрагирования (в рамках вариационных принципов) поток ЦП в пределах любого элемента системы считается сплошной средой и ИФС рассматривается как механическая система. Элементарные объемы ЦП по сечению транспортной магистрали обладают в действительности различными скоростями движения, однако можно установить ее некоторое среднее значение, которому отвечает вполне определенная величина объемного расхода ЦП с учетом постоянства параметров магистральных путей.
Совокупность объемных расходов ЦП g (в источниках, стоках) и Q (на участках) однозначно определяет стационарный режим течения ЦП в системе. В нестационарном режиме задаваемыми параметрами являются, кроме того, ЗД ид .
На поток ЦП в любом элементе по аналогии с механикой действуют следующие силы: количество ЦП, подаваемое из источников питания
(базы, склады и т. п.) Н), je ; противодавление стоков Н),
т *(/)
)е т2 ,т2 { ),т2 (/) ; потерями ЦП (отходами) на п участках ИФС
р ), а также силы инерции при транспортировке ЦП.
В пределах ИФС можно пренебречь потерями кинетической энергии при транспортировке ЦП (кинетическая энергия системы остается неизменной). Известен структурный состав элементов ИФС, их характеристики (длина магистрального пути, пропускная способность) и конфигурация взаимосвязей между ними.
Формальная запись рассматриваемой вариационной задачи для такой системы распадается на 7 групп слагаемых. Первая группа выражает кинетическую энергию системы, определяемую как сумма кинетических энергий источников питания (базы, склады и т.п.) с пропускной способностью Fi и длиной магистрального пути Li участка ^ Следующие три группы слагаемых определяют работу в системе при подаче ЦП. Их знаки устанавливаются по взаимной ориентации направления самой работы и соответствующей ей координате. Если эти направления совпадают, например, для работы перемещения ЦП от истока к стоку (вторая группа), то знак работы принимается положительным, поскольку обеспечивается приток ЦП (через питатели) в систему. Третья группа выражает работу, совершаемую системой при стоке ЦП во внешнюю среду (отток ЦП потребителям). Примечателен тот факт, что в этих группах суммирование осуществляется лишь на множестве узлов с фиксируемым потенциалом или технологической характеристикой элемента. Узлы с задаваемым отбором (притоком) ЦП исключаются, поскольку работа механического взаимодействия ИФС с метасистемой из-за постоянства
координаты равна нулю. Четвертая группа соответствует диссипации ЦП при транспортировке за счет внешних сил. Последние три группы обеспечивают условия сплошности среды в узлах смешения и разделения потоков ЦП, причем они разделены исходя из статусов узлов.
Известно, что при формулировке любых вариационных задач учет взаимосвязей между переменными осуществляется посредством введения неопределенных множителей Лагранжа, которые в предмете исследования приобретают смысл узловых потенциалов. Для формирования модели потокораспределения ЦП достаточно исключить неопределенные множители Лагранжа для узлов с нефиксированным потенциалом. Эта процедура, как известно в механике , выражает переход от принятых переменных (скоростей) к псевдопеременным (псевдоскоростям) или к их линейным комбинациям (линейным формам ), причем в частных случаях псевдопеременные могут совпадать с исходными переменными. Физической интерпретацией одного из типов псевдопеременных является контурный расход ЦП. Иными словами, выбирая определенный механизм исключения неопределенных множителей Лагранжа, мы тем самым устанавливаем соответствующую ему линейную форму переменных. Оперирование с псевдопеременными в конечном итоге позволяет в некоторых случаях существенно уменьшить размерность систем уравнений в модели.
Под моделью структуры ПК всегда подразумеваются два взаимосвязанных ее компонента: система уравнений и отвечающая ей расчетная схема. Точно также конкретному типу псевдопеременных в этой системе соответствует не только подсистема уравнений, но и определенный вид структурного образования (СО) в составе расчетной схемы.
При выделении ИФС и формировании на ее границах необходимых условий однозначности вполне возможно, что не все ее элементы могут
быть охвачены контурами, а следовательно и не все исходные переменные будут фигурировать в псевдопеременных. Как раз в этом случае приходится либо при том же типе псевдопеременных образовывать фиктивные контуры (циклические схемы расчета [3]), либо вводить дополнительный тип псевдопеременных - выражающие потоки ЦП на цепях расчетной схемы. Таким образом возникает второй вид системы ограничений - так называемые независимые цепи, образующие между собой цепной подграф.
Объединяя подсистемы контурных и цепных уравнений, а также дополнив их подсистемой уравнений узловых балансов (условий неразрывности), получаем модель неустановившегося
потокораспределения ЦП, которая имеет следующую векторноматричную форму записи:
' 1=а)
[ С^№(,^[6“!]+[е(И1]х ()'
і ^„,]х{[й,„ ш:і+е,, ш їй о,і
[ Ах,Щ1!
л(1 ) '
Я тх!
(2)
(3)
где: п= ^ I; т= \ тz тz I; е = ) Jz Т2 Т2 I - число энергоузлов
I1 I Г х I Г *(/) и ич(Р) и Гл(/) ]
с фиксируемым (задаваемым) потенциалом; р - число независимых цепей в
расчетной схеме (р=е - !); _ §. Q.
