CC BY
132
6. Голосов, О.В. Аудит: концепция, проблемы, стандарты, контроль, эффективность, кризис / О.В. Голосов, Е.М. Гаутсайт. - М.: Бухгалтерский учет, 2005. - 512 с.
7. Кодекс этики профессиональных бухгалтеров и Международные стандарты аудита, 2001. - М.: МЦРСБУ, 2002. - 804 с.
8. Мельник, М.В. Научная жизнь / М.В. Мельник // Аудиторские ведомости. - 2006. - №3. - С. 81-83.
9. Родионова, В.М. Финансовый контроль / В.М. Родионова, В.И. Шлейников. - М.: ИД ФБК-ПРЕСС, 2002.
- 320 с.
10. Сиротенко, Э.А. Перспективы развития теоретико-методологического аппарата аудита / Э.А. Сиро-тенко // Аудиторские ведомости. - 2006. - №1. - С. 17-24.
11. Шадрин, А.Д. Менеджмент качества. От основ к практике / А.Д. Шадрин. - М.: ООО «НТК «Трек», 2005.
- 360 с.
'--------♦------------
УДК 338.27:336.77 Ю.В. Булгаков
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Целью работы является совершенствование методов прогнозирования эффективности производственных инвестиций в условиях неопределенности.
В результате выполненных исследований разработан алгоритм расчета показателей эффективности и финансовой эластичности с учетом допусков на определяющие параметры, который может найти практическое применение в экспертизе инвестиционных проектов.
Ключевые слова: инвестиции, проект, эффективность, эластичность, финансы, прогнозирование, моделирование, риск, неопределенность.
Y.V. Bulgakov STATISTICAL PREDICTION OF INVESTMENT PROJECT EFFICIENCY
The purpose of this work is the perfection of prediction methods of production investment efficiency in the conditions of uncertainty. As a result of the conducted research the algorithm of calculation of efficiency and financial elasticity indexes was developed taking into account the tolerances for determining parameters, which can find practical application in the investment projects examination.
Key words: investment, project, efficiency, elasticity, finances, prediction, modeling, risk, uncertainty.
Проблема прогнозирования экономических результатов инвестирования с учетом изменчивости внешней среды составляет основное содержание теории и практики риск-менеджмента производственных и финансовых инвестиций. Наиболее сложной и противоречивой проблемой является принятие решений по долгосрочным инвестициям. Поэтому остаются дискуссионными многие вопросы оценки эффективности, выбора альтернативы и распределения капиталовложений, в частности, вследствие наличия многих критериев предпочтения для обоснования решений и разных моделей финансирования. Целью данной работы является совершенствование методов прогнозирования эффективности производственных инвестиций в условиях неопределенности. В результате выполненных исследований разработан алгоритм расчета показателей эффективности и финансовой эластичности с учетом допусков на определяющие параметры, который может найти практическое применение в экспертизе инвестиционных проектов.
Традиционные показатели эффективности
Любые методы экономического анализа инвестиций основаны на сравнении вложенного капитала с ожидаемыми доходами от реализации проекта. Поэтому целесообразность инвестирования определяют
четыре параметра: объем инвестиций, чистый денежный поток, длительность жизненного цикла, остаточная стоимость в конце срока жизни проекта. В качестве оценочных показателей используют чистый приведенный доход ЫРУ, индекс доходности Р1, внутреннюю ставку доходности ^ и срок окупаемости РР.
Расчетная величина предполагаемых годовых поступлений (чистого дохода) в, от реализации производственного проекта для схемы полных инвестиционных затрат определяется по формуле
*,= I, Ф,-21'-С,-А1<-к~+А1= \,ц - :> 4,, (1)
где ц , - годовой объем выпуска в натуральном измерении;
р, - цена за единицу товара; і, - удельные переменные издержки;
С, - постоянные издержки без амортизации; к - ставка налога на прибыль, %;
А - годовые амортизационные отчисления;
[л - $і- -.^-удельный маржинальный доход; і - номер периода.
Все аргументы в функции годового дохода в, прогнозируют с учетом инфляции за исключением годовых амортизационных отчислений, величина которых точно известна, если установлены стоимость и структура основного капитала в начале инвестиционного цикла.
Приведенную стоимость будущих доходов за период жизненного цикла определяют с помощью дисконтирующего множителя у":
1
где у =
Vй =
<+
1
<7* '
+ ^ п - номер года;
в1, в2, вз ..^п - годовые поступления; ! - годовая процентная ставка.
Годовая процентная ставка, то есть требуемая норма доходности на вложенный капитал, обычно также включает инфляционную надбавку. Если использовать не номинальную, а реальную ставку, то и будущий денежный поток для сопоставимости надо рассчитывать в реальных ценах без учета инфляции. В зависимости от источника финансирования и схемы расчета в качестве нормы дисконта ! используют либо стоимость собственного капитала, либо средневзвешенную стоимость WACC, которая рассчитывается с учетом долей разных источников финансирования проекта и налогового корректора.
Чистый проведенный доход (эффект) от реализации проекта ЫРУ определяется как разница между дисконтированной стоимостью всех предполагаемых поступлений 5 и дисконтированной стоимостью инвестиций К:
АТРУ= >- Г. (3)
Для однократной инвестиции дисконтирование не требуется. Если эффект положительный, то инвестиции экономически выгодны и можно рассматривать проект относительно других показателей эффективности. А если эффект равен нулю и, тем более отрицательный, то проект отвергается. Таким образом, чистый приведенный эффект представляет собой обобщенный конечный результат инвестиционного процесса в абсолютном измерении, то есть абсолютный прирост капитала инвестора. Кроме того, ЫРУ является един-
ственным частным показателем, который обладает свойством аддитивности, что позволяет использовать его для оптимизации инвестиционной программы.
Если в результате расчета получен положительный чистый приведенный эффект, то особенно при наличии альтернативы необходимо соизмерить его с требуемыми приведенными инвестициями, то есть оценить эффективность инвестиций. Для этого используют индекс доходности Р1, который определяют по формуле
У ЧР¥
Р1=- = -—+ (4)
к к
Поскольку оба рассмотренных критерия получаются на основе одних и тех же показателей, то, естественно, они взаимосвязаны. Более того, индекс доходности получается так же, как и приведенный эффект, в результате алгебраического сложения доходов и инвестиций, но в логарифмическом масштабе:
1пР1 — пБ— пК.
Внутренняя ставка доходности IRR определяется как расчетная годовая процентная ставка, при котором обеспечивается равенство приведенных доходов и приведенных инвестиций. Другими словами, это такая ставка, при которой приведенный эффект равен нулю:
1Ш=> 8-К^=ШУ = ).
Поэтому внутренняя ставка доходности для однократных инвестиций является положительным корнем алгебраического уравнения, степень которого равна сроку жизни проекта в годах:
у"яп + уп~ яп_ +... + у252 +у$-К = ). (5)
Например, для расчета IRR проекта с длительностью два года в принципе надо решить обычное квадратное уравнение относительно V, а сама ставка в виде десятичной дроби находится из соотношения
1Ш=1-- '. (6)
V
На практике используют различные методы последовательных приближений. Для многократных инвестиций, когда знаки денежного потока меняются с минуса на плюс более одного раза, может вообще не быть действительных корней или может быть несколько положительных корней, причем ни один из них не соответствует внутренней ставке доходности. В этих случаях используют модифицированную ставку MIRR, при которой ставка реинвестирования равна ставке дисконтирования. Чем больше значение IRR, тем выше эффективность инвестиций.
Существуют разные трактовки экономического смысла показателя IRR, вплоть до ее полного отрицания как критерия для выбора альтернативы. Основным преимуществом IRR является отсутствие необходимости обоснования величины годовой процентной ставки для дисконтирования денежного потока. Кроме того, при осуществлении проекта за счет заемных средств внутренняя ставка доходности представляет собой барьерную ставку, под которую можно брать кредиты. Если цена кредитных ресурсов превышает величину этой ставки, то проект может быть отвергнут как убыточный. К недостаткам относятся неопределенность для многократных инвестиций, нечувствительность к масштабу денежных потоков, отсутствие свойства аддитивности.
Срок окупаемости представляет собой расчетный период времени, при котором накопленный дисконтированный доход становится равным дисконтированной стоимости инвестиций. Иначе говоря, срок окупаемости соответствует моменту времени, когда приведенный эффект равен нулю. Основным недостатком этого показателя является нечувствительность к размерам денежного потока за пределами срока окупаемости.
Применение любого частного показателя эффективности в качестве критерия для выбора альтернативы не вызывает проблем, если первоначальные инвестиции и сроки жизни инвестиционных проектов совпадают. На практике более типична противоположная ситуация. Тогда преимущественная ориентация на один из частных критериев может привести к ошибочному выводу. Например, имеется четыре инвестиционных предложе-
ния с денежными потоками, показанными в таблице 1, одинаковыми инвестициями 10 млн руб. и нормой дисконта 10%, но разной продолжительности. Здесь же даны соответствующие показатели эффективности для этих инвестиционных предложений.
Таблица 1
Показатели эффективности денежных потоков
Денежный поток Временной период ЫРУ т РР
0 1 2 3 4
1 -10 5 5 5 5 5,85 35% 2,34
2 -10 5 5 9,55 - 5,85 37% 2,18
3 -10 5 13,68 - - 5,85 45% 1,48
4 -10 17,43 - - - 5,85 74% 0,62
По наиболее распространенным критериям ЫРУ и Р1 все денежные потоки абсолютно одинаковы. По критериям внутренней ставки доходности ^ и срока окупаемости РР эффективность повышается при сокращении жизненного цикла. На рисунке 1 показаны графики зависимости ЫРУ от ставки дисконтирования На рисунке видно, что слева от точки А, то есть при норме дисконта меньше 10%, ранги денежных потоков по критерию ЫРУ меняются на противоположные.
Рис. 1. Зависимости NPV денежных потоков от ставки дисконтирования
Существуют различные искусственные приемы выравнивания длительностей инвестиционного цикла, но с практической точки зрения они настолько неубедительны, что с учетом неполноты и неточности исходной информации допускается сравнение проектов без корректировки по длительности, а в зависимости от индивидуальных склонностей и предпочтений лица, принимающего решение.
Статистические показатели эффективности
Основная проблема обоснования проектных решений заключается в неопределенности будущих событий. Для учета неопределенности обычно используют имитационное моделирование определяющих факторов с целью получения статистических характеристик показателей эффективности.
Неопределенными величинами на этапе экономического обоснования являются спрос ц, цена р, переменные издержки I, постоянные издержки С (кроме амортизации). Понятно, что предсказать значения этих величин на несколько лет вперед невозможно, так как они зависят от множества случайных факторов, меняющихся во времени.
В этой ситуации обычно используют экспертные оценки вероятного диапазона их изменения, то есть возможные нижние и верхние границы, а иногда и наиболее вероятные значения. Затем выбирают простейшие законы распределения в зависимости от степени неопределенности ситуации (равномерное, треугольное, нормальное) и выполняют компьютерное моделирование при заданном числе реализаций. В результате расчетов получают прогнозные оценки среднего значения и дисперсии годовых поступлений. При этом основная задача с точки зрения анализа риска заключается в оценке дисперсии, то есть возможного разброса дохода относительно среднего ожидаемого значения.
В большинстве случаев те же результаты можно получить с помощью простых аналитических расчетов, используя правила сложения и умножения средних значений и дисперсий случайных величин [1]. При
условии независимости цены и объема продаж, что вполне обоснованно для предпроизводственной стадии,
можно записать соотношения для среднего годового дохода и его дисперсии:
1= // 1- ;Ч- :> :А, (7)
<т_ = ст ам + 12<7м + ц а +а <- (8)
где ц = : -средний удельный маржинальный доход;
5, д,С - средние значения годового дохода, объема выпуска и постоянных издержек без амортизации соответственно;
сг , сг , (тм а - дисперсии тех же показателей;
к - ставка налога на прибыль;
А - годовые амортизационные отчисления.
Средние дисперсии и стандартные отклонения определяющих факторов можно найти по известным формулам в зависимости от заданного диапазона изменения и вида принятого закона распределения (табл. 2). При этом а означает минимально возможное, а Ь - максимально возможное значение показателя.
Таблица 2
Расчет статистических характеристик для типичных распределений
Распределение Среднее значение Дисперсия Стандартное отклонение
Равномерное (а + Ь) / 2 (Ь - а)2 /12 (Ь - а) /3,46
Треугольное (а + Ь) / 2 (Ь - а)2 / 24 (Ь - а) /4,9
Нормальное (а + Ь) / 2 (Ь - а)2 / 36 (Ь - а) / 6
Видно, что по мере уменьшения степени неопределенности от равномерного до нормального закона, рассеивание показателя также уменьшается. Применение дискретных распределений, основанных на априорных вероятностях реализации определенных значений показателя, по нашему мнению, нереалистично и с позиций принципа недостаточного обоснования, и с точки зрения здравого смысла. Вряд ли кто-нибудь всерьез воспринимает рассуждения, что через год или два цена за единицу товара будет 10 руб. с вероятностью 0,3; 15 руб. с вероятностью 0,5 и 8 руб. с вероятностью 0,2. Можно прогнозировать диапазон и, в лучшем случае, наиболее вероятное значение, но никак не вероятности конкретных реализаций. Иными словами, задача заключается в обосновании допусков на определяющие параметры, которая намного проще и понятнее, чем прогнозирование вероятностей.
В большинстве известных моделей, в том числе, и в классической имитационной модели Герца [2], не учитывается корреляция между факторами, что может привести к ошибочным результатам. Например, дисперсия удельного маржинального дохода как разности двух случайных величин в общем случае рассчитывается по формуле
сг2 = т2 + т2 - \р (7 7 , (9)
М г - Г г2 , _ ' \ I
где р - коэффициент корреляции между ценой продукта и удельными переменными издержками; сг , о - стандартные отклонения.
Если коэффициент корреляции между факторами близок к плюс единице, то справедливо следующее соотношение:
= т - г , (10)
а если корреляция отсутствует, то есть факторы независимы, расчетная формула меняется:
ам = 1а, + г ■ (11)
Отсюда следует, что если не учитывать корреляцию между ценой и переменными издержками, то риск проекта необоснованно и существенно завышается.
Иногда считается заданной доля переменных издержек у в структуре цены товара. Например, средняя цена равна 10,67, стандартное отклонение цены 3,41, а доля /=0,7. Тогда средние удельные переменные издержки будут равны 0,7 ■ 10,67 = 7,47, стандартное отклонение издержек 0,7 ■ 3,41 = 2,39, средний удельный маржинальный доход 10,67 - 7,47 = 3,2, стандартное отклонение дохода 3,41 - 2,39 = 1,024. Все расчетные величины выражены в рублях. Можно заметить, что в этом случае коэффициенты вариации для всех случайных величин всегда одинаковы: 3,41/10,67 = 2,39/7,47 = 1,024/3,2 = 0,32. Таким образом, в качестве исходной информации для оценки характеристик удельного маржинального дохода при заданной доле у необходимы лишь статистические характеристики цены, которые полностью определены, если задан возможный диапазон вариации и выбран соответствующий закон из таблицы 2.
В прогнозных расчетах наиболее реалистично предположение об умеренной положительной взаимной связи между ценой и удельными переменными издержками, при которой р - + 0,5. В этом случае формула приобретает вид
= М2+ г-2- г Т ■ (12)
Допустим, что в предположении о равномерном распределении определяющих факторов получены прогнозные оценки среднего годового дохода I =2200 тыс. руб. и его стандартного отклонения а = 500 тыс. руб. по
формулам (7) и (8). Инвестиции в основной капитал составляют 6000 тыс. руб., срок жизни проекта - 5 лет, ставка дисконтирования - 10%. На основе этой информации надо рассчитать приведенную стоимость денежного потока за период жизненного цикла и его дисперсию, чтобы найти статистические характеристики NPV и других показателей эффективности.
Возможны два варианта моделирования потока наличности. Первый широко распространенный вариант основан на аннуитетной схеме, где в качестве постоянного члена финансовой ренты используется неизменная по периодам, но случайная по реализациям, величина годового дохода [3,4]. В данном случае распределение годового дохода также остается постоянным по годам, то есть нормированная корреляционная функция равна единице на протяжении всего жизненного цикла проекта. При этом в принципе нет необходимости в имитационной модели, поскольку дисконтированная стоимость £ ожидаемого денежного потока и стандартное отклонение а определяются по формулам для приведенной стоимости ренты - постнумерандо:
£ = г ^ ^ = >200 _ ^ ^ ^ = £00-3,79= >340 тыс.руб.; (13)
<+ = !200 <+ ц^~ 7 <+ ^ 0,1 <+ 1,1
<+
/ с+
сг - сг —^ ^ ^ = >00-3,79= 895 тыс.руб., (14)
где I - ставка дисконтирования; п - число периодов, лет; а - стандартное отклонение годового дохода.
Получить более точные оценки за счет моделирования по данной схеме невозможно, так как показатели, рассчитанные по формулам (13) и (14), являются теоретическими пределами при неограниченном увеличении числа реализаций.
Среднее значение ЫРУ определяется по формуле (3), а стандартное отклонение ЫРУ равно стандартному отклонению дисконтированной стоимости денежного потока, поскольку величина инвестиций постоянна. Зная статистические характеристики ЫРУ, можно найти вероятность недопустимых отрицательных значений, то есть оценить уровень риска инвестиционного предложения или проекта:
О -ЫРГ °.340
* = ----------= ' ^7= ' '23' (15)
сг 1895
где х ~ аргумент стандартной функции нормального распределения, которому соответствует риск 0,1085, то есть 10,85%.
Если записать формулу (15) в другом виде (16), то меняется знак аргумента^, и мы получим не показатель риска, а показатель надежности, равный 1 - 0,1085 =0,8915=89,15%.
ИРУ 2340
Х = -----= Гяо7 = ’ (16)
сг ,у 1895
Однако выполненные с помощью генератора случайных чисел статистические эксперименты показывают, что рассмотренная модель дает чрезмерно пессимистическую оценку риска из-за предположения о неизменности распределения годового дохода в течение всего жизненного цикла. Поэтому предлагается другой вариант, при котором доходы по годам независимы, то есть корреляционная функция при сдвиге относительно первого года на любое число лет близка к нулю.
Для этого варианта способ расчета приведенной стоимости £ остается прежним, а для оценки дисперсии приведенной стоимости денежного потока нами получена следующая формула:
* .'Ъп у
сг =сг ---------ґ ~ —— ЮО2----------------------- ч, ~ ^—“= -5000 • 2,926 = '31496 . (17)
<+С 1+С- Т ’ <+ иГ*+ '.С- I
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
сг = ]<7 = /731496 = 155 тыс.руб.
Дальнейшие расчеты выполняются по аналогии с первым вариантом. Например, вероятность того, что ЫРУ будет отрицательной, становится существенно меньше:
0 -ИРУ °.340
X = -----------=---------= - ,74,
(т ^ 855
что соответствует риску всего 0,31%, то есть финансовая надежность инвестиций по данной схеме близка к ста процентам.
С увеличением нормы дисконта коэффициент рассрочки, который входит в предыдущие формулы в виде дроби, уменьшается и, следовательно, уменьшается разброс относительно среднего значения приведенного дохода, но одновременно снижается и сам доход. Если ставка дисконтирования равна нулю, то приведенный доход равен сумме средних годовых доходов по обеим схемам: 2200 . 5 = 11000 тыс. руб. Однако стандартные отклонения приведенного дохода определяются по-разному, например, по первому варианту
сг -сг п — >00-5= 1500 тыс.руб.] по второму а = а \[п = >00 ■ 2,236 - 118 тыс.руб.,
где п - число периодов, лет.
Графики нормированных корреляционных функций для обоих вариантов показаны на рисунке 2, где модель 1 соответствует схеме зависимых годовых доходов, а модель 2 - независимых.
3
ГГ* ^
5 & э £
!|
* I
.о 5
^ <о (О
Параметр сдвига, год
Рис. 2. Корреляционные функции для двух вариантов моделирования
Видно, что в зависимости от принятой схемы риск проекта по критерию разброса чистой приведенной стоимости без учета обесценивания денег во времени отличается более чем в два раза. Можно, кстати, отметить, что по второму варианту рассчитывается стандартное отклонение доходности рискованных ценных бумаг (волатильность) за любой период, если известна дневная волатильность. Тогда под корнем будет число торговых дней на бирже в соответствующем периоде (неделя, месяц, квартал, год).
Для расчета внутренней ставки доходности можно использовать уравнение (5), которое применительно к условиям данной задачи принимает следующий вид:
2200V5 + £00V4 + >200г3 + 1200 V2 + 1200 V - >000 = )
Поскольку IRR не зависит от масштаба денежного потока, это уравнение можно переписать в другом виде:
V5 + ’4 + ’3 + ’2 + ’-Т= ),
где т - недисконтированный срок окупаемости инвестиций, равный отношению инвестиций к расчетному среднегодовому доходу: 6000 / 2200 = 2,727 лет. В уравнении эта величина, естественно, безразмерная.
Проще всего алгебраические уравнения решаются в электронных таблицах с помощью инструмента подбора параметра, что дает с использованием формулы пересчета (6) для средней ставки ^ результат, равный 24,31%, причем точно такой же средний результат с разницей в долях процента мы получим и по методу Монте-Карло. Алгоритм расчета среднего срока окупаемости показан в таблице 3. Видно, что окупаемость достигается на четвертом году эксплуатации проекта.
Таблица 3
Расчет среднего срока окупаемости инвестиций, тыс. руб.
Номер года 0 1 2 3 4 5
Расчетный денежный поток -6000 2200 2200 2200 2200 2200
Дисконтированный денежный поток -6000 2000 1818 1653 1503 1366
Накопленный денежный поток -6000 -4000 -2182 -529 974 2340
Более точное значение можно получить по интерполяционной формуле
529
РР = > + ------------= 1,35 лет.
529+ »74
Величина накопленного денежного потока на конец пятого года соответствует значению NPV = 8340 -6000 = 2340 тыс. руб.
На основе полученных статистических оценок можно найти верхние и нижние границы показателей при определенном уровне доверия к точности результатов. Однако использовать такие оценки при сравнении вариантов по понятным причинам практически невозможно. Для ЛПР желательно свести свойства сравниваемых объектов к одному числу, хотя это далеко не всегда удается сделать. Поэтому в качестве базы расчета целесообразно принять вместо среднего годового дохода гамма-процентный доход при заданной вероятности гамма, который зависит и от среднего значения, и от вариации показателя.
Другими словами, в качестве расчетной следует использовать такую величину годового дохода, которая будет гарантированно получена или превышена в гамма-процентах из ста. Нормативная вероятность у задается инвестором или менеджером проекта в зависимости от их отношения к риску, причем минимальное значение должно быть, очевидно, не менее 80% (0,8).
Для определения гамма процентного дохода используется обратная функция нормального распределения, входными величинами в которую являются (1 -у), среднее и стандартное отклонение. Для срока окупаемости вместо (1 -у) используется величина у. Тогда для принятых исходных данных (5 = 2200 тыс. руб., (т = 500 тыс. руб.) гамма-процентный годовой доход при у= 0,8 по первой модели равен 1779 тыс. руб., а по второй - 2010 тыс. руб. (табл. 4).
Таблица 4
Статистические показатели эффективности
Показатель Среднее значение Гамма-процентные значения
Модель 1 Модель 2
Годовой доход, тыс. руб. 2200 1779 2010
NPV, тыс. руб. 2340 745 1620
Н 1,39 1,12 1,27
Ш, % 24,32 14,75 20,09
РР, год 3,35 4,33 3,73
. Полученные величины позволяют найти гамма-процентные значения всех частных показателей эффективности по приведенному выше алгоритму, с той лишь разницей, что вместо среднего годового дохода используется гамма-процентный доход.
На рисунке 3 показаны графики финансовой надежности инвестиций по критерию ЫРУ для обоих рассмотренных вариантов. Видно, что средние значения одинаковы (2340 тыс. руб.), а гамма-процентные значения ЫРУ существенно отличаются: 745 тыс. руб. (модель 1) и 1620 тыс. руб. (модель 2).
0 8 1 2
£ о 0 6
Е * Л /(
а 0) СП ло
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 NPV, млн руб.
Рис.3. Графики финансовой надежности инвестиций по критерию ЫРУ
Приведенный анализ показывает, что результаты аналитических вычислений и статистического эксперимента методом Монте-Карло практически не отличаются, что позволяет существенно снизить трудоемкость многовариантных инвестиционных расчетов.
Учет неопределенности инвестиций
Традиционные показатели эффективности инвестиций рассчитывают при неявном предположении, что величина инвестиционного капитала заранее точно известна. Однако это тоже далеко не всегда соответствует действительности. На самом деле, как и для всех других влияющих факторов, существует определенный диапазон размеров инвестиций, что оказывает существенное влияние на результаты оценки риска.
Для большей наглядности на рисунке 4 показаны интегральные функции для пяти возможных вариантов приведенного дохода 5 и дополнение до единицы интегральной функции для инвестиций К. Иными словами, в соответствии с логикой задачи для дохода используется вероятность непревышения заданного значения, а для инвестиций, наоборот, вероятность превышения.
Варианты Э1, Б2, Б3 характерны тем, что имеют одно и то же среднее значение приведенной стоимости денежного потока, но разные стандартные отклонения, поэтому и риск для этих вариантов также разный.
Вариант Б4 имеет большее среднее значение, но и большее рассеивание, поэтому риск снижается незначительно.
Для варианта 55 кривые не пересекаются, то есть риск рассматриваемого типа полностью отсутствует.
К Є1 Б2 Б3 Б4 Б5
Приведенная стоимость, млн руб.
Рис. 4. Интегральные функции распределения инвестиций и доходы
В соответствии с общими правилами можно записать выражения для среднего значения N.Р¥ и дисперсии чистой приведенной стоимости «7 :
ШУ = >- 'С; (18)
<У2эу = т2 + г2 - \ро <7 , (19)
где р - коэффициент корреляции между инвестициями и приведенной стоимостью;
<т ,<т <7 ,<7 - дисперсии и стандартные отклонения инвестиций и дохода.
Нормированное в долях стандартного отклонения значение №¥ определяется из соотношения
\РУ Б- С
Х= ----------= г-2---------;---------------- (20)
\<7 + Т - \р(7 <7
О--..' іг2 ■
Для удобства практического использования преобразуем полученное выражение, введя следующие обозначения:
а = - коэффициент вариации инвестиций;
” К
о) = - коэффициент вариации приведенного дохода;
" 5
5 -
г = = = Э1 -средний индекс доходности инвестиций.
к
Выполнив необходимые преобразования, получим окончательное выражение для коэффициента %, который является аргументом стандартной функции нормального распределения и определяет вероятность успеха проекта, то есть вероятность получения положительных значений ЫРУ.
\РУ г-
Х= ------=тп----------;------------ (21)
у]СО ''+•}- \рсо ъ Г
Если не учитывать корреляцию, то выражение упрощается:
Ж= --------------- (22)
у/со г + о
Если объем инвестиции считается точно известным, то используется формула
%=—■ (23)
СО "
Например, при значении индекса доходности 1,39 из таблицы 3 и коэффициенте вариации приведенного дохода по первой модели 1895 / 8340 = 0,227 получим такое же значение, что было получено ранее:
1,39-X --------------= .23 .
0,227 • 1,39
Если учитывать неопределенность инвестиций с коэффициентом вариации 0,15, что соответствует стандартному отклонению 0,15 . 6000 = 900 тыс. руб., то надежность снижается:
^ 1,39-____________
-у/о,2272 • 1,392 + 1,152 ’ ’
что соответствует риску: 1 - 0,867 = 0,133 =13,3%. Незначительное повышение риска объясняется высоким значением индекса доходности.
Наиболее приемлемой для практического применения является формула (22), поскольку коэффициент корреляции между приведенным доходом и инвестициями заранее предсказать практически невозможно.
Показатели финансовой эластичности
Финансовая эластичность проекта характеризуется коэффициентами запаса безубыточности, производственного (операционного) и финансового левериджа.
Коэффициент запаса безубыточности определяют на основе прогноза критического объема продаж, при котором ожидаемая прибыль равна нулю. Критические значения в натуральном q * и денежном £ * измерениях по обеим схемам определяются точкой пересечения функций доходов и затрат:
7 7 7
4*= — = £* = —, (24)
р- ■ ц 1- '
где X - постоянные издержки; р - цена за единицу товара; г - переменные издержки на единицу товара;
/л = -удельный маржинальный доход;
у = '/р - доля переменных издержек в структуре цены товара.
Коэффициент запаса безубыточности / определяется как доля допустимого снижения объема продаж до критического уровня в процентах или в виде десятичной дроби:
п * с* *
/ = я— = т- . (25)
q Ь
где q, q * - ожидаемый и критический объемы продаж в натуральном измерении;
£, £ * - ожидаемый и критический объемы продаж в денежном измерении.
Например, если ожидаемый и безубыточный выпуски составляют соответственно 1,5 и 1,2 млн руб., то запас безубыточности: (1,2/1,5 - 1) = - 0,2 = - 20%, то есть резерв снижения продаж до нулевого уровня прибыльности составляет (- 300 тыс. руб.).
Следует отметить, что приведенные схемы являются упрощенными моделями реальных ситуаций. С учетом случайности исходных данных линейные функции доходов и затрат являются не геометрическим местом точек в традиционном понимании, а линиями из размытых точек, то есть на самом деле это полосы. Отсюда следует, что пороговый уровень продаж характеризуется зоной неопределенности. Для учета этого фактора необходимо, чтобы предполагаемый годовой спрос на продукт существенно превышал расчетный критический уровень. Таким образом, коэффициент запаса безубыточности в определенной мере характеризует чувствительность (эластичность) проекта к колебаниям рыночной конъюнктуры и макроэкономических факторов.
Коэффициент операционного (производственного) левериджа тесно связан с безубыточностью и определяется как коэффициент точечной эластичности функции прибыли от объема выпуска в натуральном измерении. Интервальная эластичность определяется как отношение процентного прироста функции к вызвавшему этот прирост процентному изменению аргумента. Коэффициент точечной эластичности для любой функции равен производной этой функции, умноженной на значение аргумента и деленной на саму функцию. Например, если цена за единицу товара, удельные переменные издержки и годовые постоянные издержки, соответственно, равны 12 руб., 4 руб. и 20 тыс. руб., то уравнения для накопленной П и удельной прибыли Л имеют вид
П = ц -2 = !<7- Ю;
Т °.0
71 - [Л ~ - - 1- — .
ч ч
Тогда эластичность для прибыли, то есть коэффициент операционного левериджа, можно найти по любому из следующих тождественных уравнений:
10 =
+ .
Например, для объема выпуска 5 тыс. ед. коэффициент операционного левериджа будет равен
] - 8'5 _ 8 _ 20 _ ,
0 _ 8-5- :0_8_Т0_8-5- :о+ ~ ■'
5
В таблице 5 для сравнения показаны результаты расчета операционного левериджа для двух альтернативных проектов при разных объемах выпуска (продажи, тыс. шт.). По варианту 1 исходные данные те же, что и в рассмотренном примере. Второй вариант отличается лишь удельными переменными издержками (2 вместо 4 руб.) и величиной постоянных издержек (30 вместо 20 тыс. руб.). Можно заметить, что уровень постоянных издержек в сравнении с переменными при любом объеме выпуска для второго варианта в три раза больше, чем у первого. Поэтому величина операционного левериджа у второго варианта больше. Если натуральный выпуск увеличится или уменьшится на 1%, то прибыль в первом случае соответственно увеличится или уменьшится на 2%, а во втором - на 2,5%, то есть риск инвестора во втором случае также будет больше. При этом сравнительно небольшое падение спроса может привести к существенному снижению прибыли.
С помощью уравнений (26) можно выполнить прогноз прироста прибыли при любом изменении натурального выпуска. Например, если выпуск с 5 тыс. ед. увеличить на 20%, то есть до 6 тыс. ед., то процентный прирост прибыли по первому варианту составит 2 . 20 = 40%, а абсолютный прирост прибыли будет:
0,4 . 20 тыс. руб.=8 тыс. руб.
Таблица 5
Расчет коэффициента операционного левериджа
Продажа Выручка Вариант 1 Вариант 2
Издержка Прибыль Эластичность Издержка Прибыль Эластичность
5,0 60,0 40,0 20,0 2,00 40,0 20,0 2,50
5,5 66,0 42,0 24,0 1,83 41,0 25,0 2,20
6,0 72,0 44,0 28,0 1,71 42,0 30,0 2,00
6,6 79,2 46,4 32,8 1,61 43,2 36,0 1,83
7,0 84,0 48,0 36,0 1,56 44,0 40,0 1,75
7,7 92,4 50,8 41,6 1,48 45,4 47,0 1,64
Величина операционного левериджа зависит, главным образом, от вида деятельности и отраслевой принадлежности проекта, хотя в определенных пределах может регулироваться за счет изменения соотношения постоянных и переменных издержек. Поэтому операционный леверидж является косвенным показателем предпринимательского риска и более логично интерпретировать этот показатель как коэффициент усиления финансового риска [2, 5].
Коэффициент финансового риска ^ определяется как отношение прибыли до вычета процентов и налогов к этой же прибыли за вычетом процентных платежей.
Общий леверидж проекта /о/ определяется произведением обоих коэффициентов:
'*=л=-Л—■ <27>
И "
где к - процентные платежи.
Видно, что операционный леверидж при заданном объеме выпуска определяется как отношение маржинального дохода к прибыли, а общий - как отношение маржинального дохода к прибыли за вычетом процентных платежей.
Коэффициент финансового левериджа рассчитывается для планового годового объема продаж при различных схемах финансирования, то есть соотношении собственного и заемного капитала. Увеличение доли заемного капитала способствует увеличению рентабельности собственности капитала, но при этом одновременно увеличивается и вариация (размах) чистой прибыли. Общий риск связан с возможным недос-
татком денежных средств для покрытия текущих расходов по проекту и расходов по обслуживанию задолженности.
Таким образом, в статье предлагаются аналитические зависимости для прогнозирования экономических результатов проекта, которые позволяют получить оценки показателей эффективности и финансовой эластичности с учетом допусков на определяющие параметры.
Литература
1. Вентцель, Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Радио и связь, 1983.
2 Ван Хорн, Дж.К. Основы управления финансами / Дж.К. Ван Хорн. - М.: Финансы и статистика, 2005.
3. Крушвиц, Л. Инвестиционные расчеты: пер. с нем. / Л. Крушвиц; под общей ред. В.В. Ковалева и З.А. Сабова. - СПб.: Питер, 2001.
4. Лукасевич, И.Я. Анализ финансовых операций / И.Я. Лукасевич. - М.: Финансы, 1998.
5. Ковалев, В.В. Введение в финансовый менеджмент / В.В. Ковалев. - М.: Финансы и статистика, 1999.
УДК 658.6 А.А. Зяблицев
ВЛИЯНИЕ ПРИВЕРЖЕННОСТИ ПЕРСОНАЛА НА УРОВЕНЬ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ В СФЕРЕ УСЛУГ
Рассматривается применение метода всеохватывающего анализа данных для оценки эффективности обслуживания и приводится анализ влияния приверженности персонала на его производительность.
Ключевые слова: производительность, всеохватывающий анализ данных, эффективность, сознательная и вынужденная приверженность, справедливые процедуры.
A.A. Zjablitsev THE INFLUENCE OF COMMITMENT THE PERSONNEL ON A PRODUCTIVITY LEVEL IN SPHERE OF SERVICES
The application of the data envelopment analyses method considers for an estimation of efficiency of service and the analysis of influence of staff’s commitment on their productivity is given too.
Key words: productivity, data envelopment analysis, efficiency, compelled and conscious commitment, fair procedures.
В сфере услуг повышение производительности представляет особые трудности. Проблематично не только увеличить производительность в сфере услуг, но и оценить ее, причем точно.
Чарнес и др. разработали метод всеохватывающего анализа данных (DEA - Data Envelopment Analysis) для оценки эффективности и измерения производительности в сервисных организациях, где результаты деятельности нельзя выразить в денежном выражении [3].
Экономические объекты (единицы, ответственные за принятие решений DMU) имеют в своем распоряжении ресурсы и отвечают за эффективность их использования. Модель DEA устанавливает различные предельные уровни эффективности на основе данных об объектах DMU, включенных в анализ. Эффективные DMU определяют расчетный предельный уровень эффективности, представляющий собой кусочнолинейную функцию. Объекты DMU, которые не находятся на рубеже эффективности, считаются неэффективными.
В качестве объекта исследования был взят танцевальный центр.
