Модель распространения декаметровых радиоволн на основе метода нормальных волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

Всероссийская открытая научная конференция «Современные проблемы дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн» - Муром 2022

УДК 621.371.3 DOI: 10.24412/2304-0297-2022-1-150-159

Модель распространения декаметровых радиоволн на основе метода нормальных волн

М.С. Пензин 1, Н.В. Ильин 1, С.Н. Пономарчук 1

1 Институт солнечно-земной физики СО РАН

664033, г. Иркутск, ул.Лермонтова, 126А.

E-mail: penzin@iszf.irk.ru, ilyin@iszf.irk.ru, spon@iszf.irk.ru

В докладе в рамках волноводного подхода приведен метод описания распространения КВ радиоволн в волноводе Земля - ионосфера. С целью снятия ограничения по частоте снизу, был модифицирован метод решения радиальной задачи и построения спектра радиального оператора. Разработан численный алгоритм расчета поля радиоволны для любых частот, для которых существует регулярный волновод Земля-ионосфера и число нормальных волн достаточно велико.

Ключевые слова: распространение КВ радиоволн, волноводный подход, волновод Земля -ионосфера

The model of HF radio wave propagation on the base of waveguide approach

M.S. Penzin1, N.V. Ilyin1, S.N. Ponomarchuk1

institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS.

In framework of waveguide approach we propose the description technique for HF radio wave propagation in Earth-ionosphere waveguide. In order to remove restrictions for low limit offrequency we modified the technique of radial problem solution and radial operator spectrum construction. The developed numerical algorithm allows us to calculate field for any frequencies if we have regular Earth-ionosphere waveguide and the number of normal waves is sufficiently large. Keywords: HF radio wave propagation, waveguide approach, Earth-ionosphere waveguide

Введение

Одним из эффективных методов анализа КВ радиотрасс является волноводный подход - метод нормальных волн [1]. В рамках волноводного подхода электромагнитное поле излучения внутри волновода Земля-ионосфера представляется в виде разложения по собственным функциям радиального оператора. При этом для численных расчетов, ряд ограничивается так называемой группой слабозатухающих нормальных волн. Если несущая частота сигнала больше минимальной критической частоты на трассе распространения, тогда в каждой точке волновода существует номер нормальной волны, после которого поле перестает отражаться от ионосферы. В случае если частота меньше критических частот по трассе, группа слабо просачивающихся волн становится бесконечной. При этом реальные части спектрального параметра образуют последовательность, сходящуюся к нулю, что физически соответствует наличию углов излучения, сколь угодно близких к вертикали к земной поверхности. Мнимые части спектрального параметра растут с номерами, но обусловлено это не прохождением волн сквозь ионосферный барьер, а поглощением в ионосфере. В докладе приведен метод описания распространения декаметровых радиоволн на основе модификации волноводного подхода. Для коэффициентов разложения в ряде нормальных волн получены решения без учета взаимодействия волн в неоднородном волноводе. Предложена схема решения радиальной задачи и построения спектра

радиального оператора для рабочих частот нижней части декаметрового диапазона, для которых существует регулярный волновод Земля-ионосфера и число нормальных волн достаточно велико.

Постановка задачи

Рассматривается изотропный азимутально-симметричный неоднородный сферический волновод Земля - ионосфера. Волновод образован земной поверхностью

г = а и ионосферой г>гн, где а - радиус Земли, гн - высота начала ионосферы. Излучатель с распределением плотности тока j(r,6) расположен над земной поверхностью ниже ионосферного слоя. Используется сферическая система координат (т,6,ф) с полярной осью, проходящей через излучающую систему. Для Фурье -компонент электромагнитного поля с гармонической зависимостью от времени exp(-iat) уравнения Максвелла можно записать в виде:

4 л _ ^

rotB = -iksE н--/, rotE = ikB . (1)

а

Комплексная диэлектрическая проницаемость ионосферы ё в приближении «холодной» плазмы имеет вид [2]:

