Кинетика массопереноса в пограничном слое на внутренней поверхности капли в процессе жидкостной экстракции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 66.061.35

© Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров

КИНЕТИКА МАССОПЕРЕНОСА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КАПЛИ В ПРОЦЕССЕ ЖИДКОСТНОЙ ЭКСТРАКЦИИ

Ключевые слова: капля, внутренняя задача, коэффициент массоотдачи.

Рассматривается математическая модель процесса жидкостной экстракции в пограничном слое на внутренней поверхности капли. Произведен расчет коэффициентов массоотдачи по предложенной модели, построены графики зависимостей, проведено сравнение расчетных данных с результатами экспериментов при экстракции в системах 1,3-гептиловый спирт - соляная кислота - вода, вода - уксусная кислота - бензол и амиловый спирт - фенол - вода.

Keywords: drop, inner layer problem, mass transfer coefficient.

It is considered a mathematical model of the process liquid-liquid extraction on the inner boundary layer of the drop. On the basis of the proposed model calculated mass transfer coefficients in systems 1,3-heptanol - hydrochloric acid -water, water - acetic acid - benzene and amyl alcohol - phenol - water, these calculated data were used to build charts and compare with experimental results.

Введение

Описание процессов массоотдачи в сплошной и дисперсной фазах при свободном движении капель имеет ряд различий. Они вызваны тем, что внутри каждой из фаз имеются различные гидродинамические условия массоотдачи: сплошная фаза турбулизируется за счет движения дисперсных частиц, а циркуляция жидкости внутри капель обусловлена трением между каплей и сплошной фазой, возникающим в результате относительного движения фаз [1].

При движении капли жидкости в ламинарном потоке сплошной среды на внутренней и внешней сторонах ее поверхности образуются диффузионные пограничные слои. Жидкость в этих пограничных слоях движется по направлению из области передней критической точки к области задней критической точки и затем уносится от поверхности в ядро сплошной фазы, образуя внешний диффузионный след, и в приосевую область капли, образуя внутренний диффузионный след.

Внутренняя задача конвективного массообмена существенно отличается от внешней структурой внутренних потоков, линий тока, образующихся при обтекании капли сплошной средой.

Во внешней задачи все линии тока разомкнуты. При этом линии, расположенные вдоль оси движения капли, приносят из ядра сплошной фазы необедненную концентрацию, проходят вдоль поверхности капли, на которой происходит поглощение извлекаемого компонента и обеднение раствора, и далее вновь уходят в ядро потока сплошной среды.

Во внутренней задаче все линии тока замкнуты, поэтому извлекаемый компонент, проходя вблизи границы раздела фаз, частично поглощается и попадает далее в ядро капли по линиям тока, расположенным вблизи оси потока. В

ядре капли происходит перемешивание фазы с необедненной концентрацией. Линии тока, выходя из приосевой области, начинают вновь проходить вблизи поверхности капли [2].

Известен целый ряд моделей, описывающих массоотдачу с различными допущениями, однако, не во всех случаях удается провести аналитический расчет коэффициентов массоотдачи. Поэтому математическое описание строится, в основном, на эмпирических зависимостях.

Наиболее перспективным является путь описания массоотдачи в двухфазных системах с подвижной границей раздела, основанный на представлениях теории диффузионного

пограничного слоя [3].

Перенос импульса и массы в пограничном слое является нестационарным [4]. Рассмотрим задачу нестационарного массопереноса в пограничном слое внутри капли, пренебрегая конвективным переносом импульса и массы в пограничном слое.

Теоретическая часть

Уравнения переноса импульса и массы в пограничном слое на внутренней поверхности капли в подвижной системе координат записываются в виде:

дП дП ,д 2и д 2П.

+ ПГРТГ = У0 (т=2 ,

дц д% д% дц

дс дс ^ ,д2С д2С .

