CC BY
2ЭКОНОМИКА, СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.711
МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИРОВАНИЕМ В ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРОЕКТЫ
В.Б. Вилков, кандидат физико-математических наук, доцент. Военная академия материально-технического обеспечения им. генерала армии А.В. Хрулёва.
В.А. Плотников, доктор экономических наук, профессор. Санкт-Петербургский государственный экономический университет. А.К. Черных, доктор технических наук, доцент. Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России
Показана необходимость активизации инвестиционной деятельности в современных социально-экономических условиях, характеризующихся высокой нестабильностью и неопределенностью. Для активизации инвестиционного процесса предложено использовать новую модель оценки целесообразности и эффективности инвестиций. Рассмотрена задача моделирования ожидаемой прибыли от инвестиционных проектов и ее распределения среди инвесторов. Предполагается, что точной информацией о предполагаемых доходах инвесторы не располагают. Проблема моделируется в форме нечеткой кооперативной игры. Это позволяет выбрать оптимальную игру, для которой вектор Шепли задает прогноз величины и распределения ожидаемой прибыли. Предложен легко реализуемый в виде компьютерного приложения алгоритм решения задачи моделирования инвестиционной деятельности.
Ключевые слова: инвестирование, инвестиционный проект, распределение прибыли, кооперативная игра, нечеткие множества, вектор Шепли
THE MODEL OF PROCESS MANAGEMENT BY INVESTING IN PERSPECTIVE PROJECTS
V.B. Vilkov. Military academy of logistics.
V.A. Plotnikov. Saint-Petersburg state university of economics.
A.K. Chernykh. Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia
The need to intensify investment activity in modern socio-economic conditions, characterized by high instability and uncertainty, is shown. To activate the investment process, it is proposed to use a new model for assessing the feasibility and efficiency of investments. The problem of modeling the expected profit from investment projects and its distribution among investors is considered. It is assumed that investors do not have accurate information about the expected returns. The problem is modeled in the form of a fuzzy cooperative game. This allows you to choose the optimal game for which the Shapley vector specifies the forecast of the magnitude and distribution of the expected profit. An algorithm for solving the problem of modeling investment activity, which is easily implemented in the form of a computer application, is proposed.
Keywords: investment, investment project, profit distribution, cooperative game, fuzzy sets, Shapley vector
121
Введение
Сегодняшняя экономика развивается в условиях нестабильности, которая носит системный характер [1-3]. Современный эпизод этой нестабильности, как правило, увязывается с пандемией Covid-19 [4-6], но причины ее, по мнению авторов, являются более глубокими и обусловлены трансформационными процессами в российской и мировой экономике [7]. Эти трансформации связаны с кардинальными изменениями в технологической, социальной, политической и иных сферах. И, по-видимому, в краткосрочной перспективе они не будут завершены, что требует анализа перспективных мер по преодолению «новой нормальности» [8].
Сам термин «новая нормальность» появился в научном и общественно-политическом лексиконе сравнительно недавно. По мнению Е. Брагиной (с которым вполне можно согласиться), «примерно суть новой нормальности, если исходить из разных подходов, подкупает своей простотой: «Экономика не восстанавливается после кризиса в привычной (нормальной) циклической последовательности»... Термин «новая нормальность», хотя пока ещё мало что объясняет, но всё же обещает некую попытку обновления в понимании нынешнего экономического положения. В мире происходят быстрые сдвиги, кардинальные изменения, возможно, в них надо искать решение насущных экономических и связанных с этим политических проблем» [9].
Многие эксперты высказывают точку зрения о том, что переходный период в развитии мировой и российской экономики может затянуться. В то же время есть насущные проблемы, которые надо решать сегодня, не дожидаясь окончания этого переходного периода. В этой связи следует, продолжая изучать новые тренды развития и возможности управления ими, более активно и эффективно использовать известные инструменты стимулирования социально-экономического развития. Основной акцент при этом следует сделать на развитие государственно-частного партнерства и в целом -на активизацию взаимодействия государства и частного бизнеса [10-12], а также на стимулирование предпринимательской активности частного сектора.