ё (r, 6, а) = s(r,6,a) + is" (r,6,o) = 1--^N(r6-. (2)

та[ со + iveff( r, 6 )]

4ж

Внутри Земли ё = ё1 = st + i — crt; в области a < r < rH, ё = 1; на бесконечности

со

limé = 1- Граничные условия на поверхности г = а для компонент поля Е,В имеют

r

вид:

Bt=B' Etq>=Eq>' ЕЮ=Ев' ZtEtr=Er- (3)

Индекс "t" в выражении (3) относится к полю внутри Земли. На бесконечности поля должны удовлетворять условию излучения:

lim

г ^го

v Ог у

V dr У

= 0. (4)

= 0, Ит

г

Вследствие симметрии задачи относительно поворотов вокруг полярной оси система уравнений (1) распадается на две группы уравнений: 1) Er,Ee,Bv образуют ТМ

- поле; 2) Br , Be, Ev образуют ТЕ - поле. При этом компоненты Er, Ee выражаются

через Bv, а компоненты Br,Bg через Ev. Условия сшивки для EV,BV на поверхности

r = a имеют вид:

3 3 1 3 3

Et, = Eр, Jr(rEtv) = — (rEv), ^ = Bv, - -(rBtv) = -(r%). (5)

Общее уравнение для определения компонент EV,BV после перехода к новой

переменной л = — cos в и новым функциям E = rE(py/ 1 — x2 и B = rB(p\l 1 — x2 / у[ё записать в виде:

^i „ и в i „ , можно

д2П 1-х2

2 * .--v — 2

or r

■ + k (г,х)П

Оr 2

При п = е :

ОХ

J\^Xí(r,x) . (6)

Р=к2£, £ = 0, 1 = -1кг — ]ф.

С

При П = В :

г 1 л

52

Условия (5) примут вид:

дг2 у

дг дг е( дг дг

На бесконечности функция П удовлетворяет условию излучения:

дП

дх2

Г±}

7 ; 4 Л" / , 1 = —1КГ — го/ —.

С ^ £

д

1 а

а

Мт,

г^-ю V дг

■- ¡кП = 0.

(7)

(8)

Разделение переменных

Решения краевых задач (6)-(8) для Ей В, при каждом значении х, будем формально представлять в виде разложения по собственным функциям радиальных краевых задач для ТМ и ТЕ - полей, сформулированных в [1] для случая сферически-симметричного волновода. Радиальное уравнение имеет вид:

дг 2

9(г,х)-ЩДкп=о. г )

(9)

Здесь &2 - комплексное собственное значение радиальной задачи. Граничные условия для собственных функций К на поверхности г = а и на бесконечности аналогичны (7) и (8) если вместо Е и В подставить К'п. Для дискретной части спектра краевой задачи радиальные функции допускают нормировку [1]:

8

(10)

ю ВВ 8

| " т ^ _ пт

0 г" а

Условие (10) позволяет заключить, что функции Вп при г ^ 0 удовлетворяют соотношению:

ИтВп/^Т = 0 . (11)

г^0

Таким образом, решение уравнения (6) будем искать в виде ряда:

П(г,х) = ЕХп(х)Яп(г,х).

(12)

Подставим (12) в (6), умножим на Ят и проинтегрируем по г. В результате получим

Х„ +

с &

\

1 - X ^

Хт + аЕ

2Х„

Вт,

)+Хп

дх ) п

(

К 2 Вп' дх2

V!

(13)

- х

где введены обозначения

1т(х) = а\1Ктйг, (Пп,/)=\/Я^.

