CC BY
34
УДК 539.42 : 620.172.254
М.А.Соковиков
Институт механики сплошных сред УрО РАН
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕДИ В ПЛОСКОЙ ВОЛНЕ СЖАТИЯ
Abstract
In the present work, the evolution of the elastic-plastic wave profile is investigated. A mathematical model is constructed to describe the main features of elastic-plastic wave propagation in copper taking into account the non-linear behavior of the ensemble of interacting microshears.
Многочисленными экспериментальными исследованиями показано, что важными дефектами структуры, определяющими релаксационные свойства и кинетику разрушения реальных материалов, являются микросдвиги, микротрещины - типичные дефекты мезоуровня. [1-6]. Так, многочисленные структурные исследования процессов нагружения с различными скоростями указывают на определяющую роль в явлениях пластического деформирования согласованного поведения ансамбля этих микродефектов. В данном исследовании построена математическая модель, описывающая основные черты пластического деформирования при высокоскоростном нагружении с учетом нелинейного поведения ансамбля взаимодействующих микросдвигов.
Значительное внимание вопросам природы пластической деформации уделено в работах научного направления, возглавляемого академиком В.Е.Паниным [7-9], в которых развивается представление о деформируемом твердом теле как о многоуровневой системе, в которой пластическое течение развивается как последовательная эволюция потери сдвиговой устойчивости на различных масштабных уровнях: микро, мезо и макро.
В данной работе используется ранее разработанная теория [10-12], в которой методами статистической физики и термодинамики необратимых процессов изучается влияние микросдвигов на упругие и релаксационные свойства твердых тел. Определяющие уравнения сред с микросдвигами имеют следующий вид:
Здесь pk - тензор, характеризующий интенсивность и преимущественную ориентацию
когда piк отличается от равновесного ( F - свободная энергия среды с микросдвигами);
, e?k - тензоры напряжений и скоростей пластических деформаций; Li -кинетические коэффициенты, зависящие от pik. Определяющие уравнения материала (1) включают соотношения релаксационного типа для тензора напряжений и уравнения
°ik = Liepk - L2pik , П* = L2epk - L3prk ,
(1)
термодинамическая сила, действующая на систему,
движения для параметра рк. В этих уравнениях учтены "перекрестные" эффекты: влияние микросдвигов на релаксационные процессы и пластичности на кинетику роста рк. В дальнейшем рассматривается случай, когда пластическая деформация
подчиняется условию еЦ = 0 (пластическая несжимаемость материала), а среднее напряжение о = 3определяегся через уПругие и™™*»« тензора деформаций.
В рамках данной теории были определены характерные реакции материалов на образование дефектов.
Рассмотрим пластину меди, у которой два размера по х и по у гораздо больше размера по г. Поэтому, используя гипотезу о плоском деформированном состоянии
в =8 =0
хх уу
и вводя изменение объема
8 = 8 +8 +8 , (2)
хх уу гг ’ V /
получаем 8 = 8гг. Принимая, что в волнах напряжений умеренной интенсивности деформации малы, имеем
58 „ 8у:
гг г_
д дг ’
где Уг - скорость по г.
Записывая уравнение неразрывности
д8 = дуг д^ дг ’
уравнение движения для случая плоской деформации
(3)
(4)
д^г дагг
р—^ ^, (5)
ді д2
используя закон Гука
а = ^8 + 20ге„
о хх = Х8 + 2°8е*, (6)
0уу =^8 + 2С8уу ,
где X - первая постоянная Ляме, О - модуль сдвига, 8 - объемная деформация,
о = К8 , (7)
где о - среднее напряжение, К - модуль объемного сжатия,
К= Х + 2О,
3
0г =°гг ~0, (8)
где о'гг - компонента девиатора тензора напряжений, получаем
о.: = о:: - о = Х8 + 2О&1г - К8 = Хб + 208^- -(х + 20]е = Х^-Хе + 20 - 3,
о:, = 20 (<- - 3 е]. (9)
Используя представление о малости деформаций, для упругопластической среды имеем
8 =8е +8р
^*11 ^*11 ^*11 5
где 822, 822, 8р - суммарная, упругая, пластическая деформации.
Отсюда
о2: = 20 - 3 8-8р: ^ . (10)
Используя уравнение (9), справедливое для любого напряженного состояния для плоской волны, с учетом (3), (4) запишем
^ = 20 {-ер:1. (11)
дг ' \ 3 дг 22 у
Вводим удельный объем
V = Ро / Р, (12)
где р0 - начальное значение плотности, р - текущее значение плотности Уравнение неразрывности приобретает вид
1 дV ду.
V дг дг
Используя уравнения (5), (7), (11), (12), запишем
Р0 = дог
V ді д2
(13)
(14)
!т=м(!£-4 (15)
^ = Кд-Уг-. (16)
дг дг
Уравнения ,описывающие пластические свойства среды, имеют вид
ок-= «е£ - ¡2 % , (17)
дг
Пг = ¡28£ - ¡3 . (18)
дг
Динамическое воздействие на пластину описывается граничным условием
о.: (0, г) = / (г), (19)
где / (г) - функция, описывающая импульс нагрузки формы, близкой к прямоугольной. Тыльная сторона пластины свободна от нагрузки,
о 22 (Иг) = °. (20)
Система должна удовлетворять начальным условиям
^2 (2,0) = о22 (г,0) = Ргг (г,0) = ^ (21)
г е [0,1], г е [0,да),
здесь р - плотность материала; г - время; г - пространственная координата; у. -
компонента вектора скорости; о22, о.2, 822, 8£, рг - компоненты тензоров напряжений,
девиатора напряжений, скоростей деформаций, скоростей пластических деформаций, параметра плотности микросдвигов; о - среднее напряжение; К - модуль объемного
дР
сжатия, И - толщина пластины,. ¡1,¡2,¡3 - кинетические коэффициенты, П22 =------, где
дР 22
Р - свободная энергия.
Обезразмерим систему (13) - (21). Введем безразмерные параметры
- 2
О
а = -2277
і = —, где Аі = /, / О, Аі
_ 2 г = —, к
где к - толщина пластины,
- = /\
- к О ’
П =П^2
22 О
Получаем систему уравнений в безразмерном виде
/і2
где а = 1
РоОк2
д- т/ да 22 — = а V——, д і д2 (22)
1 дV д— V д і д2 ’ (23)
да>22 = 2 Г4 д— Т д і ^ 3 д2 р), (24)
в р = а22 + — др=г р 22 /1 д і (25)
дР±2 =12 і, -П', ді /з Р (26)
да К д— = О д7, (27)
а 22 =а22 +а, (28)
22 = о П 22 = /1П 22 .
Функция П аппроксимировалась выражением
П = -А • 2** • ехр(-/ р22 ) + В(р** - ръ), (29)
где А, В, ра, ръ - параметры аппроксимации.
Численное исследование системы (22)-(29) проводилось методом конечных разностей. Использовались следующие значения констант для меди:
р = 8,6 • 103 кг/м3, Е = 1,12 -1011 Па, О = 0,408 -1011 Па,
11 = 1,0 • 105 н-с, 12 = 0,45 • 105 н-с, 11 = 1,0 -105 н-с,
А = 57,0, В = 0,25 • 10-2 • А , ра = -1,5 • 10-3, ръ = -1,5 • 10-4 .
На рис.1,2 приведены результаты численного моделирования распространения волн напряжений при амплитуде нагружения а 0 = 3,0 -109 Па, длительности импульса
А10 = 3,675 • 10-7 с, толщине медной пластины к = 5,0 • 10-3 м.
Щр 0.4-106
гЛг
Рис.1. Эволюция плоской волны нагрузки: скорость пластической деформации 8р в различные моменты времени:1 - при 1= 0,42 мкс;
2 - при 1= 0,66 мкс; 3 - при 1= 0,91 мкс; 4 - при 1= 1,15 мкс
При распространении упругопластической волны на переднем фронте в области напряжений, приближенно соответствующих пределу упругости Гюгонио, реализуется
скачкообразное увеличение скорости пластических деформаций 8Р22 (см. рис.1),
обусловленное кинетическим переходом по параметру плотности микросдвигов, приводящее к существенному росту темпа релаксации девиаторных компонент тензора напряжений и выделению упругого предвестника (см. рис.2).
На заднем фронте реализуется ступенька соответствующая сначала упругой, а затем пластической разгрузке (см. рис.2).
*/к
Рис.2. Распространение плоской волны нагрузки: напряжение 2 22 в различные моменты времени: 1 - при 1= 0,66 мкс; 2 - при 1= 0,91 мкс; 3 - при 1= 1,15 мкс
Численное моделирование проводилось методом конечных разностей второго порядка точности.
Кинематические величины, в частности скорость, вычислялись в узлах конечноразностной сетки, напряжения, скорости деформаций, значения параметра плотности микросдвигов вычислялись в центрах ячеек. Вычисление значений в центрах ячеек происходило со сдвигом на половину шага по времени.
Величина шага по времени выбиралась в соответствии с условием устойчивости Куранта.
Достоверность расчетов оценивалась путем численного эксперимента при существенном изменении шагов по координате и времени.
При реализации численного алгоритма моделирования распространения упругопластической волны напряжения использовалось предположение о том, что инварианты тензоров величин, описывающих трехмерное напряженное состояние, подчиняются тем же закономерностям, что и соответствующие величины при одномерном напряженном состоянии. Поэтому при распространении фронта волны оценивалась скорость деформации. Для этой скорости деформации решались уравнения поведения среды с микоросдвигами. На каждом шаге по времени определялось эффективное напряжение. Для перехода к трехмерному напряженному состоянию
использовалась процедура приведения к кругу текучести с использованием вычисленного эффективного напряжения.
Библиографический список
1. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. - М.:
Металлургия, 1984. - 280 с.
2. Финкель В.М. Физика разрушения.- М.: Металлургия, 1970.-376 с.
3. Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. - Рига: Зинатне, 1978. - 294 с.
4. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. - М.: Мир, 1970. - 454 с.
5. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.
6. Пластическая деформация и разрушение кристаллических тел /В И. Бетехтин, В.И. Владимиров, А.Г. Кадомцев, А.И. Петров //Проблемы прочности. - 1979.-№7.-С.38-45; №8.-С.51-57; №9.-С.3-9.
7. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985.- 229 с.
8. Структурные уровни пластической деформации и разрушения /В.Е. Панин, Ю.В. Гриняев, В.И. Данилов и др. - Новосибирск: Наука, 1990. - 225 с.
9. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2 т. /Под ред. В.Е.Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - 297 с. и 320 с.
10. Наймарк О.Б. O термодинамике деформации и разрушение твердого тела с микротрещинами /Институт механики сплошных сред, АН СССР. - Свердловск, 1982.- С.3-34.
11. Naimark, O.B. Kinetic transition in ensembles of microcracks and some nonlinear aspects of fracture //Proceedings IUTAM Symposium on nonlinear analysis of fracture. -Kluver, The Netherlands, 1996.
12. Беляев В.В., Наймарк О.Б. Кинетические переходы в средах с микротрещинами и разрушение металлов в волнах напряжений //Журнал прикладной механики и технической физики.-1987.-№1.-С.163-171.
Получено 9.06.2004.
