CC BY
41
Предельное состояние трещиноватой среды
М.А. Штремель
Московский институт стали и сплавов, Москва, 117936, Россия
Для двумерной системы упруго взаимодействующих трещин разнообразных размеров найден критерий потери устойчивости при растяжении. Он получен из трех функциональных уравнений, связывающих интегральные характеристики системы: число трещин, их суммарную протяженность и площадь экранировки (все — на единицу объема). Катастрофическое слияние очаговых микротрещин в бесконечную цепь наступает сразу после образования многих коротких цепочек. Этим кинетический фазовый переход разрушения качественно отличается от всех схем перколяции (где возможен постепенный рост кластера, так как нет дальнодействия элементов). Напряжение перехода зависит от единственного параметра — эффективного размера очаговых микротрещин.
Limit state of a cracked medium
M.A. Shtremel
Moscow Institute of Steel and Alloys, Moscow, 117936, Russia
For a 2D system of elastically interacting cracks of various sizes the criterion of stability loss in tension is found. It is derived from three functional equations relating integral characteristics of the system, such as the number of cracks, their total length and the screening area (per volume unit all). A catastrophic coalescence of site microcracks into an infinite chain occurs immediately after the formation of numerous short cracks. This is a qualitative difference of the kinetic phase transition of fracture from all percolation schemes (where a gradual cluster growth is possible, since the long-term action of elements is lacking). The transition stress depends on a single parameter, namely, the efficient size of site microcracks.
1. Введение
У материаловедения и у сейсмологии есть общая ключевая задача: найти критерий макроразрушения неоднородной структуры (разрыва образца, земной коры) исходя из свойств ее микроскопических составляющих. Процесс начинается однородным по объему растрескиванием элементов структуры. Затем микротрещины сливаются вследствие взаимодействия их полей напряжений и тем самым укрупняются. Наконец, при некоторой критической сумме длин трещин выделяется единственная макротрещина, которая далее распространяется стационарно (а растрескивание локализуется у ее кромки).
Иерархическое трещинообразование «снизу вверх» — самоорганизация трещин — захватывает диапазон в несколько порядков. Исходные трещины в микроструктуре сплавов (в отдельном включении или зерне) имеют размер —0.1...10 мкм, а в композитах это обрыв
волокна диаметром —0.01...0.1 мм. Макротрещина же сравнима с поперечником образца —1...100 мм. Также и в земной коре [1] слияние первичных трещин длиной —10 м постепенно создает конечный разрыв —10...100 км.
От многих явлений перколяции [2] (стохастического слияния элементов в бесконечную сеть) разрушение отличается упругим дальнодействием элементов, которое, в свою очередь, задано и ориентировано внешним полем (нет нагрузки — нет разрушения). Самоорганизация трещин приводит к вырождению размерности системы [3]: от процесса, однородного в объеме, к локализации событий на единственной неветвящейся поверхности, ориентированной внешним полем, от рассеянных всюду скачков — в поток разрывов на ее периметре. Такое «лавинно-неустойчивое трещинообразование» [1] — это кинетический фазовый переход в нелинейной среде (изменение характера самоподобного процесса
© Штремель М.А., 2004
с масштабом взаимодействий) [4]. Даже если все взаимодействия линейно упругие, нелинейность создается уже самим фактом разрывов среды.
Известно много «демонстрационных» моделей разрушения, показывающих возможность такого перехода. Однако полученные критерии перехода обычно неприложимы к реальным структурам, так как исходно упущено какое-либо из качественных отличий процесса разрушения среды со структурой от традиционных схем нелинейной физики.
Для разрушения идеальной решетки есть модели накопления точечных возмущений (дилатонов, релаксо-нов, фрустронов [4]) и их кластеризации. Но, как и любые термофлуктуационные, бесструктурные модели не могут описывать разрушение материалов, которое сильно зависит от микроструктуры (что и есть основной предмет прикладного материаловедения): «чего не заложишь, того не получишь».
