Математическое моделирование стационарного массопереноса в насадочных аппаратах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.011

Р. Р. Шавалеев, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО МАССОПЕРЕНОСА

В НАСАДОЧНЫХ АППАРАТАХ

Ключевые слова: математическое моделирование, насадочный аппарат, абсорбция, стационарный массоперенос.

Рассматривается решение уравнений стационарного массопереноса без учета и с учетом продольного перемешивания жидкости. Проведено математическое моделирование абсорбции диоксида углерода в аппарате с насадкой в виде колец Рашига.

Keywords: mathematical modeling, a packing unit, absorption, stationary mass transfer.

The solution of equations of a stationary mass transfer with and without taking into account the longitudinal mixing liquid. Mathematical modeling of the absorption of carbon dioxide in the apparatus with a nozzle in the form of Raschig rings

Введение

Проектирование массообменных насадочных аппаратов абсорбции, ректификации, экстракции проводят по уравнениям материального баланса для стационарного состояния процесса.

В зависимости от гидродинамических режимов в слое насадки рассматриваются варианты расчета аппарата в условиях без перемешивания жидкой фазы (при Reж < 12 ) при пленочном течении жидкости и в условиях с перемешиванием при турбулентном движении (при Reж > 2400 - 2500 ) [1].

Количество извлекаемого компонента из газовой (паровой) фазы жидким поглотителем при противотоке задается степенью извлечения

- ^Ук

G0y0

где G0 , Gk , y0 , ук - расход и

концентрация компонента в газовой фазе на входе и выходе аппарата.

Количество поглощенного компонента жидким поглотителем WA =<^0У0 ,

а количество уходящего газа равно

Gk = G0 - W

"A •

Расчет расхода жидкого поглотителя L составляет сложную задачу при проектировании и определяется, как правило, эмпирически в зависимости от минимального расхода. По значениям расходов жидкости и газа для выбранного типа насадки находят скорость газа при захлебывании, рабочую скорость газа и диаметр аппарата. На основании кинетического расчета определяют высоту слоя насадки H.

Другим важным параметром, определение которого связано с необходимостью экспериментального исследования гидродинамики в аппаратах различного масштаба и различного типа насадки, является параметр продольного перемешивания Dп .

В данной работе предлагается метод расчета насадочных аппаратов в стационарных условиях массопереноса без учета и с учетом продольного перемешивания жидкости в режиме вытеснения газа.

В основе метода расчета расхода поглотителя L используется метод последовательных приближе-

ний. На основе первого приближения расхода, соответствующего минимальному расходу Lm¡n, по уравнениям массопереноса рассчитывается конечная концентрация хк . Количество поглощенного компонента жидкой фазой Lкxк сравнивается с количеством извлеченного компонента из газовой фазы (З0У0. Если они равны, то расход абсорбента

удовлетворяет условиям материального баланса.

В условиях турбулентного движения жидкости для определения L и параметра продольного перемешивания Dп проводится сканирование допустимых областей L и Dп и выбор их значений, обеспечивающих выполнение материального баланса

МК = (&0У0.

Математическое моделирование стационарного массопереноса в насадочном аппарате без продольного перемешивания жидкости

Уравнения материального баланса по жидкой и газовой фазам в слое насадки имеют вид [3, 4]:

dx

u— = -kxav x v

(- x)■

vd|="kvav( y - 4

(i)

с условиями на границах: на входе газа у = У0 при - = 0 , на входе жидкости х = Х0 при - = 1; где х —), у —) - концентрация извлекаемого компонента в жидкой и газовой фазах; и, V - средние

значения скорости жидкости и газа: u =

L0 + lk

2S

v =

G0 + gk .

2S

S - площадь поперечного сечения

аппарата; кхау, куву - объемные коэффициенты массопередачи, выраженные в концентрациях жидкости и газа; х , у - равновесные концентрации

компонента в жидкой и газовой фазах; - = — - без-

размерная продольная координата слоя; Н - высота слоя насадки, м; Lo , Lк - расход жидкости на входе в слой насадки при % = 1 и выходе из слоя насадки

при % = 0 ; у* = тоХ; х* = —— ; то - константа

т0

фазового равновесия. Принимаем, что объемные коэффициенты массопередачи по высоте слоя насадки постоянны.

к а Н куауН

Обозначим: х у = а ; —-= Ь .

и V

В безразмерных величинах уравнения (1)

записывают в виде:

dx а

— =--у + ах,

d% то

— = - Ьу + Ьт0х.

d% 0

Продифференцируем уравнение (2) по % .

dy

а dy dx

---- + а —.

т0 d% d%

(2)

(3)

(4)

Вместо в уравнении (4) подставим его зна-

чение из (3): d2x

dx а , ч

= а---(-Ьу + Ьт0х),

d%2 d% т0

(5)

а значение у в уравнении (5) получим из уравнения (2):

у (%) = - та0 С 0 -) ■ '6)

Тогда уравнение (5) получим в виде: 2

d2x ч dx .

—- + (Ь - а)— = 0, d%2 У '

а его решение принимает вид:

Х(%) = С + 02в(а-Ь)% . (7)

Константа интегрирования 01 определяется из условия на входе при % = 1 :

0! = Х0 - 02в(а Ь) .

Решение (7) записывается следующим образом:

х (%) = Х0 + 02 (в1

,(а-Ь)% - в(а-Ь)

Ь)) .

Продифференцируем уравнение (7) по % : ^ = ^в(а-Ь)% (а -

d%

= 02в

(а - Ь).

(8)

(9)

Константу интегрирования 02 найдем из уравнений (6) и (9) при условии: у = у0 при % = 0 .

Подставим в уравнение (6) значения производной (9) и функции х (%) (8), получим точное решение уравнений (1):

х(%) = т^ + ХЛт0-у0 ^ . |а в(а-Ь)% - 1

т0 т0 С ь • ва-Ь - 1

у (%) = т0х0 + , у0 - т°х° [ Ьв(а-Ь)% - в(а-ь) ) (10)

(Ь/а - в(а-Ь))Са )

В уравнениях (10) х0 и у0 - заданные значения концентраций жидкости и газа на входе в аппарат.

Получим эквивалентное решение уравнений (1). Для этого представим решение в виде рядов:

х = х0 + 2 х1

к •

oos-

кл,

(11)

к=1

к=1

у = У0 + 2ук •М-oosk^%],к = 1,3,5,...

2

(12)

Решения (11), (12) удовлетворяют заданным условиям при % = 0 , % = 1.

Полагая, что ряды сходятся к точным решениям (10) приравняем их решения:

кл,

"2"

хк • 0^"2% =

к=1

= У^ + х0т0 - у0 (ав(а-Ь)% -1

тп

т0| а • ва-ь -1" СЬ

у0 +2 ук •Г1 - 0™кГ%\ =

к=1

= т0х0 +

у0 - т0х0 [ Ьв(а-Ь)% - в(а-Ь)

(Ь/а - в(а-Ь))С а

(13)

(14)

к = 1,3,5,....

Поскольку неизвестных коэффициентов в уравнениях (13), (14) больше числа уравнений, поэтому часть коэффициентов при к = 3, 5,... примем равными нулю, а остальные коэффициенты х1 , у1 определим из уравнений (13), (14). Перепишем уравнения в виде: л „

х0 + х • 00S2% =

= У0 + х0т0 - ур ав(а-Ь)% -^

т0 Г а а-ь ' '

0 т01 ь • ва ь -1

у0 + у1 ^|1-00^ %| =

= т0х0 +

у0 - т0х0 I Ьв(а-Ь)% - в(а-Ь)4

(Ь/а - в(а-Ь))С а

Из граничных условий при % = 0 найдем х-|, а при % = 1 - значение у1 :

х=

х-

т0

а - Ь

ава-ь - Ь

-1

у1 =(у0 - т0х0)

Г Ьв(а-Ь)- ав(а-Ь) "

ав^

Ь - ав(а-Ь)

-1

Решение уравнений стационарного массоперено-са теперь имеет вид:

2

x (£) = Хо +

Xq

У0

mo

a - b

aea-b - b 1 " 2

-1 I- cos — £,

У (£) = Уо +(Уо - moXo)

Г be(a-b) - ae(a-b) ^

- ae(a-b)

-1

b - ae'

1 Л * 1 - cos — £ 2

(15)

Полученные решения стационарного массопере-носа эквивалентны точным решениям уравнений (10) и являются начальными условиями для уравнений нестационарного массопереноса [2].

