CC BY
35
УДК 532.529
ОПИСАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ ДЕФЕКТОВ
СТРУКТУРЫ
Е.В. Михайлов, О.Б. Наймарк (Пермь) Abstract
The model of liquid flow with defects was developed. Using statistical model of the medium with microdefects (microshears) the system of equations was obtained. Numeric experiments were carried out, which have demonstrated the model describes the pattern flows observed at experimental study of turbulent spot.
Известно, что жидкости по своей структуре занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. При этом, обычно, для расчета течений жидкостей используются уравнения, отражающие более явную аналогию в поведении газов и жидкостей. Однако еще Я. Френкель указывал на близость механизмов течения жидкостей и твердых тел как конденсированных сред, отмечая, что “... рентгенограммы жидкостей сходны с рентгенограммами микрокристаллических тел и их можно было бы интерпретировать в общих чертах, исходя из представления, что жидкость состоит из большого числа беспорядочно ориентированных кристалликов субмикроскопических размеров” и “... широко распространенное представление о том, что текучесть жидкостей обусловлена отсутствием упругости на сдвиг, т. е. равенством нулю модуля сдвига ... ошибочно (за исключением, может быть гелия II)” [1].
Подтверждением справедливости последнего утверждения являются данные по измерению комплексного модуля сдвига некоторых жидкостей [2], которые указывают на существование в спектре исследованных жидкостей характерных времен релаксации т ~10-5c, отличающихся на семь порядков от дебаевских времен. Данный факт говорит о существовании в структуре жидкости элементов, для релаксации которых требуется значительно большее время, чем для процессов, определяющих диффузию импульса.
Другим подтверждением определенного структурного подобия жидкостей и твердых тел являются эксперименты по определению эффективной вязкости конденсированных сред (сталь, алюминий, свинец, медь, оргстекло, ртуть, вода) при ударном нагружении [3,4]. Как твердые тела, так и жидкости при скорости деформации s ~105c- 1 обнаруживали близкие значения эффективной вязкости п ~103 Па • с, что можно объяснить наличием схожих механизмов диссипации энергии в твердых телах и жидкостях, которые начинают играть доминирующую роль при больших скоростях деформации. В качестве такого механизма диссипации в работе [4] предполагается образование дефектов за фронтом ударной волны.
Однако остаются открытыми вопросы как о выборе и построении модели поведения жидкостей с “дефектной структурой”, так и о модельных экспериментах, которые могли бы использоваться для подтверждения высказанной гипотезы.
В [5] было сделано предположение о возможности смены механизма переноса импульса от диффузионного, описываемого ньютоновским законом связи напряжения и скорости деформации, к механизму, типичному для пластического течения твердых тел, связанному с появлением специфических носителей - дислокаций. Отметим, что появление этого механизма в интенсивных силовых полях вызвано, в соответствии с
моделью Френкеля-Конторовой, образованием связанных молекулярных конфигураций, перемещающихся как единое целое с некоторой групповой скоростью.
Физически, введение этого механизма в рассмотрение означает, что при воздействии на конденсированную среду (в данном случае - жидкость) не исключается сценарий, когда механизм переноса импульса, обусловленный движением связанной конфигурации молекул (молекулярного роя, по терминологии Френкеля [1]), может рассматриваться как конкурентоспособный с обычным молекулярным механизмом.
Возможность образования качественно новых носителей деформации обусловлена, естественно, появлением дополнительных переменных состояния, геометрические, кинетические и термодинамические свойства которых могут быть определены с учетом реальных механизмов зарождения дефектов и их динамики.
Учитывая тот факт, что дислокации отражают деформационную несовместность, обусловленную неустойчивостью деформации, параметры, определяющие вклад в кинетику новых носителей могут быть введены как на основе континуальной теории дислокаций, так и на использовании теории калибровочных полей, где кинематические переменные, характеризующие дефекты, определены на основе локализации так называемой группы симметрии компонент тензора дисторсии, ответственных за “несовместности” трансляционного (дислокационного) и ротационного (дисклинации) типов [6].
