А.В. Китаева, А.Ф. Терпугов
МОДЕЛЬ ФОНДА СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ ПРИ РЕЛЕЙНОМ УПРАВЛЕНИИ КАПИТАЛОМ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТАХ И ВЫПЛАТАХ ПО СОЦИАЛЬНЫМ ПРОГРАММАМ
Получено точное выражение для плотности распределения вероятностей капитала фонда социального страхования в случае, когда моменты времени, в которые производятся выплаты по страховым случаям и по социальным программам, образуют независимые пуассоновские потоки постоянной интенсивности, а величины страховых выплат и выплат по социальным программам имеют экспоненциальное распределение. Рассматривается случай, когда выплаты по социальным программам производятся только при превышении капиталом фонда некоторого порогового значения (релейное управление капиталом).
В работе [1] оптимизация деятельности фонда социального страхования производилась в диффузионном приближении. Рассматривалась следующая модель. Во-первых, предполагалось, что в фонд непрерывно во времени с постоянной скоростью с0 поступают средства; во-вторых, поток страховых выплат является пуас-соновским с постоянной интенсивностью, а страховые выплаты - независимыми одинаково распределенными случайными величинами с заданным математическим ожиданием и дисперсией; в-третьих, средства на социальные программы выделяются непрерывно во времени с некоторой скоростью, зависящей от капитала фонда £. Считая процесс изменения капитала фонда £(/) диффузионным процессом, мы могли не конкретизировать распределение страховых выплат, считая известными только два первых момента этого распределения. Этого было достаточно, чтобы определить основную характеристику системы - стационарное распределение вероятностей капитала фонда.
Точные результаты были получены в [2] для вышеописанной модели в предположении, что страховые выплаты подчиняются экспоненциальному распределению.
В настоящей работе найдено распределение капитала фонда в случае, когда выплаты по социальным программам также осуществляются в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток постоянной интенсивности, и величины выплат - независимые экспоненциально распределенные случайные величины. Выплаты по социальным программам производятся, если капитал фонда превышает некоторое пороговое значение £0.
Обозначим Х1 - интенсивность потока страховых выплат, Я2 - интенсивность потока выплат на социальные программы, 1/ а1 - среднее значение страховых выплат, 1/ а2 - среднее значение разовой выплаты по социальным программам, р? (5) - плотность распределения страховых выплат, рп (5) - плотность распределения выплат по социальным программам.
Итак, наша задача состоит в определении плотности стационарного распределения капитала фонда р(5).
Будем искать p(s) в виде p(s) =
Pi(s), s < S0,
P2 (s), s > S0.
1. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/, и за время Д/ не производились страховые выплаты. Вероятность этого события 1 - Х1Д/ + о(Д/).
2. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/ + х , и за время Д/ произведена страховая выплата в размере х. В случае х < £0 - 5 + с0Д/ процесс не меняет своего состояния. В противном случае процесс пересекает порог £0 и переходит из второго состояния (наличия выплат по социальным программам) в первое (отсутствие выплат по социальным программам). Вероятность этого события Х1Д/ + о(Д/).
3. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/ + х , причем х > £0 - 5 + с0 Д/, и за время Д/ произведена выплата по социальным программам в размере х. Вероятность этого события Я2Д/ + о(Д/).
4. Все остальные события имеют вероятность о(Д/).
Поскольку процесс £(/) является марковским, то, аналогично выводу обратных уравнений Колмогорова, можем записать следующее интегральное уравнение:
Р1 (5) = л(5 - С0 Д/)(1 - Я,! Д/) +
£ - 5+с0 Д/
+Я1Д/ | р1( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)ёх +
(1)
Сначала рассмотрим область 5 < £0. Каким образом за время Д/ процесс £(•) может попасть в состояние 5 ?
+Я1Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) р? ( х)й?х +
£0 -5+с0Д/ да
+Я 2 Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) рп (х)ёх + о(Д/).
£0 - 5+с0Д/
Разложим функции р1(^)и р2() в ряд Тейлора по Д/: р1 (5 - с0Д/) = р1 (5) - с0Д/р' (5) + о(Д/), подставим
полученные разложения в (1), разделим обе части уравнения на Д/ и перейдем к пределу при Д/ ^ 0. Сделав в интегралах замену переменной, получим
£0
Я1 р1(5) + с0р1(5) = Я11 р1(х)р? (х - 5)ёх +
5
да да
+Я11 р2 (х)р? (х - 5)ёх + Я21 р2 (х)рп (х - 5)Дх.
Далее, учитывая, что р? (х) = а1еа,х, рп (х) = а2е“гх
при х>0, дважды продифференцируем обе части уравнения по 5. Получим следующее дифференциальное уравнение:
рГ'(5) + (Ъ - а - а2)р"(5) + а2 (а1 - Ъх)р{ (5) = 0,
где Ъ1 = Я1 / с0, Ъ2 = Я2 / с0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
р1 (5) = С1 ехр(а2 5) + С2 ехр((а1 - Ъ1 )5) + С3.
Постоянную С3 следует положить равной нулю,
поскольку плотность вероятностей должна удовлетворять условию нормировки. Из этих же соображений будем предполагать, что а1 - Ъ1 > 0 или с0 >Я1 / а1. Это условие означает, что в среднем капитал фонда растет и является, в сущности, одним из условий существования стационарного режима. Для удобства дальнейших вычислений запишем р1 (5) в виде
А (5) = С ехр[а2 (5 - £0)] + С2 ехр[(а - Ъ)(5 - £0)], 5 < £0.
Перейдем в область 5 > £0 . Рассмотрим всевозможные изменения процесса £(•) за время Д/, приводящие его в состояние 5.
1. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/, и выплаты ни по страховым случаям, ни по социальным программам не производились. Вероятность этого события 1 -Я1Д/ -Я2Д/ + о(Д/).
2. Процесс находился в состоянии 5 - с0Д/ + х (причем х > с0Д/) и произведена страховая выплата в размере х. Вероятность этого события Я1Д/ + о(Д/).
3. Процесс находился в состоянии 5 - с0Д/ + х (причем х > с0 Д/) и произведена выплата по социальным программам в размере х. Вероятность этого события Я2Д/ + о(Д/).
4. Все остальные события имеют вероятность о(Д/).
Это приводит к следующему интегральному уравнению:
р2 (5) = р2 (5 - с0 Д/)(1 - Я1Д/ - Я2 Д/) +
да
+Я1Д/ | р2 ( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)Сх +
С0 Д/
да
+Я2Д/ | р2 (5 - с0Д/ + х)рп (х)Сх + о(Д/).
С0Д/
Проделав с полученным уравнением преобразования, аналогичные уравнению (1), получим дифференциальное уравнение
С0р2"(5) + (Ъ1 + Ъ2 - а1 - а2)р'2 (5) +
+ (а1а2 - Ъ1а2 - Ъ2а1)р'2 = 0.
где
Общее решение этого уравнения имеет вид
р2 (5) = С ехр(^15) + С2 ехр(&25) + С3 ,
к12 = (а1 + а2 - Ъ1 - Ъ2 ± л/о) / 2,
Б = (а1 - а2 + Ъ2 - Ъ1)2 + 4Ъ1Ъ2 > 0.
Потребуем, чтобы выполнялось неравенство с0 <Я1/ а1 + Я 2/ а2 - второе условие существования стационарного режима, которое означает, что в области, лежащей выше порога £0, капитал фонда в среднем уменьшается. В этом случае к2 < 0, к1 > 0 . Поскольку рассматриваемая область не ограниченна сверху, то условие нормировки требует положить С1 = С3 = 0 . Итак, р2 (5) можно записать в виде
р2 (5) = С ехрк (5 - £0)], 5 > £0 .
Найдем постоянные С, С1, С2.
Нетрудно видеть, что
р2 (£0) = Л (£0 - С0Д/)(1 - Я1Д/) + о(Д/),
откуда следует условие сшивания на границе р1( £0) = р2( £0), которое дает
С = С1 + С2.
С другой стороны,
А (£0) = Л(5 - С0 Д/)(1 - Я1Д/) +
да
+ Я1Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)с1х +
С0Д/
да
+Я2Д/ | р2 (5 - с0Д/ + х)рп (х)Сх + о(Д/).
^Д/
Отсюда, учитывая (2), получаем уравнение
(2)
а2С1 + й1С1 + а1С2 =
Ь2 а,
2^2 + Ь1а1
У а2 - к2 а1 - к2 у
(С1 + С2). (3)
Еще одно уравнение - это условие нормиров-
£0 да
I. | р1 (5)С5 +| р2 (5)С5 = 1 или, с учетом (2),
С,
г 1 - 2Л V а2 к2 У
+ С„
1
1
а1 - Ь1 к2
= 1.
(4)
2 У
Решая полученную систему уравнений (2)-(4), обо-
Ґ
Ь2 а2 + Ь1а1
а2 - к2 а1 - к,
,получаем
2 У
С1 =--------------------------------------------------(С),
а2(а2 + Ъ1 - С)(к2 - а1 + Ъ1) - (С - а1)(а1 - Ъ1)(а1 - к2)
С =-----------------------°2Ма,-М-----------------(+ -,
а2 (а2 + Ъ1 - С)(к2 - а1 + Ъ1) - (С - а1)(а1 - Ъ1 )(а1 - к2)
с =------------------------аАЦ-го----------------- ^Ъ).
а2 (а2 + Ъ1 - С)(к2 - а1 + Ъ1) - (С - а1)(а1 - Ъ1 )(а1 - к2)
Итак, Поставленная задача решена полностью. Провести
какую-либо оптимизацию по параметрам а2 и Ъ2 вряд [С1ехр[а2(5 - £0)] + С2ехр[(а1 - Ъ1)(5 - £0)], 5 < £0, ли возможно ввиду сложной зависимости постоянных
р(5) = |Сехр[к2(5-£0)], 5>£0. С,C1,С2 от этих переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного университета.
2006. № 290.
2. Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник
Томского государственного университета. 2003. N° 280. С. 130-135.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 6 июня 2006 г.