+ Пг^ТТ ~ + ^—2 ),

дц д% д% дц

(1)

(2)

где £ = X + иГрТ, ц = у ±ют - продольная и поперечная координаты пограничного слоя в подвижной системе координат; бх/бт = игр,

бу/бт = ±ю - изменение продольной X и поперечной у координат пограничного слоя во времени;

Введем безразмерные переменные:

П =

ПГР - П

->ГР

с =

С ГР - с

ц

4

ц= —, 4=~т,

СГР - С0 8 1

где П гр = Пга (1^#к/4сф ) - скорость движения жидкости по границе раздела фаз; пх = Яесу!СЭ -скорость поступательного движения в сплошной среде; 4к, 4сф - коэффициенты сопротивления капли и твердой частицы; с ГР , с0 - концентрация

распределяемого компонента на границе раздела фаз и в ядре капли; 8 - толщина динамического

пограничного слоя внутри капли; I = —Сэ12 -линейный размер капли; Ивс - число Рейнольдса в сплошной фазе; Сэ - эквивалентный диаметр капли.

Уравнения (1) и (2) в безразмерных переменных принимают вид:

дп 8 дп

= ±Rem — +—ReГР —,

" дц I ГР д4’

д2П 8 2 д2П

дц2 + 12 д42

д2с 8П2 д2с

дц2 I2 д^2

д д с _ дс 8Д дс

Д = ±Рет- + -Д Ре гр— ,

(3)

(4)

дц I д4

где = ®81^0 , Reгp = ПГР81^й ,

Реш = ю8ц/^о , РеГР = ПГР8д/^о ,

8д = 8 ■ Эс^12 - толщина диффузионного слоя.

Граничные условия для уравнений (3) и (4):

„ дп дс -

при ц = 0 : п = 0 , с = 0 ; ц = 1: — = — = 0;

дц дц

4 = 0 : п = ПГР^П°-, с = 1; 4 = 1: дп =^ = 0 . (5)

пгр д4 д4

Здесь п0 - средняя скорость в ядре капли,

которая определяется из уравнения расхода в поперечном сечении капли от ее границы до центра

R:

8 R

| пСц = | п^ц = п0 ^-8),

| пГР 1 -2 пт (4)эт Сц = п0 (Р-8)

0 V т=1

ЛГР

8-Е тЦ-пт (4) = пс ( -8). ^„т—

V т=1 /

Откуда:

( ш „ Л

пГР8

2

п0 =•

1 - 2=, ~т—пт4

V т=1

(6)

где R = С э/ 2 - радиус капли.

Толщина динамического пограничного слоя определяется при ц = 1 из условия п = п0 :

J0 = пГР ( - п), п = 1------ .

4 ГР

Решение уравнения переноса импульса. Решение уравнения (3) имеет вид [5]:

Ш .

п = 2 пк (4)э1п -—— ц, (7)

к=1

где к = 1,3,5,...2п +1,...; пк (4) - неизвестные

функции от 4.

Решение (7) удовлетворяет граничным условиям (5) по координате ц. Функции п- (4) должны удовлетворять уравнению (3) и граничным условиям (5) по координате 4. Подставляя решение

(7) в уравнение (3), умножая его на эт—— ц, где

т = 1,3,5,... 2п +1,..., интегрируя по координате ц от 0 до 1 и учитывая при этом следующие условия:

\ 0 при т ф к

г . к— . т— , \ ~

Б1П-----цБ1П-------цСц = \ 1 ..

J 2 2 | — при т = к

. 2

г к- . т— , 2

I соэ—цэт------цсСц

Л 2 2 —

к—

1

т+к+2 '

т + к (-1) 2

(8)

получим систему уравнений для определения искомых функций пт (4) (т = 1,3,5,...2п +1,...):

пт =8Г пт (4)| —I +^грпт (4) +

-п-(4)

т+к+2

(9)

т + к ■ (-1) 2

Здесь пт =

с Ч

С42

Для определения толщины пограничного слоя 8 используем значение скорости на границе пограничного слоя при ц = 1:

0

(10)

ГР

п(4,ц)1ц=1 = 2 пт (4)5'п^2—= 1 - пп

т=1

где т = 1,3,5,... 2п +1,...