В наглядной схеме пучка упругих волокон случайной прочности после разрыва каждого волокна нагрузка перераспределяется на оставшиеся. Если на все поровну [5], то не учитывается концентрация напряжений и кластеризация разрывов — укрупнение трещин. В других моделях нагрузка с разорванного волокна переносится либо на ближайшие соседние [6], либо на 2...3 «координационные сферы» [7].
Пропорции переноса находят, решая для этих сфер задачу теории упругости при учете свойств связующей матрицы и возможного отслоя волокна [7]. Но полигон имитационного моделирования в 400...500 волокон позволял отследить появление одного кластера, но не взаимодействия кластеров [7]. В физике Земли популярны модели «блоков с сухим трением, соединенных пружинами» [8], удобные для аппарата клеточных автоматов [9]. Сдвиг одного блока может вызвать лавину смещений [10], но здесь нет дальнодействия даже «через один».
В ранних континуальных моделях каждой трещине приписана сфера влияния — «разрушенный объем» с радиусом, пропорциональным размеру трещины. При касании сфер возникает кластер (например, по «концентрационному критерию Журкова», когда между центрами шаров меньше трех длин трещин [1]). После касания шары прекращают рост [11] или удваиваются в диаметре [12]. Пренебрегая одновременным присутствием трещин разных размеров, описывают пошаговое укрупнение кластеров как ренормгрупп [7]. Задача, двойственная к ренормгруппам на сетке связей, — разрушение по граням сотовой структуры (плакетам) [13].
Но если макроразрушением считать образование бесконечного континуального кластера [11], то кроме «постулата разрушенного объема» надо оправдать тождество ветвистого кластера перколяции и сплошной макротрещины. И вдобавок, поле напряжений пары тре-
щин таково, что зона их притяжения — совсем не шар: в некоторых направлениях есть и «отталкивание» (взаимное экранирование) [14].
Модели пучка параллельных нитей квазиодномер-ные. Их двумерное обобщение — сетка связей из упругих нитей случайной прочности. После обрыва одной связи при критическом удлинении ее пересчитывается упругое равновесие всей сетки и обрываются все вновь перегруженные нити. Так формируются лавины разрывов [15], и здесь учтены дальнодействие и концентрация напряжений. Но оказалось, что сам вид решения зависит от распределения случайной величины ее. Если оно равномерное, то при растяжении правильной треугольной сетки быстро формируется и растет единственная трещина. Если же распределение вида е-а (т.е. преобладают слабые элементы с малым еД то сначала появляется множество мелких ветвящихся трещин. После обрыва доли р от всех связей вероятность неограниченного распространения трещины q ~ (рс - р)-2, но сам порог ре зависит от а — от распределения прочности связей [16]. Этот решающий факт доказывает, что явление разрушения невозможно уложить в какую-либо схему перколяции: протекания в сети по связям или узлам (подобно проводимости или просачиванию жидкости) — там порог ре не зависит от закона распределения свойств связей [2].
Эта обнаруженная неуниверсальность — следствие дальнодействия трещин и соответствующей концентрации напряжений: вероятность разрыва некоторой связи зависит не только от общего числа уже разорванных связей, но и от их размещения.
В сегодняшнем виде ни один общеупотребительный универсальный математический аппарат описания критических явлений не дает возможности учесть в совокупности основные качественные отличия процесса разрушения.
2. Постановка задачи
Мы попытались, начав от этих отличий, построить простейшую непротиворечивую модель кинетического перехода разрушения как потери устойчивости (перехода к неограниченному росту) системы взаимодействующих трещин в бесконечной среде.
Среда линейно упругая, двумерная (что отображает, например, разрушение микроструктур с вытянутыми включениями или макроструктур-ламинатов). В начальном состоянии (при напряжении а = 0) имеются случайно и независимо размещенные очаги разрушения — малые трещины. Их распределение на плоскости пуассо-ново, с плотностью р = 1/Л2. При среднем расстоянии между очагами Л длина очаговой трещины цЛ (ц << 1).
