Массоперенос к капле жидкости в ламинарном потоке сплошной среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Д. В. Елизаров, В. И. Елизаров, Т. С. Камалиев

МАССОПЕРЕНОС К КАПЛЕ ЖИДКОСТИ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ

СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Ключевые слова: капля жидкости, псевдоламинарный пограничный слой.

Рассматривается математическая модель процесса жидкостной экстракции в аппаратах при ламинарном обтекании капли жидкости. Проведены расчеты коэффициентов массоотдачи по предложенной методике и сравнение расчетных данных с результатами экспериментов при экстракции в системах вода - бензойная кислота - бензол и вода - анилин - ксилол.

Keywords: liquid drop, pseudolaminar boundary layer.

It is proposed a mathematical model of the process liquid-liquid extraction for liquid drop in laminar flow. On the basis of the proposed model calculated mass transfer coefficients in systems water - benzoic acid - benzene and water - aniline - xylene, these calculated data compared with experimental results.

Введение

Исследование динамики капель, движущихся в поле силы тяжести в вязких несжимаемых жидкостях, исследовалось в ряде работ [1, 2]. Как известно [3, 4], капли условно подразделяют на три группы: мелкие (Ивс << 1), средние (1 < с < ЗвКР ), крупные ( /Звс > *еКр). Мелкие капли находятся в режиме ползучего течения, средние движутся в ламинарном потоке, а крупные капли находятся в турбулентном режиме движения. Здесь Ивс = иэ ¡V - число Рейнольдса для сплошной фазы; КвКр - критическое число Рейнольдса, варьируется в пределах от 100 до 300 и зависит от физико-химических свойств системы. Движение капель имеет ряд особенностей по сравнению с движением твердых тел. На подвижной поверхности раздела фаз касательная составляющая скорости отлична от нуля, вследствие чего внутри капли возникает циркуляция среды, что способствует лучшему обтеканию, и отрыв потока начинается при более высоких значениях числа ¡Зв, чем для твердой сферы. Вследствие этого скорость движения капель больше скорости твердой частицы того же диаметра и одинаковой плотности. Также следует учитывать, что при определенных значениях критериев Рейнольдса и Вебера капли начинают деформироваться и колебаться, из-за чего происходит резкое увеличение коэффициента сопротивления по сравнению с твердой сферой при одинаковых числах Рейнольдса.

Аналитический расчет коэффициентов массоотдачи удается лишь в немногих случаях. Математическое описание массообменных процессов основывается, главным образом, на эмпирических зависимостях.

Экспериментальные исследования

характеристик диффузионного пограничного слоя методом голографической интерферометрии в случае массоотдачи мелкодисперсной твердой фазой турбулентной жидкости позволили установить наличие автомодельности профиля концентрации при различных гидродинамических

режимах. Кроме того, в структуре диффузионного пограничного слоя выявлены область с логарифмическим профилем концентрации и область диффузионного подслоя; пограничный слой на поверхности частицы в потоках с внешней турбулентностью сочетает в себе черты характерные для ламинарного и турбулентного слоев, поэтому он может быть классифицирован как

псевдоламинарный [5].

Диффузия молекул с поверхности капли в ядро потока сплошной среды при уменьшении частицы и диффузия вещества из сплошной фазы к поверхности частицы при росте приводит к перемещению границы пограничного слоя. Координаты пограничного слоя изменяются во времени пропорционально скорости изменения размера капли. Перенос импульса и массы в пограничном слое является нестационарным [6]. Рассмотрим задачу нестационарного массопереноса в пограничном слое на капле со стороны сплошной фазы, пренебрегая сопротивлением внутри капли и конвективным переносом импульса и массы в пограничном слое.

Теоретическая часть

Уравнения нестационарного движения и переноса массы в пограничном слое на поверхности капли принимают вид:

),

(1)

(2)

ди ,д и д2и

^ = у(—2 2

дт дх2 ду2

дс _.д 2 С д 2 С

^Г = ---Т +---2

дт дх2 ду

Увеличение и уменьшение размера капли по диффузионному механизму начинается с начальной величины б 0 . Перенос вещества с поверхности капли приводит к увеличению, а перенос к поверхности к уменьшению размера б 0.