Следуя [5], ограничимся рассмотрением дефектов трансляционного типа, каждый из которых представим в виде “микроскопического” сдвига интенсивности s в направлении l на некоторой площадке с нормалью V:
2
В качестве кинетического уравнения, описывающего эволюцию во времени параметра sik, используются уравнения Ланжевена для случайной величины:
&к = Кк (^т )- , (2)
где К^т) и соответственно детерминированная и случайная части силового поля,
удовлетворяющие условиям М) = 0, (г-)^(<)) = д б(<-г') , где д - коррелятор
флуктуирующих сил (неравновесный потенциал, определяющий энергетический потенциал системы). Функция распределения дефектов по размерам и ориентациям
Ж(э, V, I ) в фазовом пространстве состояний дается уравнением Фоккера-Планка:
д д I ( \ \1 д Г д ^
* W=-^ ( Н+) ^ 1^4 (3)
Решение уравнения Фоккера-Планка (3), основанное на предположении о статистической автомодельности в распределении дефектов, позволяет представить функцию распределения Ж^, V, I ) в виде
Ж = г_1ехр(- Е/О), (4)
где Z рассматривается как обобщение статистического интеграла.
Энергию микродефекта в приближении самосогласованного поля с точностью до постоянного слагаемого можно записать в виде
Е = Е0 - Нгк^к + а4, (5)
где Е0 = - — х(sik} , Нк - эффективное силовое поле, а и X — константы материала.
Эффективное поле Нк предполагается пропорциональным макронапряжению и
макроскопическому тензору плотности дефектов, определяемому усреднением тензора sik по элементарному объему pik = n(sik} :
Hik = Y0 ik +^ Pik, (6)
где n — концентрация микродефектов. Второе слагаемое в (6) определяет силовое воздействие на микродефект, создаваемое полями окружающих ее дефектов.
Осредняя sik с функцией распределения (4), можно получить макроскопическую деформацию, обусловленную дефектами,
Pik = nJ s,kW(s, v, r )dsd3vd3r . (7)
Решение уравнения (7) для случая простого сдвига бесконечного слоя
представлено на рис. 1 в виде зависимостей p = pxz от о = о xz для различных значений
параметра 5 = 2а/Хп. Переходы к эквивалентным классам кривых реализуются при
достижении параметром 5 критических значений 51 и 52, являющихся точками бифуркаций.
при различных значениях 5
Более полный анализ зависимости а(р) для различных 5 можно осуществить, вычисляя потенциал - аналог свободной энергии среды, обусловленный микродефектами Г * =- nQ 1п Z . Как показано в [7], условие равновесия дГ * /др = 0 совпадает с (7), что дает возможность, в частности, выбрать термодинамически устойчивые реакции среды. Равновесные значения параметра р, соответствующие минимуму потенциала, показаны на рис. 1 сплошной линией, неустойчивые -пунктирной.
Из условия знакоопределенности диссипативной функции, которая по сути является выражением второго закона термодинамики
д Т ^ 5Г д р1к
qk
TP _ _______
s T д x k
x k 5pik
можно получить определяющие уравнения среды
оik = 2nevk + Wrk,
5F v
д t
> 0,
(8)
(9)
ik
где n, Z и X — кинетические коэффициенты, имеющие размерность вязкости, aik -девиатор напряжений, в^к - “вязкая” составляющая полной скорости деформации
eik = eik + Рik •
Поведение моделируемой “среды с дефектами” удобно исследовать, обращаясь к кривым, представленным на рис. 1. В зависимости от значения параметра 5 можно представить три различных типа поведения. Область 5>51 соответствуют флуктуациям поля смещений и скоростей деформаций, обусловленных дефектами, которые имеют вид слабых периодических пульсаций скорости, не меняющих характер ламинарного течения. Переход через точку бифуркации 51 (область Ô2<5<51) приводит к зарождению в потоке волн типа автосолитонов, порождаемых в результате ориентационной неустойчивости в ансамбле микроскопических сдвигов. В области 5<52 формируются условия для возникновения пространственно-локализованных диссипативных структур с взрывной кинетикой роста интенсивности микросдвигов.
