CC BY
89
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. 2009. Вып. 4
УДК 537.876 Г. И. Макаров
РАБОТЫ В. А. ФОКА В ОБЛАСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН И ИХ ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
Введение. Фундаментальные исследования В. А. Фока в области распространения радиоволн [1, 2] были выполнены для плоской и сферической моделей Земли, однородной по глубине. Им исправлены существенные ошибки в работе Зоммерфельда [3] для плоской Земли. Для сферической Земли медленно сходящиеся ряды Дебая [4], в которых для коротких и длинных волн нужно брать много тысяч членов, доведены в [2] до возможности получения практических результатов.
Нами [5] были обобщены результаты Фока на неоднородные по глубине структуры, что привело к появлению волн новых типов. При построении решения существенное значение имеет понятие приведённого поверхностного импеданса 5 = Ег/^оНг), где Zо - характеристический импеданс свободного пространства и Е1, Н - касательные компоненты электромагнитного поля к некоторой поверхности. Эта функция непрерывна на всех физических границах раздела. Кроме того, в силу закона сохранения энергии выполняется условие Ие 5 ^ 0. Во всех задачах предполагается, что источник электромагнитного поля - электрический диполь расположен на земной поверхности, а точка наблюдения приподнята над поверхностью Земли.
Однородная плоская Земля. В однородной среде г < 0 с относительной диэлектрической проницаемостью е'т (рис. 1) составляющая вектора Герца Пг удовлетворяет уравнению
2 Ь
г
к 0 ' \ z
к,
дг
-Ы'т5(Х)Пг (X),
Рис. 1. Модель однородной плоской Земли
откуда
5(Х)
Поле над плоской границей на высоте г определяется интегралом
(1)
П = С
хщ [к')е-
а/А;2 - X2 + ЩХ)
(2)
Формула (2) годится и для неоднородных сред с соответствующим импедансом 5(Х, г). В этом случае 5(Х, г) находится из уравнения Риккати
^ - гкЕ> Ь2 -гkfí- —
dz^ т \ кЧ>
(3)
В однородной среде ¿5/¿г = 0 и из (3) получим (1).
© Г. И. Макаров, 2009
Проведём разрезы на плоскости
Х по лини-0. На верх-
1т X
ям 1т к2 — X2 = 0 и 1т у/к2 — X2 нем листе четырёхлистной поверхности Римана считаем 1т \/к2 — X2 > 0, 1т -у/к2 — X2 > 0. Деформируем исходный контур интегрирования в интеграле (2) к виду, изображённому на рис. 2. Тогда исходный интеграл (2) будет равен сумме трёх интегралов Q1 + Р + Q^2. Для однородной по глубине среды нуль знаменателя в интеграле (2)
0
О
а \\\ к О,
Яе X -►
Хо = к*
+ 1'
Рис. 2. Деформация исходного контура
при \Ет\ ^ 1 находится вблизи точки ветвления Х = к и может быть записан как
Хо = ц/1 - б2ф,
где
'эф
8(к)
1 + кб(к)
аб(х)
д Х
1 п
"4<агеЬ-ф<0.
Х=к
Вычет подынтегрального выражения (2) в точке Хо определяется выражением
которое с учётом -у/к2 — Хд « — А;6эф представляется в виде
Если кг > 1 и \6эф\ < 1, то
: /1:1
Р(г) ~ -а/Нг е
г
эф
-вг е-гк&э ф 2
(4)
где
вг = -— г
2
- численное расстояние. Волну Р называют волной Ценнека. Это быстрая волна с фазовой скоростью Сф > с и экспоненциально затухающая. Ценнек получил её из физических соображений, считая, что вдали от точечного источника вблизи границы волну можно считать цилиндрической. Мы убедимся, что в действительности над плоской однородной Землёй этой волны не возникает. В этом состояла ошибка Зоммерфельда.
Вычисление вклада по контурам Ql и Р при помощи довольно громоздких преобразований [1] приводит к выражению
1кП
Р + Ql =
Я
Ш (вг),
Е
Е
е
неоднородная среда
где функция ослабления Ш(вг) для области импедансов, изображённой на рис. 3, имеет вид
W(sr) = 1 + 2\/sr e-sr / е" du
(5)
Рис. 3. Область импедансов
если Im yfs >0, — j < arg 6 < 0 и
гж
W(sr) = 1 + e~sr J eu2du + P(z), (6)
если Im a/s < 0, arg 6 < — j. В представлении (5) волна Ценнека отсутствует (однородная среда), в представлении (6) волна Ценнека присутствует в виде выражения P(z) (4) и здесь она оказывается медленной с фазовой скоростью Сф < с. Если |sr| ^ 1, то для интегралов в (5) и (6) можно найти вторичную асимптотику, которая представляется асимптотически расходящимся рядом и функция ослабления (5) оценивается одним первым членом ряда
W(sr)
n=1
(2п — 1)!!
(2sr)n
1
2sr
(7)
Таким образом, (5) и (7) показывают, что для однородной Земли в сумме Ql + Р волна Ценнека отсутствует, но она может возникнуть при некоторых других структурах земной среды. Интеграл по контуру Q2 легко оценивается и оказывается порядка ехр(гк1г). Это боковая подземная волна и её вклад оказывается пренебрежимо малым.
Неоднородная плоская Земля. Рассмотрим теперь неоднородную по глубине нижнюю среду и в качестве примера рассмотрим двухслойную модель плоской Земли (рис. 4). Для нахождения импеданса 5 воспользуемся уравнением Риккати (3). Тогда окажется
z i k
0 1 1 d r
k2 ELl
бел = -«б1 tg(n + ф)>
Рис. 4. Двухслойная модель плоской Земли
где
п
hdjl- ц, ср
б2
arctg—, 6„ Ol
индекс п принимает значения п = 1, 2.
Изучим вначале нули знаменателя в интеграле (2), расположенные вблизи точки ветвления Х = к и назовём их особыми нулями. Они находятся из уравнения
у/к2 - X2 = —кЬсл(\, d) « —kbCJI(k, d), 0 < d < оо.
(8)
При этом будем обозначать импеданс, соответствующий точке выхода траектории особых нулей, перемещающихся на плоскости Х с ростом толщины слоя й, как
бел(к, 0) = 02
1
v4,2 + 1
Рис. 5. Годограф импеданса:
случай ах ^ 02 (а); случай ах ^ 02 (б)
и импеданс, соответствующий точке входа,
6сл(к = 51
Л/Чг! + 1
Анализ решений уравнения (8), соответствующих годографу импеданса, изображённому на рис. 5, показывает, что особый нуль уравнения (8) расположен на верхнем листе римановой поверхности, и для проводящих слоёв с 01 ^ 02 с толщиной слоя !, меняющейся в интервале ¿1 <!< ¿2, особый нуль соответствует импедансу, для которого выполняется условие 1т л/в < 0. Если Ох сь, то особый нуль существует для импе-дансов, для которых при всех с1 выполняется другое условие: 1т л/в > 0.
Исследуем теперь неособые нули уравнения к2 — X2 = —кЬсп(Х,с1). Исследование 1тX показывает, что с ростом толщины слоя нули Хт перемещаются из при ! ^ 0, спускаясь вниз по нижнему листу, и переходят на верхний лист, пересекая разрез 1т к2 — X2 = 0 при
с 1
т - - I лет1,
где !с1 - толщина скин-слоя верхнего слоя земной среды и ет1 = И,е е^д. С дальнейшим ростом с! нули приближаются к точке Х = к1 (рис. 6).
Поле над двухслойной структурой Земли, как и в случае однородной Земли, определяется интегралом (2), который равен сумме четырёх интегралов
Я1 + Р + Рт + Я2-
0
Рис. 6. Приближение нулей (8) к точке Х = кх
Яе X
Первые два интеграла определяют функцию ослабления, как и в однородном случае, в виде
1кП
Р + Я1 =
я
Ш (вт),
1
1
к
2
е
где И^вг) описывается выражением (5) или (6) в зависимости от знака 1тл/в. Вторые два слагаемых определяют подземные механизмы распространения. Вычеты в неособых нулях оказываются порядка
Р
-1 т
• ехр
к -
(р
Рис. 7. М о д е л ь сферической Земли
Это волны «волноводного типа» в подземном волноводе. Интеграл ^2 имеет порядок вгк2Г и определяет боковую поверхностную волну, распространяющуюся в основании двухслойной структуры. Если заменить 5 на 5эф, то подземные волны отсутствуют.
Сферическая Земля. Перейдём к анализу распространения радиоволн вокруг однородной сферической Земли радиуса а с относительной диэлектрической постоянной е'т (рис. 7). Будем считать, что о ^ Х, где Х - длина распространяющейся волны в вакууме. Начало координат выбрано в центре сферы. Здесь исходным является решение в виде ряда Дебая [3]:
5
Ф
Ег ~ 5
I'2
п--=
(9)
(1)
где Ь = а+к - расстояние от точки наблюдения до центра Земли. Для коротких, средних и длинных волн ряд сходится очень медленно, порядка 0((о/Ь)п), и при суммировании приходится учитывать тысячи членов. Преобразуем ряд (9) в интеграл по контуру Г (рис. 8) и заменим его суммой 51 + 52 двух интегралов по Г1 и Г2, соответственно:
^1/2
3/2
1/2 3/2
Рис. 8. Контуры интегрирования Г, Гх и Г2
2
п
1
2
Г
Г
0
0
Г
2
[*<У2-йч<У~йру i (cos(jt - 0)), J COS VJt 2
r1
/ 1\ Í-ЛкЪ)
ф v"9 =717^-^-^-' (10)
V 2/ ^ (Ла)+гб(у-1)^(А;а)
На контуре Г1 Im v > 0 и можно воспользоваться разложением
1
ссе УП
(_i)q e^ivqn
= 2eiv"2^ (-1)
q=0
Считая \у\ ~ ка, для удаления от источника и антиподальной точки на расстояния каО > 1, ка(л — 8) > 1 можно представить Ру_1(со8б) в асимптотической форме
Pv i (cos8) ~ а!- cos fv8--1 .