Важность второго направления обусловлена тем, что современная российская экономическая модель является смешанной, в ней серьезную роль играет рыночный сектор. Поэтому следует всемерно использовать его потенциал. В частности, заслуживает более пристального внимания разработка и внедрение новых моделей инвестирования, которые не только способствуют структурной перестройке экономики, что лежит в русле решения задач трансформации и выхода из состояния «новой нормальности», но и способны дать мощный импульс экономическому росту за счет присущего инвестициям мультипликативного эффекта. Именно рассмотрению этих вопросов посвящено авторское исследование, результаты которого приведены в данной статье.
Постановка задачи моделирования
По мнению авторов, повышение эффективности инвестиционного процесса во многом связано с совершенствованием используемых для управления им моделей. Причем эти модели должны строиться на современной экономико-математической основе, что позволяет их масштабировать и тиражировать в условиях формирования цифровой экономики и интенсивной цифровизации социальных, экономических и управленческих процессов.
Рассматривается следующая задача. Имеется п инвесторов, обозначать которые будем А{, А2, —, Ап, а их множество - N . Вклад инвестора в проект А^, i = 1,2,..., п составляет аI рублей. Если возникает коалиция (альянс, стратегическое партнерство и т.п.) инвесторов
5 с N, то его участники вкладывают сумму )= ^ а, , самый выгодный при
1<еБ
инвестировании этой суммы проект Р(Б) обещает им прибыль Ур (5).
122
Требуется дать прогноз суммарного и индивидуального для каждого инвестора дохода (прибыли) от участия в инвестиционной деятельности с тем, чтобы повысить их заинтересованность в ее ведении. При этом отметим, что максимальная прибыль, которую могут в сумме в результате реализации самого выгодного проекта получить все инвесторы, равна величине Vp (N). В сформулированной задаче требуется определить величину Vp (N) и долю каждого инвестора в получаемой прибыли.
Методология моделирования
Новизна авторского подхода к проведению моделирования состоит в совместном использовании для решения описанной выше задачи инструментов теории кооперативных игр [13-16] и теории нечетких множеств [17-20].
Пусть G есть множество всех кооперативных игр n лиц с побочными платежами. Характеристическую функцию (доход, который получит коалиция s, не прибегая к помощи других инвесторов) игры g е G будем обозначать Vg (S), тогда g = (n, Vg, Xg), где
N = {l,2,...,n} и
Xg = jx = {xi,X2,...,Xn): tx = Vg(N)<M, xt > Vg({?}),i = 1,2,...,n|.
В рамках рассматриваемой в статье задачи M - это максимально возможный суммарный доход инвесторов.
Рассмотрим нечеткую игру, (нечеткое множество) g = (N, Vg) с функцией
принадлежности ¿Ug (g), g е G. Ее характеристическая функция Vg (S) каждой коалиции S с N соотносит нечеткое число V? (u), u е [ü, M], то есть заданное на универсальном множестве [0, M ].
S ( \
Функцию принадлежности нечеткого числа Vg будем обозначать ¿Ug (u). Тогда, согласно правилу нечеткой конъюнкции, можно записать:
St
Ug (g )={L (Vg(S))}.
Будем предполагать, что для каждой коалиции £ функция принадлежности нечеткого числа достигает максимума в единственной точке е [0,М] (рис.).
^S
Рис. Пример графика функции принадлежности нечеткого числа V g
123
Предполагается, что (0) = 0 для любой игры g е О .
Через g обозначим игру, для которой V * (,)= Ь^. Имеем: ц^ (g )= 1.
g
Заметим, что Ц (и) - это степень уверенности в том, что значение
характеристической функции Vg (,) для коалиции , с N равно и , ц (g) - это степень
*
«близости» игры g к игре g (степень уверенности в том, что игра g «близка»
**
к игре g ). Чем больше ц (g), тем игра g «ближе» к игре g .
Рассмотрим следующую задачу математического программирования:
vg (N max. (g Jg (g ))e g.
