Модель в R3 трехмерной сферы и вычисление ее объема Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.382

МОДЕЛЬ В R3 ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕЕ ОБЪЕМА

Р. В. Ульверт, К. Ю. Куликовский, П. А. Терешонок, И. П. Солодилов

*

Научный руководитель - Е. И. Яковлев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: yei@ngs.ru

В настоящей заметке предлагается модель трехмерной сферы и вычисление ее объема с помощью сферических координат. Простая схема вычисления позволяет легко обобщить ее для n-мерного случая.

Ключевые слова: трехмерная сфера, сферические координаты.

MODEL IN R3 THE THREEDIMENSIONAL SPHERE AND CALCULATE ITS VOLUME

R. V. Ulvert, K. YU. Kulikovskii, P. A. Tereshonok, I. P. Solodilov Scientific Supervisor - E. I. Yakovlev

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation

E-mail: *y ei@ngs.ru

In the present note we offer a model the three-dimensional sphere and calculate its volume using spherical coordinates. A simple computing scheme makes it easy to generalize it to n-dimensional case

Keywords: three-dimensional sphere, spherical coordinates.

Развитие космонавтики идет в ногу с познанием космического пространства. Современная теоретическая физика с необходимостью приходит к использованию пространств больших размерностей при описании макро- и микрокосмоса. Более того, многомерные конфигурационные пространства естественно возникают при описании роботизированных механических систем, используемых в ракетно-космической технике. Один из первых методических шагов в направлении изучения многомерных геометрических форм, не требующий специальной математической подготовки, может быть связан с построением моделей четырехмерных геометрических фигур (см., например, [1; 2]).

Нашей целью является популяризация нескольких простых идей, которые могут помочь неискушенному читателю в выработке «многомерной геометрической интуиции» и приобретении навыков работы с многомерными геометрическими объектами с помощью методов математического анализа. Рассмотрим одну модель трехмерной сферы и покажем, как с помощью этой модели можно найти объем такой сферы.

В 1904 г. Анри Пуанкаре предположил, что любой трехмерный объект, обладающий определенными свойствами трехмерной сферы (3-сферы), можно преобразовать в 3-сферу. (Более точно, всякое односвязное трехмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере). На доказательство этой гипотезы ушло 99 лет. Российский математик Григорий Перельман доказал высказанную сто лет назад гипотезу Пуанкаре и завершил создание каталога форм трехмерных пространств.

На самом деле, доказательство Перельмана решает гораздо более широкий круг вопросов, чем собственно гипотеза Пуанкаре. Предложенная Уильямом Терстоном (см. [3]) процедура геометризации позволяет провести полную классификацию трехмерных многообразий, в основу которой положена трехмерная сфера. Если бы гипотеза Пуанкаре была ложной, т. е. существовало

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

бы множество пространств столь же простых, как сфера, то классификация 3-многообразий превратилась бы в нечто бесконечно более сложное. Благодаря Перельману и Терстону у нас появился полный каталог всех допускаемых математикой форм трехмерного пространства, которые может вместить наша Вселенная.

Вернемся к цели нашей заметки и перейдем к конструированию «осязаемой» модели 3-сферы. Попробуем «посмотреть», как конструируется 3-сфера из 2-сферы и 3-шара, предварительно рассмотрев более простые случаи.

Отрезок - это 1-шар, а его граница - это две точки (0-сфера). «Согнем» отрезок в полуокружность и, соединив точки его границы с таким же «согнутым» отрезком, получим окружность. Она ограничивает двумерный круг. Таким образом, мы взяли два экземпляра 1-шара с границей в виде двух 0-сфер, деформировали и склеили их между собой по 0-сферам, и в результате получили 2-шар (круг) с границей в виде 1-сферы (окружности).

Повторим нашу конструкцию для К3. Возьмем два экземпляра 2-шара (плоский круг) с границей в виде 1-сферы (окружность) и деформируем каждый 2-шар в полусферу. После этого склеим две полусферы по границе (по 1-сфере). В итоге получим 3-шар с границей в виде

2-сферы.

Теперь уже несложно будет повторить наши рассуждения для К4. Возьмем два экземпляра

3-шара с границей в виде 2-сферы и склеим их между собой по границе (по 2-сферам). Деформацию в данном случае, оставаясь в рамках пространства К , мы осуществить не можем. Построенное тело и будет являться 3-сферой. Мы не можем ее себе представить привычным образом -

для этого понадобится изыскать дополнительную размерность, т. е. вложить 3-сферу в К4, но у нас есть реальная, «осязаемая» модель, позволяющая работать с 3-сферой. Укажем простой и наглядный путь вычисления ее объема.

