CC BY
25
УДК 66.011
Р. Р. Шавалеев, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО МАССОПЕРЕНОСА
В НАСАДОЧНЫХ АППАРАТАХ
Ключевые слова: математическое моделирование, насадочный аппарат, абсорбция, стационарный массоперенос.
Рассматривается решение уравнений стационарного массопереноса без учета и с учетом продольного перемешивания жидкости. Проведено математическое моделирование абсорбции диоксида углерода в аппарате с насадкой в виде колец Рашига.
Keywords: mathematical modeling, a packing unit, absorption, stationary mass transfer.
The solution of equations of a stationary mass transfer with and without taking into account the longitudinal mixing liquid. Mathematical modeling of the absorption of carbon dioxide in the apparatus with a nozzle in the form of Raschig rings
Введение
Проектирование массообменных насадочных аппаратов абсорбции, ректификации, экстракции проводят по уравнениям материального баланса для стационарного состояния процесса.
В зависимости от гидродинамических режимов в слое насадки рассматриваются варианты расчета аппарата в условиях без перемешивания жидкой фазы (при Reж < 12 ) при пленочном течении жидкости и в условиях с перемешиванием при турбулентном движении (при Reж > 2400 - 2500 ) [1].
Количество извлекаемого компонента из газовой (паровой) фазы жидким поглотителем при противотоке задается степенью извлечения
- ^Ук
G0y0
где G0 , Gk , y0 , ук - расход и
концентрация компонента в газовой фазе на входе и выходе аппарата.
Количество поглощенного компонента жидким поглотителем WA =<^0У0 ,
а количество уходящего газа равно
Gk = G0 - W
"A •
Расчет расхода жидкого поглотителя L составляет сложную задачу при проектировании и определяется, как правило, эмпирически в зависимости от минимального расхода. По значениям расходов жидкости и газа для выбранного типа насадки находят скорость газа при захлебывании, рабочую скорость газа и диаметр аппарата. На основании кинетического расчета определяют высоту слоя насадки H.
Другим важным параметром, определение которого связано с необходимостью экспериментального исследования гидродинамики в аппаратах различного масштаба и различного типа насадки, является параметр продольного перемешивания Dп .
В данной работе предлагается метод расчета насадочных аппаратов в стационарных условиях массопереноса без учета и с учетом продольного перемешивания жидкости в режиме вытеснения газа.
В основе метода расчета расхода поглотителя L используется метод последовательных приближе-
ний. На основе первого приближения расхода, соответствующего минимальному расходу Lm¡n, по уравнениям массопереноса рассчитывается конечная концентрация хк . Количество поглощенного компонента жидкой фазой Lкxк сравнивается с количеством извлеченного компонента из газовой фазы (З0У0. Если они равны, то расход абсорбента
удовлетворяет условиям материального баланса.
В условиях турбулентного движения жидкости для определения L и параметра продольного перемешивания Dп проводится сканирование допустимых областей L и Dп и выбор их значений, обеспечивающих выполнение материального баланса
МК = (&0У0.
Математическое моделирование стационарного массопереноса в насадочном аппарате без продольного перемешивания жидкости
Уравнения материального баланса по жидкой и газовой фазам в слое насадки имеют вид [3, 4]:
dx
u— = -kxav x v
(- x)■
vd|="kvav( y - 4
(i)
с условиями на границах: на входе газа у = У0 при - = 0 , на входе жидкости х = Х0 при - = 1; где х —), у —) - концентрация извлекаемого компонента в жидкой и газовой фазах; и, V - средние
значения скорости жидкости и газа: u =
L0 + lk
2S
v =
G0 + gk .
2S
S - площадь поперечного сечения
аппарата; кхау, куву - объемные коэффициенты массопередачи, выраженные в концентрациях жидкости и газа; х , у - равновесные концентрации
компонента в жидкой и газовой фазах; - = — - без-
размерная продольная координата слоя; Н - высота слоя насадки, м; Lo , Lк - расход жидкости на входе в слой насадки при % = 1 и выходе из слоя насадки
при % = 0 ; у* = тоХ; х* = —— ; то - константа
т0
фазового равновесия. Принимаем, что объемные коэффициенты массопередачи по высоте слоя насадки постоянны.