Увеличение и уменьшение размера сферической капли можно представить в виде изменения во времени продольной х и поперечной у координат

пограничного слоя, причем: бх/бт = иГр,

бу/бт = +® .

Введем подвижную систему координат: ^ = у ±ат, І; = х + иГРт. После преобразования переменных уравнение (1) примет вид:

ди ди дц ди д£ ди ди

дт дц дт д£ дт дц ГР д£

д2и д2й д2 и д2 и

(3)

ду2 дг дх2 д42

Преобразуя аналогично уравнение (2) и подставляя значения выражений (3) в уравнения (1) и (2), получим:

ди ди ,д2 и д2 и .

О-Ъ игр —— — ^(——I-----7г) ,

дц д£ д£ дц '

д2С д2С

).

до до

о------+ иГР—= = Di- „

дц д% д% дц2

Введем безразмерные переменные:

(4)

(5)

и —

и - иГР

С—

ите - и,

ГР

ц—Ц.t—L 8 l

где итс — Re8-----------скорость обтекания капли; с

0э

ГР

с го - концентрация вещества на поверхности капли и в ядре потока; 8 - толщина динамического пограничного слоя; I = тгбэ/2 - линейный размер капли; бэ - эквивалентный диаметр капли.

Введение подвижной системы координат позволило перейти от трехмерной задачи к

двумерной в координатах 4, г и привело к появлению в уравнениях переноса (1) и (2) параметров со и иГр. Уравнения (1) и (2) в безразмерных переменных принимают вид: д2и 82 д2и

ди 8 ди

—о- ъ—о---------------------------------о- — —Re o-i— Rerp —

дц2 l2 д£ дц l д£

2 а2.

д2С 8П д с

дц2 l2 д£2

п д с _ дс 8П П — —Pe^-I-^ Pe ГР —,

дс

(6)

(7)

дг I д^

где Нво=ю8^, [?вГР = иГ^Р8^, Рвт=ю8д!О,

Рвгр = игр8д1й, 8д =8- Эс -12 - толщина

диффузионного слоя.

Граничные условия для уравнений (6) и (7):

. . . . ди дс п

при г = 0 : и = 0 , с = 0 ; г = 1: — = — = 0;

дг дг

4 — 0 : и — 1, с — 1; 4 — 1: — — — — 0 .

д£ д£

(8)

Скорость движения жидкости по границе раздела фаз определяется по выражению:

иГР = и^(1 -.{Щф),

где 4к, 4сф - коэффициенты сопротивления капли и твердой частицы.

Скорость изменения размеров капли по диффузионному механизму о записывается в виде уравнения [7]:

О —

dУ — dd^

сіт

Vf

'ф{СГР - c»),

(9)

бт 3рцрд

где рР и рц - поверхностный и объемный коэффициенты формы капли (для сферических (рР = п, рц = п/6); рд - плотность частицы; ¡3 -

среднее значение коэффициента массоотдачи в сплошной фазе.

Интегрируя уравнение (9), с начальным условием б = б0 при т = т0, получим размер капли в момент времени т :

d — d о -

Vf

39V Рд

фірГР - с,

(10)

где сго = сго (г) - концентрация экстрагируемого вещества в сплошной фазе; Сгр - концентрация вещества на границе раздела фаз, величина постоянная при заданной температуре и давлении.

Толщина динамического пограничного слоя определяется из условия и = 1 при г = 1 .

Решение уравнений переноса импульса.

Решение уравнения (6) будем искать в виде разложения по ортогональным функциям:

ОТ .

и — 2 ик(£)sin"2~ц : к—1

(11)

ик(£) -

неизвестные

где к = 1,3,5,...2п +1,...; функции от 4.

