CC BY
42
УДК 531.391:521.93
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗ ВРАЩАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ЗЕМЛИ ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС
© 2010 г. П.С. Нартикоев1, В.В. Перепёлкин2
1Северо-Осетинский государственный университет, 1North Ossetian State University,
ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362040, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, RNO-Alaniya, 362040,
[email protected] [email protected]
2Московский авиационный институт, 2Moscow Aviation Institute,
Волоколамское шоссе, 4, A-80, ГСП-3, г. Москва, 125993, Volokolamskoe Highway, 4, A-80, GSP-3, Moscow, 125993, [email protected] [email protected]
Методами небесной механики построена математическая модель возмущенных вращательных движений деформируемой Земли, адекватная астрометрическим измерениям Международной службы вращения Земли (МСВЗ). Она основана на гравитационно-приливном механизме влияния Солнца и Луны. Установлена тонкая резонансная структура взаимодействия долгопериодических зональных приливов (годичный, полугодичный, месячный, двухнедельный) с суточными и полусуточными приливами. На основе данных измерений МСВЗ проведена настройка алгоритмов фильтрации методом взвешенных наименьших квадратов. Получены оптимальные оценки движения на различных интервалах, выявлены основные свойства и особенности, дано сопоставление процессов интерполяции и прогноза с данными измерений МСВЗ. Проведено численное моделирование приливных неравномерностей осевого вращения Земли.
Ключевые слова: гравитационно-приливной механизм, деформируемость, колебания полюса, всемирное время, спектральный анализ, атомное время, центр масс.
By the methods of celestial mechanics, a mathematical model of the perturbed rotational motions of the deformable Earth is created adequate astrometric measurements of the International Earth Rotation Service (IERS). It is based on gravitational-tidal mechanism of influence of the Sun and the Moon. The authors have established a fine resonant structure of interaction of long-period zonal tides (annual, semiannual, monthly, two weeks) with diurnal and semi-diurnal tides. On the basis of measurements carried IERS tuning algorithms for filtering methods house "weighted" least squares was made. The optimal motion estimation at different intervals was get, the basic properties and characteristics were revealed, the comparison ofprocesses of interpolation and prediction with measurements IERS was given. In this paper, a numerical simulation of tidal ripple in the axial rotation of the Earth was studied.
Keywords: gravitational-tidal mechanism, deformability, vibrations of pole, world time, spectral analysis, atomic time, center of mass.
Для решения весьма актуальных задач небесной различной физической природы и существенной де-механики и астрометрии требуется создание высоко- формируемости фигуры Земли. Основное влияние ока-точной модели вращательного движения Земли отно- зывают гравитационно-приливные моменты сил от сительно центра масс [1]. Анализ уравнений движения Солнца и Луны. Однако значительное уточнение моде-[2-7] и данных наблюдений [1, 5, 8] свидетельствует о ли приводит к усложнению процессов фильтрации ненеобходимости учета возмущающих моментов сил известных параметров, в том числе начальных данных.
Обработка результатов измерений и их спектральный анализ за последние 100-150 лет позволили статистически убедительно определить основные характеристики и дать прогноз колебательных движений полюса на длительных интервалах времени: от одного до нескольких лет [1, 6, 7]. Достигнута удовлетворительная точность аппроксимации порядка 0,1" = 3,15 м посредством модели, использующей линейную (тренд) и тригонометрические (с годичным и чандлеровским периодами) опорные функции.
Во второй половине XIX в. было установлено в пределах достигнутой точности измерений, что Земля вращается вокруг своей оси неравномерно. Скорость вращения и угол поворота не удовлетворяют требуемым условиям стабильности и не могут служить шкалой времени. Выдвигались различные гипотезы относительно причин неравномерности вращения Земли, причем большинство из них объясняют указанное явление влиянием на вращение Земли различных геофизических, в том числе сезонных, процессов [1, 2, 9, 10]. Сложность этого явления состоит и в том, что наблюдаемые современные измерения угловой скорости вращения Земли содержат огромное число «пиков» при спектральном анализе процесса. Обнаружены гармоники с характерными временами от суток до сотен тысяч лет.
Наблюдаемые неравномерности вращения Земли в научной литературе для удобства разделены на корот-копериодические (с характерными временами короче одного года) - внутригодовые колебания (условно называемые «сезонными»), вариации от года к году -межгодовые с характерными временами в 6 лет и до 102 лет, вековые вариации на периоде прецессии земной оси, и изменения угловой скорости собственного вращения Земли в геологическом масштабе времени (105-106 и более лет). Авторами достоверно установлено, что основной вклад в неравномерность осевого вращения Земли и вариаций продолжительности суток на коротких интервалах времени вносят возмущающие моменты сил, обусловленные приливными деформациями фигуры Земли (геоида). Им соответствуют слабые возмущения компонент тензора инерции Земли под действием лунных и солнечных приливов, имеющих регулярную небесномеханическую природу. В этих изменениях также присутствуют и наблюдаются относительно небольшие нерегулярные флуктуации продолжительности суток.
Связанное с вращением Земли всемирное время UT является весьма важной величиной, требующей постоянных измерений. Так как среднее солнечное время, а следовательно и UT, не являются достаточно точной шкалой времени, то в качестве таковой на относительно коротких промежутках (несколько лет) может быть использована атомная шкала времени TA, обладающая относительной стабильностью 10-14. Создание единой атомной шкалы времени, принятой по соглашению в качестве международного стандарта: международного атомного времени TAI позволило принять ее в качестве практического стандарта шкалы времени. Она приспособлена для поддержания связи со шкалой UT, определяемой вращением Земли, и известна как всемирное координированное время UTC.
С учетом спектрального анализа данных МСВЗ проведена идентификация параметров модели методом наименьших квадратов. Получена статистически убедительная интерполяция регулярного многочастотного процесса вариации длительности суток на основе данных измерений МСВЗ на интервале времени один год (и более). Приводится прогноз неравномерности вращений Земли (вариаций продолжительности суток и поправки UT1-UTC) на интервале 4-6 мес. Результаты могут быть полезны как для теоретических научных исследований, так и при решении ряда практических задач астрометрии, геофизики и навигации. Подтверждением этому являются навигационные системы GPS, ГЛОНАСС, Galileo. В космической технике и системах телекоммуникации точность измерения времени имеет существенное, основополагающее значение.
Уравнения колебаний полюса Земли первого приближения. Для построения математической модели вращательно-колебательных движений деформируемой Земли относительно центра масс представим уравнения в форме классических динамических уравнений Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции J [2, 6, 7]:
Jto + ю х Jra = M, ю = (p, q, r)T , J = J * + SJ, J * = const, J * = diag (A*, B *, C *), (1)
SJ = SJ (t), || SJ ||«|| J * ||, M = M K + M5 + ML.
Здесь ю - вектор угловой скорости в связанной с Землей системе координат. Оси этой системы приближенно совпадают с главными центральными осями инерции J * «замороженной» фигуры Земли с учетом «экваториального выступа» [6]. Ms,L - гравитационно-приливные моменты сил от Солнца и Луны соответственно. Считается, что малые вариации тензора инерции SJ могут содержать различные гармонические составляющие, обусловленные регулярным возмущающим влиянием гравитационных суточных приливов от Солнца и Луны, и, возможно, другие (годичные, полугодичные, месячные, двухнедельные и т. п.). Дополнительные возмущающие члены получаются при дифференцировании вектора кинетического момента деформируемой Земли. Они отнесены к вектору MK весьма сложной структуры, который аддитивно входит в M.
Полученная в результате математических упрощений (оценки членов уравнений для компонент полюса p и q ) и усреднения по быстрой фазе - собственному вращению Земли, аналитическая модель принимает вид [6, 7]
p + Npq = Kqr2 + ЗЬа*:xp cosv, p(0) = p0,
q - Nqp = -Kpr 2 - 3b®2xq cos v, q(0) = q0 , (2)
Np,q * N = (0,84 - 0,85)®*.
Здесь v(t) - истинная аномалия; - постоянная, определяемая гравитационным и фокальным параметрами; величины xp и xq определяются из наблюдений и обусловлены суточными приливами; N -чандлеровская частота.
Согласно [6, 7], вводя переменные х(т) = p(t) , у(т) = q(t), где т = t / Th - время, измеряемое годами, получим на основе системы уравнений (2) выражения координат полюса для модели первого приближения х(т) = c0 + c\t - acx cos 2nNт + asx sin 2n Nt -
-NdC cos2nr-dX sin2nr, (3)
у(т) = cУ + c\,T + acy cos 2nNr + asy sin 2n Nt -
" У У У У
- Ndcy cos 2пт + dy sin 2пт.
