Модель трещины в механизме динамического фазового перехода и физический смысл функции Качанова Текст научной статьи по специальности «Физика»

Модель трещины в механизме динамического фазового перехода и физический смысл функции Качанова

В.Х. Чинь

Московский государственный университет, Москва, 119899, Россия

Рассмотрена модель трещины с динамическим фазовым переходом. Получено решение релаксационного уравнения методом итерации в представлении Лемана. Методика динамической ренормгруппы использована для получения уравнения поверхности разрушения и выяснения физического смысла функции Качанова.

1. Введение

Описание поведения трещин является классической задачей механики разрушения. Чаще всего разрушение материала связано с возникновением дефекта. До настоящего времени не разработано единой модели трещины. Один из подходов связан с построением модели на основе классической механики сплошной среды. Как инвариантные интегралы, так и критические величины являются следствием использования механической теории прочности и принципа сохранения энергии. С этих позиций мы, вообще говоря, знаем только докритичес-кое состояние материала. Что происходит непосредственно в состоянии, близком к разрушению (или в критическом состоянии)? Как теоретические исследования, так и современные эксперименты побуждают исследователей строить теорию разрушения на основании других идей. Здесь имеются две тенденции. Согласно первой исследователи стараются не рассматривать суть сложных термодинамических явлений критического процесса, а только использовать его внешние характеристики. При этом строятся соотношения подобия, определяются критические параметры и используется критерий прироста напряжений в эффективной среде [1-3] либо в модели “node-ink-blob mode” [4-7]. Во втором случае исследователи проводят аналогию между диаграммой

(Р, V) в жидкости и диаграммой (а, г), (р, р) в механике твердого тела. В результате возникла идея развить общую (универсальную) теорию критических явлений для процессов, имеющих различную природу [8].

Однако известно, что механические напряжения в среде концентрируются в вершине трещины и проблема разрушения сосредотачивается в этой области. Материал может испытывать фазовый переход при наложении механического напряжения, в результате чего концентрация напряжений в области вершины трещины приводит к локализованному фазовому переходу [9]. Локальный фазовый переход, связанный с диффузией, наблюдался на поверхности пор нитрида бора [10, 11]. Авторы [10, 11] исследовали закономерности полиморфных превращений вюрцитоподобного нитрида бора (у) в графитоподобный (а) и сфалеритоподобный (в) при высоких давлениях и температуре ниже 1600°С.

С нашей точки зрения, достаточно исследовать характер фазового перехода в области вершины трещины для получения достаточно точной картины разрушения.

При использовании тензора деформации в роли параметра порядка проблема фазового перехода и проблема разрушения имеют общую форму представления, а критическая поверхность и неподвижная точка автоматически являются поверхностью и точкой разрушения.

Є Чинь В.Х., 2002

Считая вершины трещины открытой термодинамической системой, находящейся в состоянии, далеком от равновесия, приходим к задаче спонтанного образования структуры. Разумеется, здесь мы говорим о структуре пластичности. Здесь возникает проблема оценки вероятности образования структуры. Она решается посредством идентификации траектории деформации с узлами. Поэтому внутренняя геометрия деформации и инварианты узлов взаимосвязаны. При таком подходе мы можем строить модель пластической деформации с более глубокой структурой геометрии, в которой топологические характеристики играют решающую роль. Исследование перечисленных проблем проведено в работах [12, 13]. В данной статье мы будем рассматривать только задачу о разрушении с динамическим фазовым переходом. Эта работа представляет собой естественное развитие предыдущих работ [12, 13], в которых блоковая структура Бобрякова-Ревуженко-Шемякина играет особую роль.

2. Математическая постановка и решение задачи

В соответствии с моделью [12, 13], процесс фазового перехода — это процесс разрушения, связанный с явлением, например, усталости материала, содержащего трещину. Здесь мы используем тензор деформации в роли параметра порядка. Как и в работах [12, 13], мы рассмотрим гамильтониан в импульсном представлении:

н = р еа ^ г) ел (-P, г) + (1)

+ ХрР ^ (P, *) ек (-P, *) Х Х % (-P, *) % (Р , *) % (Р - Р - Р" , *X где еа — тензор деформации, еа =аШте/т; А =

= А*/т а гк/т , Р = Й/т «й/т — упругие коэффициенты.