Решение (11) удовлетворяет граничным условиям (8) по координате г. Функции ик(4) должны удовлетворять уравнению (6) и граничным условиям (8) по координате 4. Для определения

ик (4) подставим решение (11) в уравнение (6):

“2 го , го /. \2

^т\

’’ . kn ^кя) . кя

—^Uk (4)51^-v-¿\-2 \ uk(4)sin2v =

1 k=l 2 k=A 2 \ 2 (12)

□ kn kn S D ^ . kn

=Reuk (4)cos— 7+-rRehP^uk (4)sin— 7 k=1 2 2 1 k=1 2

Умножим левую и правую части уравнения

(12) на sin т2П7, m = 1,3,5,...2л +1,... и

проинтегрируем его по r¡ от 0 до 1, учитывая при

этом следующие условия:

1 . m Í0 при m ф k

г . kn . mn , I „

sin—rsin-------r<dr = \ 1 ,,

0 2 2 1 ~ при m = k

kn . mn , 2

cos—цsin--цСц — —

2 2 n

1

m+k+2

(13)

0 т + к (-1) 2

После преобразований получим систему уравнений для определения искомых функций

ит (4) (т = 1,3,5,...2п +1,...):

Т

СГР с

l2 ,A mn

— 8 m (({-2

l '

+ 8ReГРUm (4) +

8

¡2 от

■2Re..W I

кик(4)

m+k+2

(14)

к—1

m + к ■ (-1)

2

Здесь um —

d и d£2

Таким образом, произведен переход от уравнения (6) в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (14) относительно ит(4) . Рассмотрим граничные условия (8) по координате 4 :

ди

84

— h-(4)sin tfv — 0. (15)

4—1 к—1

Умножим левую и правую части уравнений

(15)

на

mn

sin-^- ц (m — 1,3,5,...2n +1,...)

проинтегрируем его поц от 0 до 1. В результате, получим, при 4 = 1:

' ' би

ит = о, ит= бт-. (16)

4=1

С граничным условием для и при 4 = 0 проведем аналогичные преобразования:

ОТ .

I ик (0)sin -2Пц— 1,

к=1

(17)

(18)

где т = 1,3,5,...2п +1,...

Ввиду того, что , (^Єгр и 8 являются функциями от 4, система уравнений (14) с граничными условиями (16) и (18) решается методом последовательных приближений.

Правую часть уравнения (14) обозначим через (Рт(4,ит) тогда:

4 в

um (4) — Ц Vm (Х, um )dXde + C1m4 + C2m

(19)

0 0

где %,в - переменные интегрирования.

Константы интегрирования С1т и С2т находятся из граничных условий (16), (18).

Общая схема решения следующая: задается первое приближение искомых функций ит (4),

например,

ипР (4) = const = um (0). Затем

определяем значения констант C1m и C2m,

используя граничные условия (16) и (18). После

этого из решения уравнения (19) получаем

(2)

следующее приближение um (4) и так далее до достижения сходимости метода.

Для определения толщины пограничного слоя 8 используем значение скорости на границе пограничного слоя при г = 1:

(20)

и(4,г)|г=1 = 2 um (4)sin = 1 =

m=1

где m = 1,3,5,...2n +1,...

Зависимость толщины пограничного слоя от 4 принимаем в виде степенной функции:

8(4) = a4b , (21)

где a = const, b = const (b = 0.5).

Таким образом, определение толщины слоя 8 сводится к нахождению параметра а в уравнении (21). Параметр а определяется из условия (20) в результате минимизации интегральной невязки:

I ж

II -2 um (4)sin m

0 m=1

Среднее

(22)

значение толщины слоя определялось как средне-интегральная величина:

1

8 —

¡8(4)d£.

Учитывая размерное выражение (21) 8(4) — a4b ■ l, уравнение (14) можно записать в виде:

,, " m2n2 1 um(4) , игр/ '

4

+ -ГР- um (4) +

a

2О 1

+ a^ 405 h

4 у кик (4)

m+к+2

m + к ■ (-1) 2

где т = 1,3,5,...2п +1,...

Решение уравнений переноса массы. Решение уравнения переноса массы (7) записывается в виде:

ГО I

с = у ск ^¡п -?г,

к—1

(23)

где к = 1,3,5,...2п +1,...; ск (4) - неизвестные

функции от 4, удовлетворяющие граничным условиям (8).

Для определения ск (4) подставим

разложение (23) в (7):

-у с, в*/?/к"12+8Д * с

к—1

-п і -ті і П X""' " /^\ ■ -71

2 ч[тJ +fIcK ©s'"lц—

kn (-к] 8

(24)

=pe^k (4)co52 r -7 \ +-Д peP^pk (4)s|nk2nr k=1 2 12 \ 1 k=1 2

Умножим левую и правую части уравнения

(24) на sin m2nr (m = 1,3,5,...2n +1,...) и

проинтегрируем по r от 0 до 1.

^ 4kn)2r . kn . mn

-Zck(4)|-^l Jsi^-^rsin—rdr +

k—1

n

и

m

и

Од -sn ■ kn . mn .

-Д-X 0k (4)\sin-j-цsin ~уцйц =

1 k=1 o 2 2

(25)

П Кл }Г Кл . тл

= Ре®Х СК(4)І -2- II с°^ -у Л -— лбл +

к=1 1 2 1 о 2 2

— 1

8Д „ ', г . кл . тл ,

+ ~у РЄгрXСк (4)1 біп— лбі^-— лбц.

1 к=1 о 2 2

С учетом выражений (13) уравнение (25) запишется следующим образом:

I

,2 Ґ \2 /2 ( mn '

2/

Д

2 го

от (4) = I 0m (4) + — РеГР 0т (4) +

О

Д

(26)

О

От (4

2 о / . т Д к=1

m+к+2

т + к • (-1) 2

где т = 1,3,5,...,2п +1,...

Также как и при решении уравнения переноса импульса, от уравнения в частных производных (7) перешли к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (26) относительно искомых функций ст (4). Используя (8) получим граничные условия для ст (4):

до

54

ГО .

Z',„, . kn

0к (4)s|n— ц

4=1 k=1 2

= 0.

(27)

4=1

Умножим левую и правую части уравнения

_ _ m n .j л ^ л .j

(27) на sin---------------ц, m = 1,3,5,...2n +1,...; и

проинтегрируем по Л от 0 до 1.

1 1

-цбц = I 0 • БІП——— цбл , (28)

о

ГО I

^X0k' 4sl

k=1 o

kn

sin—цsln

mn

~2

2

0m (4) = 0 .

4=1

(29)

Для граничного условия при 4 = 0 проведем аналогичные преобразования:

x 0k (°)s|n ц-ц=1, 0m (o)=nm •

“ 2 nm

k=1

(30)

Решение системы уравнений (26) с граничными условиями (29) и (30) проводится методом последовательных приближений, аналогично уравнению (14).

Толщина диффузионного пограничного слоя на поверхности капли жидкости определяется по толщине динамического в виде [1]:

-1

8д (4) = 8(4)£с 2,

где Sc = V / О - число Шмидта.

При решении уравнений переноса импульса и массы в разложении (11) и (23) удерживалось конечное число членов ряда (к = 1), два (к = 1,3 ) и три (к = 1,3,5). Проведенные расчеты скорости и концентрации в области пограничного слоя показали, что решение уравнений (6), (7) в виде суммы трех членов ряда (к = 1,3,5) в разложениях

(11) и (23) практически повторяет решение, представленное суммой двух членов ряда (к = 1,3 ). Тем не менее, для повышения точности получаемых результатов, предлагается представлять решение уравнений (6), (7) в виде:

и(4,ц) = U1(4)sin^- ц + ^^sln^ + U5(4)sln^

5n

2

2

3n

2

5n

ц,

с(4,г) = с(4)вт-г + с3 (4)вт—г + с5 (4)^—г ,

где и1(4), и3(4), и5(4), с1(4), с3(4), с5(4) -

неизвестные функции, определяемые из уравнений

(14), (26).

Коэффициент массоотдачи 3

рассчитывается по величине потока вещества в пограничном слое на поверхности капли и находится по следующему выражению [8]:

А4) = D 2nXm0m (4)

2о -

(31)

Д m=1

Среднее значение коэффициента массоотдачи р определяется как

среднеинтегральное по поверхности капли: 1

p = ¡p(4)d4.

