Модель нестационарного массопереноса в процессах жидкостной экстракции при перемешивании фаз Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 66.061.35

Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров

МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО МАССОПЕРЕНОСА В ПРОЦЕССАХ ЖИДКОСТНОЙ ЭКСТРАКЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕШИВАНИИ ФАЗ

Ключевые слова: капля, псевдоламинарный пограничный слой, коэффициент массоотдачи.

Рассматривается математическая модель процесса жидкостной экстракции в аппаратах с перемешивающими устройствами. Произведен расчет коэффициентов массоотдачи по предложенной модели, проведено сравнение расчетных данных с результатами экспериментов при экстракции в системах вода - изоамиловый спирт и вода - циклогексан.

Keywords: drop, pseudolaminar boundary layer, mass transfer coefficient.

It is proposed a mathematical model of the process liquid-liquid extraction for apparatus with mixing devices. On the basis of the proposed model calculated mass transfer coefficients in systems water - isoamyl alcohol and water -cyclohexane, these calculated data compared with experimental results.

Введение

Известен ряд эмпирических зависимостей с различными допущениями для описания массоотдачи при экстракции в системе жидкость-жидкость. Однако использование эмпирических зависимостей ограничено условиями проведения экспериментов, что объясняется масштабным эффектом, возникающим при переходе от лабораторного макета к промышленному аппарату. Конструктивные и режимные параметры связаны с диссипацией энергии в объеме двухфазного потока. В зависимости от конструкций аппарата и режимных возмущений в двухфазном потоке создаются различные структуры турбулентного движения. Существующие в настоящее время модели расчета процессов растворения мелкодисперсных частиц небольших размеров в аппаратах с перемешивающими устройствами, используют гидродинамическую модель обтекания взвешенных частиц в ламинарном, переходном режимах или модель пограничного слоя в турбулентном потоке.

Проведенные экспериментальные

исследования характеристик диффузионного пограничного слоя методом голографической интерферометрии позволили установить наличие автомодельности профиля концентрации при различных гидродинамических режимах. Кроме того, в структуре диффузионного пограничного слоя выявлены область с логарифмическим профилем концентрации и область диффузионного подслоя. На основании вышесказанного сделан вывод о том, что пограничный слой на поверхности частицы в потоках с внешней турбулентностью сочетает в себе черты характерные для ламинарного и турбулентного пограничных слоев, поэтому он может быть классифицирован как

псевдоламинарный [1].

Диффузия молекул с поверхности капли в ядро потока сплошной среды при уменьшении частицы и диффузия вещества из сплошной фазы к

поверхности частицы при росте приводит к перемещению границы пограничного слоя. Координаты пограничного слоя изменяются во времени пропорционально скорости изменения размера капли. Перенос импульса и массы в пограничном слое является нестационарным [2]. Рассмотрим задачу нестационарного массопереноса в пограничном слое на капле со стороны сплошной фазы, пренебрегая сопротивлением внутри капли.

Теоретическая часть

При малой скорости относительного движения капли иш и ее размера d , инерционные силы переноса импульса и массы в пограничном слое малы по сравнению с силами трения и молекулярного переноса. Уравнения движения и переноса массы в нестационарном пограничном слое на поверхности капли принимают вид:

ди ,д2и д2и

- = v(-дг

до

дг

= D(

дх2 ду

д 20 д20

),

дх2 ду

(1)

(2)

Увеличение и уменьшение размера капли по диффузионному механизму начинается с величины

Перенос вещества с поверхности капли

приводит к увеличению, а перенос к поверхности к уменьшению размера d 0 по координате у. Скорость о роста (+) или уменьшения (-) размера сферической капли представим в виде изменения во времени поперечной координаты пограничного слоя: бу/бт = ±о .