Критическая динамика обычно описывается релаксационным уравнением:

(2)

Эг Эе(-Р)

(P, О 1/т (Р', ^ = 2Г8г/84т8рр'8(* - ), где поле е является сглаженным, т.е. содержит фурье-гармоники е(р) с р < Л; Г — кинетический коэффициент; £ — гауссовый шум.

После использования фурье-отображения и проведения некоторых вычислений вместо (2) получим уравнение:

- гю %(P, ю) = -Г(А + Р2) %(P, ю) + (P, ю) + (3)

+ -

1 о _d г dm'dm'”

4n

eik(p' ,m') %(p" “0 X

/ f ff f ff\ x (p - p - p , ю - ю - ю ).

В случае в = 0 имеем

[Г(А + p2) - гю] 4 (р, ю) = ^ik (р, ю).

(4)

Как было показано в работе [14], динамические свойства системы определяются запаздывающей функцией Грина G(г\р, ю). Определим GR0) как перенормированную функцию Грина:

1

(5)

GR0)( p,m) =

л 2

А + p------

Г

Тогда решение уравнения (4) примет вид

4(p> ю) = gR] (p, ю) ^(p, ю).

(6)

Как и в работе [15], в этом случае корреляционная функция C0(p, ю) представляется в виде

(%(p, ю) 4(p'. ю ^ =

= 2n8i/8 km8 pp'8(ю + ю) C0 (p. ю).

В общем случае перенормированная запаздывающая функция Грина записывается в следующей форме:

gr )(Р’ m) =

(7)

где £(р, ю) является собственно-энергетической частью.

Подставляя (6) в (3) и (4), находим

elm (Р’ m) = elm m) _ X 2PGR0) (Р’ m) L<i X (8)

dm' dm'

I

4n2

p , p

-eik (p', ю ) eik (p", m') X

/ f ff f ff\ X eik ( p _ p _ p , m _ m _ m )

В поле напряжения Pim уравнение (8) принимает

вид:

eim(p.m)=4(p.m) _ X 1eGR0)(p’m) L d X (9)

p' p '

dm dm

2 eik ( p , m ) eik ( p , m ) X

4n

/ r rr r ft\

X eik ( p _ p _ p , m _ m _ m )

+ GR0)( p, m) Ры.

Уравнения (8), (9) решаются методом итерации. При этом используется представление Лемана [16] для функции Грина системы для невозмущенных значений:

1 fIm GRr,0)(p, x)

¿R___________

x _ im

dx.

(10)

Из(7)получим

GR,0)(Р’ m) =

_1

Г m

Im GRr,0)(p, m) = Го

m

22

Подставляя (11) в (10), получим

Г' = Гу2

gr >(p, га) =

X + p +

2 , rosign(ro)

Г

(12)

В нулевом и первом приближениях имеем

1 — ( г

elm (Р’ га) = 1 GR ) (Р’ га) Ilm (Р\

1

elm (Р’ Ю) = Г GR0) (Р’ Ю) hm (Р) -

- Е ißGR0)(Р, Ш) х

2Г2

(13)

dm' dm' 4п2

hik(p ') hk(p ") gr (p ' ’ га') х

xi

x G]r0) (pю') GR0) (p - pr - p' , m - m' - ю')]+

+ gR0)( p, га) Pm.

Сделаем замену J dm'dm'' ^ Е новки (10) в (13) получим

^ Е и после подста-

га' га'

elm (Р’ га) = ,,2 2 ß1 GR0) (Р’ Ю) hlm (p) -

2Г2п2 Г

Im GRr>0) (p' , х1) dxj

J

Xi - гга

hik (p) x

Im GRr,0)(p ", x2)dx2

X2 - гш

hik (p") x

(14)

Im GRr> 0) (p - p' - p', X3) dx3

X3 — гш — га —га

+ (Р, ш) Р1т.

Применяя [14, 17, 18], можно получить классическое приближение. При этом все частоты в аргументе функции гиперболического тангенса полагаются равными нулю. После вычисления вычета (14) получим:

е1т (Р, Ш) = еЫ (Р, Ш) - Р4°)(Р, ш) G(Р, ш) + (15)

+ GR0)(Р, ш) Ры (ш),

где

G(Р’га) = Е hk(Р )hik(Р )

_^A

4п5 B

(16)

Л = 3Х + р 2 + р'2 + (р-р'-р*)2,

5 = 4/Г2[ш-Г(Х + р 2)-Г(Х + р'2)--Г(Х +(р -рр")2)(Х +(р -р'-р,,)2)х х (Х + р' 2)(Х + р'2)].