Сопоставим качественный сценарий развития неустойчивости, определяемый динамикой pik, с реально наблюдаемым развитием возмущений в турбулентном потоке. Экспериментальные данные по визуализации турбулентного потока в плоском течении Пуазейля [8] показали, что области неустойчивости в виде турбулентных пятен наблюдаются при Re = 840-1500 и имеют форму треугольного крыла с углом раскрытия 15-20° (рис.2). Турбулентное вихревое движение возникает внутри пятен, на границе которых генерируются конечноамплитудные возмущения в виде “наклонных” волн (oblique waves [8]), затухающих при движении в ламинарную зону. При движении указанных волн в направлении пятна наблюдается вторичная неустойчивость, приводящая к росту возмущений и увеличению размеров пятна.
Рис. 2. Визуализация турбулентного пятна в плоском течении Пуазейля: Яе = 10 3
Этот экспериментально наблюдаемый сценарий качественно согласуется с предсказанием представленной модели, где развитие возмущений связывается с эволюцией микродефектов.
Статистическое описание ансамбля микродефектов позволило предложить макроскопическую модель, основанную на феноменологическом представлении свободной энергии в виде разложения Ландау по тензору плотности микродефектов Р;к и на зависимости коэффициентов разложения от параметра 5, что обеспечило смену ассимптотик при увеличении интенсивности течения:
F * = D
1 AoôP2 -1 Bp4 +10,(ô-ô2)p6 -pa
(10)
где Л0, B, C0, D — константы аппроксимации, причем B = у-— Л051С0 (51 - 5 2 ) .
Учет эффектов, обусловленных пространственной неоднородностью распределения pik, обеспечивается введением квадратичного по градиенту pik члена в выражение свободной энергии (разложение Гинзбурга-Ландау) [9]:
F = D 2 Ло 5p 2 - 4 bp 4 +1 Co (5-5 2 )6 - p о - ^ ^(Vp)2. (11)
Используя определяющие соотношения (9), потенциал свободной энергии (11) и уравнения движения, получаем систему уравнений, описывающую течение несжимаемой жидкости с учетом кинетики накопления микросдвигов:
p(f+('7 =
V • v = 0, g = о' - Pg,
о' = 2ng v + %g, (12)
g = g v + p,
5F g v ~
-Tg = -Xe + Ф,
5p
где v - скорость, p - плотность, о - тензор напряжений, о ’ - девиатор напряжений, P - давление, eg - девиатор скорости деформации, gp - тензор плотности дефектов, имеющий бесследовую структуру. Общая тензорная запись вариационной производной свободной энергии имеет вид
dF г
— = -|дЛ~ + D[2a 1i5 + 4[ß 1^3 +ß 21 (p 2 ))
6X 1P 5 + Л, 2 (411 (p )pъ + 2[p4 )p) + 6X з 112 (p2 )p + 6X 4 /і (p3)
_ o'
(13)
где а1, Рг, у,- - константы разложения.
После преобразований безразмерная форма уравнений (12) принимает вид
д^ ,г \г 1 г 1
— + (у • У)у = -УР + — Ау +----V • р,
dt Re
V- v = 0,
£p = MЛр + xp _ td5(p),
(14)
где
5 (p) = 2a 1/7 + 4[ß 1/73 +ß 11 (p2 )p
pZU pZU
Re =------ _ число Рейнольдса, Rd =-------
<5X 1P 5 + Л, 2 (411 (()( 3 + 21 (p [ )p) + 6^ з112 (/7 2 )) + 6^ 411 (p 3 )p2
, £ = (?+(1 _ D)x), M = UZ, T = Z, а Z и U
U
П X
- характерные масштабы длины и скорости.