При растяжении вдоль одной оси напряжением а трещины упруго взаимодействуют друг с другом. В ре-
зультате при некотором критическом напряжении перемычка между смежными трещинами теряет устойчивость, и они сливаются в одну. (Упругое дальнодействие трещин не исключает пластической деформации — как однородной предшествующей, так и местной — в перемычке при потере ее устойчивости).
По мере роста напряжения а некоторые пары смежных очагов соединяются в трещины длиной Л. Трещина достигнет среднего размера кЛ, когда соединит в цепочку к + 1 очаг — поодиночным захватом их или же путем слияния с другой трещиной длиной тЛ. (При этом не исключен и захват очагов между ними, до того свободных.)
Основное допущение модели: парные взаимодействия трещин соединяют очаги в цепь; «в обход» сети очагов трещина не растет. (Иначе неизбежны множественные столкновения трещин, и результат выглядел бы как их ветвление, что в вязких изломах металла не наблюдают никогда, а в хрупких — очень редко.) Выбор пути слияний через очаги определен приложенным напряжением а, поэтому трещина длиной кЛ остается в среднем перпендикулярной оси растяжения, так что все трещины примерно параллельны.
Трещины перераспределяют напряжения так, что около каждой есть область разгрузки (зона экранировки, «тени» — 1 и 2 на рис. 1) и зона их взаимного притяжения [14] — концентрации напряжений между их смежными кромками (4 на рис. 1). Удаленные третьи трещины отключают взаимодействие двух данных, если экранируют хотя бы одну из их смежных кромок. Во всем остальном взаимодействия только парные, что оправдывается сопоставлением полей более чем двух трещин [14].
Выбрав Л за единицу длины, запишем из баланса энергии условие слияния пары трещин длиной к и т при расстоянии г между их ближайшими кромками (рис. 1). До слияния было две зоны разгрузки площадью а1к2 и а1т2. Деформации в зоне между трещинами площадью а 2 г2 привели к слиянию — образовалась трещина длиной (к+т + г) с зоной разгрузки площадью а1(к + т + г)2. Коэффициенты формы зон а1 и а2 можно искать усреднением по конфигурациям (для всех трещин, не лежащих в одной плоскости), но поскольку а1 — 1 и а 2 — 1, в дальнейшем они опускаются.
Приложенное напряжение а создавало плотность упругой энергии и = а2/2Е (Е—модуль Юнга). Когда слияние трещин к и т увеличивает зону разгрузки, из объема [(к + т + г) - (к + т )] высвобождается упругая энергия и1 = и[(к + т + г)2 - (к2 + т2)]. Для разделения перемычки между трещинами в зоне площадью г2 совершается пластическая деформация. Эта работа слияния трещин и2 = аг 2, где а — средняя по этой зоне плотность работы. Слияние возможно, если
Рис. 1. Схема взаимодействий двух трещин: 1, 2 — зоны упругой разгрузки до слияния, 3 — после слияния, 4 — зона концентрации напряжений и пластической работы слияния
и > и2. (1)
Этот критерий слияния — более общий, чем, например, критерий работы разрыва или среза по плоскости, так как не предрешает моду смещений до разделения (скол или срез вдоль линии, соединяющей кромки, сужение шейки «в нож»). Предполагается лишь подобие поля деформаций разрыва при разных размерах перемычки.
Введем безразмерную «движущую силу»
^ = и а. (2)
Это отношение средней плотности упругой энергии и и плотности а необходимой местной пластической работы. Иная интерпретация я: пусть в среде под напряжением а средняя упругая деформация е = а/Е, а в зоне слияния средняя пластическая деформация ев. Тогда средняя плотность работы пластического слияния не превышает а = евав, где ав — предел прочности, а ^ ~ (а/ав )(2е/ев) — движущая сила определяется соотношением упругой деформации среды е и пластической деформации е в в зоне слияния.