Введем подвижную систему координат: ^ = у ±от ,^ = X . Проводим преобразования переменных в уравнении (1):

ди ди дц ди

дг дЦ дг дЦ

+

+

д2и д2и д2и д2и

ду2 дг)2 ’ дх2 д#2

Аналогичные преобразования проводятся в уравнении (2). Подставляя значения выражений (3) в уравнения (1) и (2), получим:

ди ,д 2 и д 2 и ,

о + —2),

дг д# дг

дс _.д 2с д 2с\

о—= 2).

дг д#2 дг[

(4)

(5)

Введем безразмерные переменные:

и = ■

с = -

•'ГР

СГР ~ с СГР - Сш

где с

ГР

концентрация вещества на поверхности капли и в ядре потока; 8 - толщина динамического пограничного слоя; I = Яэ/2 -линейный размер частицы; бэ - эквивалентный диаметр частицы.

Введение подвижной системы координат позволяет перейти от двухмерной нестационарной задачи (1), (2) к двухмерной стационарной с параметром о в виде:

ди (6)

д2 и 8 2 д2 и

дг

+

12 д#2

= ±Reо

дг

д 2с

(7)

12

8Д2 д2с дс

-+——-----= ±Ре ------,

дг2 12 д#2 " одг

где Reо=оS|v, Рет = о8д!0, 8д =8- Бс

толщина диффузионного слоя.

Поток импульса на внешней границе пограничного слоя:

ГР

ди

8 дг

= (о')2

г=1

ди

дг

(0)28

UГРV

и~8 _ 2« иш

^^ = Ти ^е8-^-.

UГРV иГР

г=1 ГР*

Запишем граничные условия для уравнений

(6) и (7):

при г = 0 : и = 1 , с = 0 ; г = 1: — = Ти 2Re8 ——,

дг иГР

с = 1; # = 1:

М. ти = ± (—^4

и„ I 15

18 + 0.61Аг0 5 )сЭ фф . (8)

дс

дг

= 0;

# = 0 :

и = ■

4 ГР

ди = дс = 0

КыржпЗбм V

и ж =

Здесь Аг - число Архимеда; Ти -интенсивность турбулентности на границе динамического пограничного слоя; е - скорость диссипации турбулентной кинетической энергии; К^ - критерий мощности перемешивающего

устройства; п - число оборотов мешалки; б м -диаметр мешалки; рЖ - плотность

перемешиваемой среды; и - скорость обтекания частицы; игр = и^ (1-##Сф) - скорость

движения жидкости по границе раздела фаз; #к, #сф - коэффициенты сопротивления капли и

твердой частицы; бэ - диаметр частицы.

Скорость изменения размеров капли по диффузионному механизму записывается в виде уравнения [3]:

о =

= ббэ

бт

фр

'3(ГР - сы) -.

(9)

бт Эф/ Рд

где фр и ф/ - поверхностный и объемный

коэффициенты формы капли (для сферических

фр = я, ф/ = я/6); Рд - плотность частицы; /3 -

среднее значение коэффициента массоотдачи в сплошной фазе.

Интегрируя уравнение (9), с начальным условием б = б0 при т = т0, получим размер капли в момент времени т :

б = б о -

фр

(10)

Эф/ рД

-0

где сш = сш (г) - концентрация экстрагируемого вещества в сплошной фазе; Сгр - концентрация вещества на границе раздела фаз, величина постоянная при заданной температуре и давлении. Для расчета начального среднего поверхностнообъемного диаметра капель, образующихся при перемешивании несмешивающихся жидкостей, используется следующее выражение [4]:

б0 = 0.05Эбм

( 2 л Э ^

рп бм

-0.6

(11)

где а - коэффициент поверхностного натяжения; р - плотность сплошной среды.

Толщина динамического пограничного слоя определяется из условия и = и т/и ГР при г = 1 .

Решение уравнений переноса импульса.

Решение уравнения (6) будем искать в виде разложения по ортогональным функциям:

кя

т

г, (12)

А Ш

и = 1+—Tu2Re8 эт2я-г+^ик (^)э1п

2я иГР к=1

где к = 1,3,5,...2п +1,...; ик (#) - неизвестные

функции от #.

Решение (12) удовлетворяет граничным условиям (8) по координате г. Функции ик(#) должны удовлетворять уравнению (6) и граничным условиям (8) по координате #. Для определения

ик (#) подставим решение (12) в уравнение (6):

и

Г

а

S

—Ti/Res sin2—7+^uk (^)sink— r

2— иГР k=1 2 ,

2^Tu2Res-Uo-sin2—7+~yf—j uk(^)sink—r иГР k=1V 2 J 2

k—

= (1З)

А

2

= Rea TifRescos2^+^-^uk4)cos I urp k=1 2

Умножим левую и правую части уравнения (13) на sin, m = 1,3,5,...2n +1,...; и проинтегрируем его по г от 0 до 1, учитывая при

этом следующие условия:

1

г . _ . m— . 2 . m—

I sin2—rsin------rdr = — sin-

1

2

—

2 4-(f

I m |0 при m ф k

r . k— . m— , I „

sin—r sin------rdr = \ 1 ,,

J 2 2 | — при m = k

| cos2—rsin m—rdr

r k— . m— . 2

J cos—rsin------rdr

m+k+2

(14)

2 2 Я ,м 1" 1"

0 m + к(-1) 2

После преобразований получим систему уравнений для определения искомых функций ит (#) (т = 1,Э,5,...2п +1,...):

" l2 mi

um ==ї Um(S\

S

V2 ,2 8Tu2Res sin-m—

m—А l2 Uo S 2

2 J S2 U

ГР ( m

4-,

2

2

2 „ " . m— 2TirRes sin—

ГР

4-if

2

2 + l2 Uo TU2Re;Renlm + (1З)

S2 иГР

- 4

■ 2 о 2Re”^^ 2

kUk (4)

m+k+2

k=1

Здесь um =

m+k ■ (-1) 2 d 2Um Re'S =

и S’

S’ =

d 2S г2 .

б#2 " V б#2

Таким образом, уравнение (6) в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (15) относительно ик (#). Преобразуем граничные условия (8) по координате #:

ди

84

j о і

=—Tu2RdS sin2—7+Vuk (^)sin—= О. (1б)

4=1 2— k=1 2

Умножим левую и правую части уравнений (1б) на sinr (m = 1,3,5,...2n +1,...;) и

проинтегрируем его по r от 0 до 1. В результате, при 4 = 1 получим:

„т 2п . m—

2Tu2ReS sin------

S 2

4=1 иГР

4-1^

2 А

du m

d4

(І?)

С граничным условием при # = 0 в условиях (8) проведем аналогичные преобразования:

А О

1+—TifReg-^0- sin2—+^uk (0)si

2— иГР k=1

y—r= . (1В)

2 иГР

Поскольку Re^ o = 0 , получим:

4=o

4

—m

и 0

л

V иГР

-1

(19)

где т = 1,3,5,...2п +1,...

Ввиду того, что Real,Regи 8 являются функциями от £,, система уравнений (15) с граничными условиями (17) и (19) решается методом последовательных приближений.

Правую часть уравнения (15) обозначим через Фт (<?,ит) тогда:

(20)

# в

ит (#) = ^фт (Х>ит )бХбв + С1т# + С2т 0 0

где %,в - переменные интегрирования.

Константы интегрирования С|т и С2т находятся из граничных условий (17), (19).

Общая схема решения следующая: задается первое приближение искомых функций ит (#) ,

например,

Um(1) (#) = const = Um (0) .

Затем

определяем значения констант С1т и С2т , используя граничные условия (17) и (19). После этого из решения уравнения (20) получаем

(2)

следующее приближение ит (#) и так далее до достижения сходимости метода.

Для определения толщины пограничного слоя 8 используем условие:

u(4,r)|r=1 = 1 + Х Um (#)sin

2u

(21)

ГР

m=1

где m = 1,3,5,...2n +1,...

Зависимость толщины пограничного слоя от 4 принимаем в виде степенной

функции: 8(4) = a4b, (22)

где a = const, b = const (b = 0.5).