к а Н куауН
Обозначим: х у = а ; —-= Ь .
и V
В безразмерных величинах уравнения (1)
записывают в виде:
dx а
— =--у + ах,
d% то
— = - Ьу + Ьт0х.
d% 0
Продифференцируем уравнение (2) по % .
dy
а dy dx
---- + а —.
т0 d% d%
(2)
(3)
(4)
Вместо в уравнении (4) подставим его зна-
чение из (3): d2x
dx а , ч
= а---(-Ьу + Ьт0х),
d%2 d% т0
(5)
а значение у в уравнении (5) получим из уравнения (2):
у (%) = - та0 С 0 -) ■ '6)
Тогда уравнение (5) получим в виде: 2
d2x ч dx .
—- + (Ь - а)— = 0, d%2 У '
а его решение принимает вид:
Х(%) = С + 02в(а-Ь)% . (7)
Константа интегрирования 01 определяется из условия на входе при % = 1 :
0! = Х0 - 02в(а Ь) .
Решение (7) записывается следующим образом:
х (%) = Х0 + 02 (в1
,(а-Ь)% - в(а-Ь)
Ь)) .
Продифференцируем уравнение (7) по % : ^ = ^в(а-Ь)% (а -
d%
= 02в
(а - Ь).
(8)
(9)
Константу интегрирования 02 найдем из уравнений (6) и (9) при условии: у = у0 при % = 0 .
Подставим в уравнение (6) значения производной (9) и функции х (%) (8), получим точное решение уравнений (1):
х(%) = т^ + ХЛт0-у0 ^ . |а в(а-Ь)% - 1
т0 т0 С ь • ва-Ь - 1
у (%) = т0х0 + , у0 - т°х° [ Ьв(а-Ь)% - в(а-ь) ) (10)
(Ь/а - в(а-Ь))Са )
В уравнениях (10) х0 и у0 - заданные значения концентраций жидкости и газа на входе в аппарат.
Получим эквивалентное решение уравнений (1). Для этого представим решение в виде рядов:
х = х0 + 2 х1
к •
oos-
кл,
(11)
к=1
к=1
у = У0 + 2ук •М-oosk^%],к = 1,3,5,...
2
(12)
Решения (11), (12) удовлетворяют заданным условиям при % = 0 , % = 1.
Полагая, что ряды сходятся к точным решениям (10) приравняем их решения:
кл,
"2"
хк • 0^"2% =
к=1
= У^ + х0т0 - у0 (ав(а-Ь)% -1
тп
т0| а • ва-ь -1" СЬ
у0 +2 ук •Г1 - 0™кГ%\ =
к=1
= т0х0 +
у0 - т0х0 [ Ьв(а-Ь)% - в(а-Ь)
(Ь/а - в(а-Ь))С а
(13)
(14)
к = 1,3,5,....
Поскольку неизвестных коэффициентов в уравнениях (13), (14) больше числа уравнений, поэтому часть коэффициентов при к = 3, 5,... примем равными нулю, а остальные коэффициенты х1 , у1 определим из уравнений (13), (14). Перепишем уравнения в виде: л „
х0 + х • 00S2% =
= У0 + х0т0 - ур ав(а-Ь)% -^
т0 Г а а-ь ' '
0 т01 ь • ва ь -1
у0 + у1 ^|1-00^ %| =
= т0х0 +
у0 - т0х0 I Ьв(а-Ь)% - в(а-Ь)4
(Ь/а - в(а-Ь))С а
Из граничных условий при % = 0 найдем х-|, а при % = 1 - значение у1 :
х=
х-
т0
а - Ь
ава-ь - Ь
-1
у1 =(у0 - т0х0)
Г Ьв(а-Ь)- ав(а-Ь) "
ав^
Ь - ав(а-Ь)
-1
Решение уравнений стационарного массоперено-са теперь имеет вид:
2
x (£) = Хо +
Xq
У0
mo
a - b
aea-b - b 1 " 2
-1 I- cos — £,
У (£) = Уо +(Уо - moXo)
Г be(a-b) - ae(a-b) ^
- ae(a-b)
-1
b - ae'
1 Л * 1 - cos — £ 2
(15)
Полученные решения стационарного массопере-носа эквивалентны точным решениям уравнений (10) и являются начальными условиями для уравнений нестационарного массопереноса [2].