Пусть B — шар радиуса R с центром в начале координат в пространстве К4 переменных x, y, z, w. Тогда его (обобщенный) объем может быть вычислен как интеграл кратности 4 по области B:

Vol(B) = JJ JJdV = JJ JJdxdydzdw.

B B

Этот интеграл удобнее вычислять в сферических (гироскопических) координатах r, ф, у, 9 четырехмерного пространства (см., также, [4]), которые вводятся следующим образом:

x = r cos ф cos ycos 9, y = rsin фcos ysin 9, 0 < r <сю,0 <ф<2л,

z = r cos у sin 9, w = r sin у, - 0,5л<у, 9<0,5л.

Шар B при таком преобразовании координат переходит в «прямоугольную» область Bsph ={0 < r <R, 0 <ф< 2л, -0,5л < у, 9 < 0,5л}.

Понятно, что сферические координаты аналогичным образом можно ввести в пространстве Кn для произвольного n > 3. Но, даже в случае n = 4, для прямого подсчета якобина перехода J требуются кропотливые вычисления. Эту задачу, однако, можно решить более простым способом, используя следующую систему равенств:

F1 = r2 -(x2 + y2 + z2 + w2) = 0, F2 = r2 cos2 у-(x2 + y2 + z2) = 0, F3 = r2 cos2 у cos2 9 - (x2 + y2) = 0, F4 = r2 cos2 ф cos2 у cos2 9- x2 = 0.

Очевидно, эта система эквивалентна равенствам, определяющим введенную сферическую замену координат. Воспользуемся теоремой о неявной функции в расширенном смысле (теореме о неявном отображении). Справедливо следующее равенство:

J = D(x,y,z,w) = (-1)4 D{FX,F2,F3,F4) /D(F1,F2,F3,F4)

D(r, ф, у, 9) D(r, ф, у, 9) / D( x, y, z, w) '

причем якобианы, стоящие в правой части равенства, являются определителями треугольных матриц и легко вычисляются:

D(F1-- F2, F3-> F4) л г 4 3 2А • А

-i-----— = 16r cos ф sin ф cos у sin у cos 6 sin 6,

D( x, y, z, w)

D(F1, F2, F3, F4) 7 • 5 3fl ■ Л

-i—-—-—— = 16r cos ф sin ф cos у sin у cos 6 sin 6.

D(r, ф, у, 6)

Следовательно, J = r3 cos2 у cos 6, и

Vol( B) = JJJJdV = JJ JJr3 cos2 у cos 6 drd ф d у d6

Б Bsph

2я R V2 V2 TC2R4

= J dф| r3dr J cos2 уdу j cos 9d9 =-.

0 0 -я/2 -я/2 2

В частности, объем единичного шара равен ^.

Так как искомый объем Vol(SB) 3-сферы дБ является многомерным аналогом площади поверхности трехмерного шара, то этот объем равен производной от объема шара по его радиусу:

Vol(dB) = — Vol(B) = —V2R4 = 2л2R3. dR dR 2

Предложенная модель 3-сферы и схема вычисления её объема легко переносятся на сферу произвольной размерности n . Другой не менее оригинальный подход предлагается в [5].

Библиографические ссылки

1. Hinton Charles H. A New Era of Thought, orig. 1888, reprinted 1900, by Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London. С. 240.

2 .Hinton Charles H. The Fourth Dimension, orig. 1904, 1912 by Ayer Co., Kessinger Press reprint, ISBN 0-405-07953-2, scanned version available online at the Internet Archive. С. 170.

3. Тёрстон У. Трёхмерная геометрия и топология.М. : МЦНМО, 2001. 312 с.

4. Неклюдова А. В. Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа [Электронный ресурс] // Инженерный журнал: наука и инновации, 2013. Вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/743.html (дата обращения: 12.03.2017).

5. Заславский А. А. О вычислении объема n-мерного шара // Математическое просвещение. 2008. Сер. 3. Вып. 12. С. 270-271.

© Ульверт Р. В., Куликовский К. Ю., Терешонок П. А., Солодилов И. П., Яковлев Е. И., 2017