Используя (2), равенство (1) запишем как
^[(к + т + г)2 - (к2 + т2)] = г2. (3)
Решение квадратного относительно г уравнения (3) указывает верхнюю границу площади перемычки, допускающей слияние трещин размером к и т при движущей силе я:
/кт = г2 = 2 (г 2( к + т)2 + гкт +
+ г (к + т)[г 2(к + т)2 + гкт]12}. (4.1)
Здесь г = б/(1 - б). Для дальнейшего удобно аппроксимировать /кт (г) полиномом, но поскольку 0 < г < ^, он должен совпадать с (4.1) в пределах г ^ 0 и г ^ «>.
Соответствующая сшивка двух асимптотик [17] заменяет (4.1) на
/кт = 2гкт + 4Дк + т)2- (4.2)
В частности, если т = 0 (одна из трещин — очаг длиной ц), то
/к о = 2 гкц + 4 г 2 (к + ц)2. (4.3)
Введем интегральные характеристики системы трещин. Пусть в данном очаге с вероятностью qk находится «правая» кромка трещины длиной к. Состояние системы описывает М-мерный вектор q = {дк} с компонентами qk (1 < к < М, М >> 1). Суммирование по трещинам любой длины (М ^ ^ дает нормированные на объем число трещин
с = Ё qk, (5.1)
к =1
их суммарную длину
¥ = Ё kqk (5.2)
к=1
и сумму экранированных площадей («теней»)
Ф = Ё к2 qk. (5.3)
к=1
Если весь рассматриваемый объем содержал Q очагов, то ^ — число трещин в нем и yQЛ — их суммарная длина.
Выпишем также долю V неэкранированной площади (свободной от «теней»). Случайное покрытие плоскости площадкой dф уменьшает свободную площадку на d V = = ^ф. Тогда интегрирование от начального состояния, где ф = 0 и V = 1, дает
V = ехр(-ф). (6)
3. Способ решения
Чтобы получить условие устойчивости системы, заметим, что «правая» кромка трещины длиной к оста-
нется неподвижной, если на площадке размером /кт
около нее и вне чьих-либо теней нет «левой» кромки другой трещины размером т, и это верно одновременно для всех т. Точки «незатененных» «левых» кромок трещин длиной т размещены на плоскости с плотностью vqm. Их распределение пуассоново, и с вероятностью exp(-vqm/km) ни одна из них не попадает на площадку
размер°м /кт [18].
Трещины разных размеров т размещены независимо, поэтому оканчивающаяся в данном очаге трещина длиной к неподвижна (не может слиться ни с одной из
других трещин) с вероятностью рк = П exp(-vqm/km)
или
Рк = ехР(-У Ё Чт/кт )• т=0
(7)
скольку свободны все очаги, кроме уже занятых трещинами, то q0 = 1 - ^ (к + 1^к = 1 - £ - у.
к=1
Не отслеживая всю траекторию изменения вектора q(я) по мере роста движущей силы я (от начала q = 0 при я = 0), найдем в пространстве q границу д(яс), где система теряет устойчивость. В устойчивой системе заведомо невозможно qk > рк (трещин размером к не может быть больше, чем мест, где они могли остаться неподвижными). Поэтому для любого к в некоторый момент роста я достигается максимум qk, а затем qk убывает, оставаясь на границе устойчивости (трещины длиной к исчезают в слияниях чаще, чем рождаются из меньших). Соответственно qk для все больших к растут до своего предела. Предельному состоянию соответствует наибольшая возможная длина трещин у = ^ kqk,
к=1
когда предела достигнут все qk.
Чтобы указать этот предел, заметим, что распределения в пространстве пк = Qpk возможных мест остановки трещины для разных к не независимые: там, где оканчивается неподвижная трещина длиной к, были бы неподвижны и любые трещины длиной менее к. Пусть есть пк+1 = рк+1Q очагов, где будет устойчива трещина длиной к + 1 (и любые короче, чем к +1), и пк = р^ очагов, где устойчивы трещины длиной к и короче. Поскольку все очаги из множества пк+1 совпадают с некоторыми из пк, остается пк - пк+1 очагов, где устойчива трещина длиной к, но не более. Чтобы получить наибольшую сумму у длин устойчивых трещин, все эти очаги надо занять qkQ = пк - пк+1 кромками трещин предельной для них длины к. Тогда предел устойчивости системы определен равенством
= Рк - Рк+1
(8)
для всех к одновременно.