Проектирование аппарата, в том числе, определение расхода абсорбента проводится в следующем порядке. Сначала рассчитывается минимальный расход абсорбента из условия равновесия на выходе
жидкости из аппарата Ь(1) = Lmin = МА/хк , хк = у0/т0 . Затем определяются средние значения скоростей жидкости и газа, размеры аппарата, кинетические параметры массопередачи и высота слоя насадки. Из уравнений (10) вычисляются хк и ук, определяется количество извлеченного компонента Lкxк и сравнивается с заданным значением, например:
LкXк = 0,95 • GoУo . (16)
Если условие выполняется, то размер аппарата и расход Lк + WA удовлетворяют уравнениям материального баланса. В противном случае выбирается
следующее приближение 1-(2) = 1.(1) + ДЬ и расчет повторяется до выполнения заданного условия.
Математическое моделирование стационарного массопереноса при перемешивании жидкой фазы и вытеснении газа
Уравнения материального баланса записываются в виде
dx _ d2x , Ud#= ^^ " kv8
d£
vd£ = "kyav (y- y*) •
xav (x*- x) =
(17)
(18)
dx
С граничными условиями: y = Уо, — = 0 при
d£
£ = 0 ; x = x0 при £ = 1.
Представим решение уравнений в виде ряда
x(£) = xq xk - cos- л
k=1
2
(19)
У(#) = Уо +2Ук •И-
к=1 ^ 2
к = 1-3-5--- (20) Здесь Хк , Ук - неизвестные коэффициенты, величины постоянные.
Подставим решения (19), (20) , соответственно, в
уравнения (17), (18), умножим их на соэт^^ и
проинтегрируем по в пределах от 0 до 1, придем к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Хт , ут при условии к = т.
Ч1тХт + с1тут = е1т , с2тут - Ч2тХт = е2т , т = 1-3-5- --
(т^)2
где Р1т ="
(21)
8
= Hk m0
q2m = Vkyav"^,
c1m =
y v
Pe - H
u - m.
kxav
0
1 2
H
2
2
m j 2
sin
v V mj
Pe - H 2kxav . mj
e1m =--^-^sin—
1m u mj 2 2 H . mj,
Hk ukx av J ,
m j 11
- 2 J,
mj 1J
- 2 2 J,
Г xo V - Ж mo
e2m = kyav—-sin —(moxo - Уо)
У утжV 2 т = 1,3,5,....
Первое уравнение системы (21) разрешим относительно Хт, получим
Хт = ^ -^Ут , т = 1,3,5,.... Ч1т Ч1т Из второго уравнения системы найдем
Ч1те2т + Ч2те1т
Уп =
m = 1,3,5,....
q1mc2m - q2mc1m Тогда решение уравнений запишется в виде
mj oos— £, 2
x(£)= xo +Z( ^ - ^
m=1V 41m 41m
y (£) = Уо + ^ q1me2m + q2me1m
m=1 q1mc2m q2mc1m
I и mj г
x| 1 - cos — £
(22)
(23)
(23)
Исследование сходимости рядов (22), показало удовлетворительное согласование при представлении решений в виде одного или суммы из двух членов ряда.