а-!
- элемент диагональной матрицы,
выражающий пропускную способность пассивного элемента; Si -пропускная способность участка i ; R(Q)i -элемент диагональной матрицы, выражающий переменную нагрузку активных элементов (базы, склады и т.
п.), установленного на участке і; е =
- производная расхода ЦП по
времени участка і, вычисляемая по результатам двух предыдущих итераций (к-!) и (к-2) в процессе решения; g - ускорение свободного
падения; р - плотность потока транспортируемого ЦП; Li,Fi - длина и пропускная способность участка i соответственно; Н, §- матрицы-столбцы фиксируемых в качестве граничных условий (во времени) значений узлового потенциала и отбора (притока) для энергоузла j; X Н (О)!(к) - сумма напоров (количеств) ЦП питающих элементов,
размещаемых на участке ^ которые входят в соответствующую независимую цепь или контур, причем знак (+) принимается при совпадении направления действия активного элемента с направлением потока ЦП на участке и знак (-) в противном случае; и(к) - номер итерации двойного цикла (внешний цикл (к) определяет шаг интегрирования по времени, а в пределах внутреннего цикла (и) выполняется расчет объекта как системы с сосредоточенными параметрами) С, К, А. - матрицы смежности независимых цепей, контуров и матрица инциденций соответственно; М - матрица маршрутов; ‘Ч” - символ транспонирования; нижние индексы указывают на число строк и столбцов матриц соответственно; ‘^” - признак диагональной матрицы; “1” - признак матрицы-столбца.
Разумеется, модель (1)-(3) является в определенной степени приближенной, поскольку скорости изменения расхода ЦП в ней учитываются только для пассивных участков. В действительности данным свойством обладают любые элементы, в том числе и активные. Именно наличие этих свойств отличает соответствующий реальный элемент систем от идеального [4]. Тем не менее, незначительность изменения величины Еi для активных элементов позволяет в установившемся режиме функционирования пренебречь ею в составе (1)-(3).
В подсистемах узловых балансовых уравнений для энергетически нейтральных узлов (НУ) соответствующий элемент столбца свободных
членов _о . Балансовые уравнения для энергоузлов с фиксированным
потенциалом в модели (1)-(3) отсутствуют, а отборы ЦП для этих узлов могут быть определены по результатам ее решения.
Замкнутость системы (1)-(3) легко установить поскольку
подмножества ^ ( ^ и ^ { Т2 { т2 охватывают все узлы ИФС и
л(ч) ^ х к(/) Л(Р) ^ Л(/)
их количество (р+1+т) совместно с числом контуров (г) равно числу участков (п) по соотношению Л. Эйлера для плоских графов.
Модель установившегося потокораспределения ЦП может быть получена из (1)-(3) посредством исключения составляющих, зависящих от времени и кроме того в этом случае отпадает необходимость внешнего итеративного цикла:
с„. .{(л** ади*е1„1_м;. - я,„±Ея©)1; (4)
к..., {( , о;.,} _ 0,,, ± е Н (О)!; (5)
А ,О; _£ . (6)
./±тхп 2^1,\ О тх1
Неучет переменности потерь ЦПдля участка магистрального пути сети вследствие взаимодействия с окружающей средой, что имеет место для реальных ПК, может привести при моделировании производственных процессов к значительным погрешностям. Поэтому требуется обобщение прежде всего модели (4)-(6) на случай потерь ЦП при транспортировке. Проблемы в такой постановке достаточно хорошо известны [4], однако в переходных процессах в меньшей степени интересуют практику.
Задачу формирования модели с учетом переменности потерь ЦП можно также решать на основе вариационных принципов, поскольку структура кинетического потенциала обеспечивает возможность придать уравнениям движения ЦП любого объекта форму, аналогичную уравнениям Лагранжа и это подтверждено для систем с сосредоточенными параметрами в работах [5].
Пока для упрощения будем полагать, что изменение потерь ЦП осуществляется только из-за взаимодействия с окружающей средой. На самом деле причин изменения потерь ЦП при транспортировке больше. Например, можно учитывать эффекты порчи материалов при хранении на пунктах питания (базах, складах и т. п.), бой стеклянных материалов при перевозке и т.д. Но перечисленные факторы существенного влияния не оказывают и могут быть опущены.
По аналогии с известной в гидравлике формулы Дарси-Вейсбаха запишем, что потери ЦП д Di участка магистрального пути 1 с пропускной
способностью Di и длиной Liпри переменных потерях ЦП Т(х), где х -линейная координата участка сети, можно представить в виде:
где Т(х), Т - переменные и усредненные по длине х участка потери ЦП
соответственно; т - нормированные потери ЦП для приведения расхода
с т
ЦП к стандартным условиям функционирования ПК.
Поскольку режим функционирования ПК установившийся, необходимо в рамках общей постановки исключить силы инерции.
Для определения неопределенных множителей Лагранжа в задаче с такой постановкой необходимо ввести дополнительные граничные условия в узлах [ j, j+1], инцидентных участку 1:
Т _
Т' при х=0 - потери ЦП в начальном узле;
гг ГГ
т при х=Ь - потери ЦП в конечном узле;
Т
при 0<х^ - текущие потери ЦП.
Тогда математическая модель установившегося
потокораспределения ЦП с учетом переменности их потерь примет вид:
с,... {(л,и, * . а,,}- м,,. н„+- е н о ; (8)
Kn x {(r^+R(Qld) ) x Q]} = 0. ±E H (Q)“ (9)
A.x Q1 = (10)
[ En(d)lx{[ B„(d)]x[ 0„xi]+[ T"j}= (11)
[ A Jx[ Qn(d)]x[ T" J-[ A Jx[ Q„(rf)]x[ T J=. (12)
Следует обратить внимание на то, что в (12) матрицы-столбцы
потерь ЦП в начальном узле Т в левой части (n - по числу участков), а не в правой части (m - по числу узлов). В этом нет ошибки, поскольку параметр Т в узле считается одинаковой для всех инцидентных ему участков, по которым осуществляется отток ЦП от узла.
Переменность потерь ЦП вследствие взаимодействия с окружающей средой может быть обусловлена как технологическими, так и другими факторами, причем в последнем случае, рассматриваемом ниже, можно допустить условие T0 = const. Если допустить постоянство коэффициента потерь ЦП, то для принятых граничных условий параметр Т(х) можно записать в виде:
T(x)=To+ T' -To)exp [-knDx / (MCp) ] , (13)
а потери ЦП в конечном узле j+1 участка i [j, j+1] определяется
выражением:
T"кj+1 = To + T'j -To)exp \-knDiLi/ (MiCp) ] , (14)
где M i - массовый расход транспортируемого ЦП на участке i.
Из (13) и (14) можно получить выражение для средних потерь материала на участке:
1 - exp [-кя DiLi/ (MCp) ] kn DiLi/ (M £ p)
Итеративный процесс решения системы нелинейных уравнений (8)-(12) удобнее разделить на два этапа: на первом из подсистемы
соотношений (8)-(10) определяются значения р|к) (к-номер итерации),
задавшись ориентировочными величинами т(к _1). Замкнутость этой
подсистемы обсуждалась ранее (р+г+т=п уравнений при п неизвестных). В результате решения можно получить значения нефиксируемых узловых отборов (притоков) ЦП в ЭУ с фиксируемым узловым потенциалом
д(к), т2 . , т2 . , т2 . При этом обеспечивается замкнутость
д ^ ип(f) ииЛ(Р) иf)
подсистемы п - уравнений на участках (11) и т -уравнений балансов
потерь ЦП в узлах (12) при общем числе неизвестных: п (т "(к) )-потери
1
ЦП в конце всех участков; т (т'(к) ) - потери ЦП в узлах; п (Т(к) ) -
} 1 средние потери ЦП на участках сети. В результате решения (11 )-(12)
уточняются значения средних потерь материалов т(к +1) , которыми
1
приходится задаваться при решении подсистемы (8)-(10). Завершенность итеративного процесса совместного решения (8)-(12) контролируется по подсистеме производственных уравнений.
Учитывая, что рассматривается система с регулируемыми параметрами, переменность потерь ЦП (как и нестационарность) приводит к необходимости организации фактически тройного цикла в алгоритме реализации модели (8)-(12). Первый (внешний) осуществляет поиск положения регулирующих устройств (подсистем принятия решения) и режимов работы активных элементов. Второй (внутренний) осуществляет производственную увязку системы, как объекта с сосредоточенными параметрами. Наконец, третий (внутренний) выполняет уточнение значения потерь ЦП на участках.
Если к качеству результатов предъявляются повышенные требования, то необходимо иметь ввиду, что потери ЦП на участках распределительной сети имеет одни характеристики, а потери ЦП в АП -
другие. Поэтому в этом случае требуется соответствующая детализация структуры АП.
Заключение
На основе вариационного принципа получена модель установившегося потокораспределения ЦП с учетом переменности их потерь в узлах (участках) сети. Учет переменности последних, обусловленной взаимодействием с окружающей средой, позволяет существенно приблизить результаты анализа к реальной картине распределения параметров.
Список использованной литературы
1. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. - М.: Выс.шк., 2001.-320с.
2. Волков, И.К. Исследование операций. / И.К.Волков, Е.А.Загоруйко. - М: Выс.шк., 2003-366с.
3. Евдокимов, А.Г. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях / А.Г. Евдокимов, А.Д. Тевяшов,
В.В. Дубровский. - М.: Стройиздат, 1990. - 368 с.
4. Мешалкин, В.П. Принципы и методы автоматизированного синтеза химико-технологических систем с оптимальными расходами материальных ресурсов. - автореф. дис. ...докт. техн. наук. - М.: Моск. хим. - технол. ин-т, 1983. - 40 с.
5. Панов, М.Я. Универсальная математическая модель потокораспределения инженерных сетей и условия ее совместимости с оптимизационными задачами / М.Я. Панов, И.С. Квасов, А.М. Курганов // Изв. вузов. Строительство. - 1992. - №11-12. - С. 91-95.