0 0

В случае плавных изменений параметров ионосферы вдоль координаты х можно

пренебречь взаимодействием волн и величинами % и

дг2

1

в к [3]. Тогда,

введя обозначения = (ка)2 у2 = И2у2 , уравнение (13) можно записать в виде:

п

ю

ю

ёх2

+ И2д(х)Хп =

/1

(14)

- х

где д(х) =

у2 I п

л

. Наличие большого параметра к=каП 106 позволяет при его

- х

решении использовать асимптотические методы. Коэффициент д(х) имеет две особые точки при х = ±1. Построение асимптотического решения проводится следующим образом. Первоначально ищутся асимптотические представления для Хп в областях х е(-1,1-8) и х е(—1 + 8,1), 8> 0. Сшивая эти решения внутри области перекрытия (—1 + £,1 -8), получаем решение уравнения (14). Решение в каждой из составляющих областей можно найти методом эталонного уравнения [4]. Перейдем к новой переменной х = х(г) и введем новую функцию Уп = Хп Уравнение (14) примет

вид:

(х^1 х^ 41 х' ) 2 х'

У'п + к2 д(х)(х')2Уп =

п ^л/Г

,3 / 2

1.

(15)

- х

Пренебрегая производной Шварца, данное уравнение можно свести к эталонному уравнению, полагая

г(х) = - ео$

Гп -1л/Г

- х

(16)

Функция г принимает значения -1 и 1 при х =-1 их =1 соответственно. В результате

преобразования получим уравнение:

к2Г2 Гз/ 2 (1 - х2 .1/ 4

у" + к Гп у = / Г (1 х ) (17)

~ 2 й " -3/2 ^ '

1 - г

гга-п2)3/4'

Если сделать замену Уп = 1 -]2 , то получим уравнение Лежандра:

(1 -г2 )г*п- 2Пг'п +

( 1 > ъ2 г2__—

ъ Г п _ 2

V

1 -г2

)

. , Гп3/2 (1 - х2 г

п = п //2(1-г2) /4

(18)

Решением однородного уравнения Лежандра является линейная комбинация присоединенных функций Лежандра Р1Ц (г):

гп(г) = С пр\п (г) + с2 „Р^ (-г), (19)

где к2Г = ¡лп(¡лп +1) . Решение неоднородного уравнения (18) ищем методом вариации постоянных, используя условия ограниченности решений в точках г = ±1. Общее решение (18) можно записать в виде:

гп(г) = -р\ (г) I

-1 а-Г) А

п П-ГМ,

<И7. (20)

ч , , Г/ 2 (1 - х2 )1 / 4

Здесь ип = 1п „з / 2~ 2,1 / 4 '

4 = Ж[Р\ (г),р' (-г)] = -8т(^п)

Нп( Мп +1)

^ ^ п < ™ 1 -г2

Уп ( 1 ~ V /

Вронскиан функций Лежандра. Так как распределение тока по углу ограничено: 1п(х) = 0, при х > хо, поэтому остается только первое слагаемое в выражении (20)

Zn(n) = (n) J " * dfj, (21)

-i (\-rf)\

где = —(x°) . В итоге выражение для Xn(x) имеет вид:

I ~Г Р1 (л) Л Xn(x) = -^Гч^-х^Щ-Л - ^г—.-1° Jn(л)Р\п (—)d—. (22)

Запишем асимптотические выражения Xn (в) вне областей излучателя и

антиподной точки на примере вертикального электрического диполя с распределением плотности тока:

jr(r,e) = s(r - b)S(e) , (23)

r sine

где p° - полный дипольный момент, b - радиальная координата расположения излучателя. Если выполняются условия1,НГп, то выражение для Xn(e)

совпадает с выражением, записанном в работе [1] в адиабатическим приближении:

в

__ hn ei7r/4 V (О) ,__ih\yn(ff)dff

Хп(в) = -у[м Ро--^LM4^eRn(b,0)e о . (24)

Аналогично, для точечного вертикального магнитного диполя с распределением плотности тока

ш c

jv(r,e) =--° S(r - b)S(в -в°), (25)

7rrb (1 - cos ё )

где ш° - полный магнитный момент, в° - угловой радиус рамки, можно записать выражение для Xn(e) в виде:

в

__Ьтеы/4 г ГО) I__Щ?п((У)Ю'

ь2 4Уп(в)