Первое уравнение отличается от уравнения Навье-Стокса дополнительным членом, описывающим диссипацию, обусловленную движение дефектов. Интересно рассмотреть уравнение эволюции для тензора р и исследовать нелинейную динамику последнего. Для случая чистого сдвига
Рік =
0 Р12
Р12 0
уравнение движения дляр1к принимает вид:
д 2 Р12
^р 12 = M д 2 + Xe12 TD [ 5р12 + Вр12 + Со (б 5 2 )р12
(11)
Численное исследование кинетики p12 проводилось для одномерной области введением в некоторой точке области возмущений скорости деформации е12 = const. Расчеты показали существование наборов констант уравнения (15), соответствующих трем различным типам эволюции p12 в зависимости от значения параметра 5. В области
dF
5>51 динамика системы контролируется термодинамической ветвью (— = 0), что
dp
обеспечивает постоянство значений p12 при слабом отклонении от равновесия. Переход через точку бифуркации 51 приводит к появлению зоны неустойчивости на кривой реакции, что сопровождается быстрым, но ограниченным ростом значений p12 в возмущенной области и ее последующим расширением (Рис. 3,а). Для 5<52 существует уровень возмущений, при котором реализуется взрывная кинетика роста p12 (рис. 3,б), известный как режим с обострением.
а б
Рис. 3. Эволюция р12 при 51>5>52 (а) и 5<52 (б)
С использованием системы (14) проведено численное моделирование течения жидкости в плоской прямоугольной области. Применялся двухполевой метод, обеспечивающий автоматическое удовлетворение условия несжимаемости. Система уравнений принимала вид
дш дш дш 1 1
-----+ u--------+ v--------= — Дш +---------------
дt дх ду Re Rd
Ду = ш ,
( а2 •
2 • Л
д р 12 д р 12
(16)
1? 12 =
12 + Xe12
TD [5р12 Вр12 + Со (5 5 1 )р12 ]),
где ш - завихренность, у - функция тока.
Граничные условия задавались в виде профиля Пуазейля на входе в канал, а на стенках - условия прилипания. Для р12 граничные условия формулировались в виде свободного потока на входе и выходе канала.
Описанный выше сценарий поведения системы иллюстрируется (рис. 4) результатами расчетов для различных интервалов параметра 5. В области 5>5і наблюдается затухание конечноамплитудных возмущений р12 вплоть до их полного исчезновения. В интервале 51>5>52 динамика является аналогичной на большем
размере возмущенной области. Качественно иной сценарий развивается при 52>5, когда исходное возмущение резко возрастало.
Рис. 4. Эволюцияр12 при 5>51 (а, б) и 5<52 (в, г): (а), (в) - вид р12 сразу после внесения возмущений; (б) - через 0,12 с; (г) - через 0,007 с
Эти результаты показывают, что предложенная модель описывает режимы
течения жидкости, сопровождающиеся локализованным ростом возмущений, которые
можно интерпретировать как турбулентные пятна.
Библиографический список
1. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975.
2. Бадмаев Б.Б., Занданова К.Т., Будаев О.Р., Дерягин Б.В., Базарон У.Б. Низкочастотный комплексный модуль сдвига воды, этиленгликоля и триэтиленгликоля// ДАН. - 1980. - Т. 254. - № 2. - С. 381.
3. Сахаров А.Д., Зайдель Р.М., Минеев В.Н., Олейник А.Г. Экспериментальное исследование устойчивости ударных волн и механических свойств вещества при высоких давлениях и температурах// ДАН. - 1964. - Т 159. - № 5.
4. Минеев Б.Н., Зайдель Р.М. Вязкость воды и ртути при ударном нагружении.// ЖЭТФ. - 1968. - Т. 54. - Вып. 6.
5. Naimark O.B. Nonequilibrium Structural Transitions as a Mechanism of Turbulence.// Tech. Phys. Lett. - 1997. - 23 (7). - Р. 529-531.
6. Naimark O.B. Structural Transitions in Solids and Mechanisms of Plasticity and Failure. Preprint of the Institute of Continuous Media Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. Perm, 1995.
7. Бетехтин В.И., Наймарк О.Б., Кадомцев А.Г., Гришаев С.Н. Экспериментальное и теоретическое исследование эволюции дефектной структуры, пластической деформации и разрушения: Препринт. Пермь: ИМСС УрО РАН, 1997.
8. Carlson D.R., Widnall S.E., Peeters M.F. A flow-visualization study of transition in plan Poiseuille flow.// J. Fluid Mech. - 1982. - Vol. 121. - P. 487.
9. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10: Физическая кинетика. -М.: Наука, 1979.
Получено 18.05.99.