Проектирование аппарата, в том числе, определение расхода абсорбента проводится в следующем порядке. Сначала рассчитывается минимальный расход абсорбента из условия равновесия на выходе

жидкости из аппарата Ь(1) = Lmin = МА/хк , хк = у0/т0 . Затем определяются средние значения скоростей жидкости и газа, размеры аппарата, кинетические параметры массопередачи и высота слоя насадки. Из уравнений (10) вычисляются хк и ук, определяется количество извлеченного компонента Lкxк и сравнивается с заданным значением, например:

LкXк = 0,95 • GoУo . (16)

Если условие выполняется, то размер аппарата и расход Lк + WA удовлетворяют уравнениям материального баланса. В противном случае выбирается

следующее приближение 1-(2) = 1.(1) + ДЬ и расчет повторяется до выполнения заданного условия.

Математическое моделирование стационарного массопереноса при перемешивании жидкой фазы и вытеснении газа

Уравнения материального баланса записываются в виде

dx _ d2x , Ud#= ^^ " kv8

d£

vd£ = "kyav (y- y*) •

xav (x*- x) =

(17)

(18)

dx

С граничными условиями: y = Уо, — = 0 при

d£

£ = 0 ; x = x0 при £ = 1.

Представим решение уравнений в виде ряда

x(£) = xq xk - cos- л

k=1

2

(19)

У(#) = Уо +2Ук •И-

к=1 ^ 2

к = 1-3-5--- (20) Здесь Хк , Ук - неизвестные коэффициенты, величины постоянные.

Подставим решения (19), (20) , соответственно, в

уравнения (17), (18), умножим их на соэт^^ и

проинтегрируем по в пределах от 0 до 1, придем к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Хт , ут при условии к = т.

Ч1тХт + с1тут = е1т , с2тут - Ч2тХт = е2т , т = 1-3-5- --

(т^)2

где Р1т ="

(21)

8

= Hk m0

q2m = Vkyav"^,

c1m =

y v

Pe - H

u - m.

kxav

0

1 2

H

2

2

m j 2

sin

v V mj

Pe - H 2kxav . mj

e1m =--^-^sin—

1m u mj 2 2 H . mj,

Hk ukx av J ,

m j 11

- 2 J,

mj 1J

- 2 2 J,

Г xo V - Ж mo

e2m = kyav—-sin —(moxo - Уо)

У утжV 2 т = 1,3,5,....

Первое уравнение системы (21) разрешим относительно Хт, получим

Хт = ^ -^Ут , т = 1,3,5,.... Ч1т Ч1т Из второго уравнения системы найдем

Ч1те2т + Ч2те1т

Уп =

m = 1,3,5,....

q1mc2m - q2mc1m Тогда решение уравнений запишется в виде

mj oos— £, 2

x(£)= xo +Z( ^ - ^

m=1V 41m 41m

y (£) = Уо + ^ q1me2m + q2me1m

m=1 q1mc2m q2mc1m

I и mj г

x| 1 - cos — £

(22)

(23)

(23)

Исследование сходимости рядов (22), показало удовлетворительное согласование при представлении решений в виде одного или суммы из двух членов ряда.