Таким образом, определение толщины слоя 8 сводится к нахождению параметра a в уравнении (22). Параметр a определяется из

2

u

о

u

um =

m

2

л

2

u

m

u

о

+

2

Л

условия (21) в результате минимизации интегральной невязки:

ГР

1+ І ит (4)

. m —

sin---------

2

(23)

V т =1

Среднее значение толщины слоя определялось как средне-интегральная величина:

S =

і

JS(4)d4.

В результате упрощения и учитывая размерное выражение (22) 8(4) = а4Ь • І, уравнение (15) можно записать в виде:

" m2—2 1 Um (4) u«

2 . m— .

8Tu2ио sin-----1

2 1 1

4 a2 4

■ТР

(

4-If

2А

a4

0.5

... 2 , . m—

Tu 2ио l sin

■ГР

(

2 o 1 и о Tu 2ucooml

a—t~z------------ ----------— +

2—2v

+ 201-L І

a 4 —=

2 1.5

ku— (4)

■ГР

(

2

m+k+2

m + k ■ (-1) 2

Решение уравнений переноса массы. Решение уравнения переноса массы (7) записывается в виде:

.... кя ~2

C = Іе— (4)sin

(24)

k=1

где к = 1,3,5,...2п +1,...; Ок (#) - неизвестные

функции от #, удовлетворяющие граничным условиям (8).

Для определения ск (#) подставим

разложение (24) в (7):

. к— f ——А2 Sn2

—=1

. ——

-Іс— (4)si^-2 + Іс— (4)si^-2 r =

—=1

2

= ^оІ^ (4)coS——rj"у

(2З)

—=1

Умножим левую и правую части уравнений

(25) на sin (m = 1,3,5,...2n +1,...) и

проинтегрируем по г от 0 до 1.

s 2 1

k=1

к— А г . k— m—

C— \~2 j J Si^TrSin— rdr +

к— m—

Д ■sh "ті —— ■ m— -і

-Д-Іе— 4)J Sin—rSi^-2"rdr =

l k=1 n 2 2

= Pem І c—

(2б)

к— Аг к— . m—

ck(4)1 ~2 JJ cos-^rSin^rdr .

к=1 V J 0

С учетом выражений (І4) уравнение (2б) запишется следующим образом:

,2 / \ 2 l2 f m—

Sr

cm (4) = ^I — I Cm(4) +

2l

— ^оІ Cm (4)

k=1

k

S

д

m+k+2

m + к ■ (-1) 2

где т = 1,3,5,...,2п +1,...

Также как и при решении уравнений переноса массы, от уравнения в частных производных (7) перешли к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (27) относительно искомых функций ст (#). Используя (8) получим граничные условия для ст (#):

де

54

m

о .

Z' ■ к—

е— (4)sin^- r

4=1 к=1 2

= 0.

(2В)

4=1

Умножим левую и правую части уравнения

. _ — . Л _ _ .

(2В) на sin-------------r, m = 1,3,5,...2n +1,...; и

проинтегрируем по r от 0 до 1.

11 к—

Іе— (4)Jsin 2—rsinm—ridr = 10 ■ sinm—rdr, (29)

k=1 o 2 2 o 2

cm (4)

=n.

4=1

(З0)

Для граничного условия при 4 = 0 проведем аналогичные преобразования:

о / Л

І ек (o)sin ——r= 1, cm Г0) = — ■ (31)

к=1 2 7

Система уравнений (2?) с граничными условиями (30) и (31) решается методом последовательных приближений так же как уравнение (1З).

Толщина диффузионного пограничного слоя определяется по толщине динамического в виде [З]:

_

8д (4) = S(4)Sc 2,

где Sc = v ID - число Шмидта.