Неизвестные c0,y, acxsy, dcx'sy - величины, подлежащие вычислению [6, 7] с помощью метода наименьших квадратов [8] по результатам измерений МСВЗ [1]. При определении этих коэффициентов следует иметь в виду приближенные равенства a^s «asy'c ,
dc¿s ~ dsy,c , являющиеся структурным свойством модели. Процессы х и y оказываются связанными, что следует учитывать при статистической обработке измерений. Значения переменных х, y (по осям ординат) приводятся в угловых секундах.
На рис. 1 приводятся наглядные и убедительные результаты интерполяции с начала 2001 до конца 2005 г. и прогноз на 2 года (2006 и 2007 г.) согласно основной шестипараметрической модели (3) [6, 7].
Рис. 1. Интерполяция траектории полюса на 5-летнем интервале 2001-2005 гг. и прогноз на 2006-2007 гг. (сплошная линия); о - данные МСВЗ
Сравнение полученных в ходе расчетов значений указанных выше коэффициентов подтверждает структурное свойство теоретической модели.
Анализ колебаний полюса на длительных интервалах времени за последние 70-80 лет подтверждает, что они имеют характер биений с шестилетним периодом. Максимальное отклонение достигает величины 0,31" «10 м; центр спирали имеет тренд в направлении Северной Америки. В окрестности максимальных отклонений колебания имеют регулярную форму, поскольку возмущающие факторы оказывают относительно меньшие искажения. В окрестности биений (минимальных амплитуд колебаний полюса) часто наблюдаются нерегулярные изменения колебаний по
обеим осям, а траектория может принимать весьма причудливую форму. Рациональное объяснение этого явления предполагает наличие относительно малых высокочастотных воздействий. К ним можно отнести гравитационно-приливной момент сил от Луны с месячным и двухнедельным периодами, а также геофизические, атмосферные, океанические и другие возмущающие факторы. Наиболее эффективной оказывается вариация чандлеровской компоненты колебаний, имеющей резонансный характер и существенно зависящей от диссипативных свойств фигуры Земли [6, 7].
На рис. 2 приводятся результаты трехлетней интерполяции колебаний полюса (с 01.05.2005 по 24.04.2008) и прогноз на 6 мес. (по ноябрь 2008 г.) в сравнении с прогнозом, приведенным МСВЗ. Модификация метода фильтрации позволяет существенно улучшить процесс интерполяции на конечном этапе и прогноз на относительно коротком интервале времени.
Рис. 2. 3-летняя интерполяция и прогноз траектории полюса на 6 мес.;--теоретическая кривая; о - данные МСВЗ
Внутригодовые неравномерности вращения Земли. Изучение вращения Земли базируется на геоцентрических координатных системах [9]. Эти системы физически реализуются в международных опорных системах координат - небесной (ICRF - International Celestial Reference Frame) и земной (ITRF - International Terrestrial Reference Frame) и устанавливаются МСВЗ. Эта служба постоянно поддерживает и уточняет их. Международная земная опорная система координат (ITRF) включает в себя список координат и скоростей для фиксированной опорной даты примерно для 200 пунктов, распределенных по поверхности Земли. Величины неопределенностей для координат выражаются сантиметрами. Ориентация системы ITRF по отношению к ICRF представляется пятью параметрами (две угловые координаты - прецессия, нутация ( dy,de ) небесного полюса в системе ICRF, и две
угловые координаты в ITRF, описывающие движение земного полюса ( xp, yp )); пятым параметром является фазовый угол ф(0, характеризующий вращение земной системы по отношению к небесной. Эти две координатные системы определены таким образом, что они используют одну и ту же временную координату, называемую геоцентрическим координатным временем TCG (Geocentric Coordinate Time).
В настоящее время построена единая высокоточная, независимая от суточного и орбитального движения Земли, равномерная физическая шкала атомного времени TAI. Ее создание позволяет существенно более точно, чем ранее, изучать неравномерности осевого вращения Земли. Появилась возможность выявлять изменения скорости вращения Земли любых не очень продолжительных периодов. Дальнейшие уточнения флуктуаций скорости вращения Земли зависят от повышения точности определения шкалы UT1, которая используется для подстройки всемирного координированного времени UTC. Шкала UTC - международное атомное время, скорректированное на целое число секунд для того, чтобы приблизительно соответствовать всемирному времени UT1, связанному с вращением Земли. Для достижения предельно высоких точностей используется всемирное время UT1, которое обеспечивает связь между небесной и земной системами координат как функцию от TAI.
