Модель Лоренца и динамика хода суточных температур на территории г. Нижнего Новгорода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Н ижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010 , 3 (1), с. 173- 176

УДК 551.583

МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА И ДИНАМИКА ХОДА СУТОЧНЫХ ТЕМПЕРАТУР НА ТЕРРИТОРИИ г. НИЖНЕГО НОВГОРОДА

© 2010 г. А.Я. Моничев, Е.С. Дубровина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 01.07.2009

Рассматривается модель Лоренца, описывающая конвективные потоки воздуха в атмосфере. Ее решения дополняются включением случайных воздействий, отражающих стохастические флуктуации температуры. Исследуется влияние увеличения вертикального градиента температуры (числа Рэлея) на динамику системы. Выявленные закономерности поведения системы Лоренца с учетом стохастической составляющей позволяют объяснить наблюдаемые тенденции динамики суточных температур г. Н. Новгорода как следствие роста температурного градиента между верхними и нижними слоями атмосферы.

Ключевые слова: модель Лоренца, турбулентность, температура атмосферы, динамика.

Модель Лоренца [1], описывающая конвективные потоки воздуха или жидкости в слое, подогреваемом снизу, имеет вид системы трех дифференциальных уравнений:

х = -ах - ау,

у = гх - у - хг, (1)

2 = ху - Ъг,

где о и Ь - безразмерные константы, г - управляющий параметр, пропорциональный разности температур верхних и нижних слоев (число Рэлея), х - переменная, пропорциональная скорости циркулирующего воздуха, у соответствует разности температур между восходящими и нисходящими потоками, 7 пропорциональна отклонению вертикального профиля температуры от равновесного значения.

При некотором значении разности температур (числа Рэлея) в слое устанавливается конвективное движение: подогретый воздух начинает подниматься, а более холодный опускаться. При небольшом градиенте температуры конвекция является ламинарной, т. е. движение воздуха происходит в вертикальном направлении с постоянной скоростью. При более высоких значениях градиента ламинарное движение воздуха переходит в турбулентное, образующее вихри различных размеров и характеризующееся хаотическим характером траекторий.

Анализ динамики конвективных потоков в приземном слое атмосферы указывает на ее определенное сходство с динамикой, воспроизводимой моделью Лоренца, отражающей воздействие турбулентных пульсаций.

Локальное изменение температуры приземного слоя воздуха атмосферы, как и в системе Лоренца, в значительной мере зависит от притока тепла снизу, вызывающего в дальнейшем горизонтальный перенос воздушных масс (горизонтальную адвекцию), а также вертикальные движения воздуха. Приток тепла, в свою очередь, определяется такими факторами, как количество лучистой энергии, интенсивность фазового преобразования пара и воды в атмосфере, альбедо и эффективное излучение подстилающей поверхности [2]. Термическая турбулентность воздушных масс является частным случаем вертикального движения, порождающего пространственные и временные пульсации не только скорости и направления ветра, но также температуры, влажности и других метеорологических характеристик. При этом амплитуды таких пульсаций вполне соотносятся с их фоновыми значениями. В результате турбулентность высокой частоты может оказывать влияние на динамику крупномасштабных атмосферных процессов и, в том числе, на температуру воздуха [3].

Следует отметить, что результаты анализа многолетней динамики среднегодовой температуры приземного слоя воздуха в г. Н. Новгороде говорят об ее росте во второй половине прошлого столетия [4, 5]. С другой стороны, в последние годы различными исследователями получены данные об охлаждении верхней тропосферы и стратосферы [6, 7]. Интересно отметить, что как увеличение температуры в нижних слоях атмосферы, так и ее уменьшение в верхних слоях связывается с ростом содержания

а)

б)

г)

Рис. 1. Динамика системы Лоренца с учетом стохастических флуктуаций: а - переменная у при г = 8; б - фазовые траектории в плоскости ху при г = 8; в - переменная у при г = 15; г - фазовые траектории в плоскости ху при г = 15

углекислого газа. При этом в нижней тропосфере этот парниковый газ способствует задержке тепловой энергии, а в верхних атмосферных слоях более значимыми становятся процессы отдачи поглощенной энергии в космическое пространство [7].

Приведенные факты свидетельствуют об увеличении градиента температуры между нижними и верхними атмосферными слоями, что, согласно теории турбулентности [8] и модели Лоренца [1], должно вызвать интенсификацию турбулентных процессов в атмосфере и усложнение динамического поведения температуры. При этом представляет интерес оценить, как повышение градиента температуры может повлиять на характер хода суточных температур.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, попробуем проследить изменение динамики системы Лоренца при увеличении числа Рэлея в системе (1). При этом решение данной системы будем дополнять включением случайных воздействий, отражающих стохастические флуктуации температуры под действием дополнительных турбулентных пульсаций. Для этого будем использовать генератор случайных чисел.

На рис. 1 представлены решения системы Лоренца (1) для переменной у, а также проекции ее фазовых портретов на плоскость ху при разных значениях числа Рэлея (г) с учетом стохастических флуктуаций. Из рисунков можно

видеть, что увеличение этого параметра, т.е. повышение градиента температуры между верхними и нижними слоями тропосферы, приводит к качественным изменениям в динамике температуры. При низких значениях этого градиента (г = 8) на фазовой плоскости существуют две устойчивые точки типа фокус (рис. 1б). В случае отсутствия внешних воздействий система стремилась бы к одной из этих точек. Однако результатом действия случайных факторов становятся стохастические отклонения температуры от ее детерминированной траектории (рис. 1а), которые периодически сопровождаются резкими скачкообразными переходами из области притяжения одной устойчивой точки в область притяжения другой устойчивой точки.

При увеличении числа Рэлея происходит кардинальная перестройка фазового портрета системы [9], когда обе устойчивые точки теряют свою устойчивость и в системе возникает аттрактор сложной структуры (рис. 1г). Особенностью динамики температуры в этом случае является наличие повторяющихся участков низкоамплитудных колебаний, соответствующих движению в пределах одной петли аттрактора (участки 1 и 2), и скачкообразных переходов между ними (рис. 1в). Несмотря на сохранение скачкообразных изменений, более явственно начинают проявляться участки с низкоамплитудными колебаниями, что отражает определенную стабилиза-

1 & 2 в <и 2 В <Р Я н 2 ^

£ ^ я е

я я

5

а

О

Годы

Рис. 2. Средняя величина межсуточных перепадов зимней температуры в г. Н. Новгороде (1) и ее линии регрессии (2) в 1980-2008 гг.

а)

111 11 111 11 11 11 1111 111 111 11 11 111 11 1111 111 11 11 111 11 11 11111 II 111 11 II 111 11 1111 111 II 11 111 II III

1 в 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 6 1 66 71 76 8 1 86

Дни

а

в

б)

Дни

Рис. 3. Временные ряды зимних суточных температур: а - 1978 г., б - 2007 г.

цию хода температуры на некоторых временных промежутках (участки 1 и 2).

Такое поведение решений системы Лоренца при увеличении градиента температуры (числа Рэлея) может быть использовано для объяснения роста средней величины межсуточных перепадов температуры в г. Н. Новгороде в 8090-х гг. и их снижение в 2000-х гг. (рис. 2).

Рост средней величины межсуточных перепадов в 80-90-х годах отражает в соответствии с моделью Лоренца усложнение неустойчивого поведения температуры на границе областей притяжения ветвей аттрактора, вызванное ростом вертикального градиента температуры (числа Рэлея). Последующее снижение количе-

ства значительных межсуточных перепадов в 2000-х годах связано с возникновением условий динамического поведения, соответствующего большим значениям г. В результате более выраженными стали участки низкоамплитудных температурных колебаний, являющиеся характерной особенностью ветвей аттрактора в системе Лоренца.

Это говорит о том, что в 80-90-х годах увеличение вертикального градиента температуры (увеличение числа Рэлея) приводило к увеличению разброса значений зимних температур и вызывало рост числа ее резких изменений в соответствии с динамикой модели Лоренца при низких значениях числа Рэлея (рис. 3 а). В то же

время в 2000-х гг. дальнейший рост температурного градиента способствовал (в соответствии с динамикой при высоких значениях числа Рэлея) стабилизации ее поведения на отдельных временных отрезках с резкими переходами между ними (рис. 3б).

В целом проведенный анализ показывает, что отмеченные в последние десятилетия динамические изменения хода температур на территории Нижнего Новгорода могут рассматриваться как следствие увеличения теплового градиента между верхними и нижними слоями атмосферы, приводящего к усилению турбулентности воздушных масс. При этом в соответствии с выявленной тенденцией роста числа Рэлея следует ожидать, что в дальнейшем периоды относительно стабильной температуры, разделенные значительными межсуточными перепадами, будут более выраженными.

Список литературы

1. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 88-116.

2. Полякова Л.С., Кошарин Д.В. Метеорология и климатология. Новочеркасск: Новочеркасская государственная мелиоративная академия, 2004. 107 с.

3. Белоусов С.Л., Васильев А.А., Вельтищев Н.Ф. и др. Руководство по краткосрочным прогнозам погоды. Часть 1. Л. : Гидрометеоиздат, 1986. 703 с.

4. Дубровина Е.С., Моничев А.Я. Анализ особенностей динамики температуры приземного слоя атмосферы г. Нижнего Новгорода за период наблюдений с 1880 года до нашего времени // Приволж. науч. журн. 2008. № 4. С. 182-188.

5. Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Солнцев Л.А. и др. Анализ средневекового хода температуры в России с использованием показателя Херста // Приволж. науч. журн. 2007. № 3. С. 110-116.

6. Fu Q., Johanson C.M, Warren S.G., Seidel D.J. Contribution of stratospheric cooling to satellite-inferred tropospheric temperature trends // Nature. 2004. 429. P. 55-58.

7. Duan A. Cooling trend in the upper troposphere and lower stratosphere over China // Geophys. Res. Lett. 2007. 34. L15708.

8. Седунов Ю.С. Атмосфера: Справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 510 с.

9. Кузнецов С.П. Лекция 4. Динамика системы Лоренца // Динамический хаос (курс лекций). М.: Физматлит, 2001. С. 56-66.

LORENZ MODEL AND DAILY TEMPERATURE DYNAMICS IN NIZHNI NOVGOROD

A.Ya. Monichev, E.S. Dubrovina

Lorenz model, which describes convective air flows in the atmosphere, has been considered. Its solutions are supplemented with inclusion of random actions representing stochastic temperature fluctuations. The influence of the vertical temperature gradient (Rayleigh number) increase on system dynamics is studied. The revealed patterns of the Lorenz system behaviour with an account of the stochastic component make it possible to explain the observed tendencies in daily temperature dynamics in Nizhni Novgorod as a result of the temperature gradient increase between upper and lower atmospheric layers.

Keywords: Lorenz model, turbulence, dynamics of the atmospheric temperature.