Радиальная краевая задача

Для практического применения метода нормальных волн для исследования КВ радиотрасс поле внутри волновода Земля-ионосфера представляется в виде ряда по собственным функциям радиальной краевой задачи с импедансными условиями на земной поверхности и условиями излучения на бесконечности [1]. Радиальное уравнение имеет вид:

<12 В

—+н&у,( +1%) В = 0, (27)

<у2

где £ = 1 -ад1(у) + ¡^(у)^, Е + ¡% = Г2 = (/ + ¡у)2, У = г/а, а = ®1/а2 ,

У

Р = ауе/Г /а>2, ql( у) = q( у), q2( у) = q( у)~( у), д( у) - профиль электронной

концентрации Ы(у), нормированный на единицу в точке максимума, ~(у) - профиль

эффективной частоты соударений с нейтралами Уе//, нормированный на единицу в

точке начала ионосферы. Здесь и далее у собственных функций и собственных значений подразумевается наличие индекса п . Граничное условие для радиальной функции на поверхности Земли:

^ + ¡к^1ХЯ = 0, (28)

¿У \ у==1

где £ = 1 для магнитного диполя £ = 1/ 8 для электрического диполя, аг - комплексная диэлектрическая проницаемость земной поверхности. Условие излучения на бесконечности:

1т

^ - ¡М ¿У

= 0 (29)

Решения точной радиальной задачи (9) удовлетворяют условию нормировки (10) для функций Яп. Собственные функции Яп радиальной задачи (27) - (29) с

импедансными граничными условиями на поверхности Земли таким свойством не обладает. Далее, для нахождения нормировочных констант в собственных функциях радиальной задачи будем использовать приближенное условие [1]:

я2 (у)

Iу - 1. (30)

1 У

Вещественную независимую переменную у в коэффициенте уравнения (27) можно заменить комплексной переменной 2 . Нули функции Q(z, д + ¡х) , ^ = У +¡Щ и 2г = У г +¡ , определяют точки отражения (поворота). В зависимости от значения спектрального параметра нижней точкой отражения является поверхность Земли или точка ^ =4^+ ¡х = у + ¡V. В окрестности верхней точки отражения ^ меняет знак Яе Q(z, д + ¡х), поэтому из условия Яе Q(z,<g + ¡х) = 0 можно приближенно записать

г 2 2

выражение на вещественную часть д = у -V :

д = У2[1 -а2(у)] . (31)

В реализованном ранее комплексном алгоритме моделирования декаметрового радиоканала на основе метода нормальных волн [1] предполагалось, что рабочая частота больше минимальной критической частоты Б2 - слоя на радиотрассе. Данное предположение соответствует условию существования идеального волновода Земля -ионосфера. Коэффициент в радиальном уравнении (27) в таком волноводе больше нуля, Q(у, у) > 0 вне точек поворота Q(y, у) = 0. При учете мнимой части спектрального параметра V ограничение снизу на рабочую частоту по критической частоте слоя Б2 снимается, так как решение уравнения (27) для таких частот существует.

Собственные значения у2 = д + ¡х радиальной задачи (27)-(29) в комплексной плоскости (д,х) расположены в верхней полуплоскости, так как <д=у2 - V2,х = 2уу . В комплексной же плоскости (у,V) значения спектрального параметра у + ¡V = расположены в верхнем правом квадранте. В области рабочих частот, меньших критической частоты слоя Б2, вещественная часть спектрального параметра у стремится к нулю, а мнимая часть V резко возрастает. При этом для определенной части спектра собственных значений для рабочих частот низкочастотной части декаметрового и средневолнового диапазона существует регулярный волновод Земля-ионосфера и число нормальных волн достаточно велико. Таким образом, в предлагаемой модели распространения радиоволн ограничение на рабочую частоту по критической частоте слоя F2 снимается и вклад мнимой части собственного значения в характеристики нормальных волн учитывается по квадрату спектрального параметра радиальной задачи.