Для практических расчетов предлагается решение уравнений (17), (18) в виде:
x (£) = xq + x1 cos j £
2
У (£) = Уо + У111 - cos^ £
(24)
e1 c1
41 e2 + 42 e1
где x1 = — - — y1, y1 = -
41 41 4^2 - 42c1
,2
PeL H 8 2 V u
Pe-H, Г2 ■ j 1
-kxav | — sin---
u - m0 U 2 2
Ti Pe I . h . | H . 11 io
где 41 = —---—11 + —kxav |, 42 = ^a^^,
c1 =
X
x
x
1 , Н Г 2 . л 1
02 = ^ + куа^— | — эт—- —
2
V С л
Рв • Н 2к^ . л
в1 =--^-^эт —
и
2
х у0
х0--
т0
л
в2 = kyav--з1плл(т0х0 - у0).
л
2 Н . л
л V 2
Проектирование аппарата и расчет расхода абсорбента проводится в порядке, изложенном выше для предыдущего случая. Для каждого значения расхода, геометрических и технологических параметров аппарата определяется коэффициент продольного перемешивания Dп . В этом случае задается область изменения расхода абсорбента и область возможных значений коэффициента продольного перемешивания Dп. Сканируя значения L и Dп в узлах сетки, по изложенному ранее алгоритму проводится расчет аппарата. По решению уравнений (24) находятся конечные концентрации хк , ук , рассчитывается количество извлеченного вещества Lкxк в зависимости от степени извлечения р. При достижении заданной степени извлечения все параметры процесса определены.
На каждом шаге расчета аппарата вычисляются кинетические параметры массопереноса в жидкой и газовой фазах и высота слоя насадки Н .
Н = ^ ( у0 - Ук )
3600pгkyavSДyCр ' где Дуср - средняя движущая сила массопередачи, ку - коэффициент массопередачи, выраженный в концентрациях газовой фазы, av - удельная поверхность насадки
1=1+тс
ку Ру Рх '
Для определения коэффициентов массоотдачи решаются уравнения массопереноса в пограничном слое на элементах насадки или используются эмпирические зависимости.
Выражения для расчета коэффициентов массоот-дачи в жидкой фазе получено в результате решения уравнений пограничного слоя на твердой поверхности [3].
2Dж • S013
Рх = —-, (25)
о
где О - средняя толщина динамического пограничного слоя, определяемая в виде [4].
О= -^в-0'5 - 4Ти2, 3
(26)
где О - безразмерная толщина пограничного слоя,
О _ dэ 2 О = —, Rв =-, Ти - интенсивность турбу-
dэ ^ж
лентных пульсаций на внешней границе пограничного слоя при турбулентном режиме.
х 2 1 Г 2
= М ^г-ж
где ег-ж - скорость диссипации энергии газового потока [5]
ДРор^
^св ежд
) Н
(28)
ДР0р - гидравлическое сопротивление орошаемой
насадки, есв - удельный свободный объем насадки,
-жд
- удерживающая способность насадки.
При ламинарном пленочном течении жидкости интенсивность турбулентных пульсаций в выражении (26) Ти = 0 .
Коэффициент массоотдачи в газовой фазе определяется на основе модели диффузионного пограничного слоя в виде [5]
Ру = 0,013
(%-жуг!Рг )
Sc2/3Q0,4
0,25
(29)
где Q - удельный расход жидкости, м3/м2 с; Soг -число Шмидта.
На основе полученных решений проведено моделирование процесса абсорбции диоксида углерода в насадочной колонне, рассмотренной в работе [6]. Диаметр колонны 3,5 м, расход газовой смеси Go = 905 кмоль/ч, у0 = 0,302 мол.д.; степень извлечения 95%. В качестве насадки использованы кольца Рашига d = 50 мм, эквивалентный диаметр насадки dэ = 0,035 м; удельная поверхность насадки av = 90 м2/м3. Принятый расход абсорбента L = 122000 кмоль/ч, на 30% больше минимального. Средняя скорость жидкости и = 0.0635 м/с, газа - V = 0.049 м/с. Число единиц переноса N0,- = 5,55 . Объемные коэффициенты массопередачи к^ = 0.055 с-1, kyav = 0.045 с-1, коэффици-
-3 2
ент распределения т0 = 105, Dж = 1,95• 10 м/с, е= 0.785.