Для практических расчетов предлагается решение уравнений (17), (18) в виде:

x (£) = xq + x1 cos j £

2

У (£) = Уо + У111 - cos^ £

(24)

e1 c1

41 e2 + 42 e1

где x1 = — - — y1, y1 = -

41 41 4^2 - 42c1

,2

PeL H 8 2 V u

Pe-H, Г2 ■ j 1

-kxav | — sin---

u - m0 U 2 2

Ti Pe I . h . | H . 11 io

где 41 = —---—11 + —kxav |, 42 = ^a^^,

c1 =

X

x

x

1 , Н Г 2 . л 1

02 = ^ + куа^— | — эт—- —

2

V С л

Рв • Н 2к^ . л

в1 =--^-^эт —

и

2

х у0

х0--

т0

л

в2 = kyav--з1плл(т0х0 - у0).

л

2 Н . л

л V 2

Проектирование аппарата и расчет расхода абсорбента проводится в порядке, изложенном выше для предыдущего случая. Для каждого значения расхода, геометрических и технологических параметров аппарата определяется коэффициент продольного перемешивания Dп . В этом случае задается область изменения расхода абсорбента и область возможных значений коэффициента продольного перемешивания Dп. Сканируя значения L и Dп в узлах сетки, по изложенному ранее алгоритму проводится расчет аппарата. По решению уравнений (24) находятся конечные концентрации хк , ук , рассчитывается количество извлеченного вещества Lкxк в зависимости от степени извлечения р. При достижении заданной степени извлечения все параметры процесса определены.

На каждом шаге расчета аппарата вычисляются кинетические параметры массопереноса в жидкой и газовой фазах и высота слоя насадки Н .

Н = ^ ( у0 - Ук )

3600pгkyavSДyCр ' где Дуср - средняя движущая сила массопередачи, ку - коэффициент массопередачи, выраженный в концентрациях газовой фазы, av - удельная поверхность насадки

1=1+тс

ку Ру Рх '

Для определения коэффициентов массоотдачи решаются уравнения массопереноса в пограничном слое на элементах насадки или используются эмпирические зависимости.

Выражения для расчета коэффициентов массоот-дачи в жидкой фазе получено в результате решения уравнений пограничного слоя на твердой поверхности [3].

2Dж • S013

Рх = —-, (25)

о

где О - средняя толщина динамического пограничного слоя, определяемая в виде [4].

О= -^в-0'5 - 4Ти2, 3

(26)

где О - безразмерная толщина пограничного слоя,

О _ dэ 2 О = —, Rв =-, Ти - интенсивность турбу-

dэ ^ж

лентных пульсаций на внешней границе пограничного слоя при турбулентном режиме.

х 2 1 Г 2

= М ^г-ж

где ег-ж - скорость диссипации энергии газового потока [5]

ДРор^

^св ежд

) Н

(28)

ДР0р - гидравлическое сопротивление орошаемой

насадки, есв - удельный свободный объем насадки,

-жд

- удерживающая способность насадки.

При ламинарном пленочном течении жидкости интенсивность турбулентных пульсаций в выражении (26) Ти = 0 .

Коэффициент массоотдачи в газовой фазе определяется на основе модели диффузионного пограничного слоя в виде [5]

Ру = 0,013

(%-жуг!Рг )

Sc2/3Q0,4

0,25

(29)

где Q - удельный расход жидкости, м3/м2 с; Soг -число Шмидта.

На основе полученных решений проведено моделирование процесса абсорбции диоксида углерода в насадочной колонне, рассмотренной в работе [6]. Диаметр колонны 3,5 м, расход газовой смеси Go = 905 кмоль/ч, у0 = 0,302 мол.д.; степень извлечения 95%. В качестве насадки использованы кольца Рашига d = 50 мм, эквивалентный диаметр насадки dэ = 0,035 м; удельная поверхность насадки av = 90 м2/м3. Принятый расход абсорбента L = 122000 кмоль/ч, на 30% больше минимального. Средняя скорость жидкости и = 0.0635 м/с, газа - V = 0.049 м/с. Число единиц переноса N0,- = 5,55 . Объемные коэффициенты массопередачи к^ = 0.055 с-1, kyav = 0.045 с-1, коэффици-

-3 2

ент распределения т0 = 105, Dж = 1,95• 10 м/с, е= 0.785.