(32)

Результаты

Для сравнения расчетных значений

коэффициента массоотдачи р (32) с экспериментальными данными рассматривается стационарная задача: решение уравнений

проводится в момент времени т = То = 0 , скорость роста со = 0 .

Рис. 1 - Зависимость коэффициентов

массоотдачи р (м/с) в сплошной фазе от числа

Рейнольдса Яе при экстракции в системе вода (дисп. фаза) - бензойная кислота - бензол в распылительной колонне диаметром йа = 45 мм и высотой Н = 650 мм: 1 - расчет по

предложенной модели; 2 - экспериментальные данные [9]

На рис. 1, 2, 3 приведены результаты расчета коэффициентов массоотдачи, полученные по предложенной методике и сравнение их значений

+

k

+

с экспериментальными данными [9, 10].

Экспериментальные данные в работе [9] получены в распылительной колонне йа = 45 мм и Н = 650 мм при экстракции бензойной кислоты из бензола водой. В работе [10] эксперимент проводился в стеклянной колонне диаметром йа = 24 мм и высотой Н = 65 мм при экстракции в системе вода

- бензойная кислота - бензол и вода - анилин -ксилол. Диаметр капель изменяется в интервале с(э = 0.08 - 0.575 мм.

Я11,8с1/3

Рис. 2 - Зависимость безразмерного комплекса Sh / Sc1/2 от числа Рейнольдса Re в сплошной фазе при экстракции в системе вода (спл. фаза) -бензойная кислота - бензол в стеклянной колонне диаметром Da = 24 мм и высотой

H = 65 мм: 1 - расчет по предложенной модели; 2 - экспериментальные данные [10]

Sh'Sc1/2

10

Ю 100 и.е

Рис. 3 - Зависимость безразмерного комплекса Э11 / Эс12 от числа Рейнольдса ¡Зв в сплошной фазе при экстракции в системе вода (спл. фаза) -анилин - ксилол в стеклянной колонне диаметром йа = 24 мм и высотой Н = 65 мм: 1

- расчет по предложенной модели; 2 -

экспериментальные данные [10]

Сравнение результатов расчета коэффициентов массоотдачи по предложенному методу показывает удовлетворительное

согласование с результатами экспериментальных исследований.

Приведенные результаты математического моделирования и их сравнение с экспериментальными данными на примере процессов экстракции в системах вода - бензойная кислота - бензол и вода - анилин - ксилол указывают на достоверность полученной

математической модели.

Результаты работы получены в рамках федеральной целевой программы «Научные и

научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение

№14.В37.21.0591).

Литература

1. В. Г. Левич, Физико-химическая гидродинамика. Наука, Москва, 1987, 669 с.

2. Б. И. Броунштейн, В. В. Щеголев, Гидродинамика, массо- и теплообмен в колонных аппаратах. Химия, Ленинград, 1988, 336 с.

3. А. М. Розен, А. И. Беззубова, ТОХТ, 2, 6, 850-862 (1968).

4. А. М. Розен, В сб. Процессы жидкостной экстракции и хемосорбции. Химия, Москва, 1966. С. 99-112.

5. Л. П. Клинова, Н. Б. Сосновская, С. Г. Дьяконов, В сб. Массообменные процессы и аппараты химической технологии. КХТИ, Казань, 1987, С. 114-125.

6. Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров, Вестник Казан. технол. ун-та, 14. 9. 127-131 (2011).

7. С. Г. Дьяконов, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров, Д. А. Кириллов, ТОХТ, 45, 4, 400-408 (2011).

8. Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров, Т .С. Камалиев, С. Г. Дьяконов, ЖПХ, 86, 2, 246-252 (2013).

9. А. С. Железняк, Б. И. Броунштейн, ЖПХ, 36, 11, 24372445 (1963).

10. Н. И. Каденская, А. С. Железняк, Б. И. Броунштейн, Процессы хим. технологии, 215-218 (1965).

© Т. С. Камалиев - аспирант кафедры процессов и аппаратов химических технологий ФГБОУ ВПО «КНИТУ», [email protected]; Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации технологических процессов и производств НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ», В. И. Елизаров - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой автоматизации технологических процессов и производств НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ»