CC BY
10УДК: 521.93:531.35 MSC2010: 70F15
МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСОВ ЗЕМЛИ, ОСНОВАННАЯ НА ГРАВИТАЦИОННЫХ МОМЕНТАХ © С. А. Кумакшев
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН просп. Вернадского, 101, корпус 1, Москва, 119526, Российская Федерация
e-mail: kumak@ipmnet.ru
Model of Oscillations of Earth's Poles Based on Gravitational Tides.
Kumakshev S. A.
Abstract.
A model of oscillations of Earth's poles is constructed on the basis of the analysis of the gravitational torques from Sun and Moon. The model reflects physical processes and does not imply using curve fitting techniques, based, for example, on the polynomial approximation. Within the framework of this model, the Chandler frequency is interpreted as the fundamental frequency of oscillations of the mechanical system and the annual frequency as the frequency of the excitation force. A fine mechanism of excitation of the oscillations based on the combination of natural and forced frequencies is revealed. The model has only six parameters that can be identified by applying the least squares technique to the experimental data of the International Earth Rotation and Reference Systems Service. The prediction provided by the proposed model has high degree of accuracy for an interval of several years.
Keywords: Earth's Pole Oscillations, Gravitational Torques
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИ
Если бы Земля представляла собой идеальный твердый шар и ее движение было бы невозмущенным, то точки пересечения оси вращения с поверхностью Земли (полюса) были бы неподвижны. В конце XVIII в. Эйлер, строя теорию вращательного движения твердого тела с закрепленной точкой в отсутствие внешних сил, показал, что если учесть эллипсоидальную форму Земли, то ось вращения будет совершать круговые (прецессионные) движения с периодом 305 суток. Это означает периодические изменения широт наземных пунктов, так как они измеряются относительно "неподвижных" звезд. Астроном Чандлер, наблюдая за движением звезд, в 1891 году открыл, что на самом деле периодичность имеет две основных компоненты: годичная и с плавающим периодом 410-435 суток (чандлеровская). Сейчас это явление называют движением полюсов Земли. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 1. Размах
колебаний полюса в течении года может достигать несколько десятков метров [1, 2]. Из-за этой неравномерности вращения Земли помимо оперативного внесения поправок в современные системы навигации ГЛОНАСС/ОРБ также нужно вносить поправку в длину суток [3]. Построение простой модели с ясным физическим смыслом является актуальной задачей.
Рис. 1. Движение полюса Земли с 1996 г. по 2000 г. (пунктир) и эволюция условного центра спиралевидного движения с 1890 г. по 2000 г. (сполшная линия).
В соответствии с классической теорией колебаний процесс движения полюсов Земли состоит из колебаний на собственных частотах и колебаний с частотами вынуждающих сил.
В рамках предложенной модели, вынуждающие силы — это силы гравитационной природы, действующие от других тел в солнечной системе. Земля испытывает не только океанические приливы, но и ежесуточные поднятия и опускания поверхности материков с размахом примерно 1 м. Такой "горб", бегущий по поверхности Земли и созданный каким-либо массивным небесным телом, создает "плечо" для возникновения гравитационных моментов от воздействия других небесных тел. Эти моменты (наиболее заметны два из них — солнечный и лунный) и играют роль вынуждающих сил. Наиболее сильное воздействие Земля испытывает от Солнца (примерно в 200 раз больше, чем от Луны), поэтому наиболее заметная вынуждающая сила имеет период обращения Земли вокруг Солнца — 1 год.
Колебания на собственных частотах должны со временем затухать, но для Земли этого не происходит. Дело в резонансе (совпадении) первой собственной частоты Земли (известной как чандлеровской частоты) и комбинации частот вынуждающих сил. Этот резонанс обеспечивает поступление энергии и продолжение колебаний с собственной частотой. Комбинационный резонанс возникает при совпадении собственной частоты Земли с комбинацией частот внешних воздействий — от Солнца и Луны. Движение Луны является довольно сложным по сравнению с движением Земли вокруг Солнца. Выделим четыре основные особенности.
Орбита Луны вокруг Земли имеет форму эллипса, в одном из фокусов которого находится Земля. Эксцентриситет орбиты меняется почти в два раза (от 0,04 до 0,07) с периодом 8,85 лет. Ближе всего к нашей планете спутник оказывается в точке перигея; дальше всего — в апогее. Прямая, соединяющая две эти точки, проходит через центр Земли и называется линией апсид (совпадает с большой осью эллипса). Линия апсид вращается и делает полный оборот за 8,85 лет.
Плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эклиптики (плоскости вращения Земли вокруг Солнца). Угол между плоскостями испытывает колебания в диапазоне от 4°59' до 5°19' с периодом 18,6 лет. Точки пересечения лунной орбиты плоскости эклиптики названы восходящим и нисходящим узлами. Воображаемая прямая, которая соединяет две эти точки, называется линия узлов. Линия узлов совершает полный оборот за 18,6 лет.
Таким образом, комбинационный резонанс возникает при совпадении собственной частоты Земли (чандлеровская частота 0,84) с разностью частот внешних воздействий — вращения Земли вокруг Солнца (с периодом 1 год и частотой 1) и периодическими возмущениями орбиты Луны (с периодом 8,85 и 18,6 лет и частотами соответственно 0,11 и 0,05): 1-0,11-0,05=0,84, см. [4].
Фурье анализ колебаний полюса, приведенный на рис. 2, подтверждает наличие двух основных гармоник с периодом год и 14 месяцев. При этом годичная гармоника имеет острый пик, а пик на чандлеровской частоте (в районе 0.84) является размытым и более мощным за счет резонанса.
Некоторые исследователи полагают, что годичная частота имеет "сезонный" характер и обусловлена перемещением масс в атмосфере и океане. Однако такие перемещения не регулярны от года к году и имеют довольно хаотичный характер. Уже в силу только этого они не могут обеспечить остроту годичного пика — в отличии от регулярного обращения Земли вокруг Солнца.
В силу физического смысла предложенной модели естественным и принципиальным следствием будет размытость чандлеровского пика, поскольку собственная
Рис. 2. Частотный анализ движения полюса Земли.
частота Земли зависит от формы и меняется при гравитационных приливах в ее мантии. Очевидно, что и нерегулярные (даже хаотические) перемещения в атмосфере и океанах вносят свой вклад именно в размытость чандлеровской гармоники.
2. Математическая модель первого приближения
Введем связанную с Землей декартову систему координат, оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции A, B и C. Предположим, что малые деформации Земли происходят, главным образом, в радиальном направлении. Для построения модели вращательного движения относительно центра масс представим уравнения вращения Земли в форме классических уравнений Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции J [1], [2], [9], [10]:
Ju + ш х Ju = M, ш = (p, q, r)T, J = J* + 8 J, J* = const
(1)
J* = diag(A*,B*,C*), 8J = 8J(t), ||8J|| < ||J*||.
Здесь ш — вектор угловой скорости в некоторой связанной с Землей системе координат (референц-системе [5]), которая приближенно совпадает с главными центральными осями инерции J * "замороженной" Земли [1]-[5], [8]. Дополнительные возмущающие члены, получающиеся при дифференцировании вектора кинетического момента деформируемой Земли [7], отнесены к вектору M. Считается, что малые вариации тензора инерции 8J могут содержать различные гармонические составляющие, обусловленные влиянием суточных приливов от Солнца и Луны и, возможно,
другие (годичные, полугодичные, месячные, полусуточные и более короткопериоди-ческие). В качестве основных возмущающих внешних моментов сил M, вызывающих нутационные колебания, принимаются гравитационные воздействия. Возможное наличие слагаемого типа Jw не приводит к уточнению модели первого приближения.
Кинематические уравнения Эйлера, задающие ориентацию связанных осей относительно орбитальной системы координат, имеют вид [9]:
0 = p cos ф — q sin ф — w0(v) sin é, v = w0(v) = w*(1 + e cos v)2
é = p sin ф + q COs ф — wo(v )ctg д cos é, e = 0.0167 (2)
sin д
/ \ Л / \cos é
ф = r — (p sin ф + q cos ф) ctg д + w0 (v)-—
sin д
Здесь v(t) — истинная аномалия, e — эксцентриситет орбиты, w* — постоянная, определяемая гравитационным и фокальным параметрами. При исследовании системы (1), (2) в ситуации, отвечающей движению полюса, пропорциональные w0 члены уравнений (2) оказываются существенно большими по сравнению с p, q (приблизительно в 300 раз) и определяющими для 0, ф. В научной литературе это важное свойство не отмечено, а указанные выше члены необоснованно отбрасывались [1]-[5].
Структура выражений для компонент момента сил гравитации от Солнца имеет вид [10]:
Mq = 3w2 [(A* + ¿A — (C* + ¿C))YrYp + JpqIrYq + +¿ Jpr (y2 — Yp) — ¿ Jrq YpYq\ , w = w*(1 + e cos V )3/2 (3)
Yp = sin 0 sin ф, Yq = sin 0 cos ф, Yr = cos 0
Для вычисления Mpr в (3) делается циклическая перестановка индексов p, q, r. Из анализа (3) следует, что годичная компонента колебаний полюса может быть обусловлена слагаемым, содержащим произведения направляющих косинусов YPYr и YqYr. Для их вычисления в первом приближении интегрируются уравнения (3):
r = r0, ф « rt + ф0, v « w*t + v0, cos 0(v) = a(00, é0) cos v
0(0) = 00 = 66°33', 0.4 < a < 1, 0 < é0 < 2n (4)
4
cos 0 sin 0 = b(00,é0)cos v + d cos 3v + ..., 0.4 < b < —, |d| < 1
3n
Вторая и более высокие гармоники по v приводят к величинам, меньшим основных в 102 — 103 раз, и поэтому не учитываются. Величина B* — A* также существенно меньше, чем C* — A* (приблизительно в 160 раз). Оценка членов уравнений (1) для
p, q приводит с учетом выражений (4) после усреднения по быстрой фазе ip к упрощенной аналитической модели вида
2П
p + Npq = r2 + ЗЬш^Хр cos v, Npq & N = — & 0.84ш*
Tl (5)
q — Nqp = -Kpr2 — 3>bulxq cos v, p(0) = p0, q(0) = q0
Здесь кр, Kq — средние значения 8Jpr/B*, 8Jqr/A*, которые могут быть медленными функциями. Величины хР, Xq получаются в результате усреднения по ip коэффициентов при cos v в компонентах момента гравитационных сил Солнца. Они обусловлены, как отмечалось, суточными приливами. Моменты сил гравитации Луны не учитываются из-за относительной малости их влияния на нутационные колебания вследствие значительного различия частот. Правые части уравнений (5) содержат в явной форме гармоническое воздействие с годичным периодом, объясняющее механизм нутационных колебаний, регистрируемых наблюдениями МСВЗ. Хотя чувствительность коэффициентов Kp,q на 5 порядков выше, чем xP,q, явный регулярный механизм годичного (силомоментного) воздействия с требуемой согласно оценкам амплитудой Mh ~ 1020кг м2с-2 посредством внутренних геофизических факторов (атмосферных, океанических, сезонных и т. п.) представляется несостоятельным в механическом аспекте. Частотный анализ годичной компоненты колебаний также свидетельствует о несостоятельности геофизической интерпретации [1].
3. Численные результаты
Величины коэффициентов кРА, \рм и начальные значения р0, с0 в (5) неизвестны. Они подлежат определению на основе данных наблюдений МСВЗ [3]. Вводя переменные х(т) = р(Ь), у(т) = с(^), где т = Ь/Т^ — время, измеряемое годами, получим структуру решения системы (5) вида [10]:
х(т) = cX + clxr — aX cos 2nQr + asx sin 2nQr—
i^p dXX cos 2nr — dsx sin 2nr; y(r) = c0 + clr + ay cos 2пПт + ay sin 2пПт— — T—F dy cos 2nr + dy sin 2nr; П = 0.845.
Здесь a£ y, сХ'У, d£ y величины, подлежащие вычислению с помощью метода наименьших квадратов [11] по данным измерений МСВЗ [3]. Эти коэффициенты однозначно связаны с неизвестными, содержащимися в системе (5). При этом следует иметь в виду равенства
ax ay, a^ a y ; ПП dx dy, dx ПП dy, (7)
являющиеся структурным свойством модели.
Далее излагаются результаты расчетов на основе метода наименьших квадратов [11], который применялся независимо к переменным х(т), у(т) в виде шестимерной аппроксимации согласно модели (6):
х(т) = 0.0839 + 0.0033т - 0.0027 cos(2nHT) - 0.0464 Яп(2пПТ)--0.0221 cos(2nr) - 0.0946sin(2nT),
y(т) = 0.3266 + 0.0062т - 0.0482cos(2n^T) + 0.0027sin(2n^T)- (8)
-0.0862 cos(2nT ) + 0.0170 sin(2nT ). П = 0, 845.
Сравнение коэффициентов (в соответствии со структурным свойством (7)) определяющих чандлеровские составляющие колебаний, а также коэффициентов (с учетом множителя П = 0, 845), отвечающих годичной компоненте подтверждает указанное выше структурное свойство модели.
На фиг. 3 и 4 приводятся экспериментальные данные и теоретические кривые соответственно х(т) и у(т), состоящие из интерполяции ежедневных измерений на 7-летнем промежутке времени, начиная с 2010 г. по конец 2016г., и прогноза до конца 2018 г. Максимальные отклонения интерполяционной кривой от экспериментальных данных равны Дх = 0, 0472, Ду = 0,0318, что свидетельствует об удовлетворительной точности построенной модели.
Заключение
Надежный прогноз движения полюса весьма важен при решении задач инерци-альной навигации [6] на достаточно длительных для практических целей интервалах времени и при исследованиях ряда астрометрических и геофизических проблем [1, 5].
Данная модель участвовала в международном конкурсе [12], где были представлены другие модели, построенные на использовании разного рода математических подгонок и аппроксимаций и содержащие большое количество подгоночных коэффициентов. Несмотря на простоту и малое количество параметров (всего 6), данная модель по предсказанию положения полюса вошла в число лидеров.
Рис. 3. Компонента х: экспериментальные данные и теоретическая кривая, состоящая из интерполяции на 7-летнем промежутке времени, начиная с 2010 г. по конец 2016 г., и прогноза на два года.
Рис. 4. Компонента у: экспериментальные данные и теоретическая кривая, состоящая из интерполяции на 7-летнем промежутке времени, начиная с 2010 г. по конец 2016 г., и прогноза на два года.
Работа выполнена в рамках государственного задания AAAA-A17-117021310387-0, а также при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (17-01-00538, 17-08-00742 и 18-01-00812).
Описок литературы
1. Манк, У., Макдональд, Г. Вращение Земли. — М.: Мир, 1964. — 384 с.
MUNK, W. H. & MACDONALD G. T. F. (1960) The Rotation of the Earth. Cambridge Univ. Press.
2. Мориц, Г., Мюллер, А. Вращение Земли: Теория и наблюдения. — Киев: Наук. думка, 1992. — 512 с.
MORITZ, H. & MUELLER, I. I. (1987) Earth Rotation: Theory and Observation. N.-Y.: Ungar.
3. IERS Annual Reports, 1990 July 1991 bis 2000 July 2001. (2000). Central Burea of IERS. Observatoire de Paris.
4. Кумакшев, С. А. Гравитационно-приливная модель колебаний полюсов Земли // Изв. РАН. МТТ. — М.: Наука, 2018. — № 2. — C. 48-53.
KUMAKSHEV, S. A. (2018) Gravitational-Tidal Model of Oscillations of Earth's Poles. Mechanics of Solids. 53 (2). p. 159-163.
5. Авсюк, Ю. Н. Приливные силы и природные процессы. — М.: Изд-во ОИФЗ РАН, 1996. — 188 с.
AVSYUK, Yu. N. (1996) Tidal Forces and Natural Processes. Inst. Physics of the Earth RAS, Moscow.
6. Ишлинский, А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 670 с.
ISHLINSKIY, A. Yu. (1976) Orientation, gyroscopes and inertial navigation. Moscow: Nauka.
7. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 310 c. ILYUSHIN, A. A. (1990) Continuum mechanics. Moscow: Moscow University Press.
8. AKULENKO, L. D., KUMAKSHEV, S. A., MARKOV, Yu. G. & RYKHLOVA, L. V. (2005) A gravitational-tidal mechanism for the earth's polar oscillations. Astronomy Reports. 49 (10). p. 847-857.
9. Белецкий, В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. — М.: Изд-во МГУ, 1975. — 308 c.
BELETSKII, V. V. (1975) Satellite Motion about the Center of Mass in Gravitational Field. Moscow: Izdat. MGU.
10. KLIMOV, D. M., AKULENKO, L. D. & KUMAKSHEV, S. A. (2013) Mechanical model of the perturbed mo-tion of the earth with respect to the barycenter. Doklady Physics. 58 (11). p. 505-509.
11. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистичес-кой теории обработки наблюдений. — М.: Физматгиз, 1962. — 352 с.
LINNIK, J. W. (1961) Method of least squares and principles of the theory of observations. Pergamon Press, New York-Oxford-London-Paris.
12. KALARUS, M., SCHUH, H., KOSEK, W., AKYILMAZ, O., BIZOUARD, Ch., GAMBIS, D., GROSS, R., JOVANOVIRC, B., KUMAKSHEV, S., KUTTERER, H., MENDES CERVEIRA, P. J., PASYNOK, S. & ZOTOV, L. (2010) Achievements of the Earth orientation parameters prediction comparison campaign. Journal of Geodesy. 84. p. 587-596.