Как и в работах [12, 13, 15], в приближении нулевого порядка получаем преобразование для параметра Г с динамическим показателем г:

X* =-

22 n + 2 1

n 2 + 8 2 \-Ь

ß* = (n 2 + 8) 2ek4"1,

Г-^ 2

k 4 = 2 -d+1----—

4 r(d/2)

(где d — размерность пространства, n — число компонент параметра порядка), а также неподвижную точку ц* = (Г, X*, ß*). Поверхность разрушения (критическую поверхность) определим из условия lim R= ц* или

где

"уу Q(sy - sh) 0 " "X" "x* "

lim 0 sh 0 ß = ß*

У 0 0 s(z-2) Г Г

2

n2 + 2

У = 2----5----

n2 + 8

£, h = -£,

Q =

( 2

П- +1 2

V

V

— k4‘

3. Заключение

В работах [19, 20] для обсуждения представлены две феноменологические функции сплошности и повреж-денности. Эволюция функции сплошности описывается кинетическим уравнением, которое в общем случае имеет вид

Шф=^ <*,.••>,

где F зависит от ф и некоторых других параметров, которые существенны для данного процесса и выбранной модели. В число основных параметров входят тензор напряжений, температура, время и тензор деформации. Простейшая форма кинетического уравнения имеет вид

dt

(

= - A

а

eff

N П

Ф

где A, n — некоторые константы; n имеет смысл показателя дефектообразования. Пусть P ф const и P = Р0 + п, где п является случайной суммой:

(п(?)) = 0,

(п(г )n(t')) = С8(г -1').

Кинетическое уравнение имеет вид

a

dt

(а0 + 0

Ф

где стп — напряжение, соответствующее флуктуирующей нагрузке п. Это уравнение типа Ланжевена. С по-

х

х

+

мощью этого уравнения можно получить уравнение Фоккера-Планка [21, 22]. С другой стороны, уравнение (2) соответствует уравнению Фоккера-Планка и в случае специального гамильтониана описывает состояние разрушения. Это позволяет дать физическую интерпретацию функции сплошности Качанова ф: по существу, это параметр порядка в роли тензора деформации в нашей модели при динамическом фазовом переходе (динамическом разрушении).

Итак, динамическая модель развития трещины состоит в следующем. Дана трещина в сплошной среде. Под действием внешних сил среда с трещиной переходит в состояние разрушения (состояние динамического фазового перехода). В вершине трещины концентрируется напряжение, поэтому именно в этой области происходит фазовый переход, который понижает прочность среды и инициирует рост трещины. В [23] обсуждается закон подобия, согласно которому при множественном разрушении процесс развития дефектов автомоде-лен, т.е. подобен самому себе. На самом деле в нашей динамической модели это динамический закон подобия, который имеет более глубокий физический смысл, чем просто геометрическое подобие трещины. Это относится к поведению флуктуаций полей деформации и напряжений в процессе пластической деформации. Нас интересует зависимость процесса от времени. При продолжительном действии силы (меньшей критической) система начнет разрушаться. В некотором смысле это соответствует процессу деформации с большим временем релаксации. Динамический принцип подобия описывает этот процесс. Используя динамическую ренорм-группу, мы можем исключить деформации с быстрым временем релаксации. При этом каждая точка ц параметрического пространства определяет одно состояние деформации. Изменение характера деформации среды будет определять новую точку ц'. Это изменение представляется преобразованием ренормгруппы

ц' = Я ц,

где ц = (Г, ц); Г — кинетический коэффициент, описывающий динамику процесса; ц — точка в статическом параметрическом пространстве [12]. Преобразование ренормгруппы Я осуществляется в два этапа. На первом этапе из кинетического уравнения исключаются моды

деформации ек с — < к < Л. Под этим подразумевается

У

решение уравнения (2) для еУ, подстановка полученных

Л

выражений в оставшееся уравнение для еУ с к < — и,

У

наконец, усреднение ^. На втором этапе в оставшихся

Л

уравнениях для ек ^) с к < — проводится замена

у

ек ^ ^еук ^~г), L ^ sL. Здесь у_2 — показатель подобия по времени. Мы видим, что рассмотренный подход является непосредственным обобщением статического подхода [12, 13], в котором существует блоковая

структура Бобрякова-Ревуженко-Шемякина. Таким образом, объектом нашего исследования являлась динамическая блоковая структура Бобрякова-Ревуженко-Шемякина [24].

Таким образом, для того чтобы функция Качанова корректно описывала усталость, вместо классического закона подобия нужно использовать динамический закон подобия.

Литература

1. Sornette D. Effective medium versus criterial behavior of the failure

threshold in percolation // Phys. Rev. B. - 1987. - V. 36. - No. 16. -P. 8847-8849.

2. Sieradzki K., Rong Li. Fracture behavior of a solid with random porosity // Phys. Rev. Lett. - V. 56. - No. 23. - P. 2509-2512.

3. БаренблатБ.И., Галеркина Н.Л., Лунева М.В. Эволюция вспышки турбулентности // Инженерно-физический журнал. - 1987. - Т. 53. -№ 5.

4. СкалА.С., ШкловскийБ.И. Топология бесконечного кластера в теории

протекания и теории прыжковой проводимости // ФТП. - 1974. - Т. 8.-

С.1586-1592.

5. de Gennes P.G. On a relation between percolation theory and the elasticity

of gels // J. Phys. Lett. (Paris). - 1976. - V. 37. - P. L1-L2.

6. Gilabert A., Vanneste C., Sornette D., Guyon E. The random fuse network as a model of rupture in a disordered medium // J. Phys. (Paris). - 1987. -V. 48. - P. 763-770.

7. Guyon E., Roux S., Bergman DJ. Critical behavior of electric failure thresholds in percolation // J. Phys. (Paris). - 1987. - V. 48. - P. 903-907.

8. Ausloos M. Phase transition theory approach to fracture of materials // Solid Stat. Comm. - 1986. - V. 59. - No. 6. - P. 401^04.

9. Морозовский А.Е., Снарский А.А. Критическое поведение напряжения

разрушения в случайно-неоднородных композитах вблизи порога протекания // Письма в ЖЭТФ. - 1990. - Т. 52. - № 4. - С. 871-872.

10. Песин В.А., Ткаченко Н.Н., Фельдгун Л.И. Кинетика полиморфных превращений вюрцитоподобного нитрида бора при высоких давлениях и температуре // ЖФХ. - 1979. - Т.53. - № 11. - С. 2794-2798.

11. Гаргин В.Г. Термическое разрушение синтетических алмазов // Сверхтвердые материалы. - 1982. - № 2.- С. 17-20.

12. Чинь В.Х. Модель трещины с учетом фазового перехода // Доклады РАН. - 2000. - Т. 372. - № 4. - С. 473^75.

13. Чинь В.Х. Некоммутативная пластическая деформации и сущность постулата изотропии Ильюшина // Доклады РАН. - 2001.- Т. 378. -№3. - С. 343-346.

14. Поляков А.М. Неравновесные процессы в критической области // ЖЭТФ. - 1969. - V. 57. - P. 2144-2162.

15. МаШ. Современная теория критических явлений. - М.: Мир, 1980. -300 с.

16. De Dominicis C. A Lagrangian version of Halperin-Hohenberg-Ma models for the dynamics of critical phenomena // Nuovo. Cim. Lett. - 1975. -V. 12. - No. 5. - P. 567-574.

17. ВолковыскийЛ.И., ЛунцГ.Л. Сборник задач по теории функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1970. - 318 с.

18. Abrahams E., Tsumento T. Skeleton-graph approach to dynamical scaling // Phys. Rev. - 1975. - 11B. - P. 4498^503.

19. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974.312 с.

20. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкции. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 400 с.

21. Гарнидер К.В. Стохастические методы в естественных науках. - М.: Мир, 1986. - 528 с.

22. Ефлов В.Б. Уравнение Фоккера-Планка в задаче накопления повреждений. - Деп. в ВИНИТИ РАН, № 2241-В95.

23. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Методы подобия в механике и физике разрушения // Физ.-хим. механика материалов. - 1986. - Т. 21. -№1. - С. 57-62.

24. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Однородный сдвиг сыпучего материала. Локализация деформаций // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых. - 1983. - № 5. - С. 17-21.