Решение радиальной задачи

Так как в уравнении (27) параметр к = ка ~ 106 , то решение радиального уравнения вне окрестностей точек поворота ^, записывается в виде ВКБ -приближения [1,5]:

( г \

К =

с±

ехр

(32)

С± - произвольные константы. В области точек поворота г, ^ решение уравнения (27) строится, используя эталонное уравнение Эйри [1,4]. Решение радиальной краевой задачи вблизи поверхности Земли в окрестности точки г = ~ = У + 'у выражается в виде линейной комбинации функций Эйри и(х) и и(х) с учетом импедансных граничных условий (28). Используя асимптотики функций Эйри и(х) и о(х), решение радиальной задачи вблизи поверхности Земли может быть преобразовано к виду ВКБ -решения уравнения (27):

( У \

V С, К = —гЬ соб

е

1/4

к\4Qdy + Ф

(33)

В формуле (33) г = 1 при у < 1 и г = ~ при у > 1. Нормальные волны, отвечающие значениям у < 1, описывают распространение электромагнитного поля в наземном волноводе, а волны у > 1 - в надземном волноводе [1].

Для точки поворота в ионосфере решение (27) ищем, используя эталонное уравнение Эйри, и выбирая только убывающее решение "вглубь ионосферы" [1]. Асимптотика решения в волноводе имеет вид:

C

R = 4

Q

1/4

¿2

h\4Qdy

V у

Ж

+ —

4

Л

(34)

У

Из условия совпадения решений (33) и (34) внутри волновода, получаем уравнение на спектр собственных значений радиальной задачи и связь между константами С и

С:

2 _

к {л/ е(У +'¥,% + 'I, + +'%) = - + жп

(-1) "С = С 2.

(35)

(36)

Решение уравнения на спектр

В окрестности точек отражения можно считать, что е(г) ъ (г 2)(г — г 2) .

Тогда, если учесть, что для нижней точки отражения е '2 (г) = 2 / г, интеграл в окрестности нижней точки поворота можно записать в виде:

2

У1+'¥\

г ъ- №( (г — 2Х)

1

2

2

(—'¥гУ

Для верхней точки отражения получим выражение:

Ъ— IV — е;(Г2)(г2 — г)

У2

— .

У2 "

2

3

V— е/( г 2) ('>2)2

(37)

(38)

г

3

г

г

г

3

Так как — V, то при малом значении V можно пренебречь вкладом мнимых

частей точек отражения. Разложим и Ф по малым величинам (у) и х, пренебрегая малыми величинами второго порядка.

у,д+¡х, р —Му!)

¡РЧ2( У)

2У 2л/0(У) 2^0(у) ' Ф(д+¡х)—Ф(д)+¡Ф х.

Отсюда получим уравнения на реальную и мнимую часть спектра:

(39)

У 2

И1Муд)Лу + ЯеФ(У) - 1тФд (£)х = - + -,

У2

ч

У1 ( .

(40)

¡х

¡рЧ2( У)

2МУ!) 2у24ОЛ)

¿у + 1т Ф(д) + Яе Ф' (д)х = 0.

В первом уравнении мнимой частью производной фазы можно пренебречь по сравнению с интегралом. В итоге получим:

У2

и 1№УУд)4у + яеФ(д) = - + -,

(41)

Рч2( У)

х =

И I 42 ^ ¿у + 1тФ(д)

У2

и\.

1

(42)

г ¿у - ЯеФдСд)

У12у ^осу,д)" ^~ д

Значение константы Сх находится из условия ортогональности радиальных функций (30) и равно [1]:

(

С =

У2

I

V У1

1

Л

-1/2

2у V ос у,д)

¿у

(43)

Компоненты поля

В заключение выпишем выражения для компонент электромагнитного поля в рамках метода нормальных волн. Компоненты ТМ - поля имеют вид:

V sin в

Ь 2 г

ф(г,в)

*п(гв)

в

ш\уп(в')ае' , о

(44)

Ь 2 г

4упв) Яп(г,в) ф(г,в) г

¡Ь\гп(в')с1в' , 0

■\lsin в

ИЬ2 г

д(4фв)Яп(г,в))

ЧгвЦ уп(в)

дг

в

ш\уп(9')ае' , о

_ 13/2 ¡— /4

Здесь Ае =ур2-И ре .