Зависимость толщины пограничного слоя от 4 имеет вид:

8(4) = а4ь, (11)

где а = сопв(, Ь = сопв( (Ь = 0.5 ).

В соответствии с решением (6) при 4 = 0 8 = 0 , получим п0 = 0 и граничное условие (5) для скорости п = 1 .

Граничные условия (5) по координате 4 :

' = 1, (12)

при 4 = 0 : пт 4=0

при 4 = 1: пл

= 0.

4=1

(13)

где т = 1,3,5,...2п +1,...

Таким образом, определение толщины слоя 8 сводится к нахождению параметра а в уравнении (11). Параметр а определяется из условия (10) в результате минимизации интегральной невязки:

2

2

и

т—

1 - — -2пт(4)э'п 2

т=1 2

п

ГР

(14)

Среднее значение толщины слоя 8 определяется интегрированием по координате 4 пограничного слоя:

8 =

I

¡8(4)С4.

Решение уравнения переноса массы.

Решение уравнения переноса массы (4) в пограничном слое внутри капли записывается в виде:

Ш .

с = 2 с- (4)э1п к—ц, (15)

к=1 2 где - = 1,3,5,...2п +1,...; ск (4) - неизвестные

функции от 4 , удовлетворяющие граничным условиям (5).

Поступая аналогично, как и при решении уравнения переноса импульса придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (16) относительно искомых функций ст(4) .

ст (4) =

8,

т—

21 Т"

ст (4) +^РегРст (4) +

8

Д

8

Д

Реш2 ст 4 -=1

(16)

т+к+2

т + к ■ (-1) 2

где т = 1,3,5,...,2п +1,...

Граничные условия для ст(4) :

_4_

—т ’

= 0.

при 4 = 0 : ст (0) =

г

при 4 = 1: ст (4)

4=1

(17)

(18)

Системы уравнений (9), (16) с граничными условиями (12), (13) и (29), (10) решаются методом последовательных приближений.

Коэффициент массоотдачи р0 (4) в

диффузионном пограничном слое дисперсной фазы определяется из условия [6]:

Ро(4) = й2-^2т°т(4) , (19)

28д т=1

где 8, (4) = 8 (4)£со1/2 - толщина диффузионного пограничного слоя на внутренней поверхности капли; Бсо =го / 0о - число Шмидта в капле; уо -коэффициент кинематической вязкости дисперсной фазы; оо - коэффициент молекулярной диффузии в дисперсной фазе.

Среднее значение коэффициента массоотдачи Ро определяется интегрированием по координате 4 пограничного слоя:

Ро = | Р(4)С4.

(20)

Результаты

Для проверки адекватности полученной модели рассматривается решение внутренней стационарной задачи в момент времени т = 0, полученные расчетные значения коэффициента массоотдачи Ро сравнивается с

экспериментальными данными.

На рис. 1-6 приведены зависимости

коэффициента массоотдачи в дисперсной фазе Ро , скорости движения жидкости по границе раздела фаз пгР и средней скорости в ядре капли п0 от числа Рейнольдса сплошной среды Reс. Полученные результаты сравнивались с экспериментальными данными [7, 8, 9].

Эксперименты [7] проводились в колоннах диаметром Оа = 100 мм, с высотой рабочей части, равной Н =1060 мм. Экспериментальные данные [8] получены при экстракции в распылительной колонне Оа = 30 мм и высотой Н = 650 мм системы вода (спл. фаза) - уксусная кислота -бензол. Эксперименты [9] проводились в распылительной колонне оа = 24 мм и Н = 65 мм: система амиловый спирт - фенол - вода (дисп. фаза), ОО = 0.84 ■ 10 9 м2/с.