> Vvjtsine V 4 J
В результате интеграл представляется бесконечным числом слагаемых, включающих прямые волны, попадающие в точку наблюдения кратчайшим путём (д = 0), кругосветные и антиподальные. Учтём только прямые волны. Воспользуемся асимптотиками В. А. Фока [1]:
где
' Р Л1/3
*=РП2; *
и чл^) - функция Эйри. Будем вычислять нули знаменателя (10) по уравнению
т'(1з) - дт(1з) = 0, (11)
где д = г(ка/2)1/35. В результате для функции ослабления
' е'кЕ..... „ (ка ^ 1/3
прям ~ W{x), R = а8, х = ( — ) 6,
Г1
получим по теореме о вычетах
W(x) = еЪу/Шх— V ^
S=1 4 '
где у = кН(ка/2)-1/3 - приведённая высота точки наблюдения. Перейдём от уравнения (11) к дифференциальному уравнению для нулей ts как функций д. Дифференцируя (11) по д и учитывая уравнение Эйри, получим
dts _ 1
^ = (12)
Это уравнение описывает траектории нулей уравнения (11) при изменении \ д\ в интервале 0 < \д\ < то. При д = 0 нули уравнения (11) ,ш'(1оз) = 0 будем называть точками
Рис. 10. Уменьшение номера точки выхода бесконечной ветви и номера вырождающегося нуля при уменьшении arg 6
выхода линий нулей, а при q = ж нули уравнения w(txs) = 0 - точками входа. Они лежат на луче argt = л/3, как показано на рис. 9, где изображены траектории ts(q) для —Jt/З < arg6 < jt/2. В точке аft~s = q мы имеем точку потери аналитичности функции ts(q) (12), и она совпадает с точкой вырождения корней уравнения (11). Вырождение имеет место для области импедансов —71° < arg 6 < -60°. Одновременно с вырождением имеет место уходящая на бесконечность линия нулей. Для arg 6 = —60° вырождаются бесконечно далёкие корни с большими номерами. При уменьшении arg 6 номер вырождающихся нулей уменьшается и уменьшается номер точки выхода бесконечной ветви (рис. 10). При arg 6 « —71° вырождаются нули ti и t2. Уходящая на бесконечность линия нулей выходит из первой точки выхода для —90° < arg 6 < —71°.
Функция ослабления, отвечающая бесконечной линии нулей, оказывается поверхностной волной Ценнека. Таким образом, для нормальной компоненты электрического поля в случае источника и точки наблюдения, расположенных на поверхности Земли, мы имеем следующие выражения:
к2Р eikR ,
Er =--т^-е 4 \ -Wix),
2jT£o R V sine v
Шж) = 0й?> -argö >-60°; (13)
^ ts - q2
=1
W(x) = л/зй7 V —-- + 2VinSRe-SR + iQV2nkRe-SR, -71° < argö < -60°; (14)
S=1 ts - q
W(x) = л/зй? V-2 + 2VinSRe~SR, -90° < argö < -71°. (15)
s = 1
ts - q
Здесь входят экспоненциально убывающие с расстоянием волны с дифракционным высвечиванием (13), поверхностная волна Ценнека (15) и вырожденная волна (14), в которой так же, как и в волне Ценнека, нет ослабления, вызванного высвечиванием. Кроме того, в (9) входит интеграл по мнимой оси
г<х>
Г Г y(v2-l)cp(v-l)Pv(coS(jt-e))^ J J COS VJT
Г2 —i<x>
Существуют две приближённые оценки этого интеграла, полученные при помощи сложных вычислений
Г iü(e2ikl a), [2];
J I O(eikil), [5, 6],
Г2 k
где l - длина хорды (рис. 7). Оценки показывают, что величина этого интеграла мала и может быть лишь малой поправкой к полученному выше результату, которую в большинстве практических случаев можно не учитывать.
Литература
1. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Ч. 2. М.; Л., 1937. 998 с.
2. Фок В. А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных волн. М., 1970. 517 с.
3. Sommerfeld A. Über die Ausbritung der Wellen in der drahtlosen Telegraphie // Ann. Phys. 1926. Bd. 81. N 4. S. 1135-1153.
4. Debye P. Näherungsformeln für die Zylinder-funktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index // Math. Ann. 1909. Bd. 67. S. 535-585.
5. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М., 1991. 196 с.
6. Макаров Г. И., Осипов А. В. Исследование спектрального разложения функции Грина в задаче о дифракции волн на проводящем шаре // Пробл. дифр. распр. волн. Л., 1967. Вып. 21. С. 3-18.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