(1)
Так как множество допустимых планов является нечетким, то решить задачу (1) можно, используя подход Заде-Беллмана [21, 22]. Определим на множестве О нечеткое
множество цели с - «значение целевой функции «близко» к максимальному (идеальному)» (здесь это М) с функцией принадлежности ц (g), g е О . Величина ^) задает степень уверенности в том, что значение целевой функции задачи (1) для игры g «близко» к максимальному (идеальному).
В качестве показателя ц, ^) уверенности в том, что получаемый суммарный доход
(N) «близок» к доходу, равному М, предлагается использовать нормированное
j(g)= ^ ■ (2)
vg
отклонение величины Vg (N) от M :
)
M
Оптимальным планом задачи (1) предлагается считать игру g', для которой
уверенность в том, что она принадлежит пересечению нечетких множеств g и С, максимальна, то есть:
max min jg (g), jC (g)}= min jg (g'), jC (g')}.
geG
Пусть значения левой и правой частей равенства (2) равны в. Для игры g' степень уверенности в том, что она близка к игре g и значение Vg'(N) близко к M, максимальна.
Заметим, что jUN (vg. (N)) > bS* , что следует
„ „ (VgI ^)) > Ь * , что следует из свойств нечетких чисел и того, что
g
в задаче (1) ищется максимум Vg (N). Множество оптимальных планов задачи (1)
г ^опт
обозначим О .
Напомним некоторые сведения о векторе Шепли [13, 14, 23]. Пусть А есть некоторым образом упорядоченное множество всех игроков из N и А % - подмножество
множества А, содержащее первые к элементов из А. Вкладом к -го по счету игрока из множества А называется величина, равная тому, на сколько увеличивается значение характеристической функции коалиции А % _ 1, если к ней присоединяется игрок к , то есть
124
величина, равная )— к \ {к}). Заметим, что под игроками в рамках статьи понимаем инвесторов.
Шепли Л. в работе [23] предложил рассматривать в качестве решения кооперативной игры с побочными платежами дележ ф(у) (распределение суммарного выигрыша между игроками), который каждому игроку дает математическое ожидание его вклада во все коалиции, при этом предполагается, что любое упорядочение А равновероятно:
Ф^) = 1 I ,
п! теТ
где п - число игроков; Т - множество упорядочений игроков; Хт - распределение
выигрыша, в котором к по порядку игрок в упорядочении т, вносит свой вклад в соответствующую коалицию.
Отметим, что предложенное Л. Шепли распределение в русскоязычной литературе принято называть «вектором Шепли». В работе [13] вектору Шепли дается следующее содержательное истолкование: «Предположим, что игроки (элементы множества N ) решили встретиться в определенном месте в определенное время. Естественно, что из-за случайных отклонений все они будут прибывать в различные моменты времени; однако предполагается, что все порядки прибытия игроков (то есть их перестановки) имеют одну и ту же вероятность, а именно 1/(п!). Предположим, что если игрок г, прибывая, застает на месте членов коалиции Т\{г} (и только их), то он получает выигрыш у(т)— у(т \ {}). Тогда I компонента вектора Шепли представляет собой математическое ожидание выигрыша игрока I в условиях этой рандомизационной схемы».
Рассмотрим игры g и И из О . Пусть Vg (т)= (Т)+ а, а > 0, и ^ (5 ) = V (5)
для любого 5 Ф Т. Пусть Хg и Хи - векторы Шепли соответственно в g и И,
и xg, хИ - выигрыши, которые дают игроку I векторы Шепли в этих играх.
Замечание 1. Так как в задаче (1) ищется максимум v(N), то из возможных при заданном значении функции принадлежности (и) значений ее аргумента будем
рассматривать наибольшее, а оно не меньше Ь ^ .
g
Имеем (g')= min (vg,(S))}= ¡и*(vg.(N)). (Если ¡и*(vg,(n)) >Mg(g'),
S с N
то в силу вышесказанного значение Vg. (N) может быть увеличено).
7 7 (71- 1>(n - |Г|) ,
Утверждение: xg = xh + a--> xh для любого l е Т.
g n!