Подставляя (8) в (5), получим число трещин
5 = Л, (9.1)
их суммарную длину
У = Ё Рк
к =1
и сумму площадей разгрузки
Ф = -У + 2 Ё кРк •
к=1
(9.2)
(9.3)
где
Для слагаемого т = 0 (для слияния с отдельным очагом) в этой сумме следует положить /ко из (4.3), а по-
Выражая суммы по т в показателе (7) через интегральные характеристики у, ф, получим
Рк = е~Р ехР{-[(к + t)/hf}, (10)
^ (z) = 4vz 2[ф + ц 2(1 -£-у)] - (^)2, t = [1 + (42)-1][у(1 - ц) + ц(1 - С)]/(1 - У), (11)
h = {2 ^(1 -У)]12}-1.
Подставив (10) в (9), получим
- F О
у = е *1,
(12)
ф = —у + 2е *2, где Уо = ехр(—х'0), Хо = (1 +1)/h,
*1 = Ё ехр{—[(к +1)/ ^2}>
к=1
* 2 = Е к ехр{—[(к +1)/h]2}.
(13)
к=1
Если заменить суммы быстро убывающих экспонент (13) интегралом (начиная со второго члена), то
*1 = Уо + У1/2 + h0(xl),
5 2 = Уо + (1 + h 72) у — (Ы/ 2)0( Х1),
(14)
где
х1 = (2 +1)/h, у1 = ехр(—х^), 0( х) = | ехр(—и 2)du.
Теперь (12) — система трех функциональных уравнений для определения интегральных характеристик системы трещин £, У, ф в ее предельном состоянии. После 6—7 итераций погрешность решений этой системы не более 0.1 %.
4. Результаты
Найденная предельно возможная суммарная длина трещин у (безразмерная, при «единице объема» Л2) показана на рис. 2 в зависимости от движущей силы л = = 0.3...0.8 при разных размерах очага (ц = 0.001...0.5). Трещины рассекают образец на фрагменты размером 1/ у — это среднее расстояние между трещинами на случайной секущей вдоль оси растяжения. (Но вплоть до критического момента образец остается связным). Во всем диапазоне (л, ц) средняя длина трещины (у/£) < 1.26 — самые короткие трещины (длиной Л) в сумме длин всегда преобладают.
«Площадь тени» 1 — V = 1 — ехр(—ф) к моменту потери устойчивости системы почти пропорциональна суммарной длине трещин у (рис. 3). Ее предельное значение около 46 % при у —— 1. Влияние тени будет заметно только в случае сильного растрескивания (у > 0.1) — притяжение трещин гораздо важнее их взаимной экранировки («отталкивания»).
Решение не существует, если движущая сила л ниже порогового значения (л ^ 0.30...0.35 для разных ц, рис. 2). В этом пределе суммарная длина трещин у — 1 — вся плоскость покрывается мелкими трещинами, которые не сливаются из-за необходимости большой работы а. Напротив, когда перемычки разрушаются легко и л большие, то у — 0 — вместо многих растет единственная трещина (последовательные слияния легче нового зарождения). Если объем содержит Q очагов, то уQ < 1 означает, что еще нет ни одной трещины. Этот предельный «объем полигона» Q = у—1 тем мень-
Рис. 2. Предельная удельная длина трещин у в зависимости от движущей силы ^ = а2/2аЕ (ц = 0.001...0.5 — размер очагов)
ше, чем труднее сливаются очаги (чем меньше ц), рис. 2. Если решение (12) дает критическую длину трещин ус(лс), то ус = Q—1 — это граница снизу для существования каких-либо стабильных трещин (первая же трещина размером Л распространяется неограниченно).