Для изучения вариаций вращения Земли вводится изменение (вариация) длительности суток - l.o.d.(t) (lenght of the day changes) [1, 5, 9]
l.o.d.(t) = D(t) -86400 c, D(t) = -r0-x 86400 c. (4)
r (t )
Здесь D(t ) - длительность суток, означает длительность в секундах TAI, соответствующую повороту Земли на 360°, т.е. «возрастанию времени» на 24 ч в UT1.
Величина r(t) может быть выведена из публикуемых значений l.o.d.(t) (ftp://hpiers.obspm.fr/iers/eop/eop04_05)
и имеет вид
r (t) =
1 +
d (UT1 - TAI) d (TAI )
1-
l.o.d.(t ) 86400 c
(5)
Земли. Естественные синоптические периоды совпадают с режимами вращения Земли. Приливные колебания скорости ее вращения обусловлены в основном лунно-солнечными зональными приливами.
Для изучения осевого вращения деформируемой Земли воспользуемся классическими динамическими уравнениями Эйлера-Лиувилля (1). Отметим, что выбранная система координат качественно и количественно согласуется с 1Т№.
Выпишем третье уравнение системы (1) для компоненты осевого вращения Земли ):
С 7 + (В * - Л*) pq + (3п - 3 тЧ)г = М? + Мьг . (6)
Здесь 3рг, 3 - малые внедиагональные элементы тензора инерции; М- компонента гравитационно-приливных возмущающих моментов от Солнца и Луны соответственно [6]. Например, выражение
М? имеет следующую структуру:
М? = 3®02[(В* +8В - (Л* +SЛ))УpУq +а/рЧ (у2р +
+JqrYpYr -JprYqY.
pr i qi r J
(7)
Yp = sindsinq), Yq = sinöcos^, yr = cosö,
В последние 15-20 лет с высокой точностью измеряются приливные колебания скорости вращения деформируемой Земли. Известно [1, 4, 5], что в приливных изменениях скорости вращения Земли на относительно коротких интервалах времени выделяются составляющие с различными периодами - год, полгода, 13,7, 27,3 и, возможно, 9,1, 5,6 сут. Они определяются посредством учета гравитационных приливных моментов [4, 6] и спектрального анализа [5, 6], с помощью оптимальной интерполяции процесса на относительно коротких интервалах времени (несколько лет). Период 18,6 лет лунно-солнечной нутации (движение узлов лунной орбиты) Земли является главным из долгопериодических зональных приливов, который может формировать трендовую составляющую во временной эволюции моделирования неравномерности осевого вращения Земли.
Было замечено [4], что большая часть типов синоптических процессов в атмосфере меняется синхронно с приливными изменениями угловой скорости вращения
где а)0 - частота орбитального движения; ур ,у , уг -направляющие косинусы радиус-вектора в связанной системе; ц/,в,ф - углы Эйлера; Л*, В*, С * - эффективные главные центральные моменты инерции с учетом деформаций «замороженной» Земли. Они могут быть вычислены с достаточной точностью. Коэффициенты 8Л, 8В, ¿3 , ¿3 , ¿3рг обусловлены приливными суточными и полусуточными гравитационными воздействиями Луны и Солнца. Они не поддаются прямым измерениям. Для них могут быть получены косвенные оценки на основе измерений характеристик процесса.
Интегрируя уравнение (6), получим с учетом (5) структуру флуктуаций длительности суток: ¡.о.Л() = с + а? соз(2ят) + а? зт(2ят) + Ь? соз(4ят) + + Ь? sin(4пт) + а; cos(2яvmт) + а; sin(2яvmт) + + Ь; т) + Ь; sin(2яv/т). (8)
Здесь = 13,28, V/ = 26,68 - частоты месячного и двухнедельного колебаний, обусловленных лунным возмущением; неизвестные с, а?,;, Ь?,; - величины,
подлежащие вычислению с помощью метода наименьших квадратов по измерениям МСВЗ. Эти коэффициенты однозначно связаны с неизвестными, содержащимися в уравнении (6). Параметр т в (8) и далее измеряется стандартными годами.
Для внутригодовых интервалов из (8) и (5) запишем выражение для разности ПТ1-ПТС:
1
365,25
[UT1 - UTC](т) = -Jl.o.d.(r)dr = const - ст - (9)
- (2п)-1(а? sin(2пт) - а? ^(2ят)) - (4п)-1(Ь? sin(4пт) -
- Ь ^(4пг)) - (2пт)-1 (а; sm(2яvmт) - а; ^(2птт)) -
- (2п / )-1 (Ь; sin(2пv/т) - Ь; cos(2пv/т)).
Приведем результаты численного моделирования внутригодовой приливной неравномерности осевого
r
r
0
0
вращения Земли на основе построенной модели (8), (9). Расчеты проводятся методом наименьших квадратов согласно 9-параметрической модели, соответствующей выражению (8); имеем
I.o.d.(т) = (Z, f (т)), Z = (Zi ,■■■, Z9)T, (10)
f (т) = (1, cos2nr, sin2nr, cos4nr, sin4nr, cos2nvmT,
sin 2rn>mz, cos 2nVf т, sin 2nVf t)t .
На основе выполненной интерполяции модели (8) для интервала времени 01.01.2007 - 31.12.2008 на рис. 3 приводится прогноз l.o.d. на 2009 г. в сравнении с данными измерений МСВЗ.
*
Соответствующие оптимальный вектор Z и сред-неквадратическая ошибка и модели (10) на интервале интерполяции равны Z =
= (0,88 0,3,0,089 -0,18-0,89,-0,11,-0,14,-0,45,-0,14)T х10-3,
а = 0,25 х 10-3.
На рис. 4 в сравнении с прогнозом МСВЗ приводится прогноз UT1-UTC на 300 сут, выполненный с помощью модели (9).
Построенная теоретическая модель по точности аппроксимации процесса дает хорошее совпадение с прогнозом МСВЗ. Она приведена на более протяженном интервале времени.
O.OQIO
0,0005
ные неравномерности вращения Земли. Численный эксперимент показывает, что они адекватны астро-метрическим измерениям МСВЗ.
ит1-итс
0.1 —
о —
-02 —
-0 4
115.03.1007)
600
700
-0,00« -
100
200
т, сутки
Рис. 3. Прогноз вариаций длительности суток на 2009 г. (кривая 1) в сравнении с данными наблюдений МСВЗ (кривая 2)
Анализ теоретической модели неравномерности вращения Земли свидетельствует о том, что в отсутствии резких непрогнозируемых возмущений может быть достигнута точность порядка 10-3 - 10-4 с. Погрешность данных измерений МСВЗ определяется величинами порядка 10-5 с.
На основе небесномеханических подходов исследованы вращательно-колебательные движения деформируемой Земли под действием гравитационно-приливных возмущений от Солнца и Луны.
Построены малопараметрические модели, описывающие как колебания земного полюса, так и прилив-
т
0(01.01.2006) ¡00
200
300
т, сутки JOO
Рис. 4. Данные измерений и прогноз UT1-UTC на 5 мес., приведенный МСВЗ (кривая 1), и интерполяция и прогноз UT1-UTC на 8,5 мес., построенные согласно модели (9) (кривая 2)
На основе данных измерений МСВЗ методом наименьших квадратов определены параметры системы, построены траектории и даны прогнозы движения полюса и неравномерности вращения Земли.
Полученные результаты могут представлять как естественнонаучный интерес, так и найти применение в прикладных задачах геофизики и навигации.
Авторы выражают большую признательность проф. МАИ Юрию Георгиевичу Маркову за ценные советы, данные в процессе подготовки статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код 07-02-01010) и гранта Президента - 3313.2008.1.
Литература
1. IERS Annual Reports, 2000/2002. Frankfurt am Mem, 2001/2003.
2. Манк Н., Макдональд Г. Вращение Земли. М., 1964. 384 с.
3. Мориц Г., Мюллер А. Вращение Земли: теория и наблюдения. Киев, 1992. 512 с.
4. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М., 2002. 384 с.
5. Vondrak J. Earth Rotation Parameters 1899.7 - 1992.0 after Reanalysis within the Hipporcos Frame // Surveys Geophys. 1999. Vol. 20. P. 169.
6. Гравитационно-приливная модель колебаний полюса деформируемой Земли / Л. Д. Акуленко [и др.] // Космонавтика и ракетостроение. 2005. № 4(41). С. 103.
7. Внутригодовые неравномерности вращения Земли / Л. Д. Акуленко [и др.] // Астрон. журн. 2008. Т. 85, № 7. С. 657.
8. Губанов В.С. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрии. СПб., 1997. 318 с.
9. Одуан К., Гино Б. Измерение времени. Основы GPS. М., 2002. 399 с.
10. Capitane N., Guinot B., McCarthy D.D. Definition of the Celestial Ephemeries origin and UT1 in the International Reference Frame // Astron. Astrophys. 2000. Vol. 355. P. 398.
Поступила в редакцию
7 октября 2009 г.