Доказательство: пусть Vg (Т) = vh (Т) + a, a > 0; пусть l еТ и Т = (¡1, ¡2 ,---,ik-1, l), ¡1,¡2,---,¡k-1,l - это первые к игроков, пришедших на место встречи, и при этом пришедших в указанном порядке. Обозначим W = (¡1, ¡2 ,---,i'k-1). В игре g вклад игрока l в коалицию Т на a больший, чем в игре h. Заметим, что это будет выполняться в числе случаев, равном числу всех перестановок игроков из коалиции W (а их число равно рГ|-1 = (М -1)!), умноженному на число перестановок игроков, не попавших в Т
(их число Pn-т = (n - |Т|)!).
Таким образом, для l еТ :
125
у = 4 + a .(IT - " - T У! > xj.
g h I h
n !
Следствие. Рассмотрим игры g и h из G . Пусть:
4(Vg(T))< 4(vh(T)) и 4(vg(S))= 4(vh(S)),
если T Ф S, тогда Vg (t) = Vh (t) + a, a > 0, это следует из замечания 1 и того, что
в процессе переговоров о распределении суммарной прибыли v(n) каждая коалиция стремится заявить о своих максимальных, при рассматриваемой надежности, возможностях. Поэтому естественно считать, что из всех игр, являющихся оптимальными планами задачи (1), то есть игры, для которой наша уверенность в том, что они принадлежат
пересечению нечетких множеств g и С, максимальна, то есть равна 0, следует ориентироваться
на такую игру g0 е Gопт, что 4 ^v о (T= 0 для любого T с N. В качестве решения
рассматриваемой задачи об инвесторах предлагается использовать вектор Шепли такой
игры, при этом искомая максимальная суммарная прибыль равна v о (N).
g
Результаты и обсуждение
Изложим алгоритм отыскания игры g0 .
Шаг 1. Найти 0. Согласно следствию к утверждению имеем 4g (g0 )= 4^v о (N)j. Так как jUg (g) убывает при росте 4 (g) и наоборот,
то max min 4g (g), 4 (g)} реализуется при 4g (g) = 4 (g).
geG
Тогда 4 fv.0 (N)1 = 4<?(g° )= или » 0 (N) =i4i )-1
(N)
0 (N) I = 4 r (g0 - или v 0
g J c v ' M g
vg 0
(NX
M v
Решаем последнее уравнение относительно V 0 и из его решений выбираем
§
максимальное, это и будет искомое v 0 (n) .
g
о (N)
Тогда 0 находим из равенства: 0 =
v
g0
M
Шаг 2. Строим игру §0. В игре §0 для любого £ должно выполняться
4 ( ^ о С5 )) = 0.
Шаг 3. В игре §0 ищем по указанному выше правилу вектор Шепли. Пример. Рассмотрим нечеткую игру §, в которой игроками являются три инвестора, имеющие намерение вложить средства в некоторый проект. Прибыль, получаемая коалицией £ инвесторов, является нечеткой и задается нечетким треугольным числом
126
V5 = (а5,Ь55,(табл. 1). Предполагается, что максимально возможный доход равен 2,2 млн руб.
Таблица 1. Исходные данные для моделирования
Номер ситуации Возможные коалиции, или отдельные инвесторы (5) 5(5 ) (сумма, которую может инвестировать коалиция 5), млн руб. Ожидаемая прибыль, млн руб. (1 = (%, ЬБ, )
1 {1} 5,5 (0,4,0,5,0,6)
2 {2} 7 (0,4,0,6,0,9)
3 {3} 3,7 (0,2,0,25,0,3)
4 {1,2} 12,5 (0,9,1,3,1,8)
5 {1,3} 9,2 (0,6,0,8,1,0)
6 {2,3} 10,7 (0,8,1,1,1,5)
7 {1,2,3} 16,2 (1,4,1,7,2,2)
С учетом сказанного, для любого 5 с N функция принадлежности и (и) нечеткого
5
числа V5 задается формулой:
5 (и ) =
и (и
и — а
Ь5 — а5 С5 — и С5 — Ь5 ' 0, иначе.
5 , и е [а5, Ь5 1
и е [Ь5, С51
V,
■ ^)
Шаг 1. Решаем уравнение ¿и& (g )= и г (g )=~-, из которого, учитывая ранее
сказанное, получаем уравнение
СN — и и
СN — ЬN М
М
из которого, учитывая табличные данные,
2,2 — и и
получаем, что —— = . Отсюда и = 1,79 и и = 0,81.
2,2 —1,7 2,2
Шаг 2. Из равенства 0,81
С5 — и
находим, что V 0(5) = м = 0,19с5 + 0,81Ь5.
Се — Ь
"5 5
Подставляя сюда данные из табл. 1, получаем:
Vg0 («) = 0,52 , ^0 ({2}) = 0,66 , ^0 ({3}) = 0,26, ^0 ({1,2}) = 1,40,
g
g
g
Vg0 ({1 3}) = а 84, Vg0 ({23}) = 1 18, Vg0 ({123}) = I 80 .
Шаг 3. Вычисление вектора Шепли сведем в табл. 2.
<
127
Таблица 2. Вычисление вектора Шепли
Номер Перестановка Инвесторы
строки 1 2 3
1 123 0,52 0,88 0,40
2 132 0,52 0,96 0,32
3 213 0,74 0,66 0,40
4 231 0,62 0,66 0,52
5 312 0,58 0,96 0,26
6 321 0,62 0,92 0,26
7 Сумма 3,6 5,04 2,16
8 Вектор Шепли 0,60 0,84 0,36
В первых шести строках указаны вклады игроков (по столбцам) при различных порядках их прибытия в условленное место (подробнее в работе [13]). Значения вектора Шепли указаны в восьмой строке.
Таким образом, первый инвестор имеет прибыль в 0,6 млн руб., второй -0,84 млн руб., третий - 0,36 млн руб. При этом степень нашей уверенности в том, что такое распределение обосновано и одновременно в том, что суммарный доход инвесторов близок к идеальному, максимальна и равна 0,81.
Выводы
1. В современных условиях эффективное управление социально-экономическим развитием наталкивается на трудности, связанные с трансформационными процессами в экономике и обществе, что требует мобилизации усилий для выхода из ситуации «новой нормальности». Ключевым направлением такого рода мобилизации выступает активизация инвестиционного процесса, что обусловило необходимость разработки нового инструментария его оценки и обоснования управленческого выбора наиболее эффективных проектов для инвестирования с учетом максимизации доходов частных инвесторов.
2. В статье предложен новый подход к решению кооперативных игр с побочными платежами с нечеткими характеристическими функциями, использующий идеи Заде - Беллмана и вектор Шепли, который предложено применять для управления инвестиционной деятельностью, а также разработана соответствующая экономико-математическая модель, которой дана прикладная интерпретация и обосновано алгоритмическое обеспечение ее использования в хозяйственной практике.
3. Авторами предложен достаточно простой, с вычислительной точки зрения, алгоритм поиска предложенного в статье решения на основе нечеткого игрового моделирования инвестиционных решений, сложность которого растет весьма быстро, пропорционально факториалу числа игроков (инвесторов). В то же время для большинства реальных задач формирования пулов инвесторов это число не столь велико, и алгоритм позволяет решать задачу даже без использования компьютерной программы. А учитывая возможности разработки для реализации предложенного алгоритма специального программного обеспечения, ограничения на его практическое применение снимаются.
Литература
1. Барсукова М.А., Боркова Е.А., Ватлина Л.В. Управление экономической устойчивостью в условиях инновационного развития // Известия Санкт-Петербургского государственного экономического университета. 2019. № 2 (116). С. 54-57.
2. Панфилова О.В. Риски прекращения воспроизводства капитала в инвестиционном процессе // Известия Санкт-Петербургского государственного экономического университета. 2019. № 5-2 (119). С. 43-46.
128
3. Рукинов М.В. Векторы технологических трансформаций и перспективы безопасного развития экономики России в условиях нового технологического уклада // Известия Санкт-Петербургского государственного экономического университета. 2020. № 1 (121). С. 7-15.
4. Вертакова Ю.В., Феоктистова Т.В. Реализация антикризисных мер для населения и бизнеса в условиях пандемии коронавируса COVID-19 // Экономика и управление. 2020. Т. 26. № 5 (175). С. 444-454.
5. Пролубников А.В. Трансформация государственной экономической политики в условиях пандемии новой коронавирусной инфекции COVID-19 // Теория и практика сервиса: экономика, социальная сфера, технологии. 2021. № 1 (47). С. 11-14.
6. Селищева Т.А. Влияние пандемии COVID-19 на экономику стран-членов Евразийского экономического союза и перспективы ее восстановления // Известия Санкт-Петербургского государственного экономического университета. 2021. № 3 (129). С. 36-42.
7. Институциональная трансформация социально-экономических систем в условиях цифровизации: состояние, тренды, проблемы и перспективы: монография. Курск: Университетская книга, 2020. 294 с.
8. Дынкин А.А. В поисках новой нормальности // Научные труды Вольного экономического общества. 2015. Т. 195. С. 466-480.
9. Брагина Е. Новая нормальность // Мировое и национальное хозяйство. 2013. № 1 (24). С. 1.
10. Агамагомедова Е.В. Проекты государственно (муниципально)-частного партнерства в развитии социальной сферы // Теория и практика сервиса: экономика, социальная сфера, технологии. 2019. № 4 (42). С. 25-28.
11. Плотников В.А. Партнерство государства и бизнеса в современных условиях: перспективы трансформации // Управленческое консультирование. 2021. № 7 (151). С. 29-38.
12. Vertakova J., Plotnikov V. Russian and foreign experience of interaction between government and business // World Applied Sciences Journal. 2013. Vol. 28. № 3. Р. 411-415.
13. Теория игр: учеб. пособие / Л.А. Петросян [и др.]. М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. 304 с.
14. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. 272 с.
15. Нейман Д. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1971. 707 с.
16. Вилков В.Б., Плотников В.А., Черных А.К. Методический подход к оценке индивидуального вклада специалистов при реализации проектов управленческого консультирования // Управленческое консультирование. 2020. № 11 (143). С. 63-76.
17. Вилков В.Б., Флегонтов А.В., Черных А.К. Математическая модель задачи о распределении в условиях неопределенности // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2018. № 2. С. 180-191.
18. Vilkov V.B., Shcherbakova O.I., Chernykh A.K., Andreev V.P., Khudyakova T.L., Kazakova S.N. The choice of an optimal methodology for the retraining organization of psychologists based on the use of mathematical methods // Espacios. 2018. Т. 39. № 20. С. 16.
19. Zadeh L. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. № 8. P. 338-353.
20. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 312 с.
21. Орловский С.А. Проблема принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 206 с.
22. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment. Management Science. 1970. Vol. 17. Pp. 141-164.
23. Shарlеу L. A value for n-person games. Contributions to the Theory of Games. V. 2. Princeton (N. J.). 1953. p. 307-317.
129
References
1. Barsukova M.A., Borkova E.A., Vatlina L.V. Upravlenie ekonomicheskoj ustojchivost'yu v usloviyah innovacionnogo razvitiya // Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo ekonomicheskogo universiteta. 2019. № 2 (116). S. 54-57.
2. Panfilova O.V. Riski prekrashcheniya vosproizvodstva kapitala v investicionnom processe // Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo ekonomicheskogo universiteta. 2019. № 5-2 (119). S. 43-46.
3. Rukinov M.V. Vektory tekhnologicheskih transformacij i perspektivy bezopasnogo razvitiya ekonomiki Rossii v usloviyah novogo tekhnologicheskogo uklada // Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo ekonomicheskogo universiteta. 2020. № 1 (121). S. 7-15.
4. Vertakova Yu.V., Feoktistova T.V. Realizaciya antikrizisnyh mer dlya naseleniya i biznesa v usloviyah pandemii koronavirusa COVID-19 // Ekonomika i upravlenie. 2020. T. 26. № 5 (175). S. 444-454.
5. Prolubnikov A.V. Transformaciya gosudarstvennoj ekonomicheskoj politiki v usloviyah pandemii novoj koronavirusnoj infekcii COVID-19 // Teoriya i praktika servisa: ekonomika, social'naya sfera, tekhnologii. 2021. № 1 (47). S. 11-14.
6. Selishcheva T.A. Vliyanie pandemii COVID-19 na ekonomiku stran-chlenov Evrazijskogo ekonomicheskogo soyuza i perspektivy ee vosstanovleniya // Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo ekonomicheskogo universiteta. 2021. № 3 (129). S. 36-42.
7. Institucional'naya transformaciya social'no-ekonomicheskih sistem v usloviyah cifrovizacii: sostoyanie, trendy, problemy i perspektivy: monografiya. Kursk: Universitetskaya kniga, 2020. 294 s.
8. Dynkin A.A. V poiskah novoj normal'nosti // Nauchnye trudy Vol'nogo ekonomicheskogo obshchestva. 2015. T. 195. S. 466-480.
9. Bragina E. Novaya normal'nost' // Mirovoe i nacional'noe hozyajstvo. 2013. № 1 (24).
S. 1.
10. Agamagomedova E.V. Proekty gosudarstvenno (municipal'no)-chastnogo partnerstva v razvitii social'noj sfery // Teoriya i praktika servisa: ekonomika, social'naya sfera, tekhnologii. 2019. № 4 (42). S. 25-28.
11. Plotnikov V.A. Partnerstvo gosudarstva i biznesa v sovremennyh usloviyah: perspektivy transformacii // Upravlencheskoe konsul'tirovanie. 2021. № 7 (151). S. 29-38.
12. Vertakova J., Plotnikov V. Russian and foreign experience of interaction between government and business // World Applied Sciences Journal. 2013. Vol. 28. № 3. R. 411-415.
13. Teoriya igr: ucheb. posobie / L.A. Petrosyan [i dr.]. M.: Vyssh. shk., Knizhnyj dom «Universitet», 1998. 304 s.
14. Vorob'ev N.N. Teoriya igr dlya ekonomistov-kibernetikov. M.: Nauka, Gl. red. fiz.-mat. lit., 1985. 272 s.
15. Nejman D. fon, Morgenshtern O. Teoriya igr i ekonomicheskoe povedenie. M.: Nauka, 1971. 707 c.
16. Vilkov V.B., Plotnikov V.A., Chernyh A.K. Metodicheskij podhod k ocenke individual'nogo vklada specialistov pri realizacii proektov upravlencheskogo konsul'tirovaniya // Upravlencheskoe konsul'tirovanie. 2020. № 11 (143). S. 63-76.
17. Vilkov V.B., Flegontov A.V., Chernyh A.K. Matematicheskaya model' zadachi o raspredelenii v usloviyah neopredelennosti // Differencial'nye uravneniya i processy upravleniya. 2018. № 2. S. 180-191.
18. Vilkov V.B., Shcherbakova O.I., Chernykh A.K., Andreev V.P., Khudyakova T.L., Kazakova S.N. The choice of an optimal methodology for the retraining organization of psychologists based on the use of mathematical methods // Espacios. 2018. T. 39. № 20. S. 16.
19. Zadeh L. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. № 8. P. 338-353.
20. Nechetkie mnozhestva v modelyah upravleniya i iskusstvennogo intellekta / pod red. D A. Pospelova. M.: Nauka, gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. 312 s.
130
21. Orlovskij S.A. Problema prinyatiya reshenij pri nechetkoj iskhodnoj informacii. M.: Nauka, gl. red. fiz.-mat. lit., 1981. 206 s.
22. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment. Management Science. 1970. Vol. 17. Pp. 141-164.
23. Sharleu L. A value for n-person games. Contributions to the Theory of Games. V. 2. Princeton (N. J.). 1953. p. 307-317.
131