При решении уравнений переноса импульса и массы в разложении (12) и (24) удерживалось конечное число членов ряда (k = 1 ), два (k = 1,3 ) и три (к = 1,3,5). Проведенные расчеты скорости и концентрации в области пограничного слоя показали, что решение уравнений (б), (?) в виде суммы трех членов ряда (к = 1,3,5) в разложениях (12) и (24) практически повторяет решение, представленное суммой двух членов ряда (k = 1,3 ). Для практических расчетов предлагается решение уравнении (б), (?) представлять в виде:

и(4, r) = 1 +—Tu 2ReSU— sin 2—r + u1 (4) sin

2—

/ ■ 3—

+ U3(4)Sin — r .

■ТР

2

r+

c(4, r) = C1(4) sin -2r + Є3(4) sin 3— r r

2

+

V

u

о

2

V

+

где и1(#), иЭ(#), с1(#), с Э(#) - неизвестные

функции, определяемые из уравнений (15), (27).

Коэффициент массоотдачи 3

рассчитывается по величине потока вещества в пограничном слое на поверхности капли:

3 =

о ^

ду

У=0

'(сгр - Сш),

(32)

где с - распределение концентрации в пограничном слое; у - поперечная координата пограничного слоя.

Для расчета коэффициента массоотдачи по выражению (32) устанавливается распределение концентрации с в пограничном слое и в объеме аппарата сш.

Коэффициент массоотдачи р находится по формуле (32). С учетом разложения С по (24) выражение (32) можно записать следующим образом:

О—

ду

(

ХСт(4>

34) = -

т=1

зП ту

128д

Л

Л

(сгр - сш) - сГР

У=0

сГР - сш

(33)

= °тст (#).

28д т=

Среднее значение коэффициента массоотдачи 3 определяется как

среднеинтегральное по поверхности частицы:

р = \р(4)б4.

(34)

Распределение концентрации в объеме сплошной среды.

Изменение концентрации экстрагируемого

вещества на поверхности капли сГР и в растворе сш определяется скоростью переноса вещества с поверхности или, наоборот, из раствора к поверхности и описывается законом сохранения массы.

В аппаратах с перемешиванием изменение концентрации описывается моделью идеального перемешивания [6]:

V

бсх

бт

= 5со - - рр (сш - сгр).

(35)

Учитывая тП = V/3 - время процесса,

решение уравнения (35) получим в виде [3]:

( ( пг „Л А

С +

РР

V

С ГР +"

с 0

рр 1

-— + — V тП

1

V тП

С учетом начального условия в момент времени т = 0 сш = сН, частное решение примет вид:

с н +

'ГР

'П

V

рр 1

■£—+—

V т

( рр 1 А

-— + —

V тг

+±т

V т

-1

X е к П у , (36)

где поверхность контакта фаз Р = /0 - т.

Здесь /0 = 3.14-бэ^ - поверхность капли диаметра бэ; т - число капель, определяемое по объемной концентрации дисперсной фазы.

Результаты

Для сравнения расчетных значений коэффициента массоотдачи 3 (34) с

экспериментальными данными рассматривается стационарная задача: расчет уравнений проводится при т = т0 = 0 для капель жидкости, начальный размер которых в зависимости от конструктивных и технологических параметров определяется по

уравнению (11), а скорость роста о = 0 .

На рис. 1, 2 приведены результаты расчета коэффициентов массоотдачи, полученные по

предложенной методике и сравнение их значений с экспериментальными данными [7] и данными других авторов [8, 9]. Эксперименты [7]

проводились в проточном смесителе диаметром Оа = 38 мм при перемешивании 2-лопастной

мешалкой. В эксперименте участвовали смеси: вода - изоамиловый спирт и вода - циклогексан. Расчет выполнен для т0 = 0 и начального размера капли

б0 = 58 -10-6 м в первом случае и б0 = 50 -10-6 м во втором эксперименте.

Рис. 1 - Зависимость коэффициентов

массоотдачи 3 (м/с) в сплошной фазе от

комплекса пбм при экстракции в системе вода (спл. фаза) - изоамиловый спирт в проточном смесителе диаметром йа = 38 мм при перемешивании 2-лопастной мешалкой:: 1 -

расчет по предложенному методу; 2 -

экспериментальные данные [7]; 3 - расчет по модели авторов [8, 9]; 4 - расчет по модели авторов [7]

с

0

+

е

х

і

е

Р8с1/2хЮ2

1,4

1,2

0,2

0 --------------1-------------1------------1

0,25 0,35 0,45 пс^

Рис. 2 - Зависимость коэффициентов

массоотдачи 3 (м/с) в сплошной фазе от

комплекса пбм при экстракции в системе вода (спл. фаза) - циклогексан в проточном смесителе диаметром йа = 38 мм при перемешивании 2-

лопастной мешалкой: 1 - расчет по

предложенному методу; 2 - экспериментальные данные [7]; 3 - расчет по модели авторов [8, 9]; 4 - расчет по модели авторов [7]

Сравнение результатов расчета коэффициентов массоотдачи по предложенному методу показывает удовлетворительное

согласование с результатами экспериментальных исследований и данными других авторов.

Приведенные результаты математического моделирования и их сравнение с экспериментальными данными на примере процессов экстракции в системах вода -изоамиловый спирт и вода - циклогексан указывают на достоверность полученной математической модели. Разработанная математическая модель позволяет выбирать конструктивные и технологические параметры аппаратов с мешалками для процессов экстракции различных систем.

Результаты работы получены в рамках использования гранта президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-552.2011.8 (договор № 16.120.11.552-МД от 18.02.2011).

Литература

1. Клинова, Л. П. Массообменные процессы и аппараты химической технологии / Л. П. Клинова, Н. Б. Сосновская, С. Г. Дьяконов // Межвуз. сб. / КХТИ. -Казань, 1987. - С. 114-125.

2. Камалиев, Т. С. Проектирование конструктивных и технологических параметров барботажных тарелок по заданной степени извлечения компонентов жидкой смеси / Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - № 9. - С. 127-131.

3. Дьяконов, С. Г. Кинетика растворения и роста элементов мелкодисперсной твердой фазы в аппаратах с перемешиванием / С. Г. Дьяконов, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров, Д. А. Кириллов // Теор. основы хим. технологии. - 2011. - Т. 45. - № 4. - С. 400-408.

4. Дытнерский, Ю. И. Основные процессы и аппараты химической технологии: пособие по проектированию / Г. С. Борисов, В. П. Брыков, Ю. И. Дытнерский и др.; под ред. Ю. И. Дытнерского. - М.: Альянс, 2007. - 496 с.

5. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. - М.: Наука, 1987. - 669 с.

6. Кириллов, Д. А. Гидродинамика и массоперенос в процессе дегазации крошки каучука / Д. А. Кириллов, В. И. Елизаров, Д. В. Елизаров // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 3. - Ч.1. - С. 84-91.

7. Каган, С. З. Определение коэффициентов массоотдачи в

сплошной фазе для систем жидкость-жидкость в

проточном смесителе / С. З. Каган, Ю. Н. Ковалев, В. И. Ильин // ЖПХ. - 1967. - Т. 40. - № 11. - С. 2478-2481.

8. Дьяконов, С. Г. Моделирование массоотдачи в

дисперсной фазе системы жидкость-жидкость с

подвижной поверхностью раздела / С. Г. Дьяконов, В. И. Елизаров, А. Г. Лаптев, О. В. Зайкова // Массообменные процессы и аппараты химической технологии: межвуз. тематич. сб. науч. тр. / КХТИ. - Казань, 1991. - С. 4-14.

9. Лаптев, А. Г. Математическое моделирование

массоотдачи при перемешивании двухфазных сред / А. Г. Лаптев, В. И. Елизаров, С. Г. Дьяконов, О. В. Зайкова // ЖПХ. - 1993. - Т. 6. - № 3. - С. 531-536.

© Т. С. Камалиев - асп. каф. процессов и аппаратов химических технологий КНИТУ, timur_kamaliev@mail.ru; Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доц. каф. автоматизации технологических процессов и производств НХТИ КНИТУ; В. В. Елизаров - д-р. техн. наук, профессор той же кафедры.