Рис. 1 - Зависимость коэффициента массоотдачи РО (м/с) в дисперсной фазе от числа Рейнольдса Reс при экстракции в системе 1,3-гептиловый спирт - соляная кислота - вода (спл. фаза) в колонне диаметром Оа = 100 мм и высотой

Н = 1060 мм: 1 - расчет по предложенной модели; 2 - экспериментальные данные [7]

2

I

к

+

2

Рис. 2 - Зависимость граничной скорости пгр (м/с) и скорости в ядре капли п0 (м/с) от числа Рейнольдса Reс при экстракции в системе 1,3-гептиловый спирт - соляная кислота - вода (спл. фаза) в колонне диаметром Оа = 100 мм и высотой Н = 1060 мм: 1 - скорость движения жидкости по границе раздела фаз пгР; 2 средняя скорость в ядре капли п0

Рис. 3 - Зависимость коэффициента массоотдачи Ро (м/с) в дисперсной фазе от числа Рейнольдса Reс при экстракции в системе вода (спл. фаза) -уксусная кислота - бензол в распылительной колонне диаметром оа = 30 мм и высотой Н = 650 мм: 1 - расчет по предложенной модели; 2 - экспериментальные данные [8]

Рис. 4 - Зависимость граничной скорости п^р (м/с) и скорости в ядре капли п0 (м/с) от числа Рейнольдса Reс при экстракции в системе вода (спл. фаза) - уксусная кислота - бензол в распылительной колонне диаметром оа = 30 мм и высотой Н = 650 мм: 1 - скорость движения жидкости по границе раздела фаз пгР; 2 средняя скорость в ядре капли п0

Рис. 5 - Зависимость коэффициента массоотдачи Ро (м/с) в дисперсной фазе от числа Рейнольдса

Reс

при экстракции в системе амиловый спирт

- фенол - вода (дисп. фаза) в распылительной колонне диаметром оа = 24 мм и высотой Н = 65 мм: 1 - расчет по предложенной модели; 2 - экспериментальные данные [9]

ип>.и0 1°3

О 200 400 600 Яе,.

Рис. 6 - Зависимость граничной скорости п^р (м/с) и скорости в ядре капли п0 (м/с) от числа Рейнольдса Reс при экстракции в системе амиловый спирт - фенол - вода (дисп. фаза) в распылительной колонне диаметром оа = 24 мм и высотой Н = 65 мм: 1 - скорость движения жидкости по границе раздела фаз пгР; 2 средняя скорость в ядре капли п0

Из графиков видно, что полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Погрешность расчетов не превышает 15 %, что подтверждает достоверность предложенной математической модели.

Результаты работы получены в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение №14.В37.21.0591).

Литература

1. Б. И. Броунштейн, А. С. Железняк, Физико-химические основы жидкостной экстракции. Химия, Москва, 1966, 317 с.

2. А. Д. Полянин, ТОХТ, 18, 3, 284-296 (1984).

3. Ю. П. Гупало, А. Д. Полянин, Ю. С. Рязанцев, Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. Наука, Москва, 1985, 336 с.

4. Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров, Вестник Казан. технол. ун-та, 14. 9. 127-131 (2011).

5. С. Г. Дьяконов, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров, Д. А. Кириллов, ТОХТ, 45, 4, 400-408 (2011).

6. Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров, Т .С. Камалиев, С. Г. Дьяконов, ЖПХ, 86, 2, 246-252 (2013).

7. А. М. Розен, А. И. Беззубова, ТОХТ, 2, 6, 850-862 (1968).

8. А. С. Железняк, Б. И. Броунштейн, ЖПХ, 36, 11, 24372445 (1963).

9. Н. И. Каденская, А. С. Железняк, Б. И. Броунштейн, Процессы хим. технологии, 215-218 (1965).

© Т. С. Камалиев - аспирант кафедры процессов и аппаратов химических технологий ФГБОУ ВПО «КНИТУ», [email protected]; Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации технологических процессов и производств НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ», В. В. Елизаров - д-р техн. наук, профессор кафедры автоматизации технологических процессов и производств НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ»