Модель выбора эффективных проектов развития и условиях не полностью определенной среды Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

-►

Экономико-математические методы и модели

Гамалей Я.В.

модель выбора эффективных проектов развития в условиях не полностью определенной среды

Развитие региональной экономики определяется размером инвестиций, которые вкладываются в проекты создания и модернизации предприятий, внедрения новых технологий, развития малого и среднего бизнеса. Отбор проектов проводится в условиях неполной определенности, т. к. учесть влияния всех факторов на проекты сложно. Но недостаточный учет этих факторов среды (уровня цен, инфляции, курсов валют, налоговых ставок, поведения конкурентов) может привести к ошибочным решениям и значительным потерям ресурсов. Поскольку проект реализуется в будущем, а принимать решения нужно сейчас, возникает необходимость планирования внедрения проектов на основе учета влияний стохастических факторов среды. Методы отбора проектов в таких условиях недостаточно разработаны [1, 2], поэтому используем наиболее эффективные в условиях случайных воздействий методы имитационного моделирования [3, 4] системных ситуаций, т. е. учета влияний внешней и внутренней среды.

Будем рассматривать дискретное вероятностное пространство О. Случайная системная ситуация, определяющая реализации элементарных событий в пространстве обозначим через veQ. Будем считать, что такие макроэкономические переменные, как уровень инфляции и коэффициент дисконтирования подвержены стохастическим флуктуациям, что позволяет говорить об инфляционном и процентном риске. Кроме этого, будем исходить из принципа колебаний потока платежей инвестиционных проектов, что отражает реальную микроэкономическую ситуацию.

При построении стохастической модели для выбора альтернативного варианта инвестиционного проекта используем принятые показатели оценки инвестиционных проектов, но уже с учетом стохастического характера некоторых влияющих на проект развития региона переменных.

1. Идентификация основных переменных модели

При построении модели будем использовать следующие обозначения:

i = - индекс альтернативного инвестиционного проекта; N. - количество альтернативных вариантов инвестирования; Щ - случайная величина, обозначающая член потока платежей /-го инвестиционного проекта на ^й период времени в v-ой системной ситуации; Я.0 - размер первоначального капитала для ьго проекта; аV - случайная величина, обозначающая колебания дисконта на рынке в v-ой системной ситуации; РУ - случайная величина, обозначающая инфляционные колебания в v-ой системной ситуации; N -рассматриваемый период функционирования проекта; t = = - индекс времени; Р^¥ - случайная величина обозначающая приведенную стоимость ьго инвестиционного проекта в v-ой системной ситуации; NPVi^ -случайная величина, обозначающая

чистую приведенную стоимость /-го инвестиционного проекта в v-ой системной ситуации; NPVi" - детерминированный аналог распределения NPViу; Р1У - случайная величина, обозначающая индекс рентабельности ьго инвестиционного проекта в v-ой системной ситуации; 1ЯЯ .. -норма рентабельности /-го проекта.

Рассмотрим содержательную структуру системной ситуации.

2. Имитационное моделирование случайной системной ситуации

Случайная системная ситуация veQ на фиксированный момент времени складывается из следующих стохастических реализаций (трехпа-раметрическая системная ситуация):

1. Случайная ставка дисконтирования ау;

2. Случайный коэффициент инфляции РУ;

3. Случайный поток денежных платежей Щ

/-го инвестиционного проекта.

При идентификации случайной системной ситуации V будем рассматривать ее реализации связанные со следующими случайными параметрами V1, V2, V3, соответственно. Для их изучения необходимо построить имитационную модель

реализации v-ой системной ситуации. Для этого мы должны обладать минимально необходимой статистической информацией о распределении рассматриваемых параметров.

Будем исходить из гипотезы равномерного распределения параметра а в пределах от до

N

l.PV V = X

RV

av. Тогда он будет вычисляться по формуле:

v1 (^-aV)

(1)

t=11

(1 + av) (1 + ßv)'

2Ü.NPV, v = PV, v- R o;

PV v

30.Р1У = PV

(2)

где V1 - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1].

Для генерации коэффициента инфляции будем исходить из следующего предположения: случайная величина Р41 зависит от двух случайных величин и вычисляется по формуле: РХ?) = • t + ^ Первое слагаемое формулы характеризует некие стандартно заданные "инфляционные ожидания", которые пропорционально увеличиваются с ростом рассматриваемого периода времени. Второе слагаемое характеризует некие "непредусмотренные стохастические шумы", которые можно охарактеризовать, как непредусмотренные риски различного макроэкономического содержания (политические, социальные, технологические и др. факторы). Причем коэффициент е N (¡^ )

Второй коэффициент распределен гораздо более сложно, поэтому на этом уровне представления невозможно заранее определить вид функции распределения этого параметра.

При моделировании случайных потоков платежей будем исходить из гипотезы их распределения по разным законам распределения для каждого альтернативного варианта инвестиционного проекта.

3. Критерии оценки эффективности стохастических инвестиционных проектов

При анализе инвестиционных проектов необходимо использовать некоторые коэффициенты, позволяющие проводить адекватный анализ полученных данных с учетом их стохастической природы. В общем случае анализ эффективности вложений денежных средств в тот или иной проект будет осуществляется путем расчета группы показателей, являющихся случайными величинами, в связи с чем представляется целесообразным использование в процессе анализа их вероятностных характеристик.

Приведем основные случайные величины, анализ которых позволит принимать комплексное решение о выборе инвестиционного проекта:

0|

Опишем приведенные в (2) случайные величины:

Первая случайная величина является базой для расчета остальных и идентифицируется как текущая стоимость денежного потока на протяжении экономической жизни проекта. При анализе математическое ожидание этой величины должно быть как можно больше.

Вторая случайная величина называется чистой приведенной стоимостью проекта. При анализе необходимо рассмотреть математическое ожидание и дисперсию данной величины. Чем больше математическое ожидание, тем выгоднее проект. Дисперсия характеризует разброс данной случайной величины и может быть интерпретирована как характеристика рискованности данного проекта.

Третья случайная величина называется индексом рентабельности и показывает, сколько денежных единиц текущей стоимости будущего денежного потока приходится на 1 денежную единицу первоначальных инвестиций. Если математическое ожидание больше 1, проект следует принять.

Особое внимание следует уделить расчету так называемой внутренней нормы рентабельности (IRR). Смысловое содержание данного коэффициента можно интерпретировать как норму дисконта, при которой NPV равен нулю. Этот показатель несет в себе информацию о приблизительной величине "предела безопасности" для проекта. В случае стохастического характера нормы дисконта, необходимо преобразовать необходимую формулу, заменив случайные величины их числовыми характеристиками. Для расчета этого коэффициента воспользуемся методом анализа чувствительности инвестиционного проекта. Для этого воспользуемся неким детерминированным аналогом случайной величины NPV:

n M R )

NPVi (d, )=Х--- - Rio. (3)

t=1 (1 + d,.) ( + ^(ßv))

Решение уравнения NPV,"(a,) позволяет найти IRR.

4. Экспериментальные расчеты с целью выбора стохастических инвестиционных проектов

Будем рассматривать четыре инвестиционных проекта со следующими характеристиками:

- реализация случайной системной ситуации V рассматривается в дискретном пространстве состояний 0 = |^1,100^.

- случайная величина а41 распределена равномерно в пределах от 0.1 до 0.5. Содержательно это означает, что норма дисконта изменяется равномерно от 10 до 50 %.

Случайная величина Р^1 зависит от двух случайных величин и вычисляется по формуле: РХО = • t + Первое слагаемое формулы характеризует некие стандартно заданные "инфляционные ожидания", которые пропорционально увеличиваются с ростом рассматриваемого периода времени. Второе слагаемое характеризует некие "непредусмотренные стохастические шумы", которые можно охарактеризовать, как непредусмотренные риски различного макроэкономического содержания. В нашем случае распределена равномерно от 0.1 до 0.15, что отражает факт изменения инфляции каждый год в пределах 10-15 %. распределена нормально с параметрами М = 1; В = 0.7. Такое распреде-

ление характеризует непредусмотренные риски роста или спада инфляции в пределах 100 % ± 250 %.

Для всех четырех проектов срок экономической жизни = 10 лет.

Для всех четырех проектов первоначальное вложение = 3000 ден. ед.

Случайные потоки платежей для четырех проектов имитируются в соответствии со следующей информацией:

1 проект. Потоки распределены равномерно в пределах от 5000 до 12000.

2 проект. Потоки распределены по Пуассонов-скому закону с параметром 6000.

3 проект. Потоки распределены равномерно в пределах от 5000 до 9000.

4 проект. Потоки распределены нормально с М=10000 и Б=3000.

Проведем анализ данных стохастических инвестиционных проектов.

На рис. 1 представлен макроэкономический коридор роста инфляции по годам и ее стохастических флуктуации.

На рис. 2 приведем макроэкономическую информацию о стохастических колебаниях коэффициента дисконтирования, которые вызываются различными СТЭП-факторами.

Рис. 1. Коридор стохастических флуктуаций инфляционного коэффициента от 1 до 10 лет

0.55

0.45

0.35

0.25

0.15

0.05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Рис. 2. Стохастические колебания коэффициента дисконтирования

20000

16000

12000

8000

4000

-4000

10

20 30 40 50 60 70 80 90

100

0

0

Рис. 3. Стохастические флуктуации ИРУ по проектам в зависимости от системной ситуации

В результате имитации трехпараметрической случайной системной ситуации были рассчитаны все разработанные коэффициенты для анализа альтернативных инвестиционных проектов. На рис. 3 приведем колебания NPVi V.

Для анализа полученных случайных величин построим гистограммы распределения этих величин (рис. 4).

Для оценки коэффициента нормы рентабельности проектов, проведем анализ чувствительнос-

Рис. 4. Гистограммы распределения случайных величин ЫРУ с аппроксимацией нормальным законом распределения

Рис. 5. Анализ чувствительности и нахождение Жй

ти детерминированного аналога случайной величины, описывающей чистую дисконтированную стоимость проекта. Графическая иллюстрация проведенного анализа представлена на рис. 5.

После иллюстративного отражения проведенного анализа представим сводные таблицы всех полученных числовых характеристик.

Ранжирование, проведенной в табл. 2 позволяет говорить об эффективности выбранной стохастической модели, которая не противоречит результатам, получаемым в дискретном варианте. В результате можно сделать вывод о выборе проекта № 4.

Таким образом, в статье представлена стохастическая модель анализа инвестиционных проектов.