На рис.1,2 показано распределение концентрации диоксида углерода в газовой и жидкой фазах по высоте слоя насадки при различных значениях расхода абсорбента в условиях пленочного ламинарного и турбулентного течения жидкости и вытеснения газа.
В зависимости от заданной степени извлечения р=0.9 определены расход абсорбента Lк и концентрация жидкости на выходе из слоя насадки хк в отсутствии перемешивания по уравнениям (10). Расчетное значение расхода абсорбента, обеспечивающее выполнение условия (16) равно 114 615 кмоль/ч, а концентрация хк = 0.00215 мол.д., ук = 0.0294 мол.д.
г-ж
о.ооз
х(£), мол.д.
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
4
......^ 1
— N ' <:•••>. x
ч >. x
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 1 - Распределение концентрации СО2 в газовой фазе по высоте слоя насадки при расходах
з
абсорбента L х 10° , кмоль/ч: 1 - 122, 2 - 106.64 без перемешивания жидкости, 3 - 122, 4 - 106.64 с учетом перемешивания
0.35
у®, мол.д.
0.3 1
0.25
0.2 -
2
0.1
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 2 - Распределение концентрации СО2 в воде по высоте слоя насадки при расходах абсорбента
L х 10 , кмоль/ч: 1 - 122, 2 - 106.64 без перемешивания жидкости, 3 - 122, 4 - 106.64 с учетом перемешивания
Однако, учитывая турбулентный режим движения пленки жидкости Reж > 2000, для расчета необходимо использовать уравнения (24) при перемешивании жидкости. Расчетные значения расхода и концентрации насыщенного абсорбента по уравнениям (24), обеспечивающие выполнение баланса (16) при р = 0.95 следующие: = 106 640 кмоль/ч, жк = 0.00243 мол.д., Ук = 0.017 мол.д., х0 = 0 . Высота слоя насадки получена по уравнению:
H =
где
LKxK•18
3600•1000•kxavSДXср
10.9 м.
kx =Ä = I** tÄ. = 4.9.ю-4
м/с.
ежд = 0.143 , Scж = 512
^ср = 2.8.10 4 мол.д.
Q =
L. 18
м3/м2с.
3600•1000S
Полученное значение расхода абсорбента на 13% меньше принятого эмпирически [6], что составляет 276,5 м3/ч, а высота слоя насадки с погрешностью 9% совпадает с рекомендованной [6].
Для рассмотренного аппарата зависимость коэффициента продольного перемешивания от степени извлечения в диапазоне от 90 до 100% имеет вид:
Dn = 5.095 • 10"2 - 3.567 • 10"7 • L , м2/с, а число
о u' H
re =- в данном диапазоне степени извлечения
Dn
будет меняться от 12.89 до 42.74.
Заключение
Предложенный метод проектирования насадоч-ных аппаратов позволяет сократить этапы экспериментальных исследований массопереноса на установках различного масштаба.
Литература
1. Пленочная тепло- и массообменная аппаратура. Под ред. В.М.Олевского. Химия, Москва, 1988, 240 с.
2. Шавалеев Р.Р., Елизаров В.И., Титова Е.С., Сафаров А.Р. Вестник технологического университета, 18, 22. 134-136 (2015).
3. Елизаров Д.В., Елизаров В.В., Елизаров В.И., Дьяконов С.Г. Вестник технологического университета, 18, 20. 83-87 (2015).
4. Елизаров Д.В., Елизаров В.В., Елизаров В.И., Дьяконов С.Г. Вестник технологического университета, 19, 3. 97-100 (2015).
5. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1993. 438 с.
6. Рамм В. М. Абсорбция газов. Химия, Москва, 1976. 656 с.
© Р. Р. Шавалеев - аспирант кафедры АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ», rif.shav@gmail.com; В. В. Елизаров - д. т. н.,
заведующий кафедрой АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ»; Д. В. Елизаров - к. т. н., доцент кафедры АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ».
© R. R. Shavaleev - postgraduate student, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university", rif.shav@gmail.com; V. V. Elizarov - doctor technical sciences, head of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university"; D. V. Elizarov - candidate technical sciences, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university".