Образец «доживает» до предельного состояния у с, если наибольшая трещина в нем еще не может расти как макротрещина (она короче, чем надо, например, по критерию Гриффитса [19]). В критическом состоянии у с (sc) наиболее вероятная длина k наибольшей трещины такая, что qкQ ~ 1. Образец длиной L и шириной В содержит Q = LВ очагов, и если он равноосный (Ь = В), то его ширина В = д/0^. Длиннейшая трещина составляет от нее долю в = кВ = кд/^. Вычисленные из (8) и (7) для Q = 102... 1011 значения в = 0.17... 1 • 10—5 хорошо укладываются в зависимость ^ в = 0.25 — 0.46 ^ Q. Для длинного образца (где X = Ь/В >> 1) эта доля в в X раз больше.
Но главное: во всем этом диапазоне Q наибольшая трещина невелика: k = 2...6 при ц = 0.1...0.8 (а для меньших ц все в< 1 • 10—5). Катастрофа слияния вызвана не большой длиной «главной» трещины, а большим числом мелких.
Когда напряжение а постепенно растет, состояние системы меняется по некоторой траектории у (л) от начала (у = 0 при л = 0) до точки у с( sc), где теряется устойчивость. Единственный параметр задачи — «раз-
Рис. 3. «Площадь тени» (1 - V) в предельном состоянии в зависимости от удельной длины трещин у
Рис. 4. Верхний предел достижимой удельной длины трещин ус в зависимости от размера очагов ц
мер очагов» ц. Поэтому можно, не исследуя всю траекторию у(л), указать границу сверху для положения критической точки у с^с) при данном ц. Всюду средняя длина трещины уД ~ 1, так что основной вклад в их суммарную длину у дает рождение первичных трещин (единичной длины Л) от попарного слияния смежных очагов. При k = т = ц из (4) площадка взаимодействий /цц = 2ц2z(1 + 8z). В начальный момент V = 1 и qk = 0 для всех k > 1. Тогда из (7) вероятность сохранения очага р0 = ехр(—/цц), а начальная «скорость роста» при z << 1
q* = — ^^)/2 2(1 +16 z).
(15)
По мере роста z она убывает, и потому из (15) для предельной длины трещин ус следует неравенство у с < q1*zc. Соответствующая зависимость у с(ц) размера очагов ц показана на рис. 4. Чем крупнее очаги, тем легче их слияние и тем больше соответственно суммарная длина трещин у с в критическом состоянии.
5. Сопутствующие явления
Множественные трещины изменяют эффективный модуль упругости материала. Под напряжением а упругое удлинение сплошного образца 8 0 = а/ Е. Упругое раскрытие трещины длиной k под напряжением а превращает ее в полый эллиптический цилиндр [20] с площадью сечения п(1 — V 2 )(а/Е) к2/2. При коэффициенте Пуассона V = 1/3 суммарный удельный объем раскрытия составит 4я(а/ Е )Хдкк 2/9 и удлинение образца 81 = 4 П80 ф/9. Тогда под напряжением а полное упругое удлинение образца с трещинами 8 2 = 80 +81? и эффективный модуль упругости Е(ф) = а/82 составит долю 80 /8 2 от модуля Юнга материала £(0). Соответствующее относительное снижение модуля
А Е = [ Е (0) — Е (ф)]/Е (0) или
А Е = (1 + 914 Пф)—1 (16)
показано на рис. 5 в зависимости от суммарной длины трещин у. Изменение модуля становится заметным только при сильном растрескивании (у > 0.05).
Необязательно, чтобы все очаги были изначально. Они могут появляться (вскрываться) по мере нагруже-
ния. Но тогда рост их плотности Л изменяет траекторию процесса у (л). Возможно местное ускорение растрескивания: например, в полосе деформации будет достигнуто среднее расстояние между очагами Л', при Л — в остальном материале. Тогда при тех же самых трещинах их нормированная безразмерная длина в полосе будет у' = £-у против у в остальном объеме. (Здесь g = (Л/Л')2 — «масштабный фактор»). Одного этого может оказаться достаточно, чтобы полоса потеряла несущую способность, достигнув
gу = у с. (17)
Кроме того, в новом масштабе увеличился и размер того же самого очага: ц' = цд/^. Это сокращает необходимое критическое напряжение sc и траекторию у(л) на пути к критическому состоянию у с( sc).
Масштабный эффект от избытка плотности очагов в некоторой области есть при любой ее конфигурации. Но если эта область — узкая полоса (шириной В >> Н >> 1 при толщине Н), то влияет, кроме того, понижение эффективного модуля упругости АЕ. При однородном напряжении а на концах длинной оси полого эллипса напряжение достигает а' = К а, где
К = 1 + 2В/Н (18)
есть коэффициент концентрации напряжений [19]. Если же в эллиптической полосе понижен модуль упругости материала, то а' = КаА Е. Когда весь объем находится в состоянии (л, у), на наружной кромке полосы движущая сила s'/s = (а'/а)2 = (КАЕ )2. Чтобы достичь предела sc, нужна концентрация напряжений К = (sc / s )^2 / А Е. Полоса достаточного размера
В/Н > (^/*)^7(2АЕ) (19)
станет самораспространяющейся (что сходно с «горным ударом» [20]).
При условии (17) или (19) полоса деформации превращается в макротрещину раньше, чем критические условия разрушения ус ^с) будут достигнуты во всем объеме. Эти условия макроскопической локализации процесса позволяют, в частности, ввести далее «степень повреждения» некоторого объема и перейти к прибли-
Рис. 5. Относительное понижение модуля Юнга АЕ в зависимости от удельной длины трещин у
жению континуальной механики разрушения, чтобы описывать переход разрушения при неоднородной пластической деформации как «режим с обострением» [21].
6. Ограничения модели
В рассмотренной схеме кинетического перехода разрушения очаговые микротрещины предполагались одинакового размера ц, а случайным фактором было их распределение в пространстве. Чтобы существенно изменить результат, нужна сильная неоднородность ц. Это, например, «двугорбое» распределение ц для очагов разной природы (как в стали, когда «работают» и крупные неметаллические включения, и много меньшие карбиды). Но в таком случае достаточно рассмотреть их порознь (с разным масштабом Л): фрактография показывает, что мелкие «вторичные» ямки (от карбидов) возникали в полосе среза от слияния «первичных» ямок (от включений).
Для слияния трещин сдвигом — под действием касательных напряжений — необходимо учесть трение ее налегающих берегов [1].
При переходе от двумерной задачи к трехмерной усложнится геометрия объектов. (Простейшая из приемлемых схем: после слияний трещины-диски все еще примерно равноосные, но объем разгрузки несферичный.)
Наиболее важно, что критерий локальной работы (1), оставаясь необходимым, может оказаться недостаточным при такой моде, что смещение для разрыва перемычки больше, чем даст упругая разгрузка от слияния пары трещин. Тогда элементарный акт нелокальный: для разделения должна сливаться одновременно группа трещин. Это приводит к другому классу задач, известному как «проблема мостов» — изолированных перемычек, остающихся в некоторых структурах позади фронта трещины.
7. Выводы
1. Для системы неравных упруго взаимодействующих трещин найден (в виде соотношения удельной суммарной длины трещин у и движущей силы л критерий ус (лс) предела их устойчивости, за которым наступает неограниченное слияние. Этот кинетический фазовый переход разрушения оказался очень мало похож на какую-либо перколяцию: катастрофическое слияние очаговых микротрещин в бесконечную цепь наступает сразу после соединения очагов во многие короткие цепочки. Такое коренное отличие обусловлено упругим дальнодействием трещин (что не имеет эквивалента в моделях кластеров перколяции [2]).
2. «Квазиконтинуальное» описание интегральных характеристик системы трещин функциональными уравнениями (12) учитывает конечность размера системы через число Q очагов в ней, но дает решение для
любого Q (а также и при переменном Q, когда очаги появляются в процессе нагружения). В этом его преимущество перед имитационными моделями разрыва сетки [15, 16, 22], где общность решений существенно ограничена размером полигона моделирования (довольно малым для таких задач).
3. Критерий кинетического фазового перехода ус(sc) зависит от единственного параметра — эффективного размера ц очаговой микротрещины (нормированного на расстояние Л между очагами). Величиной ц разграничиваются три области поведения системы. При ц > 0.1 очаги «слабые», легко сливающиеся. Тогда тело, оставаясь еще сплошным и устойчивым, дробится сначала на мелкие (но сохраняющие связи) фрагменты размером у- = 20. В диапазоне 0.1 > ц> 0.001 размер фрагментов у-1 вырастает на несколько порядков (рис. 2), а при ц < 10-3 очаги настолько прочные, что трещин мало вплоть до конца — разрушение системы наступает от единственной трещины.
Литература
1. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. - М.: Наука, 2003. - 272 с.
2. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. -М.: УРСС, 2002. - 112 с.
3. Штремель М.А., Авдеенко А.М., Кузько Е.И. О развитии вязкого разрушения как самоорганизации с вырождением размерности // Физика твердого тела. - 1995. - Т. 37. - № 12. - С. 3751.
4. Олемской А.И., Кацнельсон А.А. Синергетика конденсированной среды. - М.: УРСС, 2003. - 336 с.
5. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: УРСС, 2002. - 360 с.
6. Leath PL., Duxbury PM. Fracture of heterogeneous materials with continuous distributions of local breaking strength // Phys. Rev. B. -1994. - V. 49. - No. 21. - P. 14905.
7. Овчинский А.С. Процессы разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, 1988. - 280 с.
8. Sahimi M., Robertson M.C., Sammis C.G. Fractal distribution of earthquake hypocenters and its relation to fault pattern and percolation // Phys. Rev. Letters. - 1993. - V. 70. - No. 14. - P. 2186-2189.
9. Тоффоли H., Марголус H. Машины клеточных автоматов. - М.: Мир, 1991. - 280 с.
10. Andersen J.V. Dynamical mean-field theory for a spring-block model of fracture // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 49. - No. 14. - P. 9981-9984.
11. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Арутюнов С.Ю., Розенбаум Е.Е. Новый подход к описанию элементарного акта разрушения при моделировании процесса измельчения сыпучих материалов // ДАН СССР. - 1992. - Т. 322. - № 6. - С. 1102.
12. Челидзе Т.Л. Модель процесса разрушения твердых тел // Физика твердого тела. - 1980. - Т. 22. - № 9. - С. 2865.
13. Приезжев В.Б., Терлецкий С.А. Анизотропная перколяция плаке-тов — модель разрушения твердых тел // Физика твердого тела. -1989. - Т. 31. - № 4. - С. 125.
14. Штремель М.А. Нелокальные взаимодействия многих трещин // ФММ. - 2001. - Т. 91. - № 3. - С. 9-15.
15. Caldarelly G., Di Tolla F.D., Petri A. Self-organization and annealed disorder in a fracturing process // Phys. Rev. Letters. - 1996. - V. 77. -No. 12. - P. 2503-2506.
16. SahimiM., Goddard J.D. // Phys. Rev. B. - 1986. - V. 33. - No. 11. -P. 7848-7851.
17. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. - М.: Аслан, 1994. - 160 с.
18. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. - М.: Наука, 1983. - 360 с.
19. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. - М.: Металлургия, 1978. - 256 с.
20. Партон В.З., МорозовЕ.М. Механика упругопластического разрушения. - М.: Наука, 1985. - 504 с.
21. Баренблатт Г.И. Модель нелокального накопления повреждений // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 85-91.
22. Zhang Sh.Z., Lung C.W., Wang K.L. Scaling properties of fracture toughness in random materials // Phys. Rev. B. - 1990. - V. 42. -No. 10. - P. 6631.