>/е(Ь,0)

(45)

г

.(46 )

п

п

п

Выражения для компонент ТЕ - поля имеют вид:

■\jsin в

Ь 2 г

вг(г.е> = -£-?Г-<0)я-<ъ-0>

\lsin в

Ь 2 г

^п(Г'в)

-уШ

в

Иг\уп(в'ив' о о

К(г,в)

И1\уп(в' )с\в'

\fsin6 Здесь =у!2жк312 те

НЬ2 г

(~т) д(Яп(г,в))

^УЖ)

дг

Иг\уп(в'Ш' э о

т/ 4

(48)

(49)

п

п

Численное моделирование

Реализован алгоритм расчета характеристик нормальных волн в опорных точках спектра. Спектр эффективно возбуждаемых излучателем и слабозатухающих нормальных волн ~2 =£„+ находится из решения трансцендентного уравнения (41) и уравнения (42). Вещественная уп и мнимая уп части спектрального параметра ~ определяются из системы уравнений:

4 =тП ~у2п' Хп = 2гпуп- (50)

На рис. 1 приведены результаты расчета вещественной части спектрального параметра радиальной задачи уп от номера п для рабочих частот 4 и 10 МГц. Тестовые расчеты характеристик нормальных волн проведены для однослойного квазипараболического профиля электронной концентрации с высотой максимума Б -слоя - 300 км и критической частотой слоя / = 6 МГц [1]. При уменьшении рабочей

частоты значение уп уменьшается и приближается к нулю с увеличением номера нормальной волны. Ниже на рис. 2 приведены графики зависимости мнимой части спектрального параметра уп от значения у для тех же рабочих частот 4 и 10 МГц. Расчеты уп проводились для электрических параметров «средневлажной» земли и экспоненциального закона изменения эффективной частоты соударений [1]. Линия 1 на рисунке 2б соответствует волнам ТМ типа, линия 2 - ТЕ типа. Мнимые части уп

для частоты /= 4 МГц резко увеличиваются в ~ 102 раз при уменьшении у вблизи нуля, что обусловлено поглощением нормальных волн в ионосфере.

1.20 0.80 0.40

0 00 -|-1-1-1-1-1-4 0.8 -|-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0 1500 3000 4500 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000

номер п номер п

Рис.1. Зависимости вещественной части спектрального параметра уп от номера п

0 0.4 0.8 1.2 о 1500 3000 4500 6000 7500 9000

у номер п

Рис.2. Зависимость мнимой части спектрального параметра Уп от у п Выводы

В работе в рамках волноводного подхода предложена модель распространения радиоволн в волноводе Земля - ионосфера. Для коэффициентов разложения в ряде нормальных волн получены решения без учета взаимодействия волн в неоднородном волноводе. Для низкочастотной части декаметрового диапазона модифицирована схема решения радиальной задачи и построения спектра радиального оператора. Для частот, меньших критической частоты слоя Б2, реальные части спектрального параметра образуют последовательность, сходящуюся к нулю, что физически соответствует наличию углов распространения, сколь угодно близких к вертикали. Мнимые части спектрального параметра растут с номерами, но обусловлено это не прохождением волн через ионосферный барьер, а поглощением в ионосфере.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки (субсидия №075-ГЭ/Ц3569/278).

Литература

1. Куркин В.И., Орлов И.И., Попов В.Н. Метод нормальных волн в проблеме коротковолновой радиосвязи. М.: Наука, 1981. 124 с.

2. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 683 с.

3. Попов В.Н., Потехин А.П. О распространении декаметровых радиоволн в азимутально-симметричном волноводе Земля - ионосфера // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М.: Наука, 1984. Вып.69. С.9-15.

4. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1983. 352 с.

5. Хединг Д. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.:Мир,1965. 240 с.