На рис.1,2 показано распределение концентрации диоксида углерода в газовой и жидкой фазах по высоте слоя насадки при различных значениях расхода абсорбента в условиях пленочного ламинарного и турбулентного течения жидкости и вытеснения газа.

В зависимости от заданной степени извлечения р=0.9 определены расход абсорбента Lк и концентрация жидкости на выходе из слоя насадки хк в отсутствии перемешивания по уравнениям (10). Расчетное значение расхода абсорбента, обеспечивающее выполнение условия (16) равно 114 615 кмоль/ч, а концентрация хк = 0.00215 мол.д., ук = 0.0294 мол.д.

г-ж

о.ооз

х(£), мол.д.

0.0025

0.002

0.0015

0.001

0.0005

4

......^ 1

— N ' <:•••>. x

ч >. x

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 1 - Распределение концентрации СО2 в газовой фазе по высоте слоя насадки при расходах

з

абсорбента L х 10° , кмоль/ч: 1 - 122, 2 - 106.64 без перемешивания жидкости, 3 - 122, 4 - 106.64 с учетом перемешивания

0.35

у®, мол.д.

0.3 1

0.25

0.2 -

2

0.1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 2 - Распределение концентрации СО2 в воде по высоте слоя насадки при расходах абсорбента

L х 10 , кмоль/ч: 1 - 122, 2 - 106.64 без перемешивания жидкости, 3 - 122, 4 - 106.64 с учетом перемешивания

Однако, учитывая турбулентный режим движения пленки жидкости Reж > 2000, для расчета необходимо использовать уравнения (24) при перемешивании жидкости. Расчетные значения расхода и концентрации насыщенного абсорбента по уравнениям (24), обеспечивающие выполнение баланса (16) при р = 0.95 следующие: = 106 640 кмоль/ч, жк = 0.00243 мол.д., Ук = 0.017 мол.д., х0 = 0 . Высота слоя насадки получена по уравнению:

H =

где

LKxK•18

3600•1000•kxavSДXср

10.9 м.

kx =Ä = I** tÄ. = 4.9.ю-4

м/с.

ежд = 0.143 , Scж = 512

^ср = 2.8.10 4 мол.д.

Q =

L. 18

м3/м2с.

3600•1000S

Полученное значение расхода абсорбента на 13% меньше принятого эмпирически [6], что составляет 276,5 м3/ч, а высота слоя насадки с погрешностью 9% совпадает с рекомендованной [6].

Для рассмотренного аппарата зависимость коэффициента продольного перемешивания от степени извлечения в диапазоне от 90 до 100% имеет вид:

Dn = 5.095 • 10"2 - 3.567 • 10"7 • L , м2/с, а число

о u' H

re =- в данном диапазоне степени извлечения

Dn

будет меняться от 12.89 до 42.74.

Заключение

Предложенный метод проектирования насадоч-ных аппаратов позволяет сократить этапы экспериментальных исследований массопереноса на установках различного масштаба.

Литература

1. Пленочная тепло- и массообменная аппаратура. Под ред. В.М.Олевского. Химия, Москва, 1988, 240 с.

2. Шавалеев Р.Р., Елизаров В.И., Титова Е.С., Сафаров А.Р. Вестник технологического университета, 18, 22. 134-136 (2015).

3. Елизаров Д.В., Елизаров В.В., Елизаров В.И., Дьяконов С.Г. Вестник технологического университета, 18, 20. 83-87 (2015).

4. Елизаров Д.В., Елизаров В.В., Елизаров В.И., Дьяконов С.Г. Вестник технологического университета, 19, 3. 97-100 (2015).

5. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1993. 438 с.

6. Рамм В. М. Абсорбция газов. Химия, Москва, 1976. 656 с.

© Р. Р. Шавалеев - аспирант кафедры АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ», [email protected]; В. В. Елизаров - д. т. н.,

заведующий кафедрой АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ»; Д. В. Елизаров - к. т. н., доцент кафедры АТПП НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ».

© R. R. Shavaleev - postgraduate student, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university", [email protected]; V. V. Elizarov - doctor technical sciences, head of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university"; D. V. Elizarov - candidate technical sciences, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university".