Модель логического оператора с управляемым ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

Н.Е. РУСАКОВА

МОДЕЛЬ ЛОГИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С УПРАВЛЯЕМЫМ ЯДРОМ

Рассматриваются линейные логические операторы с управляемым ядром, являющиеся основным решающим средством в реляционных сетях, которые в свою очередь рекомендуются на роль универсального решателя высокопроизводительных мозгоподобных структур. Приводится модель логического оператора с управляемым ядром, которая характеризуется введением в вычисление этого оператора множителей и благодаря которой появляется возможность построения схемы отдельной ветви реляционной сети для переменных множеств и соответствий.

Введение

Язык алгебры предикатов представляет собой универсальное средство формального описания любых механизмов интеллекта человека и машин. Разработчики, проектирующие средства искусственного интеллекта, используют алгебру предикатов для начального формального описания моделей. Следующим этапом является алгебра предикатных операций, на которой выражаются любые действия над отношениями. Отношения выражают свойства предметов и связи между ними. Они представляют собой универсальное средство формального описания любых объектов [1].

Каждая модель логической сети характеризуется своим предикатом модели. Однако предикаты лишь описывают конкретную модель логических сетей. А для того, чтобы сеть функционировала, т.е. чтобы из нее можно было извлечь некоторые знания, необходимо решать систему логических уравнений [2]. Для решения логических уравнений часто используют линейные логические операторы [1,3].

Целью исследования является разработка модели логического оператора с управляемым ядром, которая позволяет понять процесс, происходящий в ветвях реляционной сети и построить схему отдельной ветви.

1. Линейные логические операторы

Механизм, решающий уравнения алгебры предикатов, называется реляционной сетью. Такое название мотивировано тем, что, во-первых, мозг человека реализует нейронную сеть; во-вторых, с психологической точки зрения механизм мышления представляется как ассоциативная сеть; в-третьих, с математической точки зрения механизм мышления предстает как устройство для обработки отношений (по англ. relation). Реляционная сеть состоит из полюсов и ветвей, соединяющих полюсы. Пара полюсов x и у, соединенных ветвью K(x, у), реализуют линейный логический оператор первого и второго рода. Сеть называется первого рода, если в ней действуют лишь операторы первого рода. Аналогично определяются сети второго рода. Если в сети используются операторы обоих видов, сеть называется комбинированной.

Существует взаимно-однозначное двумерное соответствие между всеми предикатами K(x, у)=1 на A*B и всеми соответствиями K(x, у) на A*B . Соответствиями называются отношения, задаваемые бинарными предикатами. Алгебру одноместных предикатов можно содержательно рассматривать как алгебру множеств, двуместных - как алгебру соответствий.

Вычисление СДНФ двуместного предиката производится по следующей формуле:

K(x, у) = v K(o,s)x" уЕ (1)

Пусть x е A, у е B, A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} . Представим пример двудольного графа двуместного предиката и соответствующую ему таблицу предиката (рис.1).

у а Ь с 1 е

х 1 1 1 0 0 0

2 0 0 0 1 0

3 0 0 1 0 0

4 0 1 0 1 1

К(х, у)

К(х, у)

Рис. 1. Представление предиката в виде таблицы и двудольного графа СДНФ предиката согласно формуле (1) имеет вид:

К(х, у) = К(1,а)х'уа V... VК(3,Ъ)х3уь V... VК(4,е)х4уе = 1-х'уа V... V0 • х3уь V... V1-х4уе = = х'уа V х'у" V х2у" V х3ус V х4уь V х4у" V х4уе .

(2)

Равенство К(1, а) = 1 равносильно утверждению, что предмет у = а есть образ предмета х = 1 относительно соответствия К(х, у) . Полный образ предмета х может быть вычислен с помощью дизъюнктивного разложения предиката:

Зае Л(ха • К(ст, у)) = 0(у). (3)

Приведем пример отыскания полного образа р(у) предмета х = 1 для соответствия (3): 0(у) = Зае{1, 2, 3, 4}(ха-(х'(уа vyb) vx2yd vx3yc vx4(yb vyd vye))) = = (11 • (11 (уа V уь) V1У V 13ус V 14(уь V yd V уе))) V (12 • (11 (уа V уь) V12 yd V 13ус V 14(уь V у11 V уе))) V v(13 • (11 (уа V уь) V12 у1 V13 ус V14 (уь V у1 V уе))) V V (14 • (11 (уа V уь) V 12у1 V 13ус V 14(уь V у1 V уе))) = уа V уь.

Следовательно, р = {а, Ь} - полный образ предмета х = 1. Полный прообраз Р предмета у может быть вычислен по формуле

Уа е В(уа з К(а, у)) = Р(х). (4)

Приведем пример отыскания полного образа Р(х) предмета у = Ь для соответствия (2):

Р(х) =Уае{а, Ь, с, 1, е}(уа з(х'(уа vyb)ух2уЛ ух3ус ух4(уь vyd vye))) = = (Ьа з (х1 (Ьа V Ьь) V х2Ь1 V х3Ьс V х4(Ьь VЬ1 VЬе))) л Л (Ьь з (х1 (Ьа V Ьь) V х2Ь1 V х3Ьс V х4 (Ьь V Ь1 V Ье))) л л(Ьс з (х'(Ьа V Ьь) V х2Ь1 V х3Ьс V х4(Ьь V Ь1 V Ье))) л Л (Ье з (х1 (Ьа V Ьь) V х2Ь1 V х3Ьс V х4(Ьь V Ь1 V Ье))) = х1 V х4. Полным прообразом предмета у = Ь будет множество Р = {1, 4} .

Максимальным образом множества Р с Л относительно соответствия К(х, у) = 1 называется множество Ршах с В, представляющее собой объединение образов всех предметов х е Р . Этот образ вычисляется по формуле:

Зх е Л(Р(х) • К(х, у)) = ршах(у). (5)

Минимальным образом множества Р с Л относительно соответствия К(х, у) = 1 называется множество Рш1п с В, представляющее собой пересечение образов всех предметов х е Р и вычисляется по формуле:

Ух е Л(Р(х) з К(х, у)) = 0ш1П (у). (6)

Преобразование т(Р) = ршах вида (5) обладает аддитивностью т(Р1 V Р2) = т(Р1) V т(Р2) относительно операции дизъюнкции и однородностью т (аР) = ат (Р) относительно операции конъюнкции, а е {0, 1} . Это преобразование называется линейным логическим оператором

первого рода. Преобразование ¥(Р) = Ошт вида (6) обладает аддитивностью ¥(Р; л Р2) = ¥(Р;) л ¥(Р2) относительно операции конъюнкции и однородностью ¥(ауР) = ау¥(Р) относительно операции дизъюнкции. Такое преобразование называется линейным логическим оператором второго рода. Предикат К(х, у) называется ядром линейного логического оператора. Именно они описывают основные действия реляционной сети, реализующей процессы мышления в числовой природе и в технике.

Найдем значения линейных логических операторов первого и второго рода для соответствия (2). Подадим на вход линейного логического оператора множество Р = {1, 4} . Согласно формуле (5) имеем:

Ошах (У) = 3х е {1, 2, 3, 4}((х' у х4) л (х1 (уа у уь) у х2уа у х3ус у х4(уь у уа у уе))) = = ((11 у 14) • (1;(уа у уь) у 12 уа у 13ус у 14(уь у уа у уе))) у у ((21 у 24) • (21 (уа у уь)у 22 уа у 23ус у 24(уь у уа у уе))) у у((3' у 34) • (3'(уа у уь) у ЗУ у 33ус у 34 (уь у уа у уе))) у

у((41 у 44) • (41 (уа у уь)у 42уа у 43ус у 44(уь у уа у уе))) = уа у уь у уа у уе.

Преобразование по фомуле (6) имеет вид:

Ош1п(у) = ^х е {1, 2, 3, 4}((х' у х4) з 3 (х1 (уа у уь) у х2уа у х3ус у х4 (уь у уа у уе))) = = ((11 у 14) з (11(уа у уь)у 12уа у 13ус у 14(уь у уа у уе)))л Л ((21 у 24) з (21(уа у уь)у 22уа у 23ус у 24(уь у уа у уе))) л л((31 у 34) з (31(уа у уь)у 32уа у 33ус у 34(уь ууа у уе))) л Л((41 у 44) з (41(уа у уь)у 42уа у 43ус у 44(уь у уа у уе))) =

(1 з уа у уь) • (0 з уа) • (0 з ус) • (1 з уь у уа у уе) = уь.

Представим наглядно при помощи двудольных графов приведенные выше вычисления (рис. 2).

К(х,у) К{х,у)

Рис. 2. Двудольные графы для вычислений Ошах(у) и Ош1п(у)

Если поменять в двудольном графе направление всех стрелок на обратные, получим дуальный граф с тем же ядром К(х, у) . Дуальному графу соответствуют линейный логический оператор первого рода

Зу е В(О(у)К(х,у)) = Ршах(х) (7)

и второго рода

Ух е В(О(у) з К(х, у)) = Ршт (у), (8)

называемые дуальными по отношению к операторам (5) и (6). Важно отметить, что дуальные логические операторы далеко не всегда возвращают исходное множество к первоначальному виду. Так, множество Ошах = О, формируемое оператором (5), возвращается дуальным оператором (6) в виде более широкого множества Ршах, чем исходное множество Р (рис.3). 56

X у

К(х, у)

Рис.3. Дуальный двудольный граф для соответствия (2) Линейные логические операторы представляют собой операции над переменными предикатами. Они входят составной частью в более обширную систему, называемую алгеброй предикатных операций. Алгебра предикатов служит формальным средством для записи мыслей, алгебра же предикатных операций, будучи материализована в виде решающего устройства, может служить средством искусственного воспроизведения процесса мышления.

2. Модель логического оператора с управляемым ядром

Для формирования математического действия, которое происходит в ветвях реляционной сети, разработана модель логического оператора с управляемым ядром, которая характеризуется введением в вычисление линейного логического оператора первого и

второго рода множителей £а1, , Ла^ , (1 = 1,к,) = 1,1). Благодаря этой модели появилась возможность выполнять обсчет логических операторов для переменных множеств и соответствий.

Задав множества Л = {а1; а2,...,ак} ; В = {Ь1; Ь2,...,Ь1} , имеем следующие выражения формул (5), (6):

к

(9) (10)

Уравнения (9) и (10), в которых переменное множество Р(а1) = £ и управляемое ядро К(а1, Ь^) = па_ь заменены на соответствующие множители, будут иметь следующий вид:

Ршах(у) = У^а, Па,Ь)Ь]Ь) )),Рш1п(У) = /Ч^ з Па^/' )),

1=1 1 1=1 1 J -1 1 = 1 1 1=1 1 1

где ?а1 > Па1Ь1 е {0, 1} .

Схемы линейных логических операторов первого и второго рода представлены на рис. 4,5. _

1 = 1,к

Ршах(У) = ^(Р^Ща, у)), а е Л,

к

0ш1п(У) = л (Р(а1) з К(а1, у)), а е Л.

Пи.

Рис. 4. Схема линейного логического оператора первого рода

8

1 = 1,к

не

или

5 1 V Па

Ли

П12

Г

V П12

^ V Па

Па.

8

и

Рис. 5. Схема линейного логического оператора второго рода

Выводы

В течение каждого такта работы реляционной сети одновременно срабатывают все линейные логические операторы. В сети первого рода после каждого такта осуществляется пересечение всех множеств Ршах , сходящихся со всех сторон к каждому из полюсов. В сети второго рода множества Ршш, наоборот, объединяются. Сеть первого рода может формировать лишние решения, а второго - может не найти некоторые из действительных решений. В статье впервые предложена модель логического оператора с управляемым ядром, которая характеризуется введением в вычисление этого оператора множителей и благодаря которой появляется возможность построения схемы отдельной ветви реляционной сети для переменных множеств и соответствий. Эта модель дает возможность решать любую задачу без необходимости обучения.

Список литературы: 1. БондаренкоМ.Ф. О реляционных сетях / М.Ф. Бондаренко, И.А. Лещинская, Н.П. Кругликова, Н.Е. Русакова, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко // Бионика интеллекта. 2010. № 3. С. 8-13. 2. Закревский А.Д. Логические уравнения. Минск: Наука и техника, 1975. 96 с. 3. Вечирская И.Д. Линейные логические операторы в виде схем и графов / И. Д. Вечирская, З.В. Дударь, А. А. Иванилов, В.А. Лещинский // Бионика интеллекта. 2004. №1(61). С.38-41.

Поступила в редколлегию 29.08.2011 Русакова Наталия Евгеньевна, м.н.с. каф. программной инженерии ХНУРЭ. Научные интересы: логическая алгебра, реляционные сети, искусственный интеллект. Увлечения: спортивные бальные танцы, катание на коньках, вышивка. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.р.702-11-52, т. моб. 068-606-64-22. Е-шаИ: natalium